四边形经典例题50道

四边形经典例题 50 道
_A
_D
1．已知：在矩形 ABCD 中，AEBD _A
_D
于 E，∠DAE=3∠BAE ，求：∠EAC
的度数。
_O
8、在正方形 ABCD 中，直 _G
_E
_A
_D
_E _B
线 EF 平行于对角线 AC，与 _B _C 边 AB、BC 的交点为 E、F，在 DA
_C
_F
的延长线上取一点 G，使 AG=AD， _E
2．已知：直角梯形 ABCD 中，BC=CD=a _A
_D
且∠BCD=60，E、F 分别为梯形的腰 AB、
若 EG 与 DF 的交点为 H，求证：AH 与
_H
正方形的边长相等。
_B
_F
_C
DC 的中点，求：EF 的长。
_E
_F
_B
3、已知：在等腰梯形 ABCD 中，AB∥DC， _D AD=BC，E、F 分别为 AD、BC 的中点， BD 平分∠ABC 交 EF 于 G，EG=18，
_E
GF=10 求：等腰梯形 ABCD 的周长。
_A
4、已知：梯形 ABCD 中，AB∥CD，以 AD，AC
为邻边作平行四边形 ACED，DC 延长线交
BE 于 F，求证：F 是 BE 的中点。
_D
_C _C
_G
9、若以直角三角形 ABC 的边 _F 在三角形 ABC 的外部作正方 _D
AF 是 BC 边的高，延长 FA 使
求证：BG=CD。
_B
_E
_G _E
AB 为边， 形 ABDE， _A AG=BC，
_B
_F
_C
_C _F
_F
10、正方形 ABCD，E、F 分别是 上的一点，且 AE=AF=AC，EF 交 _D 交 AC 于 K，交 CD 于 H，求证： EG=GC=CH=HF。
AB 、 AD 延 长 线
_H
_C BC 于 G，
_K _j _G
_A
5、已知：梯形 ABCD 中，AB∥CD，ACCB， _D AC 平分∠A，又∠B=60，梯形的周 长是 20cm, 求：AB 的长。
_A
_B _C
_A _A
11、在正方形 ABCD 的对角线 BD 上，取 BE=AB，若过 E 作 BD 的垂
线 EF 交 CD 于 F，求证：CF=ED。
_B
_B
_E
_D
_E _F
6、从平行四边形四边形 ABCD 的各顶点作对角线的垂线 AE、 BF、CG、DH，垂足分别是 E、F、G、H，求证：EF∥GH。
12、平行四边形
ABCD
中，∠A、∠D
的_B 平分线相交于
_C
E，AE、
_D
_C DE 与 DC、AB 延长线交于 G、F，求证：AD=DG=GF=FA。
_E
_F
_O
7、已知：梯形 ABCD 的对 角线的交点为 E 若在平
_H
_G
_A
_B
行边的一边 BC 的延长线上取一点 F，使 S ABC =S EBF ，求
_A
_D
_E
_B _C
_F
_G
证：DF∥AC。 1

13、在正方形 ABCD 的边 CD 上任取一 _A 点 E，延长 BC 到 F，使 CF=CE，求证： BEDF
18、以ABC 的三边 AB、BC、CA 分别为边，在 BC 的同侧作
_D
等边三角形 ABD、BCE、CAF，求
证：ADEF 是平行四边形。
_D
_E
_E
14、在四边形 ABCD 中，AB=CD， P、Q 分别是 AD、BC 中点，M、N 分别是对角线 AC、BD 的中点， 求证：PQMN。
_B
_C _F
_A _P
_D
_N
_M
_B
_Q
15、平行四边形 ABCD 中，AD=2AB，AE=AB=BF 求证：CEDF。
_F _A
_B
_C
19、M、N 为ABC 的边 AB、AC 的中点，E、F 为边 AC 的三
等分点，延长 ME、NF
_A
_D
交于 D 点，连结 AD、
DC，求证：⑴BFDE 是
_C
_M
平行四边形，⑵ABCD
_E _F
是平行四边形。
_B
_N
_C
_D
_C
_E
_A
16、在正方形 ABCD 中，P 是 BD 上一 _A 点，过 P 引 PEBC 交 BC 于 E，过 P 引 PFCD 于 F，求证：APEF。
_D
20、平行四边形 ABCD 的对角线交于 O，作 OEBC，
AB=37cm,
_A
_D
BE=26cm,
EC=14cm,求：平
行 四 边 形 ABCD
_O
_B
_F 的面积。
_B
_B
_E
_C
_P
_E
_H
21、在梯形 ABCD 中，AD∥BC，高 AE=DF=12cm,两对角线
BD=20cm,AC=15cm,求梯形 ABCD
的面积。
_A
_D
_F
_C
_A
17、过正方形 ABCD 的顶点 B 引 对角线 AC 的平行线 BE，在 BE 上 取一点 F，使 AF=AC，若作菱形 _D CAFé， 求证：AE 及 AF 三等分∠BAC。
_B _F
_C
_B
22、在梯形 ABCD 中，二底 AD、 _E BC 的中点是 E、F，在 EF 上任
取一点 O，求证：S OAB =S OCD
_B
_E
_F
_C
_A _E _D
_O
_F
_C
2

