高中数学基本不等式及应用
基本不等式及应用
一、考纲要求：
1.理解基本不等式的证明过程．
2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 3．了解证明不等式的基本方法——综合法．
(1)a 2＋b 2
≥2ab (a ，b ∈R) (2)ab ≤(a ＋b 2)2(a ，b ∈R)
(3)a 2
＋b 2
2≥(a ＋b 2)2(a ，b ∈R) (4)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号且不为零)
上述四个不等式等号成立的条件都是a ＝b. 四、算术平均数与几何平均数
设a>0，b>0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的
算术平均数不小于它们的几何平均数．
四个“平均数”的大小关系；a ，b ∈R+
： 当且仅当a ＝
b 时取等号.
五、利用基本不等式求最值：设x ，y 都是正数．
(1)如果积xy 是定值P ，那么当x ＝y 时和x ＋y 有最小值2P. (2)如果和x ＋y 是定值S ，那么当x ＝y 时积xy 有最大值
14
S 2
.
强调：1、在使用“和为常数，积有最大值”和“积为常数，和有最小值”这两个结论时，应把握三点：“一正、二定、三相等、四最值”.当条件不完全具备时，应创造条件. 正：两项必须都是正数；
定：求两项和的最小值，它们的积应为定值；求两项积的最大值，它们的和应为定值。 等：等号成立的条件必须存在.
2、当利用基本不等式求最大(小)值等号取不到时，如何处理？（若最值取不到可考虑函数的单调性．）
想一想:错在哪里？
+≤≤2
a b
≤
+2ab
a b １．已知函数，求函数的
最小值和此时
x 的取值．x x x f 1)(+=1:()22112.
f x x x x x x =+≥===±解当且仅当即时函数取到最小
值２．已知函数，求函数的最小值．
)2(23)(>-+=x x x x f 3()222
3326f x x x x x x x =+≥->??
=?=?-?解：当且仅当即时，函数的最小值是2x =+大家把入看一看，会有
什么发现？用什么方法求该函数的
最小值？
3、已知两正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则z ＝(x ＋1x )(y ＋1
y
)的最小值为________．
解一：因为对a>0，恒有a ＋1a ≥2，从而z ＝(x ＋1x )(y ＋1
y )≥4，所以z 的最小值是4.
解二：z ＝2＋x 2y 2
－2xy xy ＝(2
xy
＋xy)－2≥2
2
xy
·xy －2＝2(2－1)，所以z 的最小值是2(2－1)． 【错因分析】 错解一和错解二的错误原因是等号成立的条件不具备，因此使用基本不等式一定要验证等号成立的条件，只有等号成立时，所求出的最值才是正确的．
【正确解答】 z ＝(x ＋1x )(y ＋1y )＝xy ＋1xy ＋y x ＋x y ＝xy ＋1xy ＋x ＋y 2
－2xy xy ＝2
xy
＋xy －2，
令t ＝xy ，则0 2 t 有最小值334，所以当x ＝y ＝12时z 有最小值25 4 . 误区警示： (1)在利用基本不等式求最值(值域)时，过多地关注形式上的满足，极容易忽视符号和等号成立条件的满足，这是造成解题失误的重要原因．如函数y ＝1＋2x ＋3 x (x<0)有最大值1－26而不是有最小值1＋ 2 6. (2)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否都能保证等号成立，并且要注意取等号条件的一致性，否则就会出错． 课堂纠错补练： 若0 sinx 的最小值为________． 解析：令sinx ＝t,0 t 在(0,1]单调递减，∴t ＝1时y min ＝5. 答案：5 考点1 利用基本不等式证明不等式 1.利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，其实质就是从已知的不等式入手，借助不等式性质和基本不等式，经过逐步的逻辑推理，最后推得所证问题，其特征是“由因导果”． 2．证明不等式时要注意灵活变形，多次利用基本不等式时，注意每次等号是否都成立．同时也要注意应用基本不等式的变形形式． 例1：（1）已知c b a ,,均为正数，求证：)(2 2 2 2 2 2 c b a abc a c c b b a ++≥++ （2）已知c b a ,,为不全相等的正数，求证：abc a c ac c b bc b a ab 6)()()(>+++++ （3）已知a>0，b>0，a ＋b ＝1，求证：1a ＋1 b ≥4. 【证明】 (1)∵a>0，b>0，a ＋b ＝1， ∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2 b a ·a b ＝4(当且仅当a ＝b ＝1 2 时等号成立)． ∴1a ＋1 b ≥4.∴原不等式成立． 练习：已知a 、b 、c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：(1a －1)(1b －1)(1 c －1)≥8. 证明：∵a 、b 、c 均为正实数，且a ＋b ＋c ＝1， ∴(1a －1)(1b －1)(1 c －1) ＝1－a 1－b 1－c abc ＝ b ＋c a ＋c a ＋b abc ≥2bc ·2ac ·2ab abc ＝8. 当且仅当a ＝b ＝c ＝1 3 时取等号． 考点2 利用基本不等式求最值 (1)合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的目标在于使等号成立，且每项为正值，必要时需出现积为定值或和为定值． (2)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法． 例4： (1)设0 的最大值． 【分析】 由和或积为定值从而利用基本不等式求最值，然后确定取得最值的条件 【解】 (1)∵0 ∴y ＝x 4－2x ＝2·x 2－x ≤2·x ＋2－x 2 ＝2， 当且仅当x ＝2－x 即x ＝1时取等号， ∴当x ＝1时，函数y ＝x 4－2x 的最大值是 2. (2) x>0，求f(x)＝12 x ＋3x 的最小值； （3）已知:x>0,y>0.