多面体欧拉定理的发现
多面体欧拉定理的发现
本论文主要讲述多面体欧拉定理的发现，证明与完善，及其拓展应用
前言
多面体欧拉定理是著名瑞士数学家莱昂哈德·欧拉所提出的.欧拉,出生在瑞士的巴塞尔（Basel）城,13岁就进巴塞尔大学读书,得到当时最有名的数学家约翰·伯努利（Johann Bernoulli,1667-1748年）的精心指导．有许多关于欧拉的传说。比如，欧拉心算微积分就像呼吸一样简单。有一次他的两个学生把一个复杂的收敛级数的17项加起来，算到第50位数字，两人相差一个单位，欧拉为了确定究竟谁对，用心算进行全部运算，最后把错误找了出来。欧拉创作文章的速度极快，通常上一本书还没有印刷完，新的手稿就写好了，导致他的写作顺序与出版顺序常常相反，让读者们很郁闷。而且，收集这些数量庞大的手稿也是一件困难的事情。瑞士自然科学会计划出一部欧拉全集，这本全集编了将近100年，终于在上个世纪90年代基本完成，没想到圣彼得堡突然又发掘出一批他的手稿，使得这本全集至今仍未完成。欧拉在数学上的建树很多,对著名的哥尼斯堡七桥问题的解答开创了图论的研究.欧拉还发现,不论什么形状的凸多面体,其顶点数V、棱数E、面数F之间总有V-E+ F=2这个关系.V-E F 被称为欧拉示性数,成为拓扑学的基础概念.以欧拉的名字命名的数学公式、定理等在数学书籍中随处可见, 与此同时,他还在物理、天文、建筑以至音乐、哲学方面取得了辉煌的成就.欧拉还创设了许多数学符号,例如π（1736年）,i（1777年）,e （1748年）,sin和cos（1748年）,tg（1753年）,△x（1755年）,∑（1755年）,f(x)（1734年)等.1733年,年仅26岁的欧拉担任了彼得堡科学院数学教授．1735年,欧拉解决了一个天文学的难题（计算彗星轨道）,这个问题经几个著名数学家几个月的努力才得到解决,而欧拉却用自己发明的方法,三天便完成了．然而过度的工作使他得了眼病,并且不幸
右眼失明了,这时他才28岁．据说是因为操劳过度，也有一说是因为观察太阳所致.尽管如此他仍然靠心算完成了大量论文。
正文
多面体欧拉公式的背后是一门新的几何学,这种新的几何学只研究图形各部分位置的相对次序,而不考虑图形尺寸大小,这就是由莱布尼兹和欧拉共同奠基的“橡皮膜上的几何学”（位置几何学）,如今这门学科已经发展成数学的一个重要的分支——拓扑学.有关凸多面体最有趣的定理之一是欧拉公式“V-E+F=2(式中V表示多面体的顶点数，E表示棱数，F表示面数)”,其实大约在1635年笛卡尔就早已发现了它.欧拉在1750年独立地发现了这个公式,并于1752年发表了它.由于笛卡尔的研究到1860年才被人们发现,所以这个定理就称为欧拉公式而不是笛卡尔公式.
下面给出对该定理的证明.
方法一【拓扑法（1）】
对于任意多面体（即各面都是平面多边形并且没有洞的立体），假设F，E和V 分别表示面，棱（或边），角（或顶）的个数，那么
F-E+V=2。试一下用拓朴学方法证明关于多面体的面、棱、顶点数的欧拉公式。
证明：
（1）把多面体（图中①）看成表面是薄橡皮的中空立体。
（2）去掉多面体的一个面，就可以完全拉开铺在平面上而得到一个平面中的直线形，像图中②的样子。假设F′，E′和V′分别表示这个平面图形的（简单）多边形、边和顶点的个数，我们只须证明F′-E′+V′=1。
（3）对于这个平面图形，进行三角形分割，也就是说，对于还不是三角形的多边形陆续引进对角线，一直到成为一些三角形为止，像图中③的样子。每引进一条对角线，F′和E′各增加1，而V′却不变，所以F′-E′+V′不变。因此当完全分割成三角形的时候，F′-E′+V′的值仍然没有变。有些三角形有一边或两边在平面图形的边界上。
（4）如果某一个三角形有一边在边界上，例如图④中的△ABC，去掉这个三角形的不属于其他三角形的边，即AC，这样也就去掉了△ABC。这样F′和E′各减去1而V′不变，所以F′-E′+V′也没有变。
（5）如果某一个三角形有二边在边界上，例如图⑤中的△DEF，去掉这个三角形的不属于其他三角形的边，即DF和EF，这样就去掉△DEF。这样F′减去1，E′减去2，V′减去1，因此F′-E′+V′仍没有变。
（6）这样继续进行，直到只剩下一个三角形为止，像图中⑥的样子。这时F′=1，E′=3，V′=3，因此F′-E′+V′=1-3+3=1。
（7）因为原来图形是连在一起的，中间引进的各种变化也不破坏这事实，因此最后图形还是连在一起的，所以最后不会是分散在向外的几个三角形，像图中⑦那样。
（8）如果最后是像图中⑧的样子，我们可以去掉其中的一个三角形，也就是去掉1个三角形，3个边和2个顶点。因此F′-E′+V′仍然没有变。
即F′-E′+V′=1
成立，于是欧拉公式：
F-E+V=2
证毕
方法二【拓扑法（2）】
读者应当验证一下如下事实：欧拉公式对图120的简单多面体成立，而对图121的多面体则不成立.
为了证明欧拉公式，我们想象一个其表面用橡皮薄膜做成的简单空心多面体.这时如果剪掉这个空心多面体的一个面，我们就能把剩下的表面变形、展开、平放到一平面上.当然，这个表面的面积以及多面体棱与棱之间的夹角在这过程中是改变了.但是，在这平面
上由顶点和边形成的网络和原来的多面体包含同样的顶点数和棱数，只是多边形的个数比原来多面体上的多边形少了一个，因为一个面被剪掉了.我们现在将说明，这个平面网络有
V-E+F=1这样，如果加上剪掉的面，则对原来的多面体，结果是V-E+F=2.
首先，我们把这个平面网络按下述方式“分成三角形”：对网络的某个不是三角形的多边形，我们画出它的一条对角线，这样做的效果是使E和F同时增加1，因此保持V-E+F=2的值.我们继续画出连接这些点的对角线（图122），直到图形完全由三角形组成为止——最终必然会如此.在这三角形的网络中，V-E+F=2的值与被分为三角形之前的值一样，因为做对角线的过程中并没有使它改变.这里，有些三角形的边是平面网络的边界.其中有的三角形，例如ABC。只有一条边在边界上，而另一些三角形可以有两条边在边界上.我们取一个边界三角形，去掉不属于其他三角形的那些部分.因此从ABC中我们去掉边AC和面，剩下顶点A, B，C，以及AB和BC两条边；而从DEF中我们去掉两条边DF、FE及顶魚F和面.去掉一个像ABC这种类型的三角形，将使E和F减少1而V不受影响，所以V-E+F保持不变.去掉一个像DEF这种类塑的三角形，将使V减少1，E减少2而F 减少1，所以V-E+F仍然不变. 适当地采取一系列这种作法，我们就能去掉边界上有边的三角形(每次去掉这种三角形，边界都跟着改变），直到最后只剩下一个三角形. 它有三个边、三个顶点和一个面.对这简单的网络有V-E+F=3-3+1=1.但是我们已经看到，不断地消去三角形，不会改变V-E+F的值.所以，原来的平面网络V-E+F也必须等于1，对消去了一
个面的多面体也是等于1.我们得出结论，对完整的多面体有V-E+F=2这就完全证明了欧拉公式
方法三【内角法】
设多面体顶点数V，面数F，棱数E。剪掉一个面，使它变为平面图形（拉开图）,求所有面内角总和Σα.
