南京、盐城2018年高三一模数学试题及答案解析
南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试
数 学 试 题
(总分160分，考试时间120分钟)
注意事项：
1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．
3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上． 参考公式：
柱体体积公式：V Sh =，其中S 为底面积,h 为高.
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答
题纸的指定位置上）
1．已知集合{}|(4)0A x x x =-<，{}0,1,5B =，则A B =I ▲ ．
2．设复数(,z a i a R i =+∈为虚数单位），若(1)i z +?为纯虚数，则a 的值为 ▲ ． 3．为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间，现从该县小学六年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，所得数据均在区间[50,100]上，其频率分布直方图如图所示，则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70,80)(单位：分钟)内的学生人数为 ▲ ．
时间(单位:分钟)
频率
506070 80 90 100
a
第3题图
Read x
If 0x > Then ln y x ← Else x
y e ←
End If
第4题图
4．执行如图所示的伪代码，若0x =，则输出的y 的值为 ▲ ．
5．口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为 ▲ ．
6．若抛物线2
2y px =的焦点与双曲线22
145
x y -=的右焦点重合，则实数p 的值为 ▲ ．
7．设函数1
x x
y e a e =+
-的值域为A ，若[0,)A ?+∞，则实数a 的取值范围是 ▲ ．
8．已知锐角,αβ满足()()tan 1tan 12αβ--=，则αβ+的值为 ▲ ． 9．若函数sin y x ω=在区间[0,2]π上单调递增，则实数ω的取值范围是 ▲ ． 10．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若{}n a 的前2017项中的奇数项和为2018，
则2017S 的值为 ▲ ．
11．设函数()f x 是偶函数，当x ≥0时，()f x =(3),03,31,>3x x x x x
-≤≤??
?-+??，若函数()y f x m =-
有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．
12．在平面直角坐标系xOy 中，若直线(33)y k x =-上存在一点P ，
圆2
2
(1)1x y +-=上存在一点Q ，满足3OP OQ =u u u r u u u r
，则实数k 的最小
值为 ▲ ．
13．如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为1，正六边形的顶
点称为“晶格点”．若,,,A B C D 四点均位于图中的“晶格点”处，且,A B 的位置所图所示，则?的最大值为 ▲ ．
14．若不等式2sin sin sin 19sin sin k B A C B C +>对任意ABC ?都成立，则实数k 的最小值为
▲ ．
二、解答题（本大题共6小题，计90分. 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，
A
B
第13题图
请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)
如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，点,M N 分别是11,AB A B 的中点. （1）求证：BN ∥平面1A MC ； （2）若11A M AB ⊥，求证：11AB AC ⊥.
16．(本小题满分14分)
在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,,a b c
已知c =. （1）若2C B =，求cos B 的值；
（2）若AB AC CA CB ?=?u u u r u u u r u u u r u u u r ，求cos()4
B π
+的值．
17．(本小题满分14分)
有一矩形硬纸板材料（厚度忽略不计），一边AB 长为6分米，另一边足够长．现从中截 取矩形ABCD （如图甲所示），再剪去图中阴影部分，用剩下的部分恰好．．能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略不计），其中OEMF 是以O 为圆
心、120EOF ∠=?的扇形，且弧?EF
,?GH 分别与边BC ,AD 相切于点M ,N ． （1）当BE 长为1分米时，求折卷成的包装盒的容积； （2）当BE 的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大
A
B
C
A 1
B 1
C 1
M
N
第15题图
A
D
E G
N
E F
G
18. (本小题满分16分)
如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22
22:1(0)x y C a b a b +=>>的下顶点为B ，点
,M N 是椭圆上异于点B 的动点，直线,BM BN 分别与x 轴交于点,P Q ，且点Q 是线
段OP 的中点．当点N
运动到点处时，点Q
的坐标为． （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）设直线MN 交y 轴于点D ，当点,M N 均在y 轴右侧，且2DN NM =u u u r u u u u r
时，求直线
BM 的方程．
19．(本小题满分16分)
设数列{}n a 满足2
2
1121()n n n a a a a a λ+-=+-，其中2n …
，且n N ∈，λ为常数.
第18题图
（1）若{}n a 是等差数列，且公差0d ≠，求λ的值；
（2）若1231,2,4a a a ===，且存在[3,7]r ∈，使得n m a n r ?-卪对任意的*
n N ∈都成
立，求m 的最小值；
（3）若0λ≠，且数列{}n a 不是常数列，如果存在正整数T ，使得n T n a a +=对任意的
*n N ∈均成立. 求所有满足条件的数列{}n a 中T 的最小值.
20．(本小题满分16分)
设函数()ln f x x =，()b
g x ax c x
=+
-（,,a b c R ∈）. （1）当0c =时，若函数()f x 与()g x 的图象在1x =处有相同的切线，求,a b 的值； （2）当3b a =-时，若对任意0(1,)x ∈+∞和任意(0,3)a ∈，总存在不相等的正实数
12,x x ，使得120()()()g x g x f x ==，求c 的最小值；
（3）当1a =时，设函数()y f x =与()y g x =的图象交于11(,),A x y 2212(,)()
B x y x x <两点．求证：122121x x x b x x x -<<-.
