一轮复习简单逻辑连接词全称命题特称命题(含答案)

第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词最新考纲 1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；2.理解全称量词与存在量词的意义；3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．

知识梳理

1．简单的逻辑联结词

(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．

(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断

p q p且q p或q非p

真真真真假

真假假真假

假真假真真

假假假假真

2.

(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用“”表示；含有全称量词的命题叫做全称命题．

(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用“”表示；含有存在量词的命题叫做特称命题．

3．含有一个量词的命题的否定

命题命题的否定

x∈M，p(x)x0∈M，p(x0)

x0∈M，p(x0)x∈M，p(x)

1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT展示

(1)命题p∧q为假命题，则命题p，q都是假命题．(×)

(2)若命题p，q至少有一个是真命题，则p∨q是真命题．(√)

(3)已知命题p：n0∈N,2n0＞1 000，则p：n0∈N，2n0≤1 000.(×)

(4)命题“x∈R，x2≥0”的否定是“x∈R，x2＜0”．(×)

2．(2014·重庆卷)已知命题p ：对任意x ∈R ，总有|x |≥0； q ：x ＝1是方程x ＋2＝0的根．则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．p ∧q C ．p ∧q

D ．p ∧q

解析 由题意知，命题p 为真命题，命题q 为假命题，故q 为真命题，所以p ∧q 为真命题．

答案 A

3．(2014·湖南卷)设命题p ：x ∈R ，x 2＋1＞0，则p 为( ) A ．x 0∈R ，x 20＋1＞0 B ．x 0∈R ，x 20＋1≤0 C ．x 0∈R ，x 20＋1＜0

D ．x ∈R ，x 2＋1≤0

解析 “x ∈R ，x 2＋1＞0”的否定为“x 0∈ R ，x 20＋1≤0”，故选B. 答案 B

4．若命题“x ∈R ，ax 2－ax －2≤0”是真命题，则实数a 的取值范围是________． 解析 当a ＝0时，不等式显然成立；当a ≠0时，由题意知??

?

a ＜0，Δ＝a 2＋8a ≤0，得－8≤a ＜0.综上，－8≤a ≤0.

答案 [－8,0]

5．(人教A 选修1－1P26A3改编)给出下列命题： ①x ∈N ，x 3＞x 2；

②所有可以被5整除的整数，末位数字都是0； ③x 0∈R ，x 20－x 0＋1≤0；

④存在一个四边形，它的对角线互相垂直． 则以上命题的否定中，真命题的序号为________． 答案 ①②③

考点一 含有逻辑联结词的命题及其真假判断

【例1】 (1)(2014·辽宁卷)设a ，b ，c 是非零向量．已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .则下列命题中真命题是( )

A ．p ∨q

B ．p ∧q

C．(p)∧(q) D．p∨(q)

(2)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()

A．(p)∨(q) B．p∨(q)

C．(p)∧(q) D．p∨q

解析(1)由于a，b，c都是非零向量，

∵a·b＝0，∴a⊥b.∵b·c＝0，∴b⊥c.如图，则可能a∥c，∴a·c≠0，∴命题p是假命题，∴p是真命题．命题q中，a∥b，则a与b方向相同或相反；b∥c，则b与c方向相同或相反．故a与c方向相同或相反，∴a∥c，即q是真命题，则q是假命题，故p∨q是真命题，p∧q，(p)∧(q)，p∨(q)都是假命题．

(2)命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包含以下三种情况：“甲、乙均没有降落在指定范围”“甲降落在指定范围，乙没有降落在指定范围”“乙降落在指定范围，甲没有降落在指定范围”．选A.或者，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”等价于命题“甲、乙均降落在指定范围”的否命题，即“p∧q”的否定．选A.

答案(1)A(2)A

规律方法若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假，再依据“或”——一真即真，“且”——一假即假，“非”——真假相反，做出判断即可．

【训练1】(1)若命题p：函数y＝x2－2x的单调递增区间是[1，＋∞)，命题

q：函数y＝x－1

x的单调递增区间是[1，＋∞)，则()

A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．p是真命题D．q是真命题(2)“p∨q”为真命题是“p∧q”为真命题的________条件．

解析(1)因为函数y＝x2－2x的单调递增区间是

[1，＋∞)，所以p是真命题；

因为函数y＝x－1

x的单调递增区间(－∞，0)和(0，＋∞)，所以q是假命题．

所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，p为假命题，q为真命题，故选D.