且2x+5y=20,求 xy 的最大值. （4）已知= y 4 a －2 ＋a ，求y 的取值范围． 显然a ≠2，当a>2时，a －2>0，∴4a －2＋a ＝4 a －2＋(a －2)＋2≥2 4a －2 ·a －2＋2＝6， 当且仅当4 a －2＝a －2，即a ＝4时取等号， 当a<2时，a －2<0， ∴ 4a －2＋a ＝4a －2＋(a －2)＋2＝－[42－a ＋(2－a)]＋2 ≤－2 4 2－a ·2－a ＋2＝－2， 当且仅当4 2－a ＝2－a ，即a ＝0时取等号， ∴4 a －2 ＋a 的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞)． (5)已知x>0，y>0，且x ＋y ＝1，求3x ＋4 y 的最小值． ∵x>0，y>0，且x ＋y ＝1， ∴3x ＋4y ＝(3x ＋4 y )(x ＋y) ＝7＋3y x ＋4x y ≥7＋2 3y x ·4x y ＝7＋43， 当且仅当3y x ＝4x y ，即2x ＝3y 时等号成立， ∴3x ＋4 y 的最小值为7＋4 3. 练习： 求下列各题的最值． (1)已知x>0，y>0，lgx ＋lgy ＝1，求z ＝2x ＋5 y 的最小值； 解：(1)由x>0，y>0，lgx ＋lgy ＝1，可得xy ＝10. 则2x ＋5y ＝2y ＋5x 10≥210xy 10＝2.∴z min ＝2.当且仅当2y ＝5x ，即x ＝2，y ＝5时等号成立． (2)x 0，求f(x)＝12 x ＋3x 的最大值； ∵x>0，∴f(x)＝12 x ＋3x ≥2 12x ·3x ＝12，等号成立的条件是12 x ＝3x ，即x ＝2， ∴f(x)的最小值是12. (3)x<3，求f(x)＝4 x －3 ＋x 的最大值． ∵x<3，∴x －3<0，∴3－x>0，∴f(x)＝4x －3＋x ＝4 x －3 ＋(x －3)＋3 ＝－[4 3－x ＋(3－x)]＋3≤－2 43－x ·3－x ＋3＝－1， 当且仅当4 3－x ＝3－x ，即x ＝1时，等号成立．故f(x)的最大值为－1. （4）14,0,0=+>>b a b a ，求ab 的最大值。 考点3 利用基本不等式求最值的解题技巧 1.代换：化复杂为简单，易于拼凑成定值形式。2．拆、拼、凑，目的只有一个，出现定值． 例3：（1）已知+ ∈R b a ,,ab b a =++3，求ab 的最小值。 （4）求函数x x y 2512-+-=的最大值。 （5）设a>b>c>0，求2a 2 ＋ 1 ab ＋1a a －b －10ac ＋25c 2 的最小值。 A ．2 B ．4 C ．2 5 D ．5 【分析】 通过拆、拼、凑创造条件，利用基本不等式求最值，但要注意等号成立时的条件． 【解析】 原式＝(a 2－10ac ＋25c 2 )＋1ab ＋ab ＋1a a －b ＋a(a －b) ＝(a －5c)2 ＋1ab ＋ab ＋ 1 a a －b ＋a(a －b) ≥0＋2 1 ab ·ab ＋21 a a －b ·a a －b ＝4， 当且仅当???? ? ab ＝1a a －b ＝1 a ＝5c ，即a ＝2，b ＝ 22，c ＝2 5 时，等号成立．【答案】 B 练习： （1）(2011年浙江)设x ，y 为实数，若4x 2＋y 2 ＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________． 解析：4x 2＋y 2＋xy ＝1，∴4x 2＋4xy ＋y 2 －3xy ＝1 ∴(2x ＋y)2 －1＝3xy ＝32·2x ·y ≤32·(2x ＋y 2)2 ∵(2x ＋y)2－1≤38(2x ＋y)2 ∴(2x ＋y)2 ≤85 即－2105≤2x ＋y ≤2105当且仅当2x ＝y 时取等号，∴(2x ＋y)最大值＝2 510. （2）已知45< x ，求5 41 24-+-=x x y 的最大值。 （3）已知0>>y x ，1=xy ，求y x y x -+2 2的最小值及相应的y x ,的值。 高中数学基本不等式的巧用 一．基本不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”）;若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2( 2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的 积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2 ＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 解：（1）y ＝3x 2 ＋12x 2 ≥2 3x 2 ·12x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x --g 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴->Q ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 专题 基本不等式 【一】基础知识 基本不等式：)0,0a b a b +≥>> （1）基本不等式成立的条件： ； （2）等号成立的条件：当且仅当 时取等号. 2.几个重要的不等式 （1）()24a b ab +≤(),a b R ∈；（2）)+0,0a b a b ≥>>； 【二】例题分析 【模块1】“1”的巧妙替换 【例1】已知0,0x y >>，且34x y +=，则41x y +的最小值为 . 【变式1】已知0,0x y >>，且34x y +=，则4x x y +的最小值为 . 【变式2】（2013年天津）设2,0a b b +=>， 则 1||2||a a b +的最小值为 . 【例2】（2012河西）已知正实数,a b 满足 211a b +=，则2a b +的最小值为 . 【变式】已知正实数,a b 满足 211a b +=，则2a b ab ++的最小值为 . 【例3】已知0,0x y >>，且280x y xy +-=，则x y +的最小值为 . 