离散数学(元关系)课后总结
第四章二元关系
例1 设A={0,1},B={a,b},求A?B ,B?A,A?A 。
解:A?B={<0,a>,<0,b>,<1,a>,<1,b>}
A?A={<0,0>,<0,1>,<1,0>,<1,1>}
可见A×B≠B×A
例2、关于笛卡尔乘积的几个证明
1)如果A、B都是有限集,且|A|=m, |B|=n,则
|A?B |=mn.
证明:由笛卡尔积的定义及排列组合中的乘法原理,直接推得此定理。
2) A?Φ=Φ?B=Φ
3) ?对∪和∩满足分配律。
设A,B,C是任意集合,则
⑴A?(B∪C)= (A?B)∪(A?C);
⑵A?(B∩C)= (A?B)∩(A?C);
⑶(A∪B)?C= (A?C)∪(B?C);
⑷(A∩B)?C= (A?C)∩(B?C)
证明⑴:任取
?x∈A ∧y∈B∪C ?x∈A ∧(y∈B∨y∈C)
?( x∈A ∧y∈B)∨(x∈A∧y∈C)
?
?
4)若C≠Φ,,则A?B?(A?C?B?C) ?(C?A?C?B).
证明: 必要性:设A?B,求证A?C?B?C
任取
?
充分性:若CΦ≠, 由A?C?B?C 求证A?B
取C中元素y, 任取x∈A?x∈A∧y∈C?
?
?x∈B∧y∈C? x∈B 所以, A?B.
所以A?B?(A?C?B?C)
类似可以证明A?B ?(C?A?C?B).
5) 设A、B、C、D为非空集合,则
A?B?C?D?A?C∧B?D.
证明: 首先,由A?B?C?D 证明A?C∧B?D.
任取x∈A,任取y∈B,所以x∈A∧y∈B
?
?
?x∈C∧y∈D 所以, A?C∧B?D.
其次, 由A?C,B?D. 证明A?B?C?D
任取
? x∈C∧y∈D (由A?C,B?D)
?
例3、令A={1,2,3}给定A 上八个关系如下:
可见这八个关系中R1、R3、R4是自反的。R2、R5、 R8、均是反自反关系。R3、R4、 R6 、 R8均是对称关系。R1、R2、R4、R5、R8均是反对称关系。R4、R8既是对称也是反对称的。有些关系既不是对称也不是反对称的:如R7 。R1、R3、R4、R5、R8均是传递的关系。 性质判定:
从关系的有向图
从关系的矩阵
自反性 每个结点都有环 主对角线全是1
反自反性 每个结点都无环 主对角线全是0
对称性
不同结点间如果有边,则有方向相反的两条边.
是以对角线为对称的矩阵 反对称性
不同结点间,最多有一条边.
以主对角线为对称的位置不会同时为1
传递性
或者定义的前件为假.
如果aij=1,且ajk=1,则aik=1 注:对于传递性的理解还不够透彻,如果出题,自己可能会出错!!!
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。 2。 。 1
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2。 。
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。 2。 。 1
。 2
。 。 3 3 3 3 R 2
R 1
R 3
R 4
R 5
R 6 R 7 R 8
例4、A={1,2,3},给定A 中五个关系如下: R={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<3,3>}
S={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,<3,3>} T={<1,1>,<1,2>,<2,2>,<2,3>} Φ A ×A
判断它们的性质:Y 表示“是”,N 表示“否”,填下表。 自反性 反自反性 对称性 反对称性 传递性 R N N N Y Y S Y N Y N Y T N N N Y N Φ N Y Y Y Y A*A
Y
N
Y
N
Y
例5、令I 是整数集合,I 上关系R 定义为:R={
证明:⑴证自反性:任取x ∈I, (要证出
因 x-x=0, 0可被3整除,所以有
⑵证对称性:任取x,y ∈I,设
⑶证传递性:任取x,y,z ∈I,设xRy, yRz, (要证出xRz) 由R 定义得 x-y=3m, y-z=3n (m.n ∈I)
x-z= (x-y)+(y-z)=3m+3n=3(m+n), 因m+n ∈I, 所以xRz, 所以R 传递。证毕
例6、设R 是集合A 上的一个自反关系,求证:R 是对称和传递的,当且仅当和在R 中,则有也在R 中。
证明:必要性: 已知R 是对称和传递的。
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2。 。 1
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。 。
3 3 3 3 R 2 R 1 R 3 R 4
自反性 反自反性 对称性 反对称性 传递性
R 4
R 3 R 2
R 1
可利用“假设前件为真,推出后件为真” 方法证明。再结合已知条件:R对称、R传递。设∈R 又∈R,(要证出∈R )
因R对称的,故∈R,又已知∈R 由传递性得∈R。
所以有如果和在R中,则有也在R中。
充分性: 已知任意a,b,c∈A,如和在R中,则有也在R中。先证R对称:分析:即任取a,b∈A 设∈R ? ∈R
应有<?,b>∈R ∧ <?,a>∈R ? ∈R 而已知∈R ,那么是否∈R ?
任取a,b∈A 设∈R,(要证出∈R )
因R是自反的,所以∈R,
再证R传递:
分析:即任取a,b,c∈A 设∈R ∧ ∈R ? ∈R
应有<?,a>∈R ∧ <?,c>∈R ? ∈R
而已知∈R ,那么是否∈R ?
任取a,b,c∈A 设∈R,∈R。(要证出∈R )
由R是对称的,得∈R ,
由∈R且∈R,根据已知条件得
例7、给定A={1,2,3},A中关系R和S如下:
R={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<3,3>}
S={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,<3,3>}
分别求复合关系RοS,SοR,IAοR, RοIA 。
解:RοS={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<3,3>}
SοR={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,2>,<2,3>,<3,3>}
IA={<1,1>,<2,2>,<3,3>}
IAοR=RοIA=R
例8、设F表示父亲和儿子之间的关系,M表示母亲和儿子之间的关系,S表示儿子和母亲之间的关系,D表示女儿和母亲之间的关系。问:F ο F,F ο S,D ο( D ο M)分别表示什么关系?
