2020年中考数学压轴题解析汇编(含解析)

2020年中考数学压轴题解析汇编（含解析）

1．〔2018广州〕〔14分〕如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =AD =DC =2cm ，BC =4cm ，在等腰△PQR 中，∠QPR =120°，底边QR =6cm ，点B 、C 、Q 、R 在同一直线l 上，且C 、Q 两点重合，假如等腰△PQR 以1cm /秒的速度沿直线l 箭头所示方向匀速运动，t 秒时梯形ABCD 与等腰△PQR 重合部分的面积记为S 平方厘米。 〔1〕当t =4时，求S 的值。

〔2〕当4t ≤≤10，求S 与t 的函数关系式，并求出S 的最大值。

2．〔佳木斯市〕〔本小题总分值10分〕

如图，在平面直角坐标系中，点(30)C -，，点A B ，分不在x 轴，y 轴的正半轴上，且2

310OB OA --=．

〔1〕求点A ，点B 的坐标． 〔2〕假设点P 从C 点动身，以每秒1个单位的速度沿射线CB 运动，连结AP ．设ABP △的面积为S ，点P 的运动时刻为t 秒，求S 与t 的函数关系式，并写出自变量的取值范畴．

〔3〕在〔2〕的条件下，是否存在点P ，使以点A B P ，，为顶点的三角形与AOB △相似？假设存在，请直截了当写出点P 的坐标；假设不存在，请讲明理由．

y

x

A

O

C B

3．〔湖北黄岗罗田．本小题14分〕如图，?ABC 中，AB ＝a ，点D 在AB 边上移动〔点D 不与A 、B 重合〕，DE //BC ，交AC 于E ，连结CD ．设S S S S ABC DEC ??==，1． 〔1〕当D 为AB 中点时，求S S 1：的值；