【例4】已知正数,x y 满足21x y +=，则 8x y xy +的最小值为 . 【例5】已知0,0a b >>，若不等式 212m a b a b +≥+总能成立，则实数m 的最大值为 . 【例6】（2013年天津市第二次六校联考）()1,0by a b +=≠与圆221x y +=相交于,A B 两点，O 为坐标原点，且△AOB 为直角三角形，则 2212a b +的最小值为 . 【例7】（2012年南开二模）若直线()2200,0ax by a b -+=>>始终平分圆222410x y x y ++-+=的周长，则 11a b +的最小值为 . 【例8】设12,e e 分别为具有公共焦点12,F F 的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足 120PF PF ?=，则2 2214e e +的最小值为 【例9】已知0,0,lg 2lg 4lg 2x y x y >>+=，则11x y +的最小值是（ ） A ．6 B ．5 C ．3+ D ． 【例10】已知函数()4141 x x f x -=+，若120,0x x >>，且()()121f x f x +=，则()12f x x +的最小值为 . 第11课：基本不等式与双√函数 一、双√函数 形如.0,0,>>+=q p x q px y 图像如右图所示： （1）0>x 时，当p q x =时取到pq y 2min =； （2）值域： （3）当0,0< （2）凡是利用“积定和最小”求最值的函数均可换元为双勾函数！ 三、利用基本不等式求最值 类型一：形如()()0,1≠++ +=c a d cx b ax y 采取配积为定！ 1、求??? ??>-+ =455434x x x y 的最小值 2、求??? ??<-+=455433x x x y 的最大值 3、求()π,0,sin 2sin ∈+ =x x x y 的最小值的值域 4、求()的最小值01 1>-+=x e e y x x 的最小值 类型二：形如()0,2≠+++=c a d cx c bx ax y 采取配凑——分离术！ 1、求0,92>++=x x x x y 的最小值 2、求0,192>+++=x x x x y 的最小值 3、求?? ????-∈+++=1,31,12122x x x x y 的值域 4、求4,1822-<+++=x x x x y 的最值 一．选择题 1．已知直线ax+by=1经过点（1，2），则2a+4b的最小值为（） A．B．2C．4 D．4 2．已知x，y都是正数，且xy=1，则的最小值为（） A．6 B．5 C．4 D．3 3．若a，b都是正数，则的最小值为（） A．7 B．8 C．9 D．10 4．下列关于不等式的结论中正确的是（） A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b，则a2＞b2 C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2D．若a＜b＜0，则＞ 5．若m、n是任意实数，且m＞n，则（） A．m2＞n2B．C．lg（m﹣n）＞0 D． 6．若直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，1），则a+b的最小值等于（） A．2 B．3 C．4 D．5 7．若直线mx+ny+2=0（m＞0，n＞0）截得圆（x+3）2+（y+1）2=1的弦长为2，则+的最小值为（）A．6 B．8 C．10 D．12 8．已知不等式的解集为{x|a＜x＜b}，点A（a，b）在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则的最小值为（）A．B．8 C．9 D．12 9．若m+n=1（mn＞0），则+的最小值为（） A．1 B．2 C．3 D．4 10．已知x+3y=2，则3x+27y的最小值为（） A． B．4 C． D．6 11．若x＜0，则x+的最大值是（） A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2 12．已知a，b，c，是正实数，且a+b+c=1，则的最小值为（） A．3 B．6 C．9 D．12 二．填空题 1．已知正数x，y满足x+y=1，则的最小值为． 2．已知a＞0，b＞0，且a+b=2，则的最小值为． 3．已知x＞1，则函数的最小值为． 4．设2＜x＜5，则函数的最大值是． 5．函数f（x）=1+log a x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣2=0上，其中mn＞0，则的最小值为． 6．已知x＞1，则函数y=2x+的最小值为． 一．选择题 1．（2016?济南模拟）已知直线ax+by=1经过点（1，2），则2a+4b的最小值为（）A． B．2C．4 D．4 2．（2016?乌鲁木齐模拟）已知x，y都是正数，且xy=1，则的最小值为（） A．6 B．5 C．4 D．3 3．（2016?合肥二模）若a，b都是正数，则的最小值为（） A．7 B．8 C．9 D．10 4．（2016?宜宾模拟）下列关于不等式的结论中正确的是（） A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若a＞b，则a2＞b2 C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2 D．若a＜b＜0，则＞ 5．（2016?金山区一模）若m、n是任意实数，且m＞n，则（） A．m2＞n2B．C．lg（m﹣n）＞0 D． 6．（2015?福建）若直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，1），则a+b的最小值等于 （） A．2 B．3 C．4 D．5 7．（2015?红河州一模）若直线mx+ny+2=0（m＞0，n＞0）截得圆（x+3）2+（y+1）2=1的弦长为2，则+的最小值为（） A．6 B．8 C．10 D．12 8．（2015?江西一模）已知不等式的解集为{x|a＜x＜b}，点A（a，b）在直线 mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则的最小值为（） A．B．8 C．9 D．