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2.三角函数的概念

一、基本概念及相关知识点：

1、三角函数：设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点 P （x,y ） P 与原点

的距离为 r

x 2 y 2

0 ，则 sin

；

cos

y ；

x ；

tan

2、三

角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）

+ + - +

- +

o x -

o +

o x -

+ -

正弦、余割余弦、正割

正切、余切 3、三角函数线

正弦线： MP;

余弦线： OM;

正切线： AT.

16. 几个重要结论:

(1) y

(2) y

|sinx|>|cosx|

sinx>cosx

O M A x

cosx>sinx

|sinx|>|cosx|

(3) 若 o

4 、同角三角函数的基本关系式： 2

sin α /cos α =tan α

sin α +cos α =1

tan α cot α =1 5、诱导公式：

把

的三角函数化为

的三角函数，概括为： “奇变偶不变，符号看象限”

二、重点难点

同角三角函数的基本关系式、诱导公式

三、课前预习

1：把下列各角从度换成弧度：

⑴ 18

， ⑵ 120 ， ⑶ 735 ，

⑷ 22 30'

，

⑸ 57 18'

，

⑹ 1200 24'

。

2 ：把下列各角从弧度换成度： ⑴

7 ， ⑵

，

⑶ 23

，（把换成 180 ）

⑷ 5

，

⑸ 1.4

，

⑹

。（ 57.3 即得近似值）

⒊一些特殊角的度数与弧度数的对应表

度

0 30

120

135 150

180

270 360

弧度

4 终边落在坐标轴上的角的集合是（）.

A 、 2k , k Z

B 、

(2k 1) , k Z

C 、

k , k Z

D 、

, k Z

5 已知半径为的扇形面积为 3 ，则扇形的中心角为【

】

1 8

A 、

B 、

C 、

D 、

6 弧度数为 2 的圆心角所对的弦长也是 2，则这个圆心角所对的弧长是（） .

A 、2

B 、

C 、 2sin1

D 、 sin 2

sin1

7 如果弓形的弧所对的圆心角为

，弓形的弦长为 2 ㎝，则弓形的面积为（

） .

A 、

、

(

B (

3) cm

C 、 (

3) cm

D 、 (

) cm 2

8 半径为 2 的圆中， 60 的圆周角所对的弧长是

。

9 已知直径为 12 ㎝的轮子以 400 r / min （转 / 分）的速度作逆时针旋转，则轮周上一

固定点经过 5 s （秒）后转过的弧长是

。

10 315 的弧度数为【】

A 、

B 、

C 、

D 、

11 649

的终边在【

】

A 、第一象限

B 、第二象限

C 、第三象限

D 、第四象限

12 若

2 ，则的终边在【】

A 、第一象限

B 、第二象限

C 、第三象限

D 、第四象限

13 若是第四象限角，则

是【】

A 、第一象限

B 、第二象限

C 、第三象限

D 、第四象限

14 下列各角中，终边在第四象限的是【】

A 、 1485

B 、1303 18

C 、 18

D 、

15 在与 600 终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为【

】

A 、

、 2

D 、

16 tan690°的值为（

）

Ａ．

Ｂ．

Ｃ． 3 Ｄ．

17、若 sin

4 , tan

0 ，则 cos

17 已知扇形的面积是，半径是 1，则扇形的中心角是（

）

3 3

D 、

A 、

B 、

C 、

sin(

) cos(

2 ) tan

18、化简

sin(

)sin(

)