答: F ο F表示祖孙关系。
F ο S表示夫妻关系。
D ο(D ο M)表示外甥女和舅舅之间的关系。
例9、证明若R?A×B ,S?B×C T?C×D则Rο(SοT)=(RοS)οT
证明:任取∈Rο(SοT)
??b(b∈B∧∈R∧∈SοT)
??b(b∈B∧∈R∧?c(c∈C∧∈S∧
??b?c(b∈B∧∈R∧(c∈C∧∈S∧
??c?b(c∈C∧(b∈B∧∈R∧∈S∧
??c (c∈C∧?b(b∈B∧∈R∧∈S)∧
??c (c∈C∧∈(RοS)∧
所以Rο(SοT)=(RοS)οT
例10、R?A×B S?B×C T?B×C
⑴Rο(S∪T)=(RοS)∪(RοT)
⑵ R ο(S ∩T)?(R οS)∩(R οT) 证明⑴ 任取∈R ο(S ∪T)
? ?b(b ∈B ∧∈R ∧∈S ∪T)
??b(b ∈B ∧∈R ∧(∈S ∨∈T))
??b((b ∈B ∧∈R ∧∈S)∨(b ∈B ∧∈R ∧∈T)) ??b(b ∈B ∧∈R ∧∈S)∨ ?b(b ∈B ∧∈R ∧∈T) ?∈R οS ∨∈R οT ?∈(R οS)∪(R οT)
所以R ο (S ∪T)=(R οS)∪(R οT) 证明⑵ 任取∈R ο (S ∩T)
? ?b(b ∈B ∧∈R ∧∈S ∩T)
??b(b ∈B ∧∈R ∧(∈S ∧∈T))
??b((b ∈B ∧∈R ∧∈S) ∧ (b ∈B ∧∈R ∧∈T)) ??b(b ∈B ∧∈R ∧∈S)∧?b(b ∈B ∧∈R ∧∈T) ?∈R οS ∧∈R οT ?∈(R οS)∩(R οT)
所以 R ο (S ∩T)?(R οS)∩(R οT) ?x(A(x)∧B(x)) ??xA(x)∧?xB(x) 求传递闭包以及可达矩阵
求t(R)的矩阵Warshall 算法:|X|=n, R ?X ×X, 令MR=A R2的矩阵为A(2),… Rk 的矩阵为A(k) .故t(R)的矩阵记作MR+=A+A(2) +…+A(k)+…(“+”是逻辑加) ⑴置新矩阵 A :=MR ; ⑵置 i=1;
⑶对所有 j ,如果A[j,i] =1 ,则对k=1,2,…,n
A[j,k]:=A[j,k]+A[i,k]; /*第j 行+第i 行,送回第j 行*/ ⑷ i 加1;
⑸ 如果i ≤n, 则转到步骤⑶,否则停止。
例11、令X={1,2,3,4}, X 中关系R 图如图所示,用此算法求t(R)的矩阵。
后续过程很简单,自己按所给步骤画画。
例12、给定A 中关系R 如上图所示,分别画出r(R)、s(R) 、t(R)、sr(R)、rs(R)、 tr(R)、rt(R)、st(R) 、ts(R) 的图。
例13、X={1,2,3}, A1={{1,2,3}}, A2={{1},{2},{3}},A3={{1,2},{3}}, A4={{1,2},{2,3}}, A5={{1},{3}},哪些是覆盖,哪些是划分?
解:A1, A2 ,A3 ,A4 是覆盖。 A1, A2 ,A3也是划分。
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。 2
。
。 。 4 3
1101000001101010A=M R = A 的初值:
例14、A={1,2,3}下面是A 中关系:
思考题:A={1,2,3},可构造多少个A 中不同的等价关系?可以根据等价关系有向图的特点来
考虑。
解:如果等价关系R 中有三个独立子图的情形,则有1个等价关系。二个独立子图的情形时3个等价关系,一个独立子图时,1个等价关系。一共有5个不同的等价关系。
以下是关于商集的一个例子A={1,2,3,4,5,6,7} , R 上模3同余关系,则商集 A/R= {[1]R,[2]R,[3]R} ={{1.4.7},{2,5},{3,6}}。
例15、集合A 上的等价关系R ,决定了A 的一个划分,该划分就是商集A/R. 证明:由等价类性质可得 :
1) A/R 中任意元素[a]R ,有[a]R ?A.
2) 设[a]R,[b]R 是A/R 的两个不同元素,有 [a]R ?[b]R=Φ
3) 因为A 中每个元素都属于一个等价类,所以所有等价类的并集必等于A 。 所以商集A/R 是A 的一个划分。
R 图中每个独立子图上的结点,构成一个等价类。不同的等价类个数=独立子图个数。 例16、集合X 的一个划分可以确定X 上的一个等价关系。 证明:假设A={A1, A2,... ,An}是X 的一个划分,如下构造
X 上的一个等价关系R: R=A12∪A22∪…∪An2 其中Ai2=Ai ×Ai (i=1,2…n). 1) 证R 自反:任取a ∈X ,因为A 是X 的划分,必存在 Ai ∈A 使a ∈Ai ,于是∈Ai ×Ai , 又Ai ×Ai ?R ∴有aRa 。 2) 证R 对称:任取a,b ∈X, 设aRb ,必存在Ai ∈A 使得 ∈Ai ×Ai ,于是a,b ∈Ai , ∴bRa, R 是对称的。
3) 证R 传递:任取a,b,c ∈X, 设aRb ,bRc, 必存在Ai ∈A 使得∈Ai ×Ai ,∈Ai ×Ai ,
(不可能有另一个划分块Ak ∈A 使得∈Ak ×Ak, 因为 如果这样,就使得, 既b ∈Ai 又b ∈Ak ,与A 是划分矛盾。) 于是a,b,c ∈Ai , 所以∈Ai ×Ai ,又Ai ×Ai ?R ∴有aRc 所以R 传递。最后得R 是集合X 中的等价关系。
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。 。 3 3 3 3 R 2
R 1
R 3
R 4
R 5
R 6 R 7 R 8
关于哈斯图的画法:
1.元素y盖住元素x:如果x≤y,且x≠y,且不存在z∈A,使
得z≠x∧z≠y∧x≤z∧z≤y,则称元素y盖住元素x。
元素y盖住x? x≤y∧x≠y∧??z(z∈A∧z≠x∧z≠y∧x≤z∧z≤y)
即元素y盖住元素x?不存在z∈A,使得z介于x与y之间。
上例中4没有盖住1,因为中间有个2, 1≤2≤4.