(2)若命题“p∨q”为真命题，则p，q中至少有一个为真命题．

若命题“p∧q”为真命题，则p，q都为真命题，因此“p∨q”为真命题是“p∧q”为真命题的必要不充分条件．

答案(1)D(2)必要不充分

考点二全(特)称命题的否定及其真假判定

【例2】(1)(2014·安徽卷)命题“x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是()

A．x∈R，|x|＋x2＜0 B．x∈R，|x|＋x2≤0

C．x0∈R，|x0|＋x20＜0 D．x0∈R，|x0|＋x20≥0

(2)(2014·沈阳质量监测)下列命题中，真命题的是()

A．x∈R，x2＞0 B．x∈R，－1＜sin x＜1

C．x0∈R,2x0＜0 D．x0∈R，tan x0＝2

解析(1)全称命题的否定是特称命题，即命题“x∈R，|x|＋x2≥0”的否定为“x0∈R，|x0|＋x20＜0”．故选C.(2)x∈R，x2≥0，故A错；x∈R，－1≤sin x≤1，故B错；x∈R,2x＞0，故C错，故选D.

答案(1)C(2)D

规律方法(1)对全(特)称命题进行否定的方法有：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定．(2)判定全称命题“x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每个元素x，证明p(x)成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x ＝x0，使p(x0)成立．

【训练2】命题“存在实数x，使x＞1”的否定是()

A．对任意实数x，都有x＞1

B ．不存在实数x ，使x ≤1

C ．对任意实数x ，都有x ≤1

D ．存在实数x ，使x ≤1

解析 “存在实数x ，使x ＞1”的否定是“对任意实数x ，都有x ≤1”．故选C. 答案 C

考点三 与逻辑联结词、全(特)称命题有关的参数问题

【例3】 已知p ：x ∈R ，mx 2＋1≤0，q ：x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围是( )

A ．[2，＋∞)

B ．(－∞，－2]

C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)

D ．[－2,2]

解析 依题意知，p ，q 均为假命题．当p 是假命题时，mx 2＋1＞0恒成立，则有m ≥0；当q 是假命题时，则有Δ＝m 2－4≥0，m ≤－2或m ≥2.因此由p ，q 均为假命题得???

m ≥0，

m ≤－2或m ≥2，

即m ≥2.

答案 A

规律方法 以命题真假为依据求参数的取值范围时，首先要对两个简单命题进行化简，然后依据“p ∨q ”“p ∧q ”“p ”形式命题的真假，列出含有参数的不等式(组)求解即可．

【训练3】 已知命题p ：“x ∈[0,1]，a ≥e x ”；命题q ：“x ∈R ，使得x 2＋4x ＋a ＝0”．若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是________．

解析 若命题“p ∧q ”是真命题，那么命题p ，q 都是真命题．由x ∈[0,1]，a ≥e x ，得a ≥e ；由x ∈R ，使x 2＋4x ＋a ＝0，知Δ＝16－4a ≥0，a ≤4，因此e≤a ≤4.

答案 [e,4] 微型专题

利用逻辑关系判断命题真假

2014年高考试题新课标全国Ⅰ卷中考查了一道实际问题的逻辑推理题，这也是今后高考命题的新趋向，大家应加以重视，解决问题的关键是弄清实际问题的含义，结合数学的逻辑关系进行转化．

【例4 (1)(2014·新课标全国Ⅰ卷)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时，

甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；

乙说：我没去过C城市；

丙说：我们三人去过同一城市．

由此可判断乙去过的城市为________．

(2)对于中国足球参与的某次大型赛事，有三名观众对结果作如下猜测：

甲：中国非第一名，也非第二名；

乙：中国非第一名，而是第三名；

丙：中国非第三名，而是第一名．

竞赛结束后发现，一人全猜对，一人猜对一半，一人全猜错，则中国足球队得了第________名．

点拨找出符合命题的形式，根据逻辑分析去判断真假．

解析(1)由题意可推断：甲没去过B城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A，C城市，而乙“没去过C城市”，说明乙去过城市A，由此可知，乙去过的城市为A.

(2)由上可知：甲、乙、丙均为“p且q”形式，所以猜对一半者也说了错误“命题”，即只有一个为真，所以可知丙是真命题，因此中国足球队得了第一名．答案(1)A(2)一

点评在一些逻辑问题中，当字面上并未出现“或”“且”“非”字样时，应从语句的陈述中搞清含义，并根据题目进行逻辑分析，找出各个命题之间的内在联系，从而解决问题.