一方面，在原图中利用各面求内角总和.
设有F个面，各面的边数为n1,n2，…，nF，各面内角总和为：Σα = [(n1-2)·180度+(n2-2)·180度+…+(nF-2) ·180度]=(n1+n2+…+nF -2F) ·180度=(2E-2F) ·180度=(E-F) ·360度（1）
另一方面，在拉开图中利用顶点求内角总和.
设剪去的一个面为n边形，其内角和为(n-2)·180角，则所有V个顶点中，有n个顶点在边上，V-n个顶点在中间.中间V-n个顶点处的内角和为(V-n)·360度，边上的n个顶点处的内角和(n-2)·180度.所以，多面体各面的内角总和：
Σα = (V-n)·360度+(n-2)·180度+(n-2)·180度 =（V-2）·360度（2）
由(1)(2)得： (E-F) ·360度=（V-2）·360度
所以 V+F-E=2.
公式的完善和发展
欧拉公式V+F-E=2有个方便记忆的方法：“加两头减中间”，因为几何最基本的概念是点线面，这个公式是“顶点加面减棱”，V+F-E=X(P)，V是多面体P的顶点个数，F是多面体P的面数，E是多面体P的棱的条数,X(P)是多面体P的欧拉示性数。如果P 可以同胚于一个球面（可以通俗地理解为能吹胀而绷在一个球面上），那么X(P)=2，如果P同胚于一个接有h个环柄的球面，那么X(P)=2-2h。X(P)叫做P的欧拉示性数，是拓扑不变量，就是无论再怎么经过拓扑变形也不会改变的量，是拓扑学研究的范围。但是这时
的欧拉并没有考虑到此公式是否对任何多面体都成立。于是乎，在1813年，瑞士数学家吕利埃发现此公式并不是对任意多面体都成立。他的思路是：将一个正方形中挖去一个小正方形，则V+F-E=4，或者将小立方体上下都挖通，就有V+F-E=0。因此吕利埃发现了适
用于该公式的多面体只能是凸多面体。
从立体图到拉开图，各面的形状、长度、距离、面积等与度量有关的量发生了变化，而顶点数，面数，棱数等不变。定理引导我们进入一个新几何学领域：拓扑学。我们用一种可随意变形但不得撕破或粘连的材料（如橡皮波）做成的图形，拓扑学就是研究图形在这种变形过程中的不变的性质。一个橡皮圈，在它的弹性限度内，任凭我们把它拉长、扭转，只要不把它弄断，那么它永远是一个圈圈。拉长使它的长度改变了，扭转使它的形状改变了，然而在拓扑学上不会理会这些，只是专注在“它永远有一个圈圈”上。直至今日，从拓扑学所衍生出来的知识已和近世代数、分析共同成为数学理论的三大支柱。由此可见多面体欧拉定理对数学的发展有着深远而巨大的影响。因此我们可以用拓扑学的方法来证明多面体欧拉定理。
拓展与应用
在19世纪中叶，几何学开始了一个新的发现，他很快地变成了现代数学中的一个巨大力量这门新的学科称为位置解析或拓扑学.它所研究的是几何图形的这样—些性质，这些性质在图形经过受剧烈的变形，以致所有度量性质和射影性质都失去之后，仍然存在着.
莫比乌斯（A.F.Moebius,1790~1868）是那个时代伟大的几何学家之一，然而，由于他缺乏主见却使他一生中只能在德国的第二流的天文台里当一个不知名的天文学家.他在68岁时向巴黎科学院提交了一篇关于“单侧”曲面的论文，其中包琯了这种新型几何学的一些最惊人的事实.这篇文章在公之于世之前它就像以前其他一些重要贡献一样，在科学
院的文件堆里被埋没了许多年.哥廷根的天文学家李斯庭（J.B.Listing，1808?1882）独立于莫比乌斯作出了类似的发现，而且他接受高斯的建议在1847年出版了一本小书《拓扑学的初步研究》（Vorstudien zur Topologie）.当黎曼（1826~1866）作为一个学生来到哥廷根时，他发现这个大学城对这种新奇的几何思想具有强烈的兴趣.他立刻认识到，这是理解复变量解析函数最深刻的性质的关键,黎曼的函数理论极大地促进了拓扑学后来的发展，而且，在黎曼的理论中，拓扑的概念则是最基本的东西.
最初，这个新领域中的方法之所以新奇就在于，它使数学家无法把他们的结果表示为初等几何的传统公理形式.于是，像庞加莱的一些先驱者不得不依赖于几何直视.甚至今天拓扑学的研究者也会发现，过多地坚持严格的形式表述，容易使他在大量的形式细节中看不到几何内容的本质.尽管如此，把拓扑学纳入严格的数学模式仍然是最近工作的一大功绩，在那里，直观仍然是真理的源泉，而不是检验真理的最终标准.在这个过程中由于布劳威尔（L.E.J.Brouwer）的开创，拓扑学对几乎整个数学的重要性一直在不断地增长着.美国数学家，尤其是韦布林（O.Veblen）,亚历山大（J.W.Alexander）,莱夫切茨（S.Lefschetz）对这门学科作出了重要的贡献.
虽然，拓扑学肯定是近百年来的创造，但是早期已有了一些个别的发现，后来在近代的数学系统发展中找到了他们的位置.其中最重要的便是欧拉公式——典型的拓扑性质的定理.