12 9．（2015?南市区校级模拟）若m+n=1（mn＞0），则+的最小值为（） A．1 B．2 C．3 D．4 10．（2015?湖南模拟）已知x+3y=2，则3x+27y的最小值为（） A．B．4 C．D．6 11．（2015?衡阳县校级模拟）若x＜0，则x+的最大值是（） A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2 12．（2015春?哈尔滨校级期中）已知a，b，c，是正实数，且a+b+c=1，则的最小值 为（） A．3 B．6 C．9 D．12 二．填空题 1．（2016?吉林三模）已知正数x，y满足x+y=1，则的最小值为． 2．（2016?抚顺一模）已知a＞0，b＞0，且a+b=2，则的最小值为． 3．（2016?丰台区一模）已知x＞1，则函数的最小值为．4．（2016春?临沂校级月考）设2＜x＜5，则函数的最大值 是． 5．（2015?陕西校级二模）函数f（x）=1+log a x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣2=0上，其中mn＞0，则的最小值为． 基本不等式 知识点： 1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 22 2≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ （当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若* ,R b a ∈，则 ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则2 2? ? ? ??+≤b a ab (当且仅当 b a =时取“=”） 3.若0x >，则1 2x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=” ） 若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且 仅当b a =时取“=”） 5.若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注意： (1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值， 当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． (2)求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用 应用一：求最值 例：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋ 1 2x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：(1)y ＝3x 2＋ 1 2x 2 ≥23x 2· 1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） (2)当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧 技巧一：凑项 例 已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42) 45 x x --不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 《基本不等式》教学设计方案 人教版（A 版） 普通高中课程标准试验教科书必修第五册 【教学目标】 1、知识与技能目标 （12 a b +≤,认识其运算结构； （2）了解基本不等式的几何意义及代数意义； （3）能够利用基本不等式求简单的最值。 2、过程与方法目标 （1）经历由几何图形抽象出基本不等式的过程； （2）体验数形结合思想。 3、情感、态度和价值观目标 （1）感悟数学的发展过程,学会用数学的眼光观察、分析事物； （2）体会多角度探索、解决问题。 【能力培养】 培养学生严谨、规范的学习能力，辩证地分析问题的能力，学以致用的能力，分析问题、解决问题的能力。 【教学重点】 2 a b +≤的证明过程。 【教学难点】 2 a b +≤等号成立条件。 【教学方法】 教师启发引导与学生自主探索相结合 【教学工具】 课件辅助教学、实物演示实验 【教学过程设计】 一、 创设情景，引入新课 如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标， 这是根据赵爽弦图而设计的。用课前折好的赵爽弦图示范，比较 4个直角三角形的面积和与大正方形的面积,你会得到怎样的相 等和不等关系？ 赵爽弦图 1．探究图形中的不等关系 将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中右个全等的直角三角形。 设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形 的边长为。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab， 正方形的面积为。由于4个直角三角形的面积小于正 方形的面积，我们就得到了一个不等式：。 当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正 方形EFGH缩为一个点，这时有。 2．得到结论：一般的，如果 3．思考证明：你能给出它的证明吗？ 证明：因为 当 所以，，即 4．基本不等式 1）特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a、b ，可得，通常我们把上式写作：2）从不等式的性质推导基本不等式 用分析法证明： 要证 (1) 只要证≥ +b a ab 2 (2)要证（2），只要证 a+b-ab 20 （3）要证（3），只要证（a-b）0 ≥（4）显然，（4）是成立的。当且仅当a=b时，（4）中的等号成立。 3）理解基本不等式的几何意义 如图所示：AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。 