23、平行四边形 ABCD 中，EF 平行于对角线 AC，且与 AB、
BC 分别交于 E、F，求证：
_A
_D
S ADE =S CDF
_E
_B
_F
_C
24、梯形 ABCD 的底为 AD、BC，若 CD 的中点为 E
求证：S
ABE
=
1 2
S
ABCD
_A
_D
_E
_B
_C
_A
_D
_E
29、证明：顺次连结四边 形的各边中点的四边形 _B 是平行四边形，其周长 等于原四边形的对角线之和。
_G _F
_H _C
30、在正方形 ABCD 的 CD 边上取一点 G，在 CG 上向原正方 形外作正方形 GCEF，求证：DEBG，DE=BG。
_A
_D
_H
_G
_F
25、梯形 ABCD 的面积被对角线 BD 分成 37 两部分，求这个
梯形被中位线 EF 分成的两部分 的面积的比。
_D
_C
_E _F
_B
_C
_E
31、在直角三角形 ABC 中，CD 是斜边 AB 的高，∠A 的平分 线 AE 交 CD 于 F，交 BC 于 E，EGAB 于 G，求证：CFGE 是 菱形。
_C
_A
_B
26、在梯形 ABCD 中，AB∥CD，M 是 BC 边的中点，且 MNAD
于 N，求证：S ABCD =MN?AD。
_D
_C
_N
_M
_A
_B
27、求证：四边形 ABCD 的两条对角线之和小于它的周长而 大于它的周长之半。
28、平行四边形 ABCD 的对边 AB、CD 的中点为 E、F， 求证：DE、BF 三等分对角线 AC。
_F
_E
_A
_D _G _B
32、若分别以三角形 ABC 的边 AB、AC 为边，在三角形外作 正方形 ABDE、ACFG，求证：BG=EC，BGEC。
_E
_G
_A _D
_H _F
_B
_C
33、求证：对角线相等的梯形是等腰梯形。
34、正方形 ABCD 中，M 为 AB 的任意点，MNDM，BN 平分 ∠CBF，求证：MD=NM
3

_D
_C
_N
_A
_M
_B
_F
35、在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AD=12cm，BC=28cm，EF∥AB 且 EF 平分 ABCD 的面积，求：BF 的长。
_A
_E _D
39、四边形 ABCD 中，M、N 分别是对角线 AC、BD 的中点，
又 AD、BC 相交于点 P，求证：S
PMN = 1 S ABCD。 4
_P
_D _C
_M
_N
_A
_B
40、正方形 ABCD 的边 AD 上有
一点 E，满足 BE=ED+DC，如果 M 是 AD 的中点，求证：
∠EBC=2∠ABM，
_A
_M _E _D
_B
_F
_C
36、平行四边形 ABCD 中，E 为 AB 上的任一点，若 CE 的延
长线交 DA 于 F，连结 DE，求证：S ADE=S BEF
_C
_B
_E
_D
_A
_F
37、过四边形 ABCD 的对角线 BD 的中点 E 作 AC 的平行线 FEG，与 AB、AC 的交点分别为 F、G，求证：AG 或 FC 平分 此四边形的面积，
_C
_D
_G
_E
_A
_F
_B
38、若以三角形 ABC 的边 AB、AC 为边向三角形外作正方形
ABDE、ACFG，求证： _E
S AEG ABC。
=S _D
_G _A
_F
_B
_C
_B
_C
41、若以三角形 ABC 的边 AB、BC 为边向三角形外作正方形 ABDE、BCFG，N 为 AC 中点，求证：DG=2BN，BMDG。
_D
_M
_G
_E
_B
_F
_A
_N
_C
42、从正方形 ABCD 的一个顶点 C 作 CE 平行于 BD，使 BE=BD， 若 BE、CD 的交点为 F，求证：DE=DF。
_A
_D
_E _F
_B
_C
4