小结
多面体欧拉定理的发现，无疑是现代几何学发展的奠基石，由其而衍生出来的这门拓扑学已经发展成数学的重要分支；对这个定理的学习也有利于我们提高空间想象能力，等价转化能力等抽象性思维.欧拉对科学的研究广泛，因此在其他科学中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理.因此我们在仰慕、学习前人经验成果的同时，也要尽力提高自身水平素养，为科学做出贡献！
初等数论练习题及答案
初等数论练习题一 一、填空题 1、τ(2420)=27；?(2420)=_880_ 2、设a ，n 是大于1的整数，若a n -1是质数，则a=_2. 3、模9的绝对最小完全剩余系是_{-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4}. 4、同余方程9x+12≡0(mod 37)的解是x ≡11(mod 37)。 5、不定方程18x-23y=100的通解是x=900+23t ，y=700+18t t ∈Z 。. 6、分母是正整数m 的既约真分数的个数为_?(m )_。 7 8、??? ??10365 =-1。 9、若p 是素数，则同余方程x p - 1 ≡1(mod p )的解数为二、计算题 1、解同余方程：3x 2+11x -20≡0 (mod 105)。 解：因105 = 3?5?7， 同余方程3x 2+11x -20≡0 (mod 3)的解为x ≡1 (mod 3)， 同余方程3x 2+11x -38 ≡0 (mod 5)的解为x ≡0，3 (mod 5)， 同余方程3x 2+11x -20≡0 (mod 7)的解为x ≡2，6 (mod 7)， 故原同余方程有4解。 作同余方程组：x ≡b 1 (mod 3)，x ≡b 2 (mod 5)，x ≡b 3 (mod 7)， 其中b 1 = 1，b 2 = 0，3，b 3 = 2，6， 由孙子定理得原同余方程的解为x ≡13，55，58，100 (mod 105)。 2、判断同余方程x 2≡42(mod 107)是否有解？ 11074217 271071107713231071107311072107 710731072107732107422110721721107213)(=∴-=-=-==-=-=-==??≡-?--?-）（）（）（）（），（）（）（）（），（）（））（）（（ ）（解： 故同余方程x 2≡42(mod 107)有解。 3、求（127156+34）28除以111的最小非负余数。
研究性多面体欧拉定理的发现(一)
9.10研究性多面体欧拉定理的发现(一) 教学目的： 1.了解多面体与简单多面体的概念、发现欧拉公式. 2.培养学生发现问题、探究问题、归纳总结能力. 教学重点：欧拉公式的发现过程. 教学难点：欧拉定义及其证明. 授课类型：新授课. 课时安排：3课时. 教具：多媒体、实物投影仪. 内容分析： 本节为研究性课题.通过研究欧拉定理的发现过程，让学生了解欧拉公式及其简单应用，扩大学生的知识面，培养学生学习数学的兴趣. 教学过程： 一、复习引入： 1.欧拉生平事迹简说：欧拉(Euler)，瑞士数学家及自然科学家.1707年4月15日出生于瑞士巴塞尔的一个牧师家庭，自幼受父亲的教育，13岁入读巴塞尔大学15岁大学毕业，16岁获硕士学位，1783年9月18日于俄国彼得堡去逝.（详细资料附后） 2.多面体的概念：由若干个多边形围成的空间图形叫多面体；每个多边形叫多面体的面，两个面的公共边叫多面体的棱，棱和棱的公共点叫多面体的顶点，连结不在同一面上的两个顶点的线段叫多面体的对角线．3．凸多面体：把多面体的任一个面展成平面，如果其余的面都位于这个平面的同一侧，这样的多面体叫凸多面体．如图的多面体则不是凸多面体． 4．凸多面体的分类：多面体至少有四个面，按照它的面数分别叫四面体、五面体、六面体等. 二、讲解新课： 1．简单多面体：考虑一个多面体，例如正六面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么它就会连续（不破裂）变形，最后可变为一个球面.如图：象这样，表面经过连续变形可变为球面的多面体，叫做简单多面体. 说明：棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体都是简单多面体.
⑹ 发现：它们的顶点数V 、面数F 及棱数E 有共同的关 系式：2V F E +-=． 上述关系式对简单多面体都成立. 3.欧拉公式的探究 1．请查出图⑹的顶点数V 、面数F 、和棱数E ，并计算V ＋F －E ＝6+6-10=2 2．查出图⑺中的顶点数V 、面数F 、和棱数E ，并验证上面公式是否还成立？ 3.假如图⑸→图⑻的多面体表面是像皮膜，向内充气则⑸⑹将变成一个球面，图⑺将变成两个紧贴的球面，图⑻将变成一个环面. 可以验证：只有像⑸⑹这样，经过连续变形，表面能变为一个球面的多面体才满足公式V ＋F －E ＝2.这个公式称为欧拉公式，这样的多面体称为简单多面体. 4．欧拉定理（欧拉公式）：简单多面体的顶点数V 、面数F 及棱数E 有关系式： 2V F E +-=． 证明:(方法一 ) (10) D D ⑴如图⑽：将多面体的底面ABC DE 剪掉，抻成平面图形，其顶点、棱数，面数（剪掉面用右图中ABC DE 表示）均没有变，故所有面的内角总和不变. ⑵设左图中共有F 个面，分别是12,,,F n n n 边形，顶点数为V ，棱数为E,则122F n n n E +++=. 左图中，所有面的内角总和为 ?-++?-+?-180)2(180)2(180)2(21F n n n ＝?-+++180)2(21F n n n F ＝?-180)22(F E ()360E F =-? ⑶右图中，所有面的内角总和为 V 360V 2180V 2180()????下下上＋（－）＋（－）剪掉的底面内角和 ＝0V V 2360(2)360V ?=-上上（＋－）
欧拉定理
欧拉定理 认识欧拉 欧拉，瑞士数学家，13岁进巴塞尔大学读书，得到著名数学家贝努利的精心指导．欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家，他从19岁开始发表论文，直到76岁，他那不倦的一生，共写下了886本书籍和论文，其中在世时发表了700多篇论文。彼得堡科学院为了整理他的著作，整整用了47年。欧拉著作惊人的高产并不是偶然的。他那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神，可以使他在任何不良的环境中工作：他常常抱着孩子在膝盖上完成论文。即使在他双目失明后的17年间，也没有停止对数学的研究，口述了好几本书和400余篇的论文。当他写出了计算天王星轨道的计算要领后离开了人世。欧拉永远是我们可敬的老师。欧拉研究论著几乎涉及到所有数学分支，对物理力学、天文学、弹道学、航海学、建筑学、音乐都有研究！有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等是以欧拉名字命名的。欧拉写的数学教材在当时一直被当作标准教程。19世纪伟大的数学家高斯（Gauss，1777-1855）曾说过“研究欧拉的著作永远是了解数学的最好方法”。欧拉还是数学符号发明者，他创设的许多数学符号，例如π，i，e，sin，cos，tg，Σ，f (x)等等，至今沿用。欧拉不仅解决了彗星轨迹的计算问题，还解决了使牛顿头痛的月离问题。对著名的“哥尼斯堡七桥问题”的完美解答开创了“图论”的研究。欧拉发现，不论什么形状的凸多面体，其顶点数V、棱数E、面数F之间总有关系V+F-E=2，此式称为欧拉公式。V+F-E 即欧拉示性数，已成为“拓扑学”的基础概念。那么什么是“拓扑学”？欧拉是如何发现这个关系的？他是用什么方法研究的？今天让我们沿着欧拉的足迹，怀着崇敬的心情和欣赏的态度探索这个公式...... 初等数论中的欧拉定理