2.偏序集Hasse图的画法:令是偏序集,
1).用“ ”表示A中元素。
2).如果x≤y,且x≠y,则结点y要画在结点x的上方。
3). 如果x≤y,且y盖住x,x与y之间连一直线。
4). 一般先从最下层结点(全是射出的边与之相连(不考虑环)),逐层向上画,直到最上层结点(全是射入的边与之相连)。(采用抓两头,带中间的方法)
y是B的极小元??y(y∈B∧??x(x∈B∧x≠y∧x≤y)) ,(在B中没有比y更小的元素了,y 就是极小元)
y是B的极大元??y(y∈B∧??x(x∈B∧x≠y∧y≤x)) ,(在B中没有比y更大的元素了,y 就是极大元)
y是B的最小元??y(y∈B∧?x(x∈B→y≤x)) ,(最小元y是B中元素,该元素比B中所有元素都小)
y是B的最大元??y(y∈B∧?x(x∈B→ x≤y)) ,(最大元y是B中元素,该元素比B中所有元素都大)
⑴B的极小(大)元总是存在的,就是子集中处在最下(上)层的元素是极小(大)元。
⑵B的最小元(最大元)有时可能不存在,只有有唯一的极小(大)元,则这个极小(大)元就是最小(大)元。否则就没有最小(大)元。
所有良序集,一定是全序集。有限的全序集,一定是良序集。
离散数学必备知识点总结
离散数学必备知识点总 结 Document number:NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT
总结离散数学知识点 第二章命题逻辑 1.→,前键为真,后键为假才为假;<—>,相同为真,不同为假; 2.主析取范式:极小项(m)之和;主合取范式:极大项(M)之积; 3.求极小项时,命题变元的肯定为1,否定为0,求极大项时相反; 4.求极大极小项时,每个变元或变元的否定只能出现一次,求极小项时变元不够合取真,求极大项时变元不够析取假; 5.求范式时,为保证编码不错,命题变元最好按P,Q,R的顺序依次写; 6.真值表中值为1的项为极小项,值为0的项为极大项; 7.n个变元共有n2个极小项或极大项,这n2为(0~n2-1)刚好为化简完后的主析取加主合取; 8.永真式没有主合取范式,永假式没有主析取范式; 9.推证蕴含式的方法(=>):真值表法;分析法(假定前键为真推出后键为真,假定前键为假推出后键也为假) 10.命题逻辑的推理演算方法:P规则,T规则 ①真值表法;②直接证法;③归谬法;④附加前提法; 第三章谓词逻辑 1.一元谓词:谓词只有一个个体,一元谓词描述命题的性质; 多元谓词:谓词有n个个体,多元谓词描述个体之间的关系;
2.全称量词用蕴含→,存在量词用合取^; 3.既有存在又有全称量词时,先消存在量词,再消全称量词; 第四章集合 1.N,表示自然数集,1,2,3……,不包括0; 2.基:集合A中不同元素的个数,|A|; 3.幂集:给定集合A,以集合A的所有子集为元素组成的集合,P(A); 4.若集合A有n个元素,幂集P(A)有n2个元素,|P(A)|=||2A=n2; 5.集合的分划:(等价关系) ①每一个分划都是由集合A的几个子集构成的集合; ②这几个子集相交为空,相并为全(A); 6.集合的分划与覆盖的比较: 分划:每个元素均应出现且仅出现一次在子集中; 覆盖:只要求每个元素都出现,没有要求只出现一次; 第五章关系 1.若集合A有m个元素,集合B有n个元素,则笛卡尔A×B的基 2种不同的关系; 数为mn,A到B上可以定义mn 2.若集合A有n个元素,则|A×A|=2n,A上有22n个不同的关系;
离散数学必备知识点总结
总结离散数学知识点 第二章命题逻辑 1.→,前键为真,后键为假才为假;<—>,相同为真,不同为假; 2.主析取范式:极小项(m)之和;主合取范式:极大项(M)之积; 3.求极小项时,命题变元的肯定为1,否定为0,求极大项时相反; 4.求极大极小项时,每个变元或变元的否定只能出现一次,求极小项 时变元不够合取真,求极大项时变元不够析取假; 5.求范式时,为保证编码不错,命题变元最好按P,Q,R的顺序依次写; 6.真值表中值为1的项为极小项,值为0的项为极大项; 7.n个变元共有n2个极小项或极大项,这n2为(0~n2-1)刚好为化简完后的主析取加主合取; 8.永真式没有主合取范式,永假式没有主析取范式; 9.推证蕴含式的方法(=>):真值表法;分析法(假定前键为真推出后键为真,假定前键为假推出后键也为假) 10.命题逻辑的推理演算方法:P规则,T规则 ①真值表法;②直接证法;③归谬法;④附加前提法; 第三章谓词逻辑 1.一元谓词:谓词只有一个个体,一元谓词描述命题的性质; 多元谓词:谓词有n个个体,多元谓词描述个体之间的关系; 2.全称量词用蕴含→,存在量词用合取^;
3.既有存在又有全称量词时,先消存在量词,再消全称量词; 第四章集合 1.N,表示自然数集,1,2,3……,不包括0; 2.基:集合A中不同元素的个数,|A|; 3.幂集:给定集合A,以集合A的所有子集为元素组成的集合,P(A); 4.若集合A有n个元素,幂集P(A)有n2个元素,|P(A)|=||2A=n2; 5.集合的分划:(等价关系) ①每一个分划都是由集合A的几个子集构成的集合; ②这几个子集相交为空,相并为全(A); 6.集合的分划与覆盖的比较: 分划:每个元素均应出现且仅出现一次在子集中; 覆盖:只要求每个元素都出现,没有要求只出现一次; 第五章关系 1.若集合A有m个元素,集合B有n个元素,则笛卡尔A×B的基数为mn,A到B上可以定义m n 2种不同的关系; 2.若集合A有n个元素,则|A×A|=2n,A上有22n个不同的关系; 3.全关系的性质:自反性,对称性,传递性; 空关系的性质:反自反性,反对称性,传递性;
离散数学题库
常熟理工学院20 ~20 学年第学期 《离散数学》考试试卷(试卷库01卷) 试题总分: 100 分考试时限:120 分钟 题号一二三四五总分阅卷人得分 一、单项选择题(每题2分,共20分) 1.下列表达式正确的有( ) (A)(B)(C)(D) 2.设P:2×2=5,Q:雪是黑的,R:2×4=8,S:太阳从东方升起,下列( )命题的真值为 真。 (A)(B)(C)(D) 3.集合A={1,2,…,10}上的关系R={
1.n个命题变元组成的命题公式共有种不同的等价公式。 2.设〈L,≤〉为有界格,a为L中任意元素,如果存在元素b∈L,使,则称b是a 的补元。 3.设*,Δ是定义在集合A上的两个可交换二元运算,如果对于任意的x,y∈A,都有 ,则称运算*和运算Δ满足吸收律。 4.设T是一棵树,则T是一个连通且的图。 5.一个公式的等价式称作该公式的主合取范式是指它仅由组成。 6.量词否定等价式? ("x)P(x) ?,? ($x)P(x) ?。 7.二叉树有5个度为2的结点,则它的叶子结点数为。 8.设中的幺元是,α的逆元是。 10.设A={<1,2>,<2,4>,<3,3>},B={<1,3>,<2,4>,<4,2>} = 。 = 。 三、判断题(每题1分,共10分) 1.命题公式是一个矛盾式。() 2.,若,则必有。() 3.设S为集合X上的二元关系,则S是传递的当且仅当(S S)S。() 4.任何一棵二叉树的结点可对应一个前缀码。() 5.代数系统中一个元素的左逆元一定等于该元素的右逆元。() 6.一个有限平面图,面的次数之和等于该图的边数。() 7.A′B = B′A () 8.设*定义在集合A上的一个二元运算,如果A中有关于运算*的左零元θl和右零θr,则A中 有零元。() 9.一个循环群的生成元不是唯一的。() 10.任何一个前缀码都对应一棵二叉树。() 四、解答题(5小题,共30分) 1.(5分)什么是欧拉路?如何用欧拉路判定一个图G是否可一笔画出? 2.(8分)求公式 (P∨Q)R 的主析取范式和主合取范式。