43、平行四边形 ABCD 中，直线 FH 与 AB、CD 相交，过 A、
D、C、B，向 FH 作垂线，垂
足为 G、F、E、H，求证：
AG-DF=CE-BH。
_D
_F
_C
_E _G
_A
_H
_B
_B
_G _C
_M
_N
_A
_H
_D
49、正方形 ABCD 中，E 是边 CD 的中点，F 是线段 CE 的中
点求证：∠DAE= 1 ∠BAF。
_A
_D
2
_E _F
44、四边形 ABCD 中，若∠A=∠C，求证各角平分线围成的四 边形等腰梯形。
45、正方形 ABCD 中，∠EAF=45求证：BE+DF=EF。
_A
_D
_F
_B
_C
50、等腰梯形 ABCD 中，DC∥AB， AB>CD，AD=BC，AC 和 BD 交于 O，
_D
_C
_E
且所夹的锐角为 60，E、F、M 分别 为 OD、OA、BC 的中点。求证：三角
_o
_m
形 EFM 为等边三角形。
_F
热点一 计算类
_A
_B
例 1．如图，在□ABCD 中，已知 AD
＝8 ㎝， AB＝6 ㎝， DE 平分∠ADC 交 BC 边于点 E，则 BE
A
D等于（
） A.2cm B.4cm
_B
_E
_C
46、正方形 ABCD 中，点 P 与 B、C 的连线和 BC 的夹角为 15 求证：PA=PD=AD。
_D
_C
_P
_A
_B
47、四边形 ABCD 中，AD=BC，EF 为 AB、DC 的中点的连线， 并分别与 AD、BC 延长线交于 M、N，求证：∠AME=∠BNE。
_N
_M
_C
_D
_F
C.6cm
D.8cm
B□ABCED
中，AC.BD
例 2．如图， 为C 对角线，BC=6，
A
D
BC 边上的高为 4，则阴影部分的面
积为（
）．A．3 B．6
C．12 例 3. 如
图
D．24 ，矩形
ABCD
的
B 两条
对
角
线
相
交
于
点
C
O
，
AOB 60°，AB 2 ，则矩形的对角线A
D
AC 的长是（ ）
A．2 B．4 C． 2 3 D． 4 3
B
O C
Y 例 4. 如 图 5 ， 在 ABCD 中 ， AE BC 于 E，
AE EB EC a，且 a 是 A
D一 元 二
次方程 x2 2x 3 0 的
根，则
YABCD 的周长为（ B
E
C
A． 4 2 2
B．12 6 2
_A
_E
48、正方形 ABCD 中，MNGH，求证：MN=HG。
_B C． 2 2 2
D． 2 2或12 6 2
5

例 5．如图，四边形 ABCD 中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，
BE⊥AD 于点 E，且四边形 ABCD 的面积为 8，则 BE=（ ）
A．2
B．3
C． 2 2 D． 2 3
例 4.13．在下列命题中，是真命题的是（ ） A．两条对角线相等的四边形是矩形 B．两条对角线互相垂 直的四边形是菱形 C．两条对角线互相平分的四边形是平行 四边形 D．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
例 6．只用下列正多边形地砖中的一 种，能够铺满地面的是（ ）
A.正十边形 B.正八边形 C. 正六边形 D.正五边形 例 7．如图 6，在 ABCD 中，AB=6，AD=9，∠BAD 的平分 线交 BC 于点 E，交 DC 的延长线于点 F，BG⊥AE，垂足为
G，BG= 4 2 ，则ΔCEF 的周长为（ ）
A.8 B.9.5
C.10
D.11.5
热点三 动态与操作类
例 1．（2009 年甘肃庆阳）如图 7，将正六边形绕其对称中
心 O 旋转后，恰好能与原来的正六边形重合，那么旋转的
角度至少是
度．
例 2．(2009 年温州)在所给的 9×9 方格中，每个小正方形
的边长都是 1．按要求画平行四边形，使它的四个顶点以及
对角线交点都在方格的顶点上．(1)在图甲中画一个平行四
边形，使它的周长是整数；(2)在图乙中画一个平行四边形，
使它的周长不是整数．(注：图甲、图乙在答题纸上)
【答案】解：（1）
例 8. 若一个正多边形的一个外角是 40°，则这个正多边形
的边数是
A.10
B.9
C.8
D.6
例 9．已知直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，
BC=DC=5，点 P 在 BC 上移动，则当 PA+PD 取最小值时，△
APD 中边 AP 上的高为（ ）
2 A、 17
17
B 4 17 17
C、 8 17 17
D、3
热点二. 命题与结论类
例 1.如图，□ABCD 中，E 、F 分别为 BC 、AD 边上的点，
要 使 BF DE，需 添 加 一 个 条 A F
件：
．
D
例 2．已知命题“如果一个平行四边
形的两条对角线互相垂直，那么这B 个平行四边形是菱形”，写出它的逆命题：
E
C
___________________________
例 3.在矩形 ABCD中， AB 1，
AD
A
B
3 ， AF 平分 DAB，过 C 点作 CE BD于
D E ，延长 AF 、 EC 交于点 H ，下列
OE
结论中：① AF FH ；②
C F
BO BF ；
H
③
CA CH ；
④
BE 3ED，正确的
A．②③
②④
D．②③④
B．③④ C．①
（2）
例 3.如图，将边长为 8 ㎝的正方形 ABCD 折叠，使点 D 落在
BC 边的中点 E 处，点 A 落在 F 处，折痕为 MN，则线段 CN
的长是（ ）
A
D
A．3cm B．4cm C ． 5cm
M
D．6cm
F
例 4．（2009 年山东青岛市）如图，
N
在梯形 ABCD 中， AD∥BC ， AD 6cm ， CD 4cm ， B
E
C
BC BD 10cm，点 P 由 B 出
发沿 BD 方向匀速运动，速度为
1cm/s；同时，线段 EF 由 DC 出发沿 DA 方向匀速运动，速
度为 1cm/s，交 BD 于 Q，连接 PE．若设运动时间为 t （s）
（1） A P
E D （ 0 t 5 ）．解答下列问题： 当 t 为何值时，PE∥AB ？（2）
Q
设 △PEQ 的面积为 y （cm2），
求
B
y
与
t
之
间
的
函F数
关
C 系
式；
（3）是否存在某一时刻 t ，
使
S△PEQ
2 25
S△BCD
？若
存在，求出此时 t 的值；若不存在，说明理由．
6

