第三章 力系简化的基础知识

第三章 力系简化的基础知识

作用在物体上的一组力称为力系。

如果某力与一力系等效，则此力称为该力系的合力。

本章将介绍力学中的几个重要基本概念：力对点的矩；力偶和力偶矩；力的等效平移等。这些概念不但是研究力系简化的基础知识，而且在工程问题中得到广泛应用。

§ 3-1 平面汇交力系的合成与平衡条件

力系中各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点，这样的力系称为平面汇交力系。在工程中经常遇到。例如在施工中起重机的吊钩所受各力就构成一个平面汇交力系，如图3-1（a ）、（b ）所示。

图3-1

一、两汇交力的合成

二、平面汇交力系的合成

1．平面汇交力系合成的几何法

如图)(33a -示，可以先将力系中的二个力按力的平行四边形法则合成，用所得的合力再与第三个力合成。如此连续地应用力的平行四边形法则，即可求得平面汇交力系的合力，具体作法如下：

任取一点a ，作矢量1__F ab =，过b 点作矢量2__F bc =，由力的三角形法则，矢量21__1F F ac R +==，即为力1F 和2F 的合力矢量。再过c 点作矢量3___F cd =，矢量32131__2F F F F R ad R ++=+==，即为力21F F 、和3F 的合力矢量。最后，过d 点作矢量4__F de =,则矢量432142F F F F F R R +++=+= ，即为力系中各力矢量的合矢量。

图3-3

上述过程示于图)(33b -。可以看出，将力系中的各力矢量首尾相连构成开口的力多边形abcde ，然后，由第一个力矢量的起点向最后一个力矢量的末端，引一矢量R 将力多边形封闭，力多边形的封闭边矢量R 即等于力系的合力矢量。这种通过几何作图求合力矢量

的方法称为力多边形法。

结论：平面汇交力系的合力矢量等于力系中各分力的矢量和，即

∑==+++=n

i i n F F F F R 121 式（3-2）

合力的作用线通过各力的汇交点。

值得注意的是，作力多边形时，改变各力的顺序，可得不同形状的力多边形，但合力矢的大小和方向并不改变。

2．力在轴上的投影，合力投影定理

3．平面汇交力系合成的解析法

【例3-1】试求出图3-8中各力在x 轴和

y 轴上的投影。已知

KN F F KN F KN F 200,150,1004321====

【解】：KN F X 7.70707.010045cos 11=?==

KN F Y 7.70707.010045sin 11=?==

KN F X 9.129866.015060sin 22-=?-=-=

KN F Y 755.015060cos 22=?==

KN F X 1005.020060cos 33=?==

KN F Y 2.173866.020060sin 33-=?-=-=

090cos 44== F X

KN F Y 200120090sin 44-=?-=-=

图3-8

三、平面汇交力系的平衡条件及应用

平面汇交力系平衡的充分和必要条件是：该力系的合力等于零，即力系中各力的矢量和为零：

01==∑=n i i F

R

当用解析法求合力时，平衡条件0R =表示为： 0)()(11

22

=+=∑∑==n i n i i i Y X R 该式等价于 ???

????==∑∑==0011n i i n i i Y X 式（3-9）

于是，平面汇交力系平衡的充分与必要条件，也可解析地表达为：力系中各力在两个坐标轴上投影的代数和分别为零。式(39)-称为平面汇交力系的平衡方程。平面汇交力系有两个独立的平衡方法，可以求解两个未知量。

【例3-3】小滑轮C 铰接在三脚架上，绳索绕过滑轮，一端连接在绞车

D 上，另一端悬挂重为

1100F KN =的重物如图3-10(a)所示。不计各构件的自重和滑轮的尺寸，不计摩擦。试求杆AC 和BC 所受的力。

【解】：（1）取分离体，作受力图。

取滑轮C 和绕在它上面的一小段绳索为分离体。绳索两端的拉力分别为T 和T '，滑轮C 平衡时有1'F T T ==。杆AC 和BC 都是二力杆，因不计滑轮的尺寸，作用在滑轮上的力系可看作为平面汇交力系。受力图如图3-10(b)所示。反力CB N 和CA N 的大小是未知的，可以用平面汇交力系的两个平衡方程求解。

图3-10

（2）列平衡方程，求解未知量

取C 点为坐标原点，选择坐标轴如图()b 所示。列平衡方程。

∑∑=-?'-?==?'+?+=030sin 30sin ,0030cos 30cos ,0T T N

Y T N N

X CA CA CB

解得 KN N KN

N CB CA 4.346300-==

CA N 为正值，表示此力的实际方向与假定的方向相同AC 受拉。CB N 为负值，表示此力的实际方向与假定的方向相反，杆BC 应受压。请注意，没有必要去改变受力图中力CB N 的方向，因为根据CB N 取负值这一事实，人们已经知道受力图中力CB N 的指向与实际指向相反。

§ 3-2 力对点的矩

一、力对点的矩

首先，从大家熟悉的例子说起。在板手上加一力F ，可以使板手绕螺母的轴线旋转（图3-12）。经验证明，板手的转动效果不仅与力F 的大小有关，而且还与点O 到力作用线的距离d 有关，力F 使板手绕O 点转动的效果可用代数量Fd ±来确定，正、负号表示板手的两个不同的转动方向。确定力使物体绕点转动效果的这个代数量Fd ±，称为力F 对O 点的矩。称O 点为矩心，称O 点到力F 作用线的距离d 为力臂。

图3—12 图3—13

力F 使物体绕平面上任意点O 的转动效果，可用力F 对O 点的矩来度量。于是，可将力对点的矩定义如下：力对点的矩是力使物体绕点转动效果的度量，它是一个代数量，其绝对值等于力的大小与力臂之积，其正负可作如下规定：力使物体绕矩心顺时针转动时取正号，反之取负号，如图所示。力F 对O 点的矩用符号)(F m o 表示，则

Fd F m ±=)(0 式（3-10）

显然，当力的作用线通过矩心时，力臂d 等于零，于是力对点的矩为零。力矩的单位是牛顿·米（m N ?）或千牛·米（m KN ?）

二、合力矩定理

前面讲过，平面汇交力系各分力对物体的作用效果，可以用它们的合力来代替，现在来讨论各分力对某点的力矩和它们的合力对同一点的力矩有什么关系。

合力对平面内任一点的矩等于各分力对该点的矩的代数和，这就是合力矩定理，即： ()()i F m R M 00∑= 式（3-11）

【例3-6】图3-16中．已知KN P KN P KN P 4,3,2321===，求合力矩。

【解】：根据合力矩定理，有：

=)(R M o )(1P m o +)(2P m o +)(3P m o

m

KN ?=??+?+??-=3.12560sin 403530sin 2

图3-16 图3-17