初等数论定理
初等数论 1. 整除性质 a) 若a|b，a|c，则a|(b±c)。 b) 若a|b，则对任意c，a|bc。 c) 对任意非零整数a，±1|a，±a|a。 d) 若a|b，b|a，则|a|=|b|。 e) 如果a能被b整除，c是任意整数，那么积ac也能被b整除。 f) 如果a同时被b与c整除，并且b与c互质，那么a一定能被积bc整除，反 过来也成立。 g) 如果a∣b且b∣c，则a∣c。 h) 如果c∣a且c∣b，则c∣ua+vb，其中u，v是整数。 i) 对任意整数a，b，b>0，存在唯一的数对q，r，使a=bq+r，其中0≤r
《假如我是欧拉……多面体欧拉定理的发现》教案及说明
假如我是欧拉…… ——多面体欧拉定理的发现 一、教学目的 1、了解欧拉公式，并体现公式的发现过程。 2、进一步让学生体会多面体的三种基本量：点、线、面是立体几何的主要研究对象； 3、通过体验欧拉公式的发现过程，培养学生自主学习的能力； 4、让学生再次体验几何体的美； 5、在情感上培养学生换位思考方式及理解伟人的坚韧不拔的精神。 二、教学重点 1、体验欧拉公式的发现过程及再次认识组成多面体的基本量：点、线、面； 2、让学生在体验过程中培养学生自主学习的能力。 三、教学难点：学生在发现过程中体验到数学思想和方法。 四、教学过程
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教案设计说明 本节课设计为“研究性学习课题”。以介绍伟人欧拉的生平作为引入，激发学生学习欧拉公式的兴趣；利用换位思考的形式，让学生假设自己是欧拉，通过一系列问题设计：怎样产生问题——怎样研究问题——怎样完善结论——应用，引导学生进行探究，在探究过程中，亲身体验欧拉公式的发现过程；最后对整个过程进行反思，让知识在反思中得到升华。 本节课这样设计的目的是在知识上，让学生了解欧拉公式，体会欧拉公式给出的是等量关系，这个等量关系刻划的是多面体的拓扑不变性，初步了解拓扑学；并在探究的过程中让学生不断体会到欧拉公式给出的是多面体的顶点数、面数、棱数这三者的数量关系，从而进一步让学生明确多面体的三个基本量：点、线、面。 在情感上，本节课以介绍伟人欧拉的生平作为引入，目的在于让学生了解欧拉，体会欧拉坚韧不拔的精神。并且让学生假设自己是欧拉，重走欧拉公式的发现历程，进一步激发学生探究的兴趣，同时培养学生换位思考的方式。 在能力上，采用换位思考的方式，让学生假设自己是欧拉，引导学生进行探究，让学生在每一个问题的探究中获取更多的思想和方法。其中问题一：怎样产生这一想法的解决，让学生通过独立思考、交流讨论和发表见解等形式，领悟到提出问题的重要性，培养学生要问——好问——善问的良好习惯，并从中体会到数学中类比和归纳的思想。通过前面三大问题的设置：怎样产生问题——怎样研究问题——怎样完善结论，让学生体会得出研究问题的方式方法：提出问题——归纳——猜想——论证，并且培养学生严谨的治学态度。最后问题四的解决，使学生对整个过程进行一个回顾，进行反思和总结，老师对学生的反思总结进行整理和升华，让学生意识到学习中反思和总结的重要性，并最终体会到自主学习的重要性。
第五节初等数论中的几个重要定理
第五节 初等数论中的几个重要定理 基础知识 定义（欧拉(Euler)函数）一组数s x x x ,,,21 称为是模m 的既约剩余系，如果对任意的s j ≤≤1，1),(=m x j 且对于任意的Z a ∈，若),(m a ＝1，则有且仅有一个j x 是a 对模m 的剩余，即)(mod m x a j ≡。并定义},,2,1{)(m s m ==?中和m 互质的数的个数，)(m ?称为欧拉（Euler ）函数。 这是数论中的非常重要的一个函数，显然1)1(=?，而对于1>m ，)(m ?就是1,2，…，1-m 中与m 互素的数的个数，比如说p 是素数，则有1)(-=p p ?。 引理：∏? =为质数）－（P |P 11)(m P m m ?；可用容斥定理来证（证明略）。 定理1：（欧拉（Euler ）定理）设),(m a ＝1，则)(mod 1)(m a m ≡?。 证明：取模m 的一个既约剩余系))((,,,,21m s b b b s ?= ，考虑s ab ab ab ,,,21 ，由于a 与m 互质，故)1(s j ab j ≤≤仍与m 互质，且有i ab )1(s j i ab j ≤<≤?，于是对每个 s j ≤≤1都能找到唯一的一个s j ≤≤)(1σ， 使得)(mod )(m b ab j j σ≡，这种对应关系σ是一一的，从而)(mod )(mod )(11)(1m b m b ab s j j s j j s j j ∏∏∏===≡≡σ，∴))(mod ()(11m b b a s j j s j j s ∏∏==≡。 1),(1=∏=s j j b m ，)(mod 1m a s ≡∴，故)(mod 1)(m a m ≡?。证毕。 分析与解答：要证)(mod 1)(m a m ≡?，我们得设法找出)(m ?个n 相乘，由)(m ?个数我们想到m ,,2,1 中与m 互质的)(m ?的个数：)(21,,,m a a a ? ，由于),(m a ＝1，从而)(21,,,m aa aa aa ? 也是与m 互质的)(m ?个数，且两两余数不一样，故)(21m a a a ???? ≡)(21,,,m aa aa aa ? ≡)(m a ?)(21m a a a ???? （m mod ），而 （)(21m a a a ???? m ）＝1，故)(mod 1)(m a m ≡?。 这是数论证明题中常用的一种方法，使用一组剩余系，然后乘一个数组组成另外一组剩余系来解决问题。
欧拉定理