离散数学期末考试试题(有几套带答案)
离散数学试题(A卷及答案) 一、证明题(10分) 1)(?P∧(?Q∧R))∨(Q∧R)∨(P∧R)?R 证明: 左端?(?P∧?Q∧R)∨((Q∨P)∧R)?((?P∧?Q)∧R))∨((Q∨P)∧R) ?(?(P∨Q)∧R)∨((Q∨P)∧R)?(?(P∨Q)∨(Q∨P))∧R ?(?(P∨Q)∨(P∨Q))∧R?T∧R(置换)?R 2)?x(A(x)→B(x))??xA(x)→?xB(x) 证明:?x(A(x)→B(x))??x(?A(x)∨B(x))??x?A(x)∨?xB(x)???xA(x)∨?xB(x)??xA(x)→?xB(x) 二、求命题公式(P∨(Q∧R))→(P∧Q∧R)的主析取范式和主合取范式(10分) 证明:(P∨(Q∧R))→(P∧Q∧R)??(P∨(Q∧R))∨(P∧Q∧R)) ?(?P∧(?Q∨?R))∨(P∧Q∧R) ?(?P∧?Q)∨(?P∧?R))∨(P∧Q∧R) ?(?P∧?Q∧R)∨(?P∧?Q∧?R)∨(?P∧Q∧?R))∨(?P∧?Q∧?R))∨(P∧Q∧R) ?m0∨m1∨m2∨m7 ?M3∨M4∨M5∨M6 三、推理证明题(10分) 1)C∨D, (C∨D)→?E, ?E→(A ∧?B), (A∧?B)→(R∨S)?R∨S 证明:(1) (C∨D)→?E (2) ?E→(A∧?B) (3) (C∨D)→(A∧?B) (4) (A∧?B)→(R∨S) (5) (C∨D)→(R∨S) (6) C∨D
(7) R∨S 2) ?x(P(x)→Q(y)∧R(x)),?xP(x)?Q(y)∧?x(P(x)∧R(x)) 证明(1)?xP(x) (2)P(a) (3)?x(P(x)→Q(y)∧R(x)) (4)P(a)→Q(y)∧R(a) (5)Q(y)∧R(a) (6)Q(y) (7)R(a) (8)P(a) (9)P(a)∧R(a) (10)?x(P(x)∧R(x)) (11)Q(y)∧?x(P(x)∧R(x)) 四、设m是一个取定的正整数,证明:在任取m+1个整数中,至少有两个整数,它们的差是m的整数倍 证明设 1 a,2a,…,1+m a为任取的m+1个整数,用m去除它们所得余数 只能是0,1,…,m-1,由抽屉原理可知, 1 a,2a,…,1+m a这m+1个整 数中至少存在两个数 s a和t a,它们被m除所得余数相同,因此s a和t a的差是m的整数倍。 五、已知A、B、C是三个集合,证明A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C) (15分)证明∵x∈ A-(B∪C)? x∈ A∧x?(B∪C)? x∈ A∧(x?B∧x?C)?(x∈ A∧x?B)∧(x∈ A∧x?C)? x∈(A-B)∧x∈(A-C)? x∈(A-B)∩(A-C)∴A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C) 六、已知R、S是N上的关系,其定义如下:R={
离散数学谓词逻辑课后总结
第二章谓词逻辑 2—1基本概念 例题1. 所有的自然数都是整数。 设N(x):x是自然数。I(x):x是整数。此命题可以写成?x(N(x)→I(x)) 例题2. 有些自然数是偶数。 设E(x):x是偶数。此命题可以写成?x(N(x)∧E(x)) 例题3. 每个人都有一个生母。 设P(x):x是个人。M(x,y):y是x的生母。此命题可以写 成:?x(P(x)→?y(P(y)∧M(x,y))) 2-2 谓词公式及命题符号化 例题1. 如果x是奇数,则2x是偶数。 其中客体x与客体2x之间就有函数关系,可以设客体函数g(x)=2x, 谓词O(x):x是奇数,E(x):x是偶数, 则此命题可以表示为:?x(O(x)→E(g(x))) 例题2 小王的父亲是个医生。 设函数f(x)=x的父亲,谓词D(x):x是个医生,a:小王,此命题可以表示为D(f(a))。 例题3 如果x和y都是奇数,则x+y是偶数。 设h(x,y)=x+y ,此命题可以表示为:?x?y((O(x)∧O(y))→E(h(x,y)) 命题的符号表达式与论域有关系 两个公式:一般地,设论域为{a1,a2,....,an},则有 (1). ?xA(x)?A(a1)∧A(a2)∧......∧A(an) (2). ?xB(x)?B(a1)∨B(a2)∨......∨B(an) 1.每个自然数都是整数。该命题的真值是真的。 表达式?x(N(x)→I(x))在全总个体域的真值是真的, 因?x(N(x)→I(x))?(N(a1)→I(a1))∧(N(a2)→I(a2))∧…∧(N(an)→I(an)) 式中的x不论用自然数客体代入,还是用非自然数客体代入均为真。例如(N(0.1)→I(0.1))也为真。 而?x(N(x)∧I(x))在全总个体域却不是永真式。
离散数学试题与答案
试卷二试题与参考答案 一、填空 1、 P:您努力,Q:您失败。 2、 “除非您努力,否则您将失败”符号化为 ; “虽然您努力了,但还就是失败了”符号化为 。 2、论域D={1,2},指定谓词P P (1,1) P (1,2) P (2,1) P (2,2) T T F F 则公式x ??真值为 。 3设A={2,3,4,5,6}上的二元关系}|,{是质数x y x y x R ∨<><=,则 R= (列举法)。 R 的关系矩阵M R = 。 4、设A={1,2,3},则A 上既不就是对称的又不就是反对称的关系 R= ;A 上既就是对称的又就是反对称的关系R= 。 5、设代数系统,其中A={a,b,c}, 则幺元就是 ;就是否有幂等 性 ;就是否有对称性 。 6、4阶群必就是 群或 群。 7、下面偏序格就是分配格的就是 。 8、n 个结点的无向完全图K n 的边数为 ,欧拉图的充要条件就是 。 * a b c a b c a b c b b c c c b
二、选择 1、在下述公式中就是重言式为( ) A.)()(Q P Q P ∨→∧; B.))()(()(P Q Q P Q P →∧→??; C.Q Q P ∧→?)(; D.)(Q P P ∨→。 2、命题公式 )()(P Q Q P ∨?→→? 中极小项的个数为( ),成真赋值的个数为 ( )。 A.0; B.1; C.2; D.3 。 3、设}}2,1{},1{,{Φ=S ,则 S 2 有( )个元素。 A.3; B.6; C.7; D.8 。 4、设} 3 ,2 ,1 {=S ,定义S S ?上的等价关系 },,,, | ,,,{c b d a S S d c S S b a d c b a R +=+?>∈>∈<><><<=则由 R 产 生的S S ?上一个划分共有( )个分块。 A.4; B.5; C.6; D.9 。 5、设} 3 ,2 ,1 {=S ,S 上关系R 的关系图为 则R 具有( )性质。 A.自反性、对称性、传递性; B.反自反性、反对称性; C.反自反性、反对称性、传递性; D.自反性 。 6、设 ο,+ 为普通加法与乘法,则( )>+<ο,,S 就是域。 A.},,3|{Q b a b a x x S ∈+== B.},,2|{Z b a n x x S ∈== C.},12|{Z n n x x S ∈+== D.}0|{≥∧∈=x Z x x S = N 。 7、下面偏序集( )能构成格。
《离散数学》试题及答案