你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？ 引导学生发现：表示圆的半经，表示半弦长CD,得到不等关系：≤() 易证Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那么ＣD2＝ＣA·ＣB 即ＣD＝. 这个圆的半径为，显然，它大于或等于CD，即，其中当且仅当点C与圆心重合，即a＝b时，等号成立. 几何意义：半弦长不大于半径长。 我们称ab为正数b a,的几何平均数，称 2b a+ 为正数b a,的算术平均数。 代数意义：几何平均数小于等于算术平均数 5.随堂练习 已知a、b、c都是正数，求证：（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc 题型1 基本不等式反用ab ≤ a ＋b 2 例1：(1)函数f (x )＝x (1－x )(0 ∴x (3－3x )＝3x (1－x )≤3? ????x ＋1－x 22＝3 4 . 当x ＝1－x ，即x ＝1 2 时取等号． 例5：已知x ＞0，a 为大于2x 的常数， 求函数y ＝x (a －2x )的最大值； 解：∵x ＞0，a ＞2x ， ∴y ＝x (a －2x )＝1 2×2x (a －2x ) ≤12×??????2x ＋a －2x 2 2＝a 28 ，当且仅当x ＝a 4时取等号，故函数的最大值为a 2 8. 题型2 基本不等式正用a ＋b ≥2ab 例6：（1）函数f (x )＝x ＋1 x (x >0)值域为________； 函数f (x )＝x ＋1 x (x ∈R )值域为________； （2）函数f (x )＝x 2＋ 1 x 2 ＋1 的值域为________． 解析：(1)∵x >0，x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2， ∴f (x )(x >0)值域为[2，＋∞)； 当x ∈R 时，f (x )值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)； 高中数学基本不等式问题求解十例 一、基本不等式的基础形式 1．222a b ab +≥，其中,a b R ∈，当且仅当a b =时等号成立。 2 ．a b +≥，其中[),0,a b ∈+∞，当且仅当a b =时等号成立。 3．常考不等式：2 222 a b a b ab ++??≥≥≥ ?，其中(),0,a b ∈+∞，当且仅当a b =时等号成立。 问题（1（2例题 例题解析2 1212 x x x += ?=-时取等号。 变式：已知2x >-，则1 2 x x + +的最小值为。 解析：由题意可得()1 20,212 x x x +>+? =+，明显，积为定，根据和定积最大法则可得： 1 22112x x x x +=?+= ?=-+时取等号，此时可 例题3：若对任意x >0， x x 2 ＋3x ＋1 ≤a 恒成立，则a 的取值范围是________． 解析：由题意可得141x y +=，左边乘以141x y +=可得：14441y x x y y x ??? ?++ ??? ???? +=，化简可得： 1441144y y x x x y x y ??? ?++=+++ ??????? ，很明显44y x x y +中积为定值，根据积定和最小的法则可得： 424y x x y +≥=， 当且仅当2418 4x y x y x y =?==??=?时取等号。故而可得1444y x x y ??? ?++≥ ???????。不等式234y x m m + -＜有解，亦即2min 344y m m x ? ?->+= ?? ?，亦即2340m m -->，解得4m >或者1m <-，故而可得()(),14,m ∈-∞-?+∞。 4 x + 4x +2， 亦即问题例题仅当122b a a b =?=时取等号，化简后可得：ab =1 4 5 4 22a b ? =???=? 变式：若lg(3x )＋lg y ＝lg(x ＋y ＋1)，则xy 的最小值为__________． 解析：将题干条件化简可得：()()lg 3lg 131x y x y xy x y ?=++?=++，由题意需要求解xy ，故而可知利用不等式x y +≥31xy x y -=+≥x y =时等号成立，化 《§3.4.1基本不等式》的教学设计 教材：人教版高中数学必修5第三章 一、教学内容解析 本节选自人教版必修五的第三章第四节的第一课时，它是在学生学习完“不等式的性质”、“一元二次不等式及其解法”及“二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题”的基础上对不等式的进一步研究。在探究基本不等式内涵和证明的过程中，能够培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；培养学生形成数形结合的思想意识；在应用的过程中，通过对条件的转换和变式，有助于培养学生形成类比归纳的思想和习惯，进而形成严谨的思维方式。 二、教学目标设置 1．通过探究“数学家大会的会标”及感受会标的变形，引导学生从几何图形中获得两个基本不等式，了解基本不等式的几何背景培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；培养学生形成数形结合的思想意识； 2．进一步让学生探究不等式的代数证明，加深对基本不等式的理解和认识，提高学生逻辑推理的能力和严谨的思维方式。 3．通过例题让学生学会用基本不等式求最大值和最小值。 三、学生学情分析 对于高一的学生，不等式并不陌生，前面学习了不等式及不等式的性质，能够进行简单的数与式的比较，本节所学内容就用到了不等式的性质，所以学生可以在巩固不等式性质的前提下学习基本不等式，接受上是容易的，争取让学生真正意义上理解基本不等式。 四、教学策略分析 在教学过程中学生往往会直接应用不等式而忽略成立的条件，因此本节课的重点内容是对基本不等式的理解和运用。在运用过程中生成的规律，在学生做题时能灵活运用是难点，因此理解基本不等式和灵活应用基本不等式十本节课难点 五、教学过程： （一）情景引入 下图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会议现场。 