[编辑本段] 欧拉定理 1、初等数论中的欧拉定理： 对于互质的整数a和n，有a^φ(n) ≡ 1 (mod n) 证明： 首先证明下面这个命题： 对于集合Zn={x1,x2,...,xφ(n)},其中xi(i=1,2,…φ(n))是不大于n且与n互素的数，即n的一个化简剩余系，或称简系，或称缩系)，考虑集合S = {a*x1(mod n),a*x2(mod n),...,a*xφ(n)(mod n)} 则S = Zn 1) 由于a,n互质，xi也与n互质，则a*xi也一定于p互质，因此 任意xi，a*xi(mod n) 必然是Zn的一个元素 2) 对于Zn中两个元素xi和xj，如果xi ≠ xj 则a*xi(mod n) ≠ a*xi(mod n)，这个由a、p互质和消去律可以得出。 所以，很明显，S=Zn 既然这样，那么 （a*x1 × a*x2×...×a*xφ(n)）(mod n) = （a*x1(mod n) × a*x2(mod n) × ... × a*xφ(n)(mod n)）(mod n) = （x1 × x2 × ... × xφ(n)）(mod n) 考虑上面等式左边和右边 左边等于(a*（x1 × x2 × ... × xφ(n)）) (mod n) 右边等于x1 × x2 × ... × xφ(n)）(mod n) 而x1 × x2 × ... × xφ(n)(mod n)和n互质 根据消去律，可以从等式两边约去，就得到： a^φ(n) ≡ 1 (mod n) 推论：对于互质的数a、n，满足a^(φ(n)+1) ≡ a (mod n) 费马定理: a是不能被质数p整除的正整数，则有a^(p-1) ≡ 1 (mod p) 证明这个定理非常简单，由于φ(p) = p-1，代入欧拉定理即可证明。 同样有推论：对于不能被质数p整除的正整数a，有a^p ≡ a (mod p) 2、平面几何里的欧拉定理： （1）(Euler定理)设三角形的外接圆半径为R，内切圆半径为r，外心与内心的距离为d，则d2=R2-2Rr． 证明：如右下图，O、I分别为⊿ABC的外心与内心．
多面体欧拉定理的发现
研究性课题：多面体欧拉定理的发现 第一课时欧拉定理（一） 教学目标： （一）教学知识点 1.简单多面体的V、E、F关系的发现. 2.欧拉公式的猜想. 3.欧拉公式的证明. （二）能力训练要求 1.使学生能通过观察具体简单多面体的V、E、F从中寻找规律. 2.使学生能通过进一步观察验证所得的规律. 3.使学生能从拓扑的角度认识简单多面体的本质. 4.使学生能通过归纳得出关于欧拉公式的猜想. 5.使学生了解欧拉公式的一种证明思路. （三）德育渗透目标 1.通过介绍数学家的业绩，培养学生学习数学大师的献身科学、勇于探索的科学研究精神、激发学生对科学的热爱和对理想的追求. 2.培养学生寻求规律、发现规律、认识规律，并利用规律解决问题的能力. 教学重点欧拉公式的发现. 教学难点使学生从中体会和学习数学大师研究数学的方法. 教学方法指导学生自学法 首先通过问题1利用具体实物，从观察入手，培养学生对简单多面体V、E、F关系的感性认识从中寻找规律，问题2让学生作进一步观察、验证得出规律，问题3让学生在认识简单多面体的基础上，通过归纳，得出关于欧拉公式的猜想，再通过问题4让学生了解欧拉公式的证明思路，即从理论上探索对发现规律的证明. 以上4个问题逐步深入地展开，旨在不仅使学生在知识上有新的收获，同时应体会和学习研究数学的思想和方法. 教学过程 情境设置 欧拉瑞士著名的数学家，科学巨人，师从数学家约翰·伯努利，有惊人的记忆力，是数学史上的最多产的数学家，他所写的著作达865部（篇），28岁右眼失明，1766年，左眼又失明了，1771年，圣彼得堡一场大火，秧及欧拉的住宅，欧拉虽然幸免于难，可他的藏书及大量的研究成果都化为灰烬。种种磨难，并没有把欧拉搞垮。大火以后他立即投入到新的创作之中。资料被焚，他又双目失明，在这种情况下，他完全凭着坚强的意志和惊人的毅力，回忆所作过的研究。他总是把推理过程想得很细，然后口授，由他的长子记录。他用这种方法又发表了论文４００多篇以及多部专著，这几乎占他全部著作的半数以上，欧拉从19岁开始写作，直到逝世，留下了浩如烟海的论文、著作，甚至在他死后，他留
欧拉定理
欧拉定理
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欧拉定理 认识欧拉 欧拉,瑞士数学家,1３岁进巴塞尔大学读书，得到著名数学家贝努利的精心指导．欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家，他从19岁开始发表论文，直到7６岁,他那不倦的一生，共写下了886本书籍和论文，其中在世时发表了70０多篇论文。彼得堡科学院为了整理他的著作，整整用了４7年。欧拉著作惊人的高产并不是偶然的。他那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神,可以使他在任何不良的环境中工作:他常常抱着孩子在膝盖上完成论文。即使在他双目失明后的17年间,也没有停止对数学的研究,口述了好几本书和400余篇的论文。当他写出了计算天王星轨道的计算要领后离开了人世。欧拉永远是我们可敬的老师。欧拉研究论著几乎涉及到所有数学分支，对物理力学、天文学、弹道学、航海学、建筑学、音乐都有研究!有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等是以欧拉名字命名的。欧拉写的数学教材在当时一直被当作标准教程。19世纪伟大的数学家高斯（Gａuss，1７77-1855）曾说过“研究欧拉的著作永远是了解数学的最好方法”。欧拉还是数学符号发明者，他创设的许多数学符号，例如π,i，e,ｓｉn,cos，tｇ，Σ,ｆ(x)等等,至今沿用。欧拉不仅解决了彗星轨迹的计算问题,还解决了使牛顿头痛的月离问题。对著名的“哥尼斯堡七桥问题”的完美解答开创了“图论”的研究。欧拉发现，不论什么形状的凸多面体，其顶点数Ｖ、棱数E、面数F之间总有关系V+Ｆ－E＝2，此式称为欧拉公式。V+F-Ｅ即欧拉示性数，已成为“拓扑学”的基础概念。那么什么是“拓扑学”? 欧拉是如何发现这个关系的?他是用什么方法研究的?今天让我们沿着欧拉的足迹，怀着崇敬的心情和欣赏的态度探索这个公式．..．.. 初等数论中的欧拉定理
初等数论中的几个重要定理 引理 和推论
初等数论中的几个重要定理 基础知识 定义（欧拉(Euler)函数）一组数称为是模的既约剩余系，如果对任意的，且对于任意的，若＝1，则有且仅有一个是对模的剩余，即。并定义中和互质的数的个数， 称为欧拉（Euler）函数。 这是数论中的非常重要的一个函数，显然，而对于，就是1,2，…， 中与互素的数的个数，比如说是素数，则有。 引理：；可用容斥定理来证（证明略）。 定理1：（欧拉（Euler）定理）设＝1，则。 分析与解答：要证，我们得设法找出个相乘，由个数我们想到中与互质的的个数：，由于＝1，从而 也是与互质的个数，且两两余数不一样，故 （），而（）＝1，故。 证明：取模的一个既约剩余系，考虑，由 于与互质，故仍与互质，且有，于是对每个都能找到唯一的一个，使得，这种对应关系 是一一的，从而，。
，，故。证毕。 这是数论证明题中常用的一种方法，使用一组剩余系，然后乘一个数组组成另外一组剩余系来解决问题。 定理2：（费尔马（Fermat）小定理）对于质数及任意整数有。 设为质数，若是的倍数，则。若不是的倍数，则 由引理及欧拉定理得，，由此即得。 定理推论：设为质数，是与互质的任一整数，则。 定理3：（威尔逊（Wilson）定理）设为质数，则。 分析与解答：受欧拉定理的影响，我们也找个数，然后来对应乘法。 证明：对于，在中，必然有一个数除以余1，这是因为 则好是的一个剩余系去0。 从而对，使得； 若，，则，，故 对于，有。即对于不同的对应于不同的，即 中数可两两配对，其积除以余1，然后有，使，即与它自己配对，这时，，或， 或。 除外，别的数可两两配对，积除以余1。故。