〔2〕假设AD x S S

y ==，1

，求y 关于x 的函数关系式及自变量x 的取值范畴； 〔3〕是否存在点D ，使得S S 11

4

>成立？假设存在，求出D 点位置；假设不存在，请

讲明理由．

4．〔辽宁省十二市〕〔此题14分〕如图，在平面直角坐标系中，直线33y x =x

轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线2

23

(0)y ax c a =+≠通过A B C ，，三点．

〔1〕求过A B C ，，三点抛物线的解析式并求出顶点F 的坐标；

〔2〕在抛物线上是否存在点P ，使ABP △为直角三角形，假设存在，直截了当写出P 点坐标；假设不存在，请讲明理由；

〔3〕试探究在直线AC 上是否存在一点M ，使得MBF △的周长最小，假设存在，求出M 点的坐标；假设不存在，请讲明理由．

A O y

B

F

C

5．〔南通市 28题14分〕双曲线k y x =

与直线1

4y x =相交于A 、B 两点．第一象限上的点M 〔m ，n 〕〔在A 点左侧〕是双曲线k

y x

=

上的动点．过点B 作BD ∥y 轴交x 轴于点D ．过N 〔0，－n 〕作NC ∥x 轴交双曲线k

y x

=

于点E ，交BD 于点C ． 〔1〕假设点D 坐标是〔－8，0〕，求A 、B 两点坐标及k 的值．

〔2〕假设B 是CD 的中点，四边形OBCE 的面积为4，求直线CM 的解析式．

〔3〕设直线AM 、BM 分不与y 轴相交于P 、Q 两点，且MA =pMP ，MB =qMQ ，求p －q 的值．

6．〔庆阳市．2分〕一条抛物线2

y x mx n =++通过点()03，与()43，． 〔1〕求这条抛物线的解析式，并写出它的顶点坐标； 〔2〕现有一半径为1、圆心P 在抛物线上运动的动圆，当

P 与坐标轴相切时，求圆心

P 的坐标；

〔3〕P 能与两坐标轴都相切吗？假如不能，试通过上下平移抛物线2

y x mx n =++使

P 与两坐标轴都相切〔要讲明平移方法〕．

7．〔上海市．题总分值14分〕正方形ABCD 的边长为2，E 是射线CD 上的动点〔不与点

D 重合〕，直线A

E 交直线BC

于点G ，∠BAE 的平分线交射线BC 于点O ．

〔1〕如图，当CE ＝

3

2

时，求线段BG 的长；

〔2〕当点O 在线段BC 上时，设

x ED

CE

=，BO ＝y ，求y 关于x 的函数解析式； 〔3〕当CE ＝2ED 时，求线段BO 的长．

8．〔烟台市．题总分值14分〕如图，抛物线2

1:23L y x x =--+交x 轴于A 、B 两点，交

y 轴于M 点．抛物线1L 向右平移2个单位后得到抛物线2L ，2L 交x 轴于C 、D 两点． 〔1〕求抛物线2L 对应的函数表达式；

〔2〕抛物线1L 或2L 在x 轴上方的部分是否存在点N ，使以A ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形．假设存在，求出点N 的坐标；假设不存在，请讲明理由；

〔3〕假设点P 是抛物线1L 上的一个动点〔P 不与点A 、B 重合〕，那么点P 关于原点的对称点Q 是否在抛物线2L 上，请讲明理由．

A D B

G E

C

O

A B

C

D

9．〔荷泽市．题总分值12分〕在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，M 是AB 上的动点〔不与A ，B 重合〕，过M 点作MN ∥BC 交AC 于点N ．以MN 为直径作⊙O ，并在⊙O

内作内接矩形AMPN ．令AM ＝x ．

〔1〕用含x 的代数式表示△ＭNP 的面积S ； 〔2〕当x 为何值时，⊙O 与直线BC 相切？

〔3〕在动点M 的运动过程中，记△ＭNP 与梯形BCNM 重合的面积为y ，试求y 关于x 的函数表达式，并求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？

10．〔本小题总分值14分〕如图，现有两块全等的直角三角形纸板Ⅰ，Ⅱ，它们两直角边

的长分不为

1和2．将它们分不放置于平面直角坐标系中的AOB △，COD △处，直角边OB OD ，在x 轴上．一直尺从上方紧靠两纸板放置，让纸板Ⅰ沿直尺边缘平行移动．当纸板Ⅰ移动至PEF △处时，设PE PF ，与OC 分不交于点M N ，，与x 轴分不交于点G H ，．

〔1〕求直线AC 所对应的函数关系式；

〔2〕当点P 是线段AC 〔端点除外〕上的动点时，试探究：

①点M 到x 轴的距离h 与线段BH 的长是否总相等？请讲明理由；

②两块纸板重叠部分〔图中的阴影部分〕的面积S 是否存在最大值？假设存在，求出那个最大值及S 取最大值时点P

B

D

图 2

B 图 1

P

图 3

11．〔08江苏连云港〕〔本小题总分值12分〕

我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．例如线段AB 的最小覆盖圆确实是以线段AB 为直径的圆．

〔1〕请分不作出图1中两个三角形的最小覆盖圆〔要求用尺规作图，保留作图痕迹，不

写作法〕；

〔2〕探究三角形的最小覆盖圆有何规律？请写出你所得到的结论〔不要求证明〕； 〔3〕某地有四个村庄E F G H ，，，〔其位置如图2所示〕，现拟建一个电视信号中转站，为了使这四个村庄的居民都能接收到电视信号，且使中转站所需发射功率最小〔距

12．〔08江苏南京〕〔10分〕一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车

同时动身，设慢车行驶的时刻为(h)x ，两车之间的距离．．．．．．．为(km)y ，图中的折线表示y 与x 之间的函数关系．

依照图象进行以下探究： 信息读取

〔1〕甲、乙两地之间的距离为 k m ； 〔2〕请讲明图中点B 的实际意义； 图象明白得

〔3〕求慢车和快车的速度；

〔4〕求线段BC 所表示的y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范畴； 咨询题解决

〔5〕假设第二列快车也从甲地动身驶往乙地，速度与第一列快车相同．在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇．求第二列快车比第一列快车晚动身多少小时？

13．〔08江苏宿迁〕〔此题总分值12分〕

A A B

B

C

C

80

100

〔图1〕

32.4 49.8

E F

53.8 44.0 47.1 35.1 47.8 50.0 图2 y /k

如图，⊙O 的半径为1，正方形ABCD 顶点B 坐标为)0,5(，顶点D 在⊙O 上运动． (1)当点D 运动到与点A 、O 在同一条直线上时,试证明直线CD 与⊙O 相切； (2)当直线CD 与⊙O 相切时，求CD 所在直线对应的函数关系式；