不等式证明基本方法 例 1 ：求证：a2b2 1 a b ab 分析：比较法证明不等式是不等式证明的最基本的方法，常用作差法和作商法，此题用作差法较为简便。 证明： a2b2 1 (a b ab) 1 [( a b) 2(a 1)2(b 1)2 ] 0 2 评注： 1．比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断与0 的关系——结论 2．作差后的变形常用方法有因式分解、配方、通分、有理化等，应注意结合式子的形式，适当选用。 例 2 ：设a b c ，求证：bc2ca 2ab 2b2 c c2 a a2 b 分析：从不等式两边形式看，作差后可进行因式分解。 证明：bc2ca 2ab 2(b2 c c 2 a a 2 b) = bc(c b)ca(a c) ab(b a) = bc(c b)ca[( a b)(b c)]ab(b a) = (a b)(b c)(c a) a b c ，则a b 0, b c 0, c a 0, ∴ ( a b)(b c)(c a)0 故原不等式成立 评注：三元因式分解因式，可以排列成一个元的降幂形式： 2 ca 2 ab 2(2 c c 2 a 2 )2 (b a)c(a b)(a b) ab(b a) ，这样容易发现规律。 bc b a b c 例 3 ：已知a,b R , 求证： (a b)(a n b n )2(a n 1b n 1)证明： ( a b)( a n b n )2( a n1b n 1 ) a n b ab n a n 1b n 1 a n ( b a) b n (a b) (a b)(b n a n ) ⅰ）当 a b0 时，a b0, b n a n，则 (a b)(b n a n ) 0ⅱ）当 a b0 时，a b0, ，则 (a b)(b n a n )0 高中数学基本不等式精选讲解及归纳 ∵当x ＜2 3时，3-2x ＞0， ∴x x 238223-+-≥x x 2382232-?-=4，当且仅当x x 238223-=-，即x=-2 1时取等号. 于是y≤-4+23=25-，故函数有最大值2 5-. 例4如图3-4-1，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成. 图3-4-1 （1）现有可围36 m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ （2）若使每间虎笼面积为24 m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小？ 思路分析：设每间虎笼长为x m ，宽为y m ，则（1）是在4x+6y=36的前提下求xy 的最大值；而(2)则是在xy=24的前提下来求4x+6y 的最小值. 解：（1）设每间虎笼长为x m ，宽为y m ，则由条件,知4x+6y=36，即2x+3y=18. 设每间虎笼的面积为S ，则S=xy. 方法一：由于2x +3y≥2y x 32?=2xy 6, ∴2xy 6≤18,得xy≤227，即S≤2 27. 当且仅当2x=3y 时等号成立. 由???=+=,1832,22y x y x 解得???==. 3,5.4y x 故每间虎笼长为4.5 m ，宽为3 m 时，可使面积最大. 方法二:由2x+3y=18，得x=9- 23y. ∵x ＞0,∴0＜y ＜6. S=xy=(9-23y)y=2 3 (6-y)y. ∵0＜y ＜6,∴6-y ＞0. ∴S≤2 3［2)6(y y +-］2=227. 当且仅当6-y=y,即y=3时，等号成立，此时x=4.5.故每间虎笼长4.5 m,宽3 m 时，可使面积最大. (2)由条件知S=xy=24. 设钢筋网总长为l,则l=4x+6y. 方法一:∵2x+3y≥2y x 32?=2xy 6=24, ∴l=4x+6y=2(2x+3y)≥48,当且仅当2x=3y 时,等号成立. 由? ??==,24,32xy y x 解得???==.4,6y x 故每间虎笼长6 m ，宽4 m 时，可使钢筋网总长最小. 高中数学基本不等式知识点及练习题 1．基本不等式：ab ≤ a ＋ b 2 (1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )；(2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)；(3)ab ≤? ????a ＋b 22 (a ，b ∈R )； (4) a 2＋ b 22 ≥? ?? ??a ＋b 22 (a ，b ∈R )． 3．算术平均数与几何平均数 设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为 a ＋ b 2 ，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个 正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则 (1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 2 4.(简记：和定积最大) 一个技巧 运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a 2＋b 2≥2ab 逆用就是 22 ?? ??a ＋b 22 (a ，b ＞0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等． 两个变形 (1) a 2＋ b 22 ≥? ???a ＋b 22 ≥ab (a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)； a ＋ b 这两个不等式链用处很大，注意掌握它们． 三个注意 (1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可． (2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件． (3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2 ＋12x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 技巧二：凑系数 例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。 