[思想方法]

1．把握含逻辑联结词的命题的形式，特别是字面上未出现“或”、“且”、“非”字眼，要结合语句的含义理解．

2．含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p与p→真假相反．

3．要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是特称命题，对照否定结构去写，否定的规律是“改量词，否结论”．

[易错防范]

1．命题的否定与否命题

“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论．

2．命题的否定包括：(1)对“若p，则q”形式命题的否定；(2)对含有逻辑联结词命题的否定；(3)对全称命题和特称命题的否定，要特别注意下表中常见词语的否定.

词语词语的否定

等于不等于

大于不大于(或小于等于)

小于不小于(或大于等于)

是不是

一定是不一定是

都是不都是(至少有一个不是)

必有一个一个也没有

任意的某一个

且或

或且

至多有一个至少有两个

基础巩固题组

(建议用时：30分钟)

一、选择题

1．(2014·湖北卷)命题“x∈R，x2≠x”的否定是()

A．x R，x2≠x B．x∈R，x2＝x C．x R，x2≠x D．x∈R，x2＝x 解析原命题的否定为“x∈R，x2＝x”．

答案D

2．(2014·天津卷)已知命题p：x＞0，总有(x＋1)e x＞1，则p为()

A．x0≤0，使得(x0＋1)e x0≤1

B．x0＞0，使得(x0＋1)e x0≤1

C．x＞0，总有(x＋1)e x≤1

D．x≤0，总有(x＋1)e x≤1

解析命题p为全称命题，所以p：x0＞0，使得(x0＋1)e x0≤1.

答案B

3．(2015·海淀区模拟)已知命题p：x∈R，x2＋x－1＜0，则p为()

A．x∈R，x2＋x－1＞0 B．x∈R，x2＋x－1≥0

C．x R，x2＋x－1≥0D．x R，x2＋x－1＞0

解析含有存在量词的命题的否定，需将存在量词改为全称量词，并将结论否定，即p：x∈R，x2＋x－1≥0.

答案B

4．已知命题p：所有有理数都是实数；命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是()

A．p∨q B．p∧q

C．p∧q D．p∨q

解析不难判断命题p为真命题，命题q为假命题，从而上面叙述中只有p ∨q为真命题．

答案D

5．(2014·湖北七市(州)联考)已知命题p：x∈R，cos x＝5

4；命题q：x∈R，x2

－x＋1＞0，则下列结论正确的是()

A．命题p∨q是假命题

B．命题p∧q是真命题

C．命题(p)∧(q)是真命题

D．命题(p)∨(q)是真命题

解析易判断p为假命题，q为真命题，从而只有选项D正确．答案D

6．下列命题中的假命题是( ) A ．x 0∈R ，lg x 0＝0 B ．x 0∈R ，tan x 0

＝3

C ．x ∈R ，x 3＞0

D ．x ∈R,2x ＞0 解析 当x ＝1时，lg x ＝0，故命题“x 0∈R ，lg x 0＝0”是真命题；当x ＝π

3时，tan x ＝3，故命题“x 0∈R ，tan x 0＝3”是真命题；由于x ＝－1时，x 3＜0，故命题“x ∈R ，x 3＞0”是假命题；根据指数函数的性质，对x ∈R,2x ＞0，故命题“x ∈R,2x ＞0”是真命题．

答案 C

7．设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π

2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π

2对称．则下列判断正确的是( )

A ．p 为真

B ．q 为假

C ．p ∧q 为假

D ．p ∨q 为真

解析 p 是假命题，q 是假命题，因此只有C 正确． 答案 C

8．(2015·武汉调研测试)已知命题p ：φ∈R ，使f (x )＝sin(x ＋φ)为偶函数；命题q ：x ∈R ，cos 2x ＋4sin x －3＜0，则下列命题中为真命题的是( )

A ．p ∧q

B ．(p )∨q

C ．p ∨(q )

D ．(p )∧(q ) 解析 利用排除法求解．φ＝π2，使f (x )＝sin(x ＋φ)＝sin ? ????

x ＋π2＝cos x 是偶函

数，所以p 是真命题，p 是假命题；x ＝π

2，使cos 2x ＋4sin x －3＝－1＋4－3＝0，所以q 是假命题，q 是真命题．所以p ∧q ，(p )∨q ，(p )∧(q )都是假命题，排除A ，B ，D ，p ∨(q )是真命题，故选C.

答案 C 二、填空题

9．(2014·合肥质量检测)命题p ：x ≥0，都有x 3－1≥0，则p 是________．

答案 x 0≥0，有x 30－1＜0.

10．命题“x 0∈? ?

???0，π2，tan x 0＞sin x 0”的否定是________．

答案 x ∈? ??