(3)设点D 的横坐标为x ，正方形ABCD 的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系式，并求出S 的最大值与最小值．

14．〔08江苏泰州〕二次函数)0(2

1≠++=a c bx ax y 的图象通过三点〔1，0〕，〔-3，0〕，

〔0，2

3

-

〕。 〔1〕求二次函数的解析式，并在给定的直角坐标系中作出那个函数的图像；〔5分〕 〔2〕假设反比例函数)0(2

2>=

x x

y 图像与二次函数)0(21≠++=a c bx ax y 的图像在第一象限内交于点A 〔x 0,y 0〕, x 0落在两个相邻的正整数之间。请你观看图像，写出这两个相邻的正整数；〔4分〕 〔3〕假设反比例函数)0,0(2>>=

x k x

k

y 的图像与二次函数)0(21≠++=a c bx ax y 的图像在第一象限内的交点为A ，点A 的横坐标为0x 满足

2<0x <3，试求实数k 的取值范畴。〔5分〕

15．〔08江苏无锡〕〔本小题总分值10分〕

如图，点A 从(10)，动身，以1个单位长度/秒的速度沿x 轴向正方向运动，以O A ， 为顶点作菱形OABC ，使点B C ，在第一象限内，且60AOC ∠=；以(03)P ，为圆心，

PC 为半径作圆．设点A 运动了t 秒，求： 〔1〕点C 的坐标〔用含t 的代数式表示〕；

〔2〕当点A 在运动过程中，所有使P 与菱形OABC 的边所在直线相切的t 的值．

16．〔08江苏无锡〕〔本小题总分值8分〕

一种电讯信号转发装置的发射直径为31k m ．现要求：在一边长为30k m 的正方形城区选择假设干个安装饰，每个点安装一个这种转发装置，使这些装置转发的信号能完全覆盖那个都市．咨询：

〔1〕能否找到如此的4个安装饰，使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？

〔2〕至少需要选择多少个安装饰，才能使这些点安装了这种转发装置后达到预设的要求？

答题要求：请你在解答时，画出必要的示意图，并用必要的运算、推理和文字来讲明你的理由．〔下面给出了几个边长为30k m 的正方形城区示意图，供解题时选用〕

图1 图2 图3 图

4

2018年中考数学压轴题汇编〔一〕

1．解析：〔1〕t ＝4时,Q 与B 重合，P 与D 重合，重合部分是BDC ?＝

3

23222

1

=??

2．解：〔1〕

2310OB OA --=

230OB ∴-=，10OA -= ····················································· 〔1分〕 3OB ∴=，1OA =

点A ，点B 分不在x 轴，y 轴的正半轴上

(10)(03)A B ∴，，， ······························································· 〔2分〕

〔2〕求得90ABC ∠= ············································································· 〔3分〕

23(03)3(23)

t t S t t ??? ≤

〔每个解析式各1分，两个取值范畴共1分〕 ················································ 〔6分〕

〔3〕1(3

0)P -，；22133P ?

- ?，；34133P ? ?，；4(323)P ，〔每个1分，计4分〕

注：本卷中所有题目，假设由其它方法得出正确结论，酌情给分． 3．解：〔1〕 DE BC D AB //，为的中点，

2

1

==??∴AC AE AB AD ABC ADE ，∽．

∴==S S AD AB ADE ?()214

S S AE EC ADE ?11=

=， ∴41

1=S S ． 〔2〕 ∵ AD ＝x ，y S

S ＝1，∴ x x

a AD DB AE EC S S ADE -＝＝＝△1． 又∵ 22

2

a

x AB AD S S ADE ＝＝△??? ??，

∴ S △ADE ＝22a x ·S ∴ S 1＝??? ??-x x a 22

a

x

S ∴ 221a ax x S S +-=， 即y ＝－x a

21＋x a 1

自变量x 的取值范畴是：0＜x ＜a ．

〔3〕不存在点D ，使得S S 114>成立． 理由：假设存在点D ，使得S S 11

4

>成立，那

么S S y 11414>>，即． ∴－21a

x 2＋a 1x ＞41

，∴〔a 1x －21〕2＜0 ∵〔a 1x －21〕2≥ ∴x 不存在，

即不存在点D ，使得S S 11

4

>成立．

4．解：〔1〕

直线y =-x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ．

(10)A ∴-，

，(0C ， ·················································································· 1分

点A C ，都在抛物线上，

0a c c ?=++?∴??=?

a c ?=

?∴??=? ∴

抛物线的解析式为233

y x x =

-- ······················································ 3分 ∴

顶点13F ??