技巧三： 分离 例3. 求2710 (1)1 x x y x x ++= >-+的值域。 。 技巧四：换元 技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()a f x x x =+的单调性。例：求函数22 4 y x = +的值域。 练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值. （1）231 ,(0)x x y x x ++= > （2）12,33 y x x x =+>- (3)12sin ,(0,)sin y x x x π=+∈ 2．已知01x <<，求函数(1)y x x -.；3．2 03 x <<，求函数(23)y x x =-值. 条件求最值 高中数学基本不等式的巧用 1．基本不等式：ab≤a＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a＞0，b＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．2．几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；(2)b a＋ a b≥2(a，b同号)；(3)ab≤? ? ? ? ? a＋b 2 2(a，b∈R)； (4)a2＋b2 2≥? ? ? ? ? a＋b 2 2(a，b∈R)． 3．算术平均数与几何平均数 设a＞0，b＞0，则a，b的算术平均数为a＋b 2，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为两个 正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x＞0，y＞0，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p.(简记：积定和最小) (2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是p2 4.(简记：和定积最大) 一个技巧 运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2＋b2≥2ab逆用就是 ab≤a2＋b2 2； a＋b 2≥ab(a，b＞0)逆用就是ab≤? ? ? ? ? a＋b 2 2(a，b＞0)等．还要注意“添、拆项” 技巧和公式等号成立的条件等．两个变形 (1)a2＋b2 2≥? ? ? ? ? a＋b 2 2≥ab(a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号)； (2) a2＋b2 2≥ a＋b 2≥ab≥ 2 1 a＋ 1 b (a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时取等号)． 这两个不等式链用处很大，注意掌握它们．三个注意 (1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可． (2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件． (3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2 ＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 技巧二：凑系数 例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。 技巧三： 分离 例3. 求2710 (1)1 x x y x x ++= >-+的值域。 。 技巧四：换元 技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()a f x x x =+的单调性。例：求函数22 54 x y x += +的值域。 练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值. （1）231 ,(0)x x y x x ++= > （2）12,33y x x x =+>- (3)12sin ,(0,)sin y x x x π=+∈ 2．已知01x <<，求函数(1)y x x =-的最大值.；3．2 03 x << ，求函数(23)y x x =-的最大值. 条件求最值 1.若实数满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是 . 变式：若44log log 2x y +=，求11 x y +的最小值.并求x ,y 的值 技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。 高中数学基本不等式教 案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 《基本不等式》教学设计方案 人教版（A 版） 普通高中课程标准试验教科书必修第五册 【教学目标】 1、知识与技能目标 （1）掌握基本不等式2 a b ab +≤,认识其运算结构； （2）了解基本不等式的几何意义及代数意义； （3）能够利用基本不等式求简单的最值。 2、过程与方法目标 （1）经历由几何图形抽象出基本不等式的过程； （2）体验数形结合思想。 3、情感、态度和价值观目标 （1）感悟数学的发展过程,学会用数学的眼光观察、分析事物； （2）体会多角度探索、解决问题。 【能力培养】 培养学生严谨、规范的学习能力，辩证地分析问题的能力，学以致用的能力，分析问题、解决问题的能力。 【教学重点】 应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式2 a b ab +≤的 证明过程。 【教学难点】 基本不等式2 a b ab +≤等号成立条件。 【教学方法】 教师启发引导与学生自主探索相结合 【教学工具】 课件辅助教学、实物演示实验 【教学过程设计】 一、 创设情景，引入新课 如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标， 这是根据赵爽弦图而设计的。