??0，π2，tan x ≤sin x 11．若命题p ：关于x 的不等式ax ＋b ＞0的解集是{x |x ＞－b

a }，命题q ：关于x 的不等式(x －a )(x －

b )＜0的解集是{x |a ＜x ＜b }，则在命题“p ∧q ”、“p ∨q ”、“p ”、“q ”中，是真命题的有________．

解析 依题意可知命题p 和q 都是假命题，所以“p ∧q ”为假、“p ∨q ”为假、“p ”为真、“q ”为真．

答案 p 、q 12．下列结论：

①若命题p ：x ∈R ，tan x ＝1；命题q ：x ∈R ，x 2－x ＋1＞0.则命题“p ∧q ”是假命题；

②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是a

b ＝－3；

③命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题：若“x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”．其中正确结论的序号为________．

解析 ①中命题p 为真命题，命题q 为真命题， 所以p ∧q 为假命题，故①正确； ②当b ＝a ＝0时，有l 1⊥l 2，故②不正确； ③正确．所以正确结论的序号为①③. 答案 ①③

能力提升题组

(建议用时：15分钟)

13．(2014·衡水中学调研)给定命题p ：函数y ＝ln[(1－x )(1＋x )]为偶函数；命题q ：函数y ＝e x －1e x ＋1

为偶函数．下列说法正确的是( )

A ．p ∨q 是假命题

B ．(p )∧q 是假命

题

C ．p ∧q 是真命题

D ．(p )∨q 是真命

题

解析 对于命题p ：令y ＝f (x )＝ln[(1－x )(1＋x )]，由(1－x )(1＋x )＞0，得－1＜x ＜1，∴函数f (x )的定义域为(－1,1)，关于原点对称，又∵f (－x )＝ln[(1＋x )(1－x )]＝f (x )，∴函数f (x )为偶函数，∴命题p 为真命题；对于命题q ：令y ＝f (x )＝e x －1e x ＋1，函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称，f (－x )＝e －x －1e －x ＋1＝1e x －1

1e x ＋1＝1－e x 1＋e x

＝－f (x )，

∴函数f (x )为奇函数，∴命题q 为假命题，∴(p )∧q 是假命题，故选B. 答案 B

14．(2014·湖南五市十校联考)下列命题中是假命题的是( ) A ．α ，β∈R ，使sin(α＋β)＝sin α＋sin β B ．φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数

C ．m ∈R ，使f (x )＝(m －1)·xm 2－4m ＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减

D ．a ＞0，函数f (x )＝ln 2 x ＋ln x －a 有零点

解析 对于A ，当α＝0时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立；对于B ，当φ＝π2时，f (x )＝sin(2x ＋φ)＝cos 2x 为偶函数；对于C ，当m ＝2时，f (x )＝(m －1)·xm 2－4m ＋3＝x －1

＝1

x ，满足条件；对于D ，令ln x ＝t ，a ＞0，对于方程t 2＋t －a ＝0，Δ

＝1－4(－a )＞0，方程恒有解，故满足条件．综上可知，选B.

答案 B

15．(2014·北京海淀区测试)若命题“x 0∈R ，使得x 20＋mx 0＋2m －3＜0”为假命题，则实数m 的取值范围是________．

解析 由已知得“x ∈R ，x 2＋mx ＋2m －3≥0”为真命题，则Δ＝m 2－4×1×(2m －3)＝m 2－8m ＋12≤0，解得2≤m ≤6，即实数m 的取值范围是2≤m ≤6.

答案 [2,6]

16．已知命题p ：“x ∈R ，m ∈R,4x －2x ＋1＋m ＝0”，若命题p 是假命题，则实数m 的取值范围是__________．

解析 若p 是假命题，则p 是真命题， 即关于x 的方程4x －2·2x ＋m ＝0有实数解， 由于m ＝－(4x －2·2x )＝－(2x －1)2＋1≤1， ∴m ≤1. 答案 (－∞，1]

17．已知c ＞0，设命题p ：函数

y ＝c x 为减函数．命题

q ：当x ∈????

??

12，2时，

函数f (x )＝x ＋1x ＞1

c 恒成立．如果“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，则c 的取值范围是________．

解析 由命题p 为真知，0＜c ＜1， 由命题q 为真知，2≤x ＋1x ≤5

2， 要使此式恒成立，需1c ＜2，即c ＞1

2， 若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题， 则p ，q 中必有一真一假，

当p 真q 假时，c 的取值范围是0＜c ≤1

2； 当p 假q 真时，c 的取值范围是c ≥1.

综上可知，c 的取值范围是? ?

???0，12∪[1，＋∞)．

答案 ? ?

?

??0，12∪[1，＋∞)