（4）连接 PF ，在上述运动过程中，五边形 PFCDE 的面
积是否发生变化？说明理由．
例 5．（2009 桂林百色）如图,正方形 ABCD 的边长为 2，将
长为 2 的线段 QR 的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑
动．如果 Q 点从 A 点出发，沿图中所示方向按 A→B→C→D→A
滑动到 A 止，同时点 R 从 B 点出发，沿图中所示方向按
B→C→D→A→B 滑动到 B 止，在这个过程中，线段 QR 的中
点 M 所经过的路线围成的图形的面积为（
）．
别是 AB、AC 的 10 等分点，则 B1C1 B2C2 B9C9
的值是 （ A. 30
） B. 45
C.55
D.60
A．2 B． 4 π
C． π D． π 1
热点四
规律类
例 1. （2009 年北京市）如图，正方形纸片 ABCD 的边长为
1，M、N 分别是 AD、BC 边上的点，将纸片的一角沿过点 B
的直线折叠，使 A 落在 MN 上，落点记为 A′，折痕交 AD
于点 E,若 M、N 分别是 AD、BC 边的中点，则 A′N=
; 若 M、N 分别是 AD、BC 边的上距 DC 最近的 n 等分
点（ n 2 ,且 n 为整数），则 A′N=
（用含有 n
的式子表示）
例 2．如图所示，在矩
形 ABCD 中 ， AB 12，AC=20，两
条对角线相交于点
O ．以 OB 、OC 为邻边作第 1 个
平行四边形 OBB1C ，对角线相交
D 例 5.如图，正方形 ABCD 边长为 1，动，沿正方形 的边按逆时针方向运动，
CA
D
Q
M
当它的运动路程为 2009 时，点 P 所在位置为 A(P)
BB
R
C
_的__运__动_；路当程点为_P_所__在__位（置用为含自D 点E 时，点A P
然数 n 的式子表示）． 热点五 证明类
M O
Y 例 1．已知：如图在 ABCD 中，B
D
N
C
F
过对角线 BD 的中点 O 作直线 EF 分别交 DA 的延长
线、AB、DC、BC 的延长线于点 E、M、N、F。
（1）观察图形并找出一对全等三角形：△ ________≌ △
于点 A1 ，再以 A1B1 、A1C 为邻边作
____________，请加以证明； （2）在（1）中你所找出的一对全等三角形，其中一个三
第 2 个平行四边形 A1B1C1C ，对角
角形可由另一个三角形经过怎样的变换得到？ 例 2．如图 ，ABCD 是正方形．G 是 BC 上的一点，DE⊥AG
线相交于点 O1 ；再以 O1B1 、O1C1
于 E，BF⊥AG 于 F．
A
D
（1）求证：△ABF ≌△DAE ；
为邻边作第 3 个平行四边形 O1B1B2C1 ……依次类推．（1）
（2）求证： DE EF FB．
例 3．数学课上，张老师出示了问题：
E F
求矩形 ABCD的面积； （2）求第 1 个平行四边形 OBB1C 、第 2 个平行四边形
如图 1，四边形 ABCD 是正方形，点 E B
GC
是边 BC 的中点．AEF 90o ，且 EF 交正方形外角 DCG
A1B1C1C 和第 6 个平行四边形的面积．
例 3.如图所示，两个全等菱形的边长为 1 米，一个微型机 器人由 A 点开始按 ABCDEFCGA 的顺序沿菱形的边循环运动， 行走 2009 米停下，则这个微型机器人停在______点。 例 4. 在△ABC 中，BC=10，B1 、C1 分别是图①中 AB、AC
的中点，在图②中，
B1、B
、C
2
、C
1
2
分别是
AB,AC
的三
的平行线 CF 于点 F，求证：AE=EF．
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取 AB 的中
点 M，连接 ME，则 AM=EC，易证 △AME ≌△ECF ，所
以 AE EF ．
在此基础上，同学们作了进一步 A E M D
的研究：
A'
（1）小颖提出：如图 2，如果把
“点 E 是边 BC 的中点”改为“点 E 是
等分点，在图（3）中 B1、B 2、 B9;C1、C 2 C9 分
边 BC 上（除 B，C 外）的任意一点”， 其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍 B N
C
然成
立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；
7