用课前折好的赵爽弦图示范，比较 4个 直角三角形的面积和与大正方形的面积,你会得到怎样的相 等和不等关系 赵爽弦图 1．探究图形中的不等关系 将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。 设直角三角形的两条直角边长为a,b 那么正方 形的边长为22a b +。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为22a b +。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222a b ab +≥。 当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有 222a b ab +=。 2 ．得到结论：一般的，如果 )""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a 3．思考证明：你能给出它的证明吗？ 证明：因为 222)(2b a ab b a -=-+ 当22,()0,,()0,a b a b a b a b ≠->=-=时当时 所以，0)(2≥-b a ，即.2)(22ab b a ≥+ 4．基本不等式 1）特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a 、b ，可得2a b ab +≥，通常我 人教版高中数学同步练习 §3.4 基本不等式：ab ≤ a ＋ b 2(一) 课时目标 1．理解基本不等式的内容及其证明； 2．能利用基本不等式证明简单不等式． 1．如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab (当且仅当a ＝b 时取“＝”号)． 2．若a ，b 都为正数，那么当且仅当a ＝b 时，等号成立)，称上述不等式为基本不等式，其中a ＋b 2 称为a ，b 的算术平均数，ab 称为a ，b 的几何平均数． 3．基本不等式的常用推论 (1)ab ≤????a ＋b 22≤a 2＋b 22 (a ，b ∈R )； (2)当x >0时，x ＋1x ≥2；当x <0时，x ＋1x ≤－2. (3)当ab >0时，b a ＋a b ≥2；当ab <0时，b a ＋a b ≤－2. (4)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ，(a ，b ，c ∈R )． 一、选择题 1．已知a >0，b >0，则a ＋b 2，ab ， a 2＋b 22，2ab a ＋b 中最小的是( ) A.a ＋b 2 B.ab C. a 2＋b 22 D.2ab a ＋b 答案 D 解析 方法一 特殊值法． 令a ＝4，b ＝2，则a ＋b 2＝3，ab ＝8， a 2＋b 22＝10，2ab a ＋b ＝83.∴2ab a ＋b 最小． 方法二 2ab a ＋b ＝21a ＋1b ，由21a ＋1b ≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22，可知2ab a ＋b 最小． 2．已知m ＝a ＋1a －2 (a >2)，n ＝????12x 2－2 (x <0)，则m 、n 之间的大小关系是( ) A ．m >n B ．m 不等式证明基本方法 例1 ：求证：221a b a b ab ++≥+- 分析：比较法证明不等式是不等式证明的最基本的方法，常用作差法和作商法，此题用作差法较为简便。 证明：221()a b a b ab ++-+- 2221[()(1)(1)]02 a b a b =-+-+-≥ 评注：1．比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断与0的关系——结论 2．作差后的变形常用方法有因式分解、配方、通分、有理化等，应注意结合式子的形式，适当选 用。 例2：设c b a >>，求证：b a a c c b ab ca bc 2 22222++<++ 分析：从不等式两边形式看，作差后可进行因式分解。 证明：)(2 22222b a a c c b ab ca bc ++-++ =)()()(a b ab c a ca b c bc -+-+- =)()]()[()(a b ab c b b a ca b c bc -+-+-+- =))()((a c c b b a --- c b a >> ，则,0,0,0<->->-a c c b b a ∴0))()((<---a c c b b a 故原不等式成立 评注：三元因式分解因式，可以排列成一个元的降幂形式： =++-++)(222222b a a c c b ab ca bc )())(()(2a b ab b a b a c a b c -++-+-，这样容易发现规律。 例3 ：已知,,a b R +∈求证：11()()2()n n n n a b a b a b ++++≤+ 证明：11()()2()n n n n a b a b a b ++++-+ 11n n n n a b ab a b ++=+-- ()()n n a b a b a b =-+- ()()n n a b b a =-- ⅰ）当0a b >>时，0,n n a b b a -><，则()()0n n a b b a --< ⅱ）当0a b =>时，0,a b -=，则()()0n n a b b a --=(完整版)高考数学-基本不等式(知识点归纳)
高中数学基本不等式题型总结
高中数学基本不等式专题复习
-+=x x x y 正确解法： 两者联系： （1）基本不等式去等号时的值即为双勾函数的拐点，
高中数学基本不等式练习题
高中数学基本不等式练习题
专题复习：高中数学基本不等式经典例题
高中数学基本不等式教案
高中数学基本不等式几大题型
高中数学基本不等式的解法十例
高中数学《基本不等式》公开课优秀教学设计
高中数学基本不等式证明
高中数学基本不等式精选讲解及归纳
高中数学基本不等式知识点及练习题
高中数学基本不等式知识点归纳及练习题
高中数学基本不等式教案
人教版高中数学,基本不等式(一)
高中数学基本不等式证明