19、把角

化成

的形式，其中 0

2 , k

Z ，则

18 7

=______

20、角α的终边过 P （ 4a ，— 3a ）（ a<0），则下列结论正确的是 _______ A

sin 3

B cos

4 C

tan

4 D

tan

22、已知扇形的周长为 10cm ，圆心角为 3rad ，则该扇形的面积为 23 .如果

与 120°角终边相同 ,

是第 _____象限角

24 已知的终边经过点 (3a 9, a

2) ，且 sin

0,cos

0 ，则 a 的取值范围是 _____

25. sin

π 的值等于 ________________

26. 下列角中终边与 330 °相同的角是（）

A. 30 °

B. - 30 °

C. 630 °

D. - 630 °

sin x | cos x| tan x 的值域是（）

26. 函数 y =| sin x| + cos x +

| tan x|

A. { 1}

B. { 1， 3}

C. {- 1}

D. {- 1，3} 27. 如果 sin α 2 cos α

= - 5，那么 tan α的值为 ________________

3sin α 5cos α

28 . sin( 1560o

) 的值为 ________________

29 .如果 cos(

A) =________________

，那么 sin(

30 已知扇形周长为 10，面积为 4，则此扇形的中心角为

___________________________

31 若 cos 2sin x

5 ，则 tan x

__________________________________

32. （12 分）已知角 α是第三象限角，

求：（ 1）角 α

是第几象限的角；（ 2）角 2α终边的位置 .

33.（ 16 分） ( 1) 已知角 α的终边经过点 P( 4，- 3) ，求 2sin α+ cos α的值； ( 2) 已知角 α的终边经过点 P( 4a ， - 3a)( a ≠ 0) ，求 2sin α+ cos α的值；

34、角α的终边上有一点 P( a, a) ，a ∈ R,且 a ≠ 0, 则 sin α的值是 ________________

35、已知角α的终边过点 P （－ 1,2） ,cos α的值为

________________

36、α是第四象限角，则下列数值中一定是正值的是

（）

A ．sin α

B ．cos α

C ．tan α

D ． cot α

37、已知角α的终边过点 P （ 4a,－ 3a ）（ a<0 ）,则 2sin α＋ cos α的值是 ________________

38、α是第二象限角，

P （ x, 5

）为其终边上一点，且

cos α =x ，则 sin α的值为

________________ 四、典型例题

例一、设角α是第二象限的角，且

cos

cos ，试问是第几象限的角。

2 2 2

例二、 . 设 P (－ 3t ，－ 4t )是角

终边上不同于原点的一点，求角

的各三角函数值．

例三、已知角α的终边上一点 P 的坐标为 (－ 3 , y), (y ≠0), 且 sin α＝

2 y,

求 cos α , tg α .