如果不正确，请说明理由； （2）小华提出：如图 3，点 E 是 BC 的延长线上（除
结 EP1 绕点 E 逆时针旋转 90o 得到线段 EC1.判断直线 FC1 与
C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然 直线 CD 的位置关系，并加以证明；
成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程； ②当 P2 为线段 DC 的延长线上任意一点时，连结 EP2,将
如果不正确，请说明理由．
A
D
A
D
A
F
F
F D
例 4.
（B 2B0图C0ED91 年C 烟90台°G，市且）CB如D图图E，22直ACD角，梯Gt形anABBACBD图C中3，2CA，AED过G∥ 点
BC ， DD作
DE ∥ AB ，交 BCD 的平分线于点 E，连接
线段 EP2 绕点 E 逆时针旋转 90o 得到线段 EC2.判断直线 C1C2
与直线 CD 的位置关系，画出图形并直接写出你的结论.
2）若
4
AD=6,tanB=
,AE=1,在①的条件下，设
CP1= x ，S
3
VP1FC1 = y ，求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x
BE．（1）求证： BC CD ；（2）将 △BCE
绕点 C，顺时针旋转 90°得到 △DCG ，连 E
接 EG.．求证：CD 垂直平分 EG.
G
（3）延长 BE 交 CD 于点 P．求证：P 是B
C
CD 的中点．
例 5．在直角梯形 ABCD 中，AB∥DC，AB⊥BC，∠A＝60°，
AB＝2CD，E、F 分别为 AB、AD 的
中点，连结 EF、EC、BF、CF。。
⑴判断四边形 AECD 的形状（不证
明）；
⑵在不添加其它条件下，写出图中
一对全等的三角形，用符号“≌”
表示，并证明。
⑶若 CD＝2，求四边形 BCFE 的面积。
热点六 综合类
Y 例 1．（2009 年中山）在 ABCD 中， AB 10，AD=m，
D 60°， D
A
以 AB 为 直
径作⊙O ，（1）求
圆心 O 到 CD
的代数式来表
O
的距离（用含 m
示）；（2）当 m 取
的取值范围.
例 4．△ABC 是等边三角形，点 D 是射线 BC 上的一个动 点（点 D 不与点 B、C 重合），△ADE 是以 AD 为边的等 边三角形，过点 E 作 BC 的平行线，分别交射线 AB、AC 于点 F、G ，连接 BE ．（1）如图（a）所示，当点 D 在线 段 BC 上时． ①求证：△AEB ≌△ADC ； ②探究四边形 BCGE 是怎样特殊的四边形？并说明理由； （2）如图（b）所示，当点 D 在 BC 的延长线上时，直接写
出（1）中的两个结论是否成立？
（3）在（2）的情况下，当点 D 运动到什么位置时，四边形 BCGE 是菱形？并说明理由．
A
A
何 值 时 ， CD 与
⊙O 相切．
例 2. 如 图 ， 双 曲 线C
B y k (k＞0) 经过矩 x
形 QABC 的边 BC 的中点 E，交 AB 于点 D。若梯形 ODBC 的
面积为 3，则双曲线的解析式为
（A） y 1 x
（B） y 2 x
C y3 x
（D y 6 x
例 3. （2009 年北京市）在 YABCD 中，过点 C 作 CE⊥
CD 交 AD 于点 E,将线段 EC 绕点 E 逆时针旋转 90o 得到线段
EF
G
B
DC
B
图（a）
C
D
F
E图（b）
G
例 5.如图 1，在等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC ，E 是 AB
的 中 点 ， 过 点 E 作 EF ∥BC 交 CD 于 点
F ． AB 4，BC 6 ，∠B 60 .（1）求点 E 到 BC 的
距离；
（2）点 P 为线段 EF 上的一个动点，过 P 作 PM EF 交 BC 于点 M ，过 M 作 MN ∥ AB 交折线 ADC 于点 N ，连
EF(如图 1)（1）在图 1 中画图探究：
结 PN ，设 EP x .
①当 P 为射线 CD 上任意一点（P1 不与 C 重合）时，连 ①当点 N 在线段 AD 上时（如图 2），△PMN 的形状是否
8A
D
A
ND
A
D
E
F
EP
N
FE
P
F
B
CB M
CB
M
C

发生改变？若不变，求出 △PMN 的周长；若改变，请说明
理由；
②当点 N 在线段 DC 上时（如图 3），是否存在点 P ，使 △PMN 为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的 x
的值；若不存在，请说明理由
A B
C
D．
5．（2009 泰安）如图所示，矩形 ABCD 中，AB=8，BC=6，
P 是线段 BC 上一点（P 不与 B 重合），M 是 DB 上一点，且
BP=DM，设 BP=x，△MBP 的面积为 y，则 y 与 x 之间的函
A
D
M
数关系式为
BP
C
(第17题图)
。
6.如图，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm，若
墙上钉子间的距离 AB BC 16cm，则∠1
度．
A
B
C
真题训练一．填空题
1
1．如图，在□ABCD 中，BD 为对角线，E、F 分别是 AD.BD
的中点，连接 EF．若 EF＝3，则 CD 的长为
．
2．亲爱的同学们，我们在教材中已经学习了: ①等边三角
形；②等腰梯形；③平行四边形；④等腰三角形；⑤圆．在
以上五种几何图形中，既是轴对称图形， 又是中心对称图
形的是
．
3．如图，□ABCD 的对角线 AC 、BD 相交于点 O ，点 E 是 CD 的中点， △ABD 的周长为 16cm，则 △DOE 的周长
是
cm．
A
D
O
E
B
C
4.）如图，四边形 ABDC 中，ABD 120°，AB⊥ AC ，
BD⊥CD ， AB 4，CD 5 3 ，则该四边形的面积
是
．
7. 如图，将两张长为 8，宽为 2 的矩形纸条交叉，使重叠部
分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有
最小值 8，那么菱形周长的最大值是
．
8.我们把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形
叫做中点四边形．若一个四边形 ABCD 的中点四边形是一
个矩形，则四边形 ABCD 可以是
．
9.矩形 ABCD 中，对角线 AC 、BD 交于点 O ，AE BD
于 E，若OE∶ED 1∶3，AE 3，则 BD
．
10．如图，菱形 ABCD 的边长为 10cm，DE⊥AB，sin A 3 ， 5
则这个菱形的面积=
cm2．
9