- ? ???

， ······················································································· 4分

〔2〕存在 ····································································································· 5分

1(0

P ··································································································· 7分

2(2P

··································································································· 9分

理由： 解法一：

延长BC 到点B '，使B C BC '=，连接B F '交直线AC 于点M ，那么点M 确实是所求的点．

·············································································· 11分 过点B '作B H AB '⊥于点H ．

B

点在抛物线2y x x =

(30)B ∴， 在Rt BOC △

中，tan 3

OBC ∠=，

30OBC ∴∠=

，BC =

在Rt BB H '△

中，1

2

B H BB ''=

=

6BH H '==，3OH ∴=

，(3B '∴--， ············································· 12分

设直线B F '的解析式为y kx b =+

33k b k b ?-=-+?∴?-=+??

解得2k b ?=????=-??

62

y x ∴=

- ······················································································· 13分

62y y x ?=?∴?=-??

解得37x y ?=????=??

377M ?∴- ??， ∴在直线AC 上存在点M ，使得MBF △

的周长最小，现在37M ?- ??

，． ······· 14分

解法二：

过点F 作AC 的垂线交y 轴于点H ，那么点H 为点F 关于直线AC 的对称点．连接BH 交AC 于点M ，那么点M 即为所求． ·

···························· 11分 过点F 作FG y ⊥轴于点G ，那么OB FG ∥，BC FH ∥．

90BOC FGH ∴∠=∠=，BCO FHG ∠=∠

x

图9

x

HFG CBO ∴∠=∠

同方法一可求得(30)B ，．

在Rt BOC △

中，tan 3OBC ∠=

，30OBC ∴∠=

，可求得3

GH GC ==， GF ∴为线段CH 的垂直平分线，可证得CFH △为等边三角形，

AC ∴垂直平分FH ．

即点H 为点F 关于AC

的对称点．03H ?

∴- ??

， ··········································· 12分 设直线BH 的解析式为y kx b =+，由题意得

03k b b =+???

=??

解得k b ?

=????=??

y ∴=

······················································································ 13分

y y ?=-?∴??=-?

解得37x y ?=????=??

37M ?∴ ??， ∴ 在直线AC 上存在点M ，使得MBF △

的周长最小，现在377M ?-

??

，

． 14分

5．解：〔1〕∵D 〔－8，0〕，∴B 点的横坐标为－8，代入1

4

y x =

中，得y =－2． ∴B 点坐标为〔－8，－2〕．而A 、B 两点关于原点对称，∴A 〔8，2〕． 从而

8216k =?=．……………………………………………………………………3分

〔2〕∵N 〔0，－n 〕，B 是CD 的中点，A 、B 、M 、E 四点均在双曲线上，

∴mn k =，B 〔－2m ，－2

n

〕，C 〔－2m ，－n 〕，E 〔－m ，－n 〕． ……………4分

S 矩形DCNO 22mn k ==，S △DBO =1122mn k =，S △OEN =11

22mn k =， (7)

分

∴S 四边形OBCE = S 矩形DCNO －S △DBO － S △OEN =k ．∴4k =． …………………………8分

由直线14y x =

及双曲线4

y x

=，得A 〔4，1〕，B 〔－4，－1〕， ∴C 〔－4，－2〕，M 〔2，2〕．………………………………………………………

9分

设直线CM 的解析式是y ax b =+，由C 、M 两点在这条直线上，得 42,2 2.

a b a b -+=-??

+=? 解得23a b ==． ∴直线CM 的解析式是22

33

y x =

+．

………………………………………………11分

〔3〕如图，分不作AA 1⊥x 轴，MM 1⊥x 轴，垂足分不为A 1、M 1． 设A 点的横坐标为a ，那么B 点的横坐标为－a ．因此 111A M MA a m

p MP M O m

-=

==

． 同理MB m a

q MQ m

+=

=

，……………………………13分 ∴2a m m a

p q m m

-+-=-=-．……………………14分

6． 本小题总分值12分

〔1〕∵ 抛物线过()()04，3，，3两点，

〔第28题〕

∴ 2

3443n m n =??