多面体欧拉定理的发现1
多面体欧拉定理的发现(1) 【教学目的】 1．理解简单多面体的定义 2．理解并熟记欧拉公式 3．会运用欧拉公式及相关知识进行计算及推理 【教学思路】 正多面体5种→认识欧拉 →拓扑变形→简单多面体概念 →研究正多面体V、F、E的关系 →欧拉定理→证明 →欧拉定理的意义 【教学过程】 1.(1) 什么叫正多面体？特征？ 正多面体是一种特殊的凸多面体，它包括两个特征： ①每个面都是有相同边数的正多边形；②每个顶点都有相同数目的棱数。 (2) 正多面体有哪几种？展示5种正多面体的模型。为什么只有5种正多面体？ 著名数学家欧拉进行了研究，发现了多面体的顶点数、面数、棱数间的关系。 2. 介绍数学家欧拉 欧拉（1707～1783）瑞士数学家，大部分时间在俄国和法国度过。他16岁获硕士学位，早年在数学天才贝努里赏识下开始学习数学，并毕生研究数学，是数学史上最“高产”的数学家，在世发表700多篇论文。他的研究论著几涉及到所有数学分支，有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等是以欧拉名字命名的。欧拉还是数学符号发明者，如用f (x)表示函数、∑表示连加、i表示虚数单位、π、e等。在多面体研究中首先发现并证明了欧拉公式，今天我们沿着他的足迹探索这个公式。 3. 发现关系：V+F-E=2。是不是所有多面体都有这样的关系呢？如何去研究呢？需要观念和方法上的创新。 4.多面体拓扑变形与简单多面体的概念 考虑一个多面体，例如正六面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么它会连续（不破裂）变形，最后可变成一个球面。 像这样，表面经过连续变形可变为球面的多面体，叫做简单多面体。
5. 欧拉定理 定理 简单多面体的顶点数V 、棱数E 及面数F 间有关系 V+F-E=2 公式描述了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间特有的规律 6. 定理的证明 分析：以四面体ABCD 为例。 将它的一个面BCD 去掉，再使它变为平面图 形，四面体的顶点数V 、棱数V 与剩下的面数F 1变形后都没有变（这里F 1=F-1）。因此，要研究V 、E 和F 的关系，只要去掉一个面，将它变形为平面图形即可。 只需平面图形证明：V+F 1-E=1 （1）去掉一条棱，就减少一个面，V+F 1-E 的值不变。例如去掉BC ，就减少一个面ABC 。同理，去掉棱CD 、BD ，也就各减少一个面ACD 、ABD ，由于V 、F 1-E 的值都不变，因此V+F 1-E 的值不变 （2）再从剩下的树枝形中，去掉一条棱，就减少一个顶点，V+F 1-E 的值不变。例如去掉CA ，就减少一个顶点C 。同理去AD 就减少一个顶点D ，最后剩下AB 。 在以上变化过程中，V+F 1-E 的值不变， V+F 1-E=2-0-1=1， 所以 V+F-E= V+F 1-E+1=2。 对任意的简单多面体，运用这样的方法，都是只剩下一条线段。公式对任意简单多面体都是正确的。 7. 定理的意义（几点说明） （1）数学规律：公式描述了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间特有的规律； （2）思想方法创新训练：在定理的发现及证明过程中，在观念上，假设它的表面是橡皮薄 A B D A D B C C B B A D A D C C B B A D A D C B A
2019-2020年高中数学第一册(上)多面体欧拉定理的发现(1)
2019-2020年高中数学第一册(上)多面体欧拉定理的发现(1) 一、课题：多面体欧拉定理的发现 二、教学目标：1．了解简单多面体的概念； 2．掌握欧拉定理． 三、教学重、难点：欧拉定义及其证明． 四、教学过程： （一）欧拉生平事迹简说：欧拉(Euler)，瑞士数学家及自然科学家。1707年4月15日出生于瑞士巴塞尔的一个牧师家庭，自幼受父亲的教育，13岁入读巴塞尔大学15岁大学毕业，16岁获硕士学位，1783年9月18日于俄国彼得堡去逝． （二）新课讲解： 1．简单多面体： 考虑一个多面体，例如正六面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么 它就会连续（不破裂）变形，最后可变为一个球面．如图： 象这样，表面经过连续变形可变为球面的多面 体，叫做简单多面体． 说明：棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体都 是简单多面体． 2．填表： 将五种正多面体的顶点数、面数及棱数分别填表： 发现：它们的顶点数、面数及棱数有共同的关系式：． 上述关系式对简单多面体都成立． 3．欧拉定理： 简单多面体的顶点数、面数及棱数有关系式：．（欧拉公式） 4．定理的证明： （方法一）以四面体为例来说明： 将它的一个面去掉，并使其变为平面图形， 四面体的顶点数、棱数与剩下的面数变形 后都没有变。因此，要研究、和的关系， 只要去掉一个面，将它变形为平面图形即可． 对平面图形，我们来研究： （1）去掉一条棱，就减少一个面。例如去掉，就减少一个面． 同理，去掉棱、，也就各减少一个面 、． 由于、的值都不变，因此 的值也不变． （2）再从剩下的树枝形中，去掉一条棱，就减少
一个顶点。例如去掉，就减少一个顶点． 同理，去掉就减少一个顶点，最后剩下 （如图）． 在此过程中的值不变，但这时面数是，所以的值也不变。 由于最后只剩下，所以， 最后加上去掉的一个面，就得到． （方法二） 把“立体图”的面煎掉后，其余各面铺开。 展开后，各面的棱数和顶点数没有变，而多边形内角和 只与边数有关，所以多面体各个面内角总和不变。 设多面体个面，各面边数分别为，，…，， 则内角总和为12()1802180 F n n n F ++ ?-?+， 设多面体有个顶点，底面是边形，则“展开图”有个顶点在中间， 则内角总和为()180(2)180(2)180(2)360V m m m V -?+-?+-?=-?， ∴12()1802180(2)360 F n n n F V ++?-?=-?+， 又∵， ∴． 5．欧拉示性数： 在欧拉公式中令，叫欧拉示性数。 说明：（1）简单多面体的欧拉示性数． （2）带一个洞的多面体的欧拉示性数．例如：长方体挖去一个洞连结底面相应顶点得到的多面体． 6．例题分析： 例1．一个面体共有8条棱，5个顶点，求？ 解：∵，∴，∴． 例2．一个正面体共有8个顶点，每个顶点处共有三条棱，求？ 解：∵，， ∴， ∴． 五、课堂练习：课本第69页 习题 第4题． 六、小结：欧拉定理及其证明． 七、作业：课本第69页 习题9.10第1题．
高二数学下9多面体欧拉定理的发现教案