一、填空题 1设集合A,B,其中A={1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B={3} ; ρ(A) - ρ(B)={3},{1,3},{2,3},{1,2,3}} . 2. 设有限集合A, |A| = n, 则|ρ(A×A)| = 2 2n. 3.设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A到B的所有映射是α1= {(a,1), (b,1)}, α2= {(a,2), (b,2)},α3= {(a,1), (b,2)}, α4= {(a,2), (b,1)}, 其中双射的是α3, α4 . 4. 已知命题公式G=?(P→Q)∧R,则G的主析取范式是(P∧?Q∧R) 5.设G是完全二叉树,G有7个点,其中4个叶点,则G的总度数为12,分枝点数为3. 6设A、B为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从A?B={4} ; A?B={1,2,3,4}; A-B={1,2} . 7.设R是集合A上的等价关系,则R所具有的关系的三个特性是自反性, 对称性传递性. 8. 设命题公式G=?(P→(Q∧R)),则使公式G为真的解释有(1, 0, 0), (1, 0, 1),(1, 1, 0) 9. 设集合A={1,2,3,4}, A上的关系R1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R2 = {(2,1),(3,2),(4,3)}, 则 R1?R2 ={(1,3),(2,2),(3,1)} , R2?R1 = {(2,4),(3,3),(4,2)} _ R12 ={(2,2),(3,3). 10. 设有限集A, B,|A| = m, |B| = n, 则| |ρ(A?B)| = . 11设A,B,R是三个集合,其中R是实数集,A = {x | -1≤x≤1, x∈R}, B = {x | 0≤x < 2, x∈R},则A-B = -1<=x<0 , B-A = {x | 1 < x < 2, x∈R} , A∩B ={x | 0≤x≤1, x∈R} , . 13.设集合A={2, 3, 4, 5, 6},R是A上的整除关系,则R以集合形式(列举法)记为 {(2, 2),(2, 4),(2, 6),(3, 3),(3, 6),(4, 4),(5, 5),(6, 6)} . 14. 设一阶逻辑公式G = ?xP(x)→?xQ(x),则G的前束范式是?x(?P(x)∨Q(x)) . 15.设G是具有8个顶点的树,则G中增加21 条边才能把G变成完全图。(完全图的边 数 2)1 (- n n ,树的边数为n-1) 16.设谓词的定义域为{a, b},将表达式?xR(x)→?xS(x)中量词消除,写成与之对应的命题公式是_ (R(a)∧R(b))→(S(a)∨S(b)) _. 17. 设集合A={1, 2, 3, 4},A上的二元关系R={(1,1),(1,2),(2,3)}, S={(1,3),(2,3),(3,2)}。则
离散数学第二章一阶逻辑知识点总结
数理逻辑部分 第2章一阶逻辑 2.1 一阶逻辑基本概念 个体词(个体): 所研究对象中可以独立存在的具体或抽象的客体个体常项:具体的事物,用a, b, c表示 个体变项:抽象的事物,用x, y, z表示 个体域: 个体变项的取值范围 有限个体域,如{a, b, c}, {1, 2} 无限个体域,如N, Z, R, … 全总个体域: 宇宙间一切事物组成 谓词: 表示个体词性质或相互之间关系的词 谓词常项:F(a):a是人 谓词变项:F(x):x具有性质F 一元谓词: 表示事物的性质 多元谓词(n元谓词, n≥2): 表示事物之间的关系 如L(x,y):x与y有关系L,L(x,y):x≥y,… 0元谓词: 不含个体变项的谓词, 即命题常项或命题变项 量词: 表示数量的词 全称量词?: 表示任意的, 所有的, 一切的等 如?x 表示对个体域中所有的x
存在量词?: 表示存在, 有的, 至少有一个等 如?x表示在个体域中存在x 一阶逻辑中命题符号化 例1 用0元谓词将命题符号化 要求:先将它们在命题逻辑中符号化,再在一阶逻辑中符号化(1) 墨西哥位于南美洲 在命题逻辑中, 设p:墨西哥位于南美洲 符号化为p, 这是真命题 在一阶逻辑中, 设a:墨西哥,F(x):x位于南美洲 符号化为F(a) 例2 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1)人都爱美; (2) 有人用左手写字 分别取(a) D为人类集合, (b) D为全总个体域 . 解:(a) (1) 设G(x):x爱美, 符号化为?x G(x) (2) 设G(x):x用左手写字, 符号化为?x G(x) (b) 设F(x):x为人,G(x):同(a)中
离散数学知识点整理
离散数学 一、逻辑和证明 1.1命题逻辑 命题:是一个可以判断真假的陈述句。 联接词:∧、∨、→、?、?。记住“p仅当q”意思是“如果p,则q”,即p→。记住“q除非p”意思是“?p→q”。会考察条件语句翻译成汉语。 系统规范说明的一致性是指系统没有可能会导致矛盾的需求,即若pq无论取何值都无法让复合语句为真,则该系统规范说明是不一致的。 1.3命题等价式 逻辑等价:在所有可能情况下都有相同的真值的两个复合命题,可以用真值表或者构造新的逻辑等价式。
谓词+量词变成一个更详细的命题,量词要说明论域,否则没有意义,如果有约束条件就直接放在量词后面,如?x>0P(x)。 当论域中的元素可以一一列举,那么?xP(x)就等价于P(x1)∧P(x2)...∧P(xn)。同理,?xP(x)就等价于P(x1)∨P(x2)...∨P(xn)。 两个语句是逻辑等价的,如果不论他们谓词是什么,也不论他们的论域是什么,他们总有相同的真值,如?x(P(x)∧Q(x))和(?xP(x))∧(?xQ(x))。 量词表达式的否定:??xP(x) ??x?P(x),??xP(x) ??x?P(x)。 1.5量词嵌套 我们采用循环的思考方法。量词顺序的不同会影响结果。语句到嵌套量词语句的翻译,注意论域。嵌套量词的否定就是连续使用德摩根定律,将否定词移入所有量词里。 1.6推理规则 一个论证是有效的,如果它的所有前提为真且蕴含着结论为真。但有效论证
二、集合、函数、序列、与矩阵 2.1集合 ∈说的是元素与集合的关系,?说的是集合与集合的关系。常见数集有N={0,1,2,3...},Z整数集,Z+正整数集,Q有理数集,R实数集,R+正实数集,C复数集。 A和B相等当仅当?x(x∈A?x∈B);A是B的子集当仅当?x(x∈A→x∈B);A是B的真子集当仅当?x(x∈A→x∈B)∧?x(x?A∧x∈B)。 幂集:集合元素的所有可能组合,肯定有?何它自身。如?的幂集就是{?},而{?}的幂集是{?,{?}}。 考虑A→B的函数关系,定义域、陪域(实值函数、整数值函数)、值域、像集(定义域的一个子集在值域的元素集合)。 一对一或者单射:B可能有多余的元素,但不重复指向。 映上或者满射:B中没有多余的元素,但可能重复指向。 一一对应或者双射:符合上述两种情况的函数关系。 反函数:如果是一一对应的就有反函数,否则没有。 合成函数:fοg(a)=f(g(a)),一般来说交换律不成立。 2.4序列 无限集分为:一组是和自然数集合有相同基数,另一组是没有相同基数。前者是可数的,后者不可数。想要证明一个无限集是可数的只要证明它与自然数之间有一一对应的关系。 如果A和B是可数的,则A∪B也是可数的。
离散数学题库及答案