++=?，

．

········································································· 1分

解得43m n =-??

=?，

．

··············································································· 2分

∴ 抛物线的解析式是2

43y x x =-+，顶点坐标为()21-，． ························· 3分 〔2〕设点P 的坐标为00()x y ，， 当

P 与y 轴相切时，有0||1x =，∴01x =±． ·

······································ 5分 由01x =，得2

01430y =-+=；

由01x =-，得2

0(1)4(1)38y =---+=．

现在，点P 的坐标为()()121018P P -，，，． ······································· 6分 当

P 与x 轴相切时，有0||1y =，∴ 01y =±． ·

································ 7分 由01y =，得2

00431x x -+=

，解得02x =； 由01y =-，得2

00431x x -+=-，解得02x =．

现在，点P

的坐标为34(2(2P P ，，5(21)P ，-． ·················· 9分 综上所述，圆心P 的坐标为：()()121018P P -，，，

，34(2(2P P ，，5(21)P ，-．

注：不写最后一步不扣分．

〔3〕 由〔2〕知，不能． ····························································· 10分 设抛物线2

43y x x =-+上下平移后的解析式为2

(2)1y x h =--+, 假设

P 能与两坐标轴都相切，那么0||x =0||1y =,

即x 0=y 0=1；或x 0=y 0=-1；或x 0=1，y 0=-1；或x 0=-1，y 0=1． ····················· 11分 取x 0=y 0=1，代入2

(2)1y x h =--+，得h=1． ∴ 只需将2

43y x x =-+向上平移1个单位，就可使

P 与两坐标轴都相切．

·································································································· 12分 讲明：关于以上各解答题学生试卷中显现的不同解法，请参考本标准给分． 7．解：〔1〕在边长为2的正方形ABCD 中，32=

CE ，得3

4

=DE ， 又∵//AD BC ，即//AD CG ，∴

1

2

CG CE AD DE ==，得1CG =－－〔2分〕 ∵2BC =，∴3BG =－－〔1分〕

〔2〕当点O 在线段BC 上时，过点O 作AG OF ⊥，垂足为点F ，

∵AO 为BAE ∠的角平分线，

90=∠ABO ，∴y BO OF ==－－〔１分〕

在正方形ABCD 中，BC AD //，∴CG CE

x AD ED

==．

∵2=AD ，∴x CG 2=－－〔１分〕又∵CE

x ED =，2CE ED +=，得x

x CE +=

12－－〔１分〕

∵在Rt △ABG 中，2AB =，22BG x =+，90B ∠=，∴2222AG x x =++． ∵2AF AB ==，∴22222FG AG AF x x =-=++-－－〔１分〕

∵OF AB FG BG =，即AB

y FG BG =?，得122222+-++=x x x y ，)0(≥x ；〔2分〕〔1分〕

〔3〕当ED CE 2=时，

①当点O 在线段BC 上时，即2=x ，由〔2〕得3

2

102-==y OB ；－－〔1分〕 ②当点O 在线段BC 延长线上时，

4CE =，2==DC ED ，在 Rt △ADE 中，22=AE ．

设AO 交线段DC 于点H ，∵AO 是BAE ∠的平分线，即HAE BAH ∠=∠， 又∵CD AB //，∴AHE BAH ∠=∠．∴AHE HAE ∠=∠． ∴22==AE EH ．∴224-=CH －－〔1分〕 ∵CD AB //，∴BO

CO

AB CH =

，即BO BO 22224-=-，得222+=BO ． 〔2分〕 8．

9．〔此题总分值12分〕

解：〔1〕∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B，∠AN M＝∠C．

∴△AMN ∽△ABC．

∴，即

．

∴AN＝x．……………2分

∴

=

．〔0＜

＜4〕………………3分

〔2〕如图2，设直线BC与⊙O相切于点D，连结AO，OD，那么AO=OD =MN．

在Rt△ABC中，BC ＝=5．

由〔1〕知△AMN ∽△ABC．

∴，即

．

∴，

∴．…………………5分

过M点作MQ⊥BC于Q，那么．在Rt△BM Q与Rt△BCA中，∠B是公共角，

∴△BMQ∽△BCA．

∴．