南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试
数学参考答案
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.
1．{}1 2．1 3．1200 4．1 5．2
3
6．6 7．(,2]-∞
8．
34π 9．1(0,]4 10．4034 11．9
[1,)4
12． 13．24 14．100
二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.
15．证明：（1）因为111ABC A B C -是直三棱柱，所以11//AB A B ，且11AB A B =，
又点,M N 分别是11,AB A B 的中点，所以1MB A N =，且1//MB A N ． 所
以
四
边
形
1A NBM
是平行四边形，从而
1//A M BN ． ……………4分
又
BN ?平面1A MC ，1A M ?平面1A MC ，所以BN ∥面
1A MC ． ……………6分
（2）因为111ABC A B C -是直三棱柱，所以1AA ⊥底面ABC ，而1AA ?侧面11ABB A ，
所以侧面11ABB A ⊥底面ABC ．
又CA CB =，且M 是AB 的中点，所以CM AB ⊥．
则由侧面11ABB A ⊥底面ABC ，侧面11ABB A I 底面ABC AB =，
CM AB ⊥，且CM ?底面
ABC
，得CM ⊥侧面
11ABB A ． ……………8分
又
1AB ?
侧面
11
ABB A ，所以
1AB CM ⊥． ……………10分
又11AB A M ⊥，1,A M MC ?平面1A MC ，且1A M MC M =I ， 所
以
1AB ⊥
平面
1A MC ． ……………12分
又
1
AC ?平面
1A MC
，所以
11AB A C ⊥． ……………14分
16．解：（1）因
为c=，则由正弦定理，
得
sin
2
C B
=．……………2分
又2
C B
=，所
以sin2
2
B B
=，
即4sin cos
B B B
=．……………4分
又B是ABC
?的内角，所以sin0
B>，
故
cos
4
B=．……………6分
（2）因为AB AC CA CB
?=?
u u u r u u u r u u u r u u u r
，所以cos cos
cb A ba C
=，则由余弦定理，得222222
b c a b a c
+-=+-，得a c
=．……………10分
从
而
2223
cos
25
a c b
B
ac
+-
===， (12)
分
又0Bπ
<<
，所以
4
sin
5
B==．
从
而
34
cos()cos cos sin sin
44455
B B B
πππ
+=-==． (14)
分
17．解：（1）在图甲中，连接MO交EF于点T．设OE OF OM R
===，在Rt OET
?中，因为
1
60
2
EOT EOF
∠=∠=?，所以
2
R
OT=，则
2
R MT OM OT =-=
． 从
而
2
R BE MT ==
，即
22R BE ==. ……………2分
故所得柱体的底面积OEF OEF S S S ?=-扇形
22114sin120323
R R ππ=-?=……………4分 又所得柱体的高4EG =， 所以V S EG =?
=
163
π
- 答：当BE 长为1分米时，折卷成的包装盒的容积
为
163
π
-. …………………6分 （2）设BE x =，则2R x =，所以所得柱体的底面积
OEF OEF S S S ?=-
扇形222114sin120(323
R R x π
π=-?=-.
又所得柱体的高62EG x =-， 所
以
V S EG =?
=328(
3)3
x x π
--+，其中
03x <<. …………………10分
令3
2
()3,(0,3)f x x x x =-+∈，则由2
()363(2)0f x x x x x '=-+=--=， 解
得
2x =. …………………
12分
所以当2x =时，()f x 取得最大值.
A
D
E G
答：当BE的长为2分米时，折卷成的包装盒的容积最大. …………………14分
18．解：（1）
由N Q，得直线NQ的方程
为
3
2
y x
=…………………2分
令0
x=，得点B
的坐标为(0,．
所以椭圆的方程为
22
2
1
3
x y
a
+=．…………………4分
将点N
的坐标)
2
代入，得
2
2
2
21
3
a
+=，解得24
a=．所以椭圆C的标准方程为
22
1
43
x y
+=．…………………8分
（2）方法一：设直线BM的斜率为(0)
k k>，则直线BM
的方程为y kx
=
在y kx
=0
y=
，得
P
x
k
=，而点Q是线段OP
的中点，所以
2
Q
x
k
=．所以直线BN的斜
率
2
BN BQ
k k k
===．………………10分
联立22
1
43
y kx
x y
?=
?
?
+=
?
?
，消去y
，得22
(34)0
k x
+-=
，解得
M
x=．用2k代k，得
N x =
． ………………12分
又
2DN NM
=u u u r u u u u r ，所以
2()
N M N x x x =-，得
23M N x x =． ………………14分
故23=0
k >
，解得k =． 所
以
直
线
BM
的方程
为
y x =
-． ………………16分 方法二：设点,M N 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ．
由(0,B ，得直线BN
的方程为11y y x x +=
0y =
，得P x =
．
同理，得Q x =．
而
点
Q 是
线
段
OP
的中点，所以
2P Q
x x =，
故
= …………………10分
又2DN NM =u u u r u u u u r ，所以2122()x x x =-，得21203x x =>
4
=
解
得
2143y y =
+ …………………12分
将21212343x x y y ?=??