课题：9．10研究性课题：多面体欧拉定理的发现(一) 教学目的： 1. 了解多面体与简单多面体的概念、发现欧拉公式 2.培养学生发现问题、探究问题、归纳总结能力 教学重点：欧拉公式的发现过程 教学难点：欧拉定义及其证明 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 本节为研究性课题通过研究欧拉定理的发现过程，让学生了解欧拉公式及其简单应用，扩大学生的知识面，培养学生学习数学的兴趣 教学过程： 一、复习引入： 1 欧拉生平事迹简说：欧拉(Euler)，瑞士数学家及自然科学家1707年4月15日出生于瑞士巴塞尔的一个牧师家庭，自幼受父亲的教育，13岁入读巴塞尔大学15岁大学毕业，16岁获硕士学位，1783年9月18日于俄国彼得堡去逝（详细资料附后） 2多面体的概念：由若干个多边形围成的空间图形叫多面体；每个多边形叫多面体的面，两个面的公共边叫多面体的棱，棱和棱的公共点叫多面体的顶点，连结不在同一面上的两个顶点的线段叫多面体的对角线． 3．凸多面体：把多面体的任一个面展成平面，如果其余的面都位于这个平面的同一侧，这样的多面体叫凸多面体．如图的多面体则不是凸多面体． 4．凸多面体的分类：多面体至少有四个面，按照它的面数分别叫四面体、五面体、六面体等 二、讲解新课： 1．简单多面体：考虑一个多面体，例如正六面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么它就会连续（不破裂）变形，最后可变为一个球面如图：象这样，表面经过连续变形可变为球面的多面体，叫做简单多面体
⑹ ⑸说明：棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体都是简单多面体 2．五种正多面体的顶点数、面数及棱数： 正多面体 顶点数V 面数F 棱数E 正四面体 4 4 6 正六面体 8 6 12 正八面体 6 8 12 正十二面体 20 12 30 正二十面体 12 20 30 发现：它们的顶点数V 、面数F 及棱数E 有共同的关系 式：2V F E +-=． 上述关系式对简单多面体都成立 3.欧拉公式的探究 1．请查出图⑹的顶点数V 、面数F 、和棱数E ，并计算V ＋F －E ＝6+6-10=2 2．查出图⑺中的顶点数V 、面数F 、和棱数E ，并验证上面公式是否还成立？ 3. 假如图⑸→图⑻的多面体表面是像皮膜，向内充气则⑸⑹将变成一个球面，图⑺将变成两个紧贴的球面，图⑻将变成一个环面。
欧拉定理99617知识讲解
欧拉定理99617
欧拉定理 认识欧拉 欧拉，瑞士数学家，13岁进巴塞尔大学读书，得到著名数学家贝努利的精心指导．欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家，他从19岁开始发表论文，直到76岁，他那不倦的一生，共写下了886本书籍和论文，其中在世时发表了700多篇论文。彼得堡科学院为了整理他的著作，整整用了4 7年。欧拉著作惊人的高产并不是偶然的。他那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神，可以使他在任何不良的环境中工作：他常常抱着孩子在膝盖上完成论文。即使在他双目失明后的17年间，也没有停止对数学的研究，口述了好几本书和400余篇的论文。当他写出了计算天王星轨道的计算要领后离开了人世。欧拉永远是我们可敬的老师。欧拉研究论著几乎涉及到所有数学分支，对物理力学、天文学、弹道学、航海学、建筑学、音乐都有研究！有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等是以欧拉名字命名的。欧拉写的数学教材在当时一直被当作标准教程。19世纪伟大的数学家高斯（Gau
ss，1777-1855）曾说过“研究欧拉的著作永远是了解数学的最好方法”。欧拉还是数学符号发明者，他创设的许多数学符号，例如π，i，e，sin，co s，tg，Σ，f (x)等等，至今沿用。欧拉不仅解决了彗星轨迹的计算问题，还解决了使牛顿头痛的月离问题。对著名的“哥尼斯堡七桥问题”的完美解答开创了“图论”的研究。欧拉发现，不论什么形状的凸多面体，其顶点数V、棱数E、面数F之间总有关系V+F-E=2，此式称为欧拉公式。V+F-E即欧拉示性数，已成为“拓扑学”的基础概念。那么什么是“拓扑学”？欧拉是如何发现这个关系的？他是用什么方法研究的？今天让我们沿着欧拉的足迹，怀着崇敬的心情和欣赏的态度探索这个公式...... 初等数论中的欧拉定理 定理内容 在数论中，欧拉定理（也称费马-欧拉定理）是一个关于同余的性质。欧拉定理表明，若n,a为正整数，且n,a互素，(a,n) = 1，则 a^φ(n) ≡ 1 (mod n) 证明 首先证明下面这个命题： 对于集合Zn={x1,x2,...,xφ(n)},其中xi(i=1,2,…φ(n))是不大于n且与n 互素的数，即n的一个化简剩余系，或称简系，或称缩系)，考虑集合S = {a *x1(mod n),a*x2(mod n),...,a*xφ(n)(mod n)} 则S = Zn 1) 由于a,n互质，xi也与n互质，则a*xi也一定于p互质，因此 任意xi，a*xi(mod n) 必然是Zn的一个元素
最新多面体欧拉定理的发现精编版
2020年多面体欧拉定理的发现精编版
研究性课题：多面体欧拉定理的发现 第一课时欧拉定理（一） 教学目标： （一）教学知识点 1.简单多面体的V、E、F关系的发现. 2.欧拉公式的猜想. 3.欧拉公式的证明. （二）能力训练要求 1.使学生能通过观察具体简单多面体的V、E、F从中寻找规律. 2.使学生能通过进一步观察验证所得的规律. 3.使学生能从拓扑的角度认识简单多面体的本质. 4.使学生能通过归纳得出关于欧拉公式的猜想. 5.使学生了解欧拉公式的一种证明思路. （三）德育渗透目标 1.通过介绍数学家的业绩，培养学生学习数学大师的献身科学、勇于探索的科学研究精神、激发学生对科学的热爱和对理想的追求. 2.培养学生寻求规律、发现规律、认识规律，并利用规律解决问题的能力. 教学重点欧拉公式的发现. 教学难点使学生从中体会和学习数学大师研究数学的方法. 教学方法指导学生自学法 首先通过问题1利用具体实物，从观察入手，培养学生对简单多面体V、E、F关系的感性认识从中寻找规律，问题2让学生作进一步观察、验证得出规律，问题3让学生在认识简单多面体的基础上，通过归纳，得出关于欧拉公式的猜想，再通过问题4让学生了解欧拉公式的证明思路，即从理论上探索对发现规律的证明. 以上4个问题逐步深入地展开，旨在不仅使学生在知识上有新的收获，同时应体会和学习研究数学的思想和方法. 教学过程 情境设置 欧拉瑞士著名的数学家，科学巨人，师从数学家约翰·伯努利，有惊人的记忆力，是数学史上的最多产的数学家，他所写的著作达865部（篇），28岁右眼失明，1766年，左眼又失明了，1771年，圣彼得堡一场大火，秧及欧拉的住宅，欧拉虽然幸免于难，可他的藏书及大量的研究成果都化为灰烬。种种磨难，并没有把欧拉搞垮。大火以后他立即投入到新的创作之中。资料被焚，他又双目失明，在这种情况下，他完全凭着坚强的意志和惊人的毅力，回忆所作过的研究。他总是把推理过程想得很细，然后口授，由他的长子记录。他用这种方法又发表了论文４００多篇以及多部专著，这几乎占他全部著作的半数以上，欧拉从19岁开始写作，直到逝世，留下了浩如烟海的论文、著作，甚至 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢10
.12.15初等数论费马小定理与欧拉定理(优选.)