11．如图，l ∥m，矩形 ABCD 的顶点 B 在直线 m 上，则

度．
D
A
l
65°
Cm
B
12．如图，方格纸中 4 个小正方形的边长均为 1，则图中阴
影部分三个小扇形的面积和为
（结果保留 π ）．
A
E
D
A′
B
C
18. 若将 4 根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形形状， 并使面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的一个最 小内角是______度。 19、如图，四边形 ABCD 中，AD∥BC 已知 BC＝CD＝AC＝2
3 ，AB＝ 6 ，则 BD 的长为________.
13.（本题满分 10 分）如图，在 RtOAB 中，OAB 90 ，
20．如图，正方形 ABCD 中，E 是 BC 边上一点，以 E
OA AB 6 ，将 OAB 绕点 O 沿逆时针方向旋转 90 得 为圆心、EC 为半径的半圆与以 A 为圆心，AB 为半径的圆
到 OA1B1 ． （1）线段 OA1 的长是
B 1弧外切，则 sAin1 EAB 的值B为
．
D
C
，
E
AOB1 的度数是
；
O
（2）连结 AA1 ，求证：四边形 OAA1B1 是平行四边形；
A
A B
（3）求四边形 OAA1B1 的面积．
14．如果只用圆、正五边形、矩形中的一种图形镶嵌整个平
面，那么这个图形只能是
．
15.（2009 年莆田）如图，菱形 ABCD 的对角线相交于点
O，请你添加一个条件：
，使得该菱形为正
D
CD
C
O
A
B
O
A
B
方形．
16.17．在四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 互相平分，
交点为 O ．在不添加任何辅助线的前提下，要使四边形
ABCD 成为矩形，还需添加一个条件，这个条件可以
是
．
17.(2009 成 都 ) 如 图 ， 将 矩 形 ABCD 沿 BE 折 叠 ， 若
∠CBA′=30°则∠BEA′=_____．
21. （ 如 图 ， 梯 形 ABCD 中 ， AD∥BC ， B 70°，C 40°，作 DE∥AB 交 BC 于点 E，若
AD
BE
C
AD 3 ， BC 10 ， 则 CD 的 长
是
．
22．如图，在四边形 ABCD 中，已知 AB 与 CD 不平行，∠
ABD ＝ ∠ ACD ， 请 你 添 加 一 个 条
件：
，使得加上
A
D
O
这个条件后能够推出 AD∥BC 且 B AB＝CD.
C （第 15 题
10

23.在等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC, AD＝3cm, AB＝4cm,
∠B＝60°, 则下底 BC 的长为
cm .
24. 如图 1，在等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，对角线 AC、BD
相 交 于 点 O ， 以 下 四 个 结 论 ： ① ABC DCB ，
②OA=OD ，③ BCD BDC ，④S AOB =S DOC ，其中正
确的是
A. ①②
B.①④
C.②③④
D.①②④
25. 如图，梯形 ABCD 中，
AD//BC，两腰 BA 与 CD 的延长线相交于 P，PE⊥BC，AD=2，
BC=5，EF=3，则 PF=__________
P
A
B
F
26.如图，在梯形 ABCD 中，DC∥AB，DA＝CB，若 AB＝10，
DC＝4，tanA＝2，则这个梯形的面积是______．
C．△ABE ∽△CBD
D． sin ABE AE ED
3.“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小
正方形拼成的大正方形.如图，是一“赵爽弦图”飞镖板，
其直角三角形的两条直角边的长分别是 2 和 4.小明同学距
飞镖板一定距离向飞镖板投掷飞镖（假设投掷的飞镖均扎
在飞镖板上）, 则投掷一次飞镖扎在中间小正方形区域（含
边线）的概率是
A. 1 2
B. 1 4
C. 1 5
D. 1 10
4. 如图，菱形 ABCD 的周长为 20cm，DE⊥AB，垂足为
E， cosA 4 ，则下列结论中正确 的个数为（
）
5
①DE=3cm； ②EB=1cm； ③ S菱形ABCD 15cm2 ．
A．3 个
B．2 个
C．1 个
D．0 个
D
A
C
EB
二. 选择题 1.如图，矩形 ABCD中， AB 3，BC 5．过
对 角 线 交 点 O 作 OE AC 交 AD 于 E，则 AE 的 长 是
（ ）A．1.6
B．2.5
C．3
D．3.4
5.如图，矩形纸片 ABCD 中，AB=4，AD=3，折叠纸片使 AD
边与对角线 BD 重合，折痕为 DG，则 AG 的长为（ ）
A．1 B． 4 3
C． 3 2
D．2
D
C
A′
2.如图，将矩形 ABCD沿对角线 BD 折叠，使 C 落在 C 处， BC 交 AD 于 E ，则下列结论不一定成立的是（ ）
E A B
D
C
A． AD BC B． EBD EDB
AG
B
6．如图 2，将一个长为 10cm，宽 为 8cm 的矩形纸片对折两次后，沿 所得矩形两邻边中点的连线（虚线） 剪下，再打开，得到的菱形的面积为 （）
A．10cm2 B． 20cm2 C． 40cm2
11
D． 80cm2