例四、 (1) 已知 tg

2 ，求 2sin 2 － sin ·cos α＋ cos 2 α的值．

(2) 已知 tg 2,求 sin ,cos 的值．

(3) 已知 sin cos 1 ，求 cos 4θ＋ sin 4

θ的值．

五、巩固练习

1 、α是第二象限

角，

P （ x, 5 ）为其终边上一点，且

cos α =

2 x ，则 sin α的值为

________________

2、函数 y

sin x cosx 的定义域是

（）

A ． (2k ,( 2k 1) ) ， k

B ． [2k

, (2k 1) ] ， k

C ． [k

, (k 1) ] ， k Z

D ．[2k π，（ 2k+1 ）π ]， k Z

3、若θ是第三象限角，且 cos

2 0 ，则

是（

）

A ．第一象限角

B ．第二象限角

C ．第三象限角

D ．第四象限角

4、三个数 cos1, ° ,cos π , cos π° cos1 的大小顺序是

（

）

A ． cos π° >cos1 >cos π >cos1°

B ． cos1°> cos π° >cos1>cos π

C ．cos1° >cos1>cos π° >cos π

D ． cos1>cos1° >cos π° > cos π

5、下列终边相同的角是

（

）

A ． k π＋

2 与

, k ∈ Z

B ． k π± 与

, k ∈ Z

C ．k π＋

6 与 2k π± , k ∈ Z

D ． (2k ＋ 1)π与 (4k ± 1)π , k ∈Z

6、已知 sin α=

，且α是第二象限角，那

么

tan α的值为 ________________

7、已知点 P （ tan , cos ）在第三象限，则角

在（）

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

8、（ 05 全国卷Ⅲ）已知为第三象限角，则

所在的象限是（

）

A ．第一或第二象限

B ．第二或第三象限

C ．第一或第三象限

D ．第二或第四象限

9、当 x ≠

, k ∈ Z 时，

sin x

tgx 的值

（

）

cos x ctgx

A ．恒为正

B ．恒为负

C ．恒为非负

D ．不确定

10、已知 sin α >sin β ,那么下面命题成立的是

（）

A ．若α、β是第一象限的角，则 cos α>cos β

B ．若α、β是第二象限的角，则 tg α >tg β

C ．若α、β是第三象限的角，则

cos α>cos β D ．若α、β是第四象限的角，则tg α>tg β

二．填空题

11、已知角的终边经过点 P(5，－ 12)，则 sin

cos 的值为＿＿。

12、已知 sin α tan α≥ 0，则α的取值集合为 m

, (m ．

13、角α的终边上有一点 P （ m ， 5），且 cos

0) ，则 sin α +cos α =______．

14、已知角 θ

的终边在直线 y =

θ =

； tan =

．

3 x 上，则 sin

15、设

θ ∈（ 0， 2π），点 P （ sin θ

θ ）在第三象限，则角 θ 的范围是

．

,cos2

16、函数 y sin x | cosx |

tan x

| cot x |

|sin x | cosx

| tan x |

的值域是＿＿＿＿＿＿＿。

cot x

3 17、求

角的正弦、余弦和正切值．

18、求下列各角的六个三角函数值

⑴ 0

⑵

⑶

⑷

1、弧度制、任意角三角函数以及诱导公式

一、选择题 4．若 sin

cos

，则θ只可能是（）

（Ａ）第一象限角

（Ｂ）第二象限角

（C ）第三象限角

（Ｄ）第四象限角

6．若

1 cos 1 cos

2 的集合是

（

）

(0,2 ) ，则适合等式

cos

1 cos

tan

（ A ）

（ B ）

或 3

（ C ）

（ D ）

或 3

二、填空题

1．若角α是第四象限角，则

2 的终边在

．设集合

M x x sin

, n Z ，则满足条件 P

3 ,

3 M 的集合

P 的个数是

___

个

| sin x |

cos x | tan x | 可能取得的值是

11．

| cos x | tan

sin x

12．设 f ( x)

a sin( x

) b cos( x

) 7 ，若 f (2002) 6 ，则 f (2009)

） =

π x) +cos 2

（

5π

-x ） =

13．已知： sin （ x+

， sin （

．

6 4

14．已知 f (n) cos n

( n

N * ), f (1) f (2)

f (2009) ＝

。

三、解答题

1．已知关于 x 的方程 4x 2

－ 2(m+1) x+m=0 的两个根恰好是一个直角三角形的两个锐角的余弦，

求实数 m 的值。

3．已知 sin

cos

, 且

2 ,

求：（ 1） cos

sin

（ 2） cos

sin

( 3)

cos x

1 sin x 1

sin 2cos

5, 求下列各式的值：

5．已知

5cos

3sin

（ 1） sin 2 x 3sin x cos x 1 （2） 3sin x 4cos x

9．已知 sin

cos

1 ，求值：(1) sin 3

cos 3 ．(2) tan

1 .

tan

一、选择题

1．若，则

的值为（

）．

A ．

B ．

C ．

D ．

2．

的值等于（）．

A ．

B ．

C ．

D ． 3．在△

中，下列各表达式为常数的是（

）．

A ．

B ．

C ．

D ．

4．如果

，且，则

可以是（

）．

A ．

B ．

C ．

D ．

5．已知是方程

的根，那么的值等于

（）．

A ．

B ．

C ．

D ．

二、填空题 6．计算

．

7．已知

，，则，

．

8．若，则．

9．设，则．

10．．

三、解答题

11．求值：

12．已知角终边上一点的坐标为，

（ 1）化简下列式子并求其值：；

（ 2）求角的集合．

13．已知，求证：．

14．若，

求的值．

15．已知、、为△的内角，求证：

（ 1）；（2）．

16．已知为锐角，并且，

，求的值．