??=+??
代入到椭圆C
的方程中，得2211(41927x y ++=． 又22114(1)3y x =-
，所以2
1214(1)
(431927
y y -+=
21120y +=， 解
得1y =（舍）
或13
y =
．又10x >，所以点M 的坐标
为(
33
M ．……………14分 故
直
线
BM
的方程
为
2
y x =
-． …………………16分 19．解：（1）由题意，可得22
()()n n n a a d a d d λ=+-+，
化简得
2(1)0
d λ-=，又
d ≠，所以
1λ=. ………………4分
（2）将1231,2,4a a a ===代入条件，可得414λ=?+，解得0λ=，
所以2
11n n n a a a +-=，所以数列{}n a 是首项为1，公比2q =的等比数列，所以
12n n a -=. ……6分
欲存在[3,7]r ∈，使得1
2n m n r -?-…，即12n r n m --?…对任意*n N ∈都成立，
则
1
72n n m --?…，所
以
1
7
2
n n m --…对任意
*
n N ∈都成
立. ………………8分
令172n n n b --=
，则11678222
n n n
n n n n n
b b +-----=-=， 所以当8n >时，1n n b b +<；当8n =时，98b b =；当8n <时，1n n b b +>．
所以n b 的最大值为981
128
b b ==
，所以m 的最小值为
1
128
. ………………10分 （3）因为数列{}n a 不是常数列，所以2T …．
①若2T =，则2
n n a a +=恒成立，从而31a a =，42a a =，所以222
2121222
1221()
()
a a a a a a a a λλ?=+-??=+-??， 所以2
21()0a a λ-=，又0λ≠，所以21a a =，可得{}n a 是常数列．矛盾．
所以
2
T =不合题
意. ………………12分
②若3T =，取*
1,322,31()3,3n n k a n k k N n k =-??==-∈??-=?
（*），满足3n n a a +=恒成
立． ………………14分
由22
21321()a a a a a λ=+-，得7λ=． 则条件式变为2
117n n n a a a +-=+．
由2
21(3)7=?-+，知223132321()k k k a a a a a λ--=+-；
由2
(3)217-=?+，知223313121()k k k a a a a a λ-+=+-； 由2
1(3)27=-?+，知223133221()k k k a a a a a λ++=+-．
所以，数列（*）适合题意． 所以
T
的最小值为
3. ………………16分
20．解：（1）由()ln f x x =，得(1)0f =，又1
()f x x
'=
，所以(1)1f '=，. 当
c =时，
()b g x ax x
=+
，所以2()b
g x a x
'=-，
所以
(1)g a b '=-. ………………2分
因为函数()f x 与()g x 的图象在1x =处有相同的切线，
所以
(1)(1)(1)(1)
f g f g ''=??
=?，即
10
a b a b -=??
+=?，解得
1212
a b ?=???
?=-??. ………………4分 （2）当01x >时，则0()0f x >，又3b a =-，设0()t f x =，
则题意可转化为方程3(0)a
ax c t t x
-+
-=>在(0,)+∞上有相异两实根12,x x ． ………………6分
即关于x 的方程2
()(3)0(0)ax c t x a t -++-=>在(0,)+∞上有相异两实根12,x x ．
所以2121203()4(3)0
30a c t a a c t x x a a
x x a <
??=+-->?
?+?+=>?
?-=>?
?
，得203()4(3)0a c t a a c t <-??+>?， 所
以
c t
>对
(0,),(0,3)
t a ∈+∞∈恒成
立． ………………8分
因为03a <<
，所以23=（当且仅当3
2
a =时取等号）， 又0t -<
，所以t 的取值范围是(,3)-∞，所以3c …． 故
c
的最小值为
3. ………………10分
（3）当1a =时，因为函数()f x 与()g x 的图象交于,A B 两点，
所以
11122
2ln ln b x x c x b x x c
x ?
=+-???
?=+-??
，两式相减，得
21
1221
ln ln (1)x x b x x x x -=-
-. ………………12分
要证明122121x x x b x x x -<<-，即证21
1221212121
ln ln (1)x x x x x x x x x x x x --<-
<--，
即证
212211
ln ln 11x x x x x x -<<-，
即
证
122211
1ln 1x x x
x x x -
<<-. ………………14分 令
21x t x =，则1t >，此时即证1
1ln 1t t t
-<<-． 令1
()ln 1t t t ?=+-，所以2
2111
()0t t t t t
?-'=-=>，所以当1t >时，函数()t ?单调递增．
又(1)0?=，所以1()ln 10t t t
?=+->，即1
1ln t t
-<成立； 再令()ln 1m t t t =-+，所以11()10t
m t t t
-'=-=<，所以当1t >时，函数()m t 单调递
减，
又(1)0m =，所以()ln 10m t t t =-+<，即ln 1t t <-也成立． 综
上
所
述
，
实
数
12
,x x 满足
122121x x x b x x x -<<-. ………………16分
附加题答案
21．（A ）解：如图，连接AE ，OE ，
A
B
E
D F O
·
第21(A)图