①)()(x f y x f y -=→=) 将)(x f y =图像绕y 轴翻折180°（整体翻折）
（对三角函数来说：图像关于x 轴对称）
②)()(x f y x f y -=→=将)(x f y =图像绕x 轴翻折180°（整体翻折）
（对三角函数来说：图像关于y 轴对称）
③)()(x f y x f y =→= 将)(x f y =图像在y 轴右侧保留，并把右侧图像绕y 轴翻折到左侧（偶函数局部翻折）
④)()(x f y x f y =→=保留)(x f y =在x 轴上方图像，x 轴下方图像绕x 轴翻折上去（局部翻动）
5、方法技巧——三角函数恒等变形的