数理逻辑部分 选择、填空及判断 ?下列语句不就是命题的( A )。 (A) 您打算考硕士研究生不? (B) 太阳系以外的星球上有生物。 (C) 离散数学就是计算机系的一门必修课。 (D) 雪就是黑色的。 ?命题公式P→(P∨?P)的类型就是( A ) (A) 永真式(B) 矛盾式 (C) 非永真式的可满足式(D) 析取范式 ?A就是重言式,那么A的否定式就是( A ) A、矛盾式 B、重言式 C、可满足式 D、不能确定 ?以下命题公式中,为永假式的就是( C ) A、p→(p∨q∨r) B、(p→┐p)→┐p C、┐(q→q)∧p D、┐(q∨┐p)→(p∧┐p) ?命题公式P→Q的成假赋值就是( D ) A、 00,11 B、 00,01,11 C、10,11 D、 10 ?谓词公式) x xP∧ ?中,变元x就是 ( B ) R , ( x ) (y A、自由变元 B、既就是自由变元也就是约束变元 C、约束变元 D、既不就是自由变元也不就是约束变元 ?命题公式P→(Q∨?Q)的类型就是( A )。 (A) 永真式 (B) 矛盾式 (C) 非永真式的可满足式 (D) 析取范式 ?设B不含变元x,) x x→ ?等值于( A ) A ) ( (B A、B (D、B x xA→ x ?) ( ( ?C、B x∧ A ?) (B、) ?) xA→ x ) ( A x (B x∨ ?下列语句中就是真命题的就是( D )。 A.您就是杰克不? B.凡石头都可练成金。 C.如果2+2=4,那么雪就是黑的。 D.如果1+2=4,那么雪就是黑的。 ?从集合分类的角度瞧,命题公式可分为( B ) A、永真式、矛盾式 B、永真式、可满足式、矛盾式 C、可满足式、矛盾式 D、永真式、可满足式 ?命题公式﹁p∨﹁q等价于( D )。 A、﹁p∨q B、﹁(p∨q) C、﹁p∧q D、 p→﹁q ?一个公式在等价意义下,下面写法唯一的就是( D )。 (A) 范式 (B) 析取范式 (C) 合取范式 (D) 主析取范式 ?下列含有命题p,q,r的公式中,就是主析取范式的就是( D )。
离散数学部分概念和公式总结
离散数学部分概念和公式总结 命题:称能判断真假的陈述句为命题。 命题公式:若在复合命题中,p、q、r等不仅可以代表命题常项,还可以代表命题变项,这样的复合命题形式称为命题公式。 命题的赋值:设A为一命题公式,p ,p ,…,p 为出现在A中的所有命题变项。给p ,p ,…,p 指定一组真值,称为对A的一个赋值或解释。若指定的一组值使A的值为真,则称成真赋值。真值表:含n(n≥1)个命题变项的命题公式,共有2^n组赋值。将命题公式A在所有赋值下的取值情况列成表,称为A的真值表。 命题公式的类型:(1)若A在它的各种赋值下均取值为真,则称A为重言式或永真式。 (2)若A在它的赋值下取值均为假,则称A为矛盾式或永假式。 (3)若A至少存在一组赋值是成真赋值,则A是可满足式。 主析取范式:设命题公式A中含n个命题变项,如果A得析取范式中的简单合取式全是极小项,则称该析取范式为A的主析取范式。 主合取范式:设命题公式A中含n个命题变项,如果A得析取范式中的简单合析式全是极大项,则称该析取范式为A的主析取范式。 命题的等值式:设A、B为两命题公式,若等价式A?B是重言式,则称A与B是等值的,记作A<=>B。 约束变元和自由变元:在合式公式?x A和?x A中,称x为指导变项,称A为相应量词的辖域,x称为约束变元,x的出现称为约束出现,A中其他出现称为自由出现(自由变元)。一阶逻辑等值式:设A,B是一阶逻辑中任意的两公式,若A?B为逻辑有效式,则称A与B是等值的,记作A<=>B,称A<=>B为等值式。 前束范式:设A为一谓词公式,若A具有如下形式Q1x1Q2x2Q k…x k B,称A为前束范式。集合的基本运算:并、交、差、相对补和对称差运算。 笛卡尔积:设A和B为集合,用A中元素为第一元素,用B中元素为第二元素构成有序对组成的集合称为A和B的笛卡尔积,记为A×B。 二元关系:如果一个集合R为空集或者它的元素都是有序对,则称集合R是一个二元关系。特殊关系:(1)、空关系:Φ(2)全域关系:EA={
离散数学练习题
离散数学练习题 1、图中度为零的结点称为孤立结点。 A. 正确 B. 错误 正确:【A】 2、域是整环。 A. 正确 B. 错误 正确:【A】 3、有限格都是有界格。 A. 正确 B. 错误 正确:【A】 4、连通且不含圈的图称为树。 A. 正确 B. 错误 正确:【A】 5、“如果1+1≠3,则2+2≠4”是真命题。 A. 正确 B. 错误 正确:【B】 6、无向图G为欧拉图,则G是连通的。 A. 正确 B. 错误 正确:【A】 7、若A和B都是谓词公式,则(A∧B)、(A∨B)、(A→B)、(A<->B)都是谓词公式。 A. 正确 B. 错误
8、设A, B, C是命题公式,则AVBV﹁C 也是命题公式。 A. 正确 B. 错误 正确:【A】 9、设〈L,≤〉是格,则格的交∧和并∨运算满足等幂律。 A. 正确 B. 错误 正确:【A】 10、“x+3>1。”是命题。 A. 正确 B. 错误 正确:【B】 11、半群满足交换律。 A. 正确 B. 错误 正确:【B】 12、在任何图中,奇数度的结点数必是偶数。 A. 正确 B. 错误 正确:【A】 13、在格〈L,∨,∧〉中,如果交运算对并运算是可分配的,则并运算对交运算也是可分配的。 A. 正确 B. 错误 正确:【A】 14、完全图Kn没有割集,它的连通性能是最好的。 A. 正确 B. 错误
15、对任意集合A,都有??A。 A. 正确 B. 错误 正确:【A】 17、强连通图一定是单向连通图。 A. 正确 B. 错误 正确:【A】 18、代数系统〈G,°〉为群的条件是存在零元素。 A. 正确 B. 错误 正确:【B】 19、对应日常生活中的“任意的”,“所有的”,“一切的”等词,用符号“任意”表示。 A. 正确 B. 错误 正确:【A】 20、如果a是集合A中的元素,则称a属于A,记作a?A。 A. 正确 B. 错误 正确:【B】 21、A,B是集合,P(A),P(B)为其幂集,且,则P(A)∩P(B)为() A. B. C. D. 正确:【B】 22、设M={x|f1(x)=0},N={x|f2(x)=0},则方程f1(x)?f2(x)=0的解
离散数学期末试题及答案完整版
离散数学期末试题及答 案 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
326《离散数学》期末考试题(B ) 一、填空题(每小题3分,共15分) 1.设,,},,{{b a b a A =?},则-A ? = ( ),-A {?} = ( ), )(A P 中的元素个数=|)(|A P ( ). 2.设集合A 中有3个元素,则A 上的二元关系有( )个,其中有( )个是A 到A 的函数. 3.谓词公式))()(())()((y P y Q y x Q x P x ?∧?∧→?中量词x ?的辖域为( ), 量词y ?的辖域为( ). 4.设}24,12,8,6,4,3,2,1{24=D ,对于其上的整除关系“|”,元素( )不存在补元. 5.当n ( )时,n 阶完全无向图n K 是平面图,当当n 为( )时,n K 是欧拉图. 二.1. 若n B m A ==||,||,则=?||B A ( ),A 到B 的2元关系共有( )个,A 上的2元关系共有( )个. 2. 设A = {1, 2, 3}, f = {(1,1), (2,1), (3, 1)}, g = {(1, 1), (2, 3), (3, 2)}和h = {(1, 3), (2, 1), (3, 1)},则( )是单射,( )是满射,( )是双射. 3. 下列5个命题公式中,是永真式的有( )(选择正确答案的番号). (1)q q p p →→∧)(; (2))(q p p ∨→; (3))(q p p ∧→; (4)q q p p →∨∧?)(; (5)q q p →→)(. 4. 设D 24是24的所有正因数组成的集合,“|”是其上的整除关系,则3的补元( ),4的补元( ),6的补元( ).