最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word 文本 --------------------- 方便更改 第七讲 费马小定理与欧拉定理 2017.12.18 基础例题 1. 设n 是自然数，则n n n n 4321|5+++/ 2.设{x 1，x 2，x 3，…，()m x ?}为模m 的一个简化剩余系，则()()()mod 1321≡?m x x x x ? 3. 设a ，b ，c ，m 为自然数，m >1，(b ，m )=1，且()m b a mod 1≡， ()m b c mod 1≡，记()c a d ,=，则()m b d mod 1≡ 4. 设p 是素数，p |b n -1，n 为自然数，则下列两个结论中至少有一个成立： (1)p |b d -1对于某个因数d 6. 将612-1分解质因数 7. 若a ，b 是任意整数，p 为素数.证明：()()p b a b a p p p mod +≡+ 8. 设p 为奇素数，a ，n 都是正整数，且p n |a p -1. (1)证明：p n -1|a -1； (2)当p =2时，上述结论成立吗? 10. 求(1237156+34)28被111除的余数. 11. 设p 是一个大于5的素数，求证：240|p 4-1 12. 设p 为素数.证明：存在无穷多个正整数n 使得()p n n mod 2≡ 13.(1)证明下列事实但不许用费马小定理：若p 是质数，h 1，h 2，…，h n 是整数，则(h 1+h 2+…+h n )p ≡h 1p +h 2p +…+h n p (mod p ) (2)由(1)证明费马定理，然后再由费马定理证明欧拉定理. 每周真题小练 1. (ELMO 2017)设H 为三角形ABC 的垂心，M 为边BC 的中点.以AH 为直径的圆上，有相异的两点P ，Q (P 、Q 两点均不与A 重合)，满足M 位于直线PQ 上.证明：三角形APQ 的垂心位于三角形ABC 的外接圆上. 2.(命题人讲座) 设n 是一个大于1的奇数，数a 1，a 2，a 3，…，()n a ?是1，2，3，…，n 中与n 互素的所有正整数.证明()()n n k k n a ??π2 1cos 1=∏= 多面体欧拉定理的发 现 研究性课题：多面体欧拉定理的发现 第一课时欧拉定理（一） 教学目标： （一）教学知识点 1.简单多面体的V、E、F关系的发现. 2.欧拉公式的猜想. 3.欧拉公式的证明. （二）能力训练要求 1.使学生能通过观察具体简单多面体的V、E、F从中寻找规律. 2.使学生能通过进一步观察验证所得的规律. 3.使学生能从拓扑的角度认识简单多面体的本质. 4.使学生能通过归纳得出关于欧拉公式的猜想. 5.使学生了解欧拉公式的一种证明思路. （三）德育渗透目标 1.通过介绍数学家的业绩，培养学生学习数学大师的献身科学、勇于探索的科学研究精神、激发学生对科学的热爱和对理想的追求. 2.培养学生寻求规律、发现规律、认识规律，并利用规律解决问题的能力. 教学重点欧拉公式的发现. 教学难点使学生从中体会和学习数学大师研究数学的方法. 教学方法指导学生自学法 首先通过问题1利用具体实物，从观察入手，培养学生对简单多面体V、E、F关系的感性认识从中寻找规律，问题2让学生作进一步观察、验证得出规律，问题3让学生在认识简单多面体的基础上，通过归纳，得出关于欧拉公式的猜想，再通过问题4让学生了解欧拉公式的证明思路，即从理论上探索对发现规律的证明. 以上4个问题逐步深入地展开，旨在不仅使学生在知识上有新的收获，同时应体会和学习研究数学的思想和方法. 教学过程 情境设置 欧拉瑞士著名的数学家，科学巨人，师从数学家约翰·伯努利，有惊人的记忆力，是数学史上的最多产的数学家，他所写的著作达865部（篇），28岁右眼失明，1766年，左眼又失明了，1771年，圣彼得堡一场大火，秧及欧拉的住宅，欧拉虽然幸免于难，可他的藏书及大量的研究成果都化为灰烬。种种磨难，并没有把欧拉搞垮。大火以后他立即投入到新的创作之中。资料被焚，他又双目失明，在这种情况下，他完全凭着坚强的意志和惊人的毅力，回忆所作过的研究。他总是把推理过程想得很细，然后口授，由他的长子记录。他用这种方法又发表了论文４００多篇以及多部专著，这几乎占他全部著作的半数以上，欧拉从19岁开始写作，直到逝世，留下了浩如烟海的论文、著作，甚至 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢10 第一节 整数的p 进位制及其应用 正整数有无穷多个，为了用有限个数字符号表示出无限多个正整数，人们发明了进位制，这是一种位值记数法。进位制的创立体现了有限与无限的对立统一关系，近几年来，国内与国际竞赛中关于“整数的进位制”有较多的体现，比如处理数字问题、处理整除问题及处理数列问题等等。在本节，我们着重介绍进位制及其广泛的应用。 基础知识 给定一个m 位的正整数A ，其各位上的数字分别记为021,,,a a a m m --，则此数可以简记为：021a a a A m m --=（其中01≠-m a ）。 由于我们所研究的整数通常是十进制的，因此A 可以表示成10的1-m 次多项式，即 012 21 11010 10 a a a a A m m m m +?++?+?=---- ，其中1,,2,1},9,,2,1,0{-=∈m i a i 且 01≠-m a ，像这种10的多项式表示的数常常简记为10021)(a a a A m m --=。在我们的日常 生活中，通常将下标10省略不写，并且连括号也不用，记作021a a a A m m --=，以后我们所讲述的数字，若没有指明记数式的基，我们都认为它是十进制的数字。但是随着计算机的普及，整数的表示除了用十进制外，还常常用二进制、八进制甚至十六进制来表示。特别是现代社会人们越来越显示出对二进制的兴趣，究其原因，主要是二进制只使用0与1这两种数学符号，可以分别表示两种对立状态、或对立的性质、或对立的判断，所以二进制除了是一种记数方法以外，它还是一种十分有效的数学工具，可以用来解决许多数学问题。 为了具备一般性，我们给出正整数A 的p 进制表示： 012 21 1a p a p a p a A m m m m +?++?+?=---- ，其中1,,2,1},1,,2,1,0{-=-∈m i p a i 且 01≠-m a 。而m 仍然为十进制数字，简记为p m m a a a A )(021 --=。 第二节 整数的性质及其应用（1） 基础知识 整数的性质有很多，这里我们着重讨论整数的整除性、整数的奇偶性，质数与合数、完全平方数及整数的尾数等几个方面的应用。 1．整除的概念及其性质 在高中数学竞赛中如果不加特殊说明，我们所涉及的数都是整数，所采用的字母也表示整数。 定义：设b a ,是给定的数，0≠b ，若存在整数c ，使得bc a =则称b 整除a ，记作a b |，并称b 是a 的一个约数(因子)，称a 是b 的一个倍数，如果不存在上述c ，则称b 不能整除a 记作b a 。 由整除的定义，容易推出以下性质： (1)若c b |且a c |，则a b |(传递性质)；最新多面体欧拉定理的发现
初等数论知识点汇总