D
A
C
11. 如图(八)，长方形 ABCD 中，E 点在 BC 上，且 AE 平
分 BAC 。 若 BE =4 ， AC =15 ， 则 AEC 面 积 为 何 ？
A
D
图2
B
7.如图，菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，M、
N 分别是边 AB、AD 的中点，连接 OM、ON、MN，则下列 叙述正确的是（ ）
A．△AOM 和△AON 都是等边三角形 形 MBON 和四边形 MODN 都是菱形
B．四边
C．四边形 AMON 与四边形 ABCD 是位似图形 D．四边 形 MBCO 和四边形 NDCO 都是等腰梯形
A
M
N
B
D
O
C
8．已知菱形的边长和一条对角线的长均为 2cm ，则菱
形的面积为（ ）
A． 3cm2
B． 4 cm2 C． 3 cm2
D． 2 3 cm2
9.如图，在菱形 ABCD 中，∠A=110°，E，F 分别是边 AB 和
BC 的中点，EP⊥CD 于点 P，则∠FPC=（ ）
A．35°
B．45°
C．50°
D．55°
D
A
E
P
C
B
F
B
E
C
(A) 15 (B) 30 (C) 45 (D) 60 。
12. （2009 年台湾）图(十二)中，过 P 点的两直线将矩形 ABCD 分成甲、乙、丙、丁四个矩形，其中 P 在 AC 上，且
AP ： PC = AD ： AB =4：3。
A 甲
D 乙
丙P 丁
B
C
下列对于矩形是否相似的判
断，何者正确？
(A) 甲、乙不相似 (B) 甲、丁不相似
(C) 丙、乙相似 (D) 丙、丁相似。
13.顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点，所得
图形一定是（ ）
A．矩形
B．直角梯形 C．菱形 D．正方形
14.将矩形纸片 ABCD 按如图所示的方式折叠，AE、EF 为
折痕，∠BAE＝30°，AB＝ 3 ，折叠后，点 C 落在 AD 边上
的 C1处，并且点 B 落在 EC1边上的 B1处．则 BC 的长为（ ）．
10.如图，一块砖的外侧面积为 x ，那么图中残留部分墙面
的面积为
A． 4x
B．12x
C． 8x D．16x
A、 3
B、2
C、3
D、 2 3
15.如图 2 是一张矩形纸片 ABCD，AD=10cm，若将纸片
沿 DE 折叠，使 DC 落在 DA 上，点 C 的对应点为点 F，若
BE=6cm，则 CD=（ ）
A ． 4cm
B． 6cm
C ．8cm
12

D．10cm
A
D
O
B
C
16.菱形 OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示， AOC 45°，OC 2 ，则点 B 的坐标为（ ）
A． ( 2，1)
B． (1，2)
C ． ( 2 1，1)
D． (1，2 1)
17．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形 的是（ ）
A．等腰梯形 B．平行四边形 C．正三角形 D．矩形
18．如图 4，在平行四边形 ABCD 中，E 是 AB 的中点， CE 和 BD 交于点 O，设△OCD 的面积为 m，△OEB 的面积为
5 ，则下列结论中正确的是（ ）
23. 如
图 1，在矩形 MNPQ 中，
y
动点 R
C
B
从点 N 出发，沿 N → P →
Q→M
方向运动至点 M 处停
O 止．设点
A
x
R 运动的路程为 x ，
△MNR
的面积为 y ，如果 y 关于
x 的函数图象如图 2 所示，则当 x 9 时，点 R 应运动到
（）
Q
Py
R
M
N
（图 1）
O
49 （图 2）
x
A． m 5 B． m 4 5 C． m 3 5 D． m 10
19.利用两块长方体木块测量一张桌子的高度．首先按图
①方式放置，再交换两木块的位置，按图②方式放置．测量
的数据如图，则桌子的高度是（ ）
A．73cm
B．74cm C．75cm D．76cm
80cm
70cm
①
②
21. 如图：在菱形 ABCD 中，AC＝6, BD＝8,则菱形的
边长为（
）
A. 5
B. 10
C. 6
D.8
22.（2009 年长沙）如图，矩形 ABCD 的两条对角线相交于
点 O ，AOB 60°，AB 2 ，则矩形的对角线 AC 的长
是（ ）
A．2
B．4
C． 2 3
D． 4 3
A． N 处
B． P 处
C． Q 处
D． M 处
26．（2009 眉山）下列命题中正确的是( A．矩形的对角线相互垂直
角线相等 C．平行四边形是轴对称图形
的对角线相等
) B．菱形的对
D．等腰梯形
27．（2009 东营）如图所示，把一个长方形纸片沿 EF 折叠
后，点 D，C 分别落在 D′，C′的位置．若∠EFB＝65°，
则∠AED′等于 （ ）
（A） 70°
（B） 65°
（C） 50°
（D） 25°
13