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离散数学笔记 第一章命题逻辑 合取 析取 定义 1. 1.3否定:当某个命题为真时,其否定为假,当某个命题为假时,其否定为真定义 1. 1.4条件联结词,表示“如果……那么……”形式的语句 定义 1. 1.5双条件联结词,表示“当且仅当”形式的语句 定义 1.2.1合式公式 (1)单个命题变元、命题常元为合式公式,称为原子公式。 (2)若某个字符串A 是合式公式,则?A、(A)也是合式公式。 (3)若A、B 是合式公式,则A ∧B、A∨B、A→B、A?B 是合式公式。 (4)有限次使用(2)~(3)形成的字符串均为合式公式。 1.3等值式 1.4析取范式与合取范式
将一个普通公式转换为范式的基本步骤
1.6推理 定义 1.6.1 设 A 与 C 是两个命题公式, 若 A → C 为永真式、 重言式,则称 C 是 A 的有 效结论,或称 A 可以逻辑推出 C ,记为 A => C 。(用等值演算或真值表) 第二章 谓词逻辑 2.1、基本概念 ?:全称量词 ?:存在量词 一般情况下, 如果个体变元的取值范围不做任何限制即为全总个体域时, 带 “全称量词”的谓词公式形如"?x(H(x)→B(x)),即量词的后面为条件式,带“存在量词”的谓词公式形如?x(H(x)∨WL(x)),即量词的后面为合取式 例题 R(x)表示对象 x 是兔子,T(x)表示对象 x 是乌龟, H(x,y)表示 x 比 y 跑得快,L(x,y)表示x 与 y 一样快,则兔子比乌龟跑得快表示为: ?x ?y(R(x)∧T(y)→H(x,y)) 有的兔子比所有的乌龟跑得快表示为:?x ?y(R(x)∧T(y)→H(x,y)) 2.2、谓词公式及其解释 定义 2.2.1、 非逻辑符号: 个体常元(如 a,b,c)、 函数常元(如表示22 y x 的 f(x,y))、 谓词常元(如表示人 类的 H(x))。 定义 2.2.2、逻辑符号:个体变元、量词(??)、联结词(﹁∨∧→?)、逗号、括号。 定义 2.2.3、项的定义:个体常元、变元及其函数式的表达式称为项(item)。 定义 2.2.4、原子公式:设 R(n x x ... 1)是 n 元谓词,n t t ...1是项,则 R(t)是原子公式。原子公式中的个体变元,可以换成个体变元的表达式(项),但不能出现任何联结词与量词,只能为单个的谓词公式。 定义 2.2.5 合式公式:(1)原子公式是合式公式;(2)若 A 是合式公式,则(﹁A)也是合式公式;(3)若 A,B 合式,则 A ∨B, A ∧B, A →B , A ?B 合式(4)若 A 合式,则?xA 、?xA 合式(5)有限次使用(2)~(4)得到的式子是合式。 定义 2.2.6 量词辖域:?xA 和?xA 中的量词?x/?x 的作用范围,A 就是作用范围。 定义 2.2.7 约束变元:在?x 和?x 的辖域 A 中出现的个体变元 x ,称为约束变元,这是与量词相关的变元,约束变元的所有出现都称为约束出现。 定义 2.2.8 自由变元:谓词公式中与任何量词都无关的量词,称为自由变元,它的每次出现称为自由出现。一个公式的个体变元不是约束变元,就是自由变元。 注意:为了避免约束变元和自由变元同名出现,一般要对“约束变元”改名,而不对自由变元改名。 定义 2.2.9 闭公式是指不含自由变元的谓词公式
离散数学题目大汇总
离散数学试题一(A 卷答案) 一、(10分)证明(A ∨B )(P ∨Q ),P ,(B A )∨P A 。 二、(10分)甲、乙、丙、丁4个人有且仅有2个人参加围棋优胜比赛。关于谁参加竞赛,下列4 种判断都是正确的: (1)甲和乙只有一人参加; (2)丙参加,丁必参加; (3)乙或丁至多参加一人; (4)丁不参加,甲也不会参加。 请推出哪两个人参加了围棋比赛。 三、(10分)指出下列推理中,在哪些步骤上有错误为什么给出正确的推理形式。 (1)x (P (x ) Q (x )) P (2)P (y )Q (y ) T (1),US (3)xP (x ) P (4)P (y ) T (3),ES (5)Q (y ) T (2)(4),I (6)xQ (x ) T (5),EG 四、(10分)设A ={a ,b ,c},试给出A 上的一个二元关系R ,使其同时不满足自反性、反自反性、 五、(15分)设函数g :A →B ,f :B →C , (1)若f o g 是满射,则f 是满射。 (2)若f o g 是单射,则g 是单射。 六、(15分)设R 是集合A 上的一个具有传递和自反性质的关系,T 是A 上的关系,使得T R 且R ,证明T 是一个等价关系。 七、(15分)若
离散数学复习题及答案
1. 写出命题公式 ﹁(P →(P ∨ Q ))的真值表。 答案: 2.证明 答案: 3. 证明以下蕴涵关系成立: 答案: 4. 写出下列式子的主析取范式: 答案: )()(Q P Q P Q P ?∧?∨∧??Q)P (Q)(P P) (Q P)P (Q)(Q Q)P (P) Q)P ((Q)Q)P (P)Q (Q)P (Q P ?∧?∨∧?∧∨∧?∨?∧∨?∧??∧∨?∨?∧∨??∨?∧∨???Q Q P P ?∨∧?)()()(R P Q P ∨∧∧?