E
A
D
A
D
A
D
D′ B
FC C′
28.(2009 年抚顺市)如图所示，正方形 ABCD 的面积为 12， △ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在 对角线 AC 上有一点 P ，使 PD PE 的和最小，则这个
最小值为（ ）
A． 2 3
B． 2 6
C．3
D． 6
A
D
P E
B
C
F
BE
C
BE
FP C
2．（2009 年包头）已知二次函数 y ax2 bx c（ a 0 ）
的图象经过点 A(1，0) ， B(2，0) ， C(0， 2) ，直线 x m
（ m 2 ）与 x 轴交于点 D ．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在直线 x m （ m 2 ）上有一点 E （点 E 在第四象 限），使得 E、D、B 为顶点的三角形与以 A、O、C 为顶 点的三角形相似，求 E 点坐标（用含 m 的代数式表示）； （3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点 F ，使 得四边形 ABEF 为平行四边形？若存在，请求出 m 的值及 四边形 ABEF 的面积；若不存在，请说明理由．
29.（2009 威海）在梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠A=60°，∠
B=30°，AD=CD=6,则 AB 的长度为（ ）
y
A．9
B．12
C．18
D． 6 3 3
30..（2009 湖北省荆门市）等腰梯形 ABCD 中，E、F、G、H 分别是各边的中点，则四边形 EFGH 的形状是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 三 解答题
1．（2009 年南宁市）25．如图 13-1，在边长为 5 的正方形
ABCD 中，点 E 、 F 分别是 BC 、 DC 边上的点，且 AE EF ， BE 2. （1）求 EC ∶ CF 的值；
（2）延长 EF 交正方形外角平分线 CP于点P（如图 13-2），
O
x
3．本题满分 8 分）如图：点 A.D.B.E 在同一直线上，AD=BE， AC=DF，AC∥DF，请从图中找出一个与∠E 相等的角，并加 以证明．（不再添加其他的字母与线段）
C
F
试判断 AE与EP 的大小关系，并说明理由；
（3）在图 13-2 的 AB 边上是否存在一点 M ，使得四边形 DMEP 是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，
请说明理由．
A
DB
E
4． 如图 10，⊙O 的弦 AD∥BC,过点 D 的切线交 BC 的延长 线于点 E，AC∥DE 交 BD 于点 H，DO 及延长线分别交 AC.BC 于点 G、F.
(1)求证：DF 垂直平分 AC； （2）求证：FC＝CE； （3）若弦 AD＝5 ㎝，AC＝8 ㎝，求⊙O 的半径.
14

5．已知正方形 ABCD 中，E 为对角线 BD 上一点，过 E 点作 EF⊥BD 交 BC 于 F，连接 DF，G 为 DF 中点，连接 EG，CG． （1）求证：EG=CG；（2）将图①中△BEF 绕 B 点逆时针旋转 45o，如图②所示，取 DF 中点 G，连接 EG，CG．问（1）中 的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请
（2）如图 4，在面积为 2 的平行四边形 ABCD 中，点 E、 F、G、H 分别是边 AB、BC、CD、DA 的中点，分别连结 AF、 BG、CH、DE 得 到一个新的 平行四边形 MNPQ 请 在 图 4 中探究 平行四边形 MNPQ 面 积 的大小（画图 并直接写出 结果）.
D
说明理由．
（3）将图①中△BEF 绕 B 点旋转任意角
度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是
否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求
证明）
A
E
D A
G E
D G
F
B
F
C
第 24 题图①
A
B
C
第 24 题图②
F E
B
C
第 24 题图③
6.阅读下列材料： 小明遇到一个问题：5 个同样大小的正方形纸片排列形 式如图 1 所示，将它们分割后拼接成一个新的正方形.他的 做法是：按图 2 所示的方法分割后，将三角形纸片①绕 AB 的中点 O 旋转至三角形纸片②处，依此方法继续操作，即 可拼接成一个新的正方形 DEFG.请你参考小明的做法解决 下列问题： （1）现有 5 个形状、大小相同的矩形纸片，排列形式如 图 3 所示.请将其分割后拼接成一个平行四边形.要求：在图 3 中画出并 指明拼接成的平行四边形（画出一个符合条件 的平行四边形即可）；
15