5. 构造下列推理的论证:p ∨q, p →?r, s →t, ?s →r, ?t ? q 答案: ①s →t 前提 ②t 前提 ③s ①②拒取式I12 ④s →r 前提 ⑤r ③④假言推理I11 ⑥p →r 前提 ⑦p ⑤⑥拒取式I12 ⑧p ∨q 前提 ⑨q ⑦⑧析取三段论I10 6. 用反证法证明:p →(?(r ∧s)→?q), p, ?s ? ?q ) ()(R P Q P ∨∧∧?) ()(R P Q P ∨∧?∨??))(())(R Q P P Q P ∧?∨?∨∧?∨??) ()()()(R Q R P P Q P P ∧?∨∧?∨∧?∨∧??) ()()(Q R P R P Q R P Q ∧∧?∨?∧∧?∨∧∧??) ()()(P R Q P R Q Q R P ?∧∧?∨∧∧?∨?∧∧?∨) ()()(Q R P R P Q R P Q ∧∧?∨?∧∧?∨∧∧??) (Q R P ?∧∧?∨
7. 请将下列命题符号化: 所有鱼都生活在水中。 答案: 令 F( x ):x 是鱼 W( x ):x 生活在水中 ))((W(x)F(x)x →? 8. 请将下列命题符号化: 存在着不是有理数的实数。 答案: 令 Q ( x ):x 是有理数 R ( x ):x 是实数 Q(x))x)(R(x)(?∧? 9. 请将下列命题符号化: 尽管有人聪明,但并非一切人都聪明。 答案: 令M(x):x 是人 C(x):x 是聪明的 则上述命题符号化为 10. 请将下列命题符号化: 对于所有的正实数x,y ,都有x+y ≥x 。 答案: 令P(x):x 是正实数 S(x,y): x+y ≥x 11. 请将下列命题符号化: 每个人都要参加一些课外活动。 答案: 令P(x):x 是人 Q(y): y 是课外活动 S(x,y):x 参加y )))()((())()((x C x M x x C x M x →??∧∧?)),()()((y x S y P x P y x →∧??))(),()((y Q y x S x P y x ∧→??
大学离散数学期末重点知识点总结(考试专用)
1.常用公式 p ∧(P →Q)=>Q 假言推论 ┐Q ∧(P →Q)=>┐P 拒取式 ┐p ∧(P ∨Q)=>Q 析取三段式 (P →Q) ∧(Q →R)=>P →R 条件三段式 (PQ) ∧(QR)=>PR 双条件三段式 (P →Q)∧(R →S)∧(P ∧R)=>Q →S 合取构造二难 (P →Q)∧(R →S)∧(P ∨R)=>Q ∨S 析取构造二难 (?x)((Ax)∨(Bx)) <=>( ?x)(Ax)∨(?x)(Bx) (?x)((Ax)∧(Bx)) <=>(?x)(Ax)∧(?x)(Bx) —┐(?x)(Ax) <=>(?x)┐(Ax) —┐(?x)(Ax) <=>(?x)┐(Ax) (?x)(A ∨(Bx)) <=>A ∨(?x)(Bx) (?x)(A ∧(Bx)) <=>A ∧(?x)(Bx) (?x)((Ax)→(Bx)) <=>(?x)(Ax)→(?x)(Bx) (?x)(Ax) →B <=>(?x) ((Ax)→B) (?x)(Ax) →B <=>(?x) ((Ax)→B) A →(?x)(Bx) <=>(?x) (A →(Bx)) A →(?x)(Bx) <=>(?x) (A →(Bx)) (?x)(Ax)∨(?x)(Bx) =>(?x)((Ax)∨(Bx)) (?x)((Ax)∧(Bx)) =>(?x)(Ax)∧(?x)(Bx) (?x)(Ax)→(?x)(Bx) =>(?x)((Ax)→(Bx)) 2.命题逻辑 1.→,前键为真,后键为假才为假;<—>,相同为真,不同为假; 2.主析取范式:极小项(m)之和;主合取范式:极大项(M)之积; 3.求极小项时,命题变元的肯定为1,否定为0,求极大项时相反; 4.求极大极小项时,每个变元或变元的否定只能出现一次,求极小项时变元不够合取真,求极大项时变元不够析取假; 5.求范式时,为保证编码不错,命题变元最好按P ,Q,R 的顺序依次写; 6.真值表中值为1的项为极小项,值为0的项为极大项; 7.n 个变元共有n 2个极小项或极大项,这n 2为(0~n 2-1)刚好为化简完后的主析取加主合取; 8.永真式没有主合取范式,永假式没有主析取范式; 9.推证蕴含式的方法(=>):真值表法;分析法(假定前键为真推出后键为真,假定前键为假推出后键也为假) 10.命题逻辑的推理演算方法:P 规则,T 规则 ①真值表法;②直接证法;③归谬法;④附加前提法; 3.谓词逻辑 1.一元谓词:谓词只有一个个体,一元谓词描述命题的性质; 多元谓词:谓词有n 个个体,多元谓词描述个体之间的关系; 2.全称量词用蕴含→,存在量词用合取^; 3.既有存在又有全称量词时,先消存在量词,再消全称量词; 4.集合 1.N ,表示自然数集,1,2,3……,不包括0; 2.基:集合A 中不同元素的个数,|A|; 3.幂集:给定集合A ,以集合A 的所有子集为元素组成的集合,P(A); 4.若集合A 有n 个元素,幂集P(A)有n 2个元素,|P(A)|=||2A =n 2; 5.集合的分划:(等价关系) ①每一个分划都是由集合A 的几个子集构成的集合; ②这几个子集相交为空,相并为全(A); 6.集合的分划与覆盖的比较: 分划:每个元素均应出现且仅出现一次在子集中; 覆盖:只要求每个元素都出现,没有要求只出现一次; 5.关系 1.若集合A 有m 个元素,集合B 有n 个元素,则笛卡尔A ×B 的基数为mn ,A 到B 上可以定义mn 2种不同的关系; 2.若集合A 有n 个元素,则|A ×A|=2n ,A 上有22n 个不同的关系; 3.全关系的性质:自反性,对称性,传递性; 空关系的性质:反自反性,反对称性,传递性; 全封闭环的性质:自反性,对称性,反对称性,传递性; 4.前域(domR):所有元素x 组成的集合; 后域(ranR):所有元素y 组成的集合; 5.自反闭包:r(R)=RU Ix ; 对称闭包:s(R)=RU 1-R ; 传递闭包:t(R)=RU 2R U 3R U …… 6.等价关系:集合A 上的二元关系R 满足自反性,对称性和传递性,则R 称为等价关系; 7.偏序关系:集合A 上的关系R 满足自反性,反对称性和传递性,则称R 是A 上的一个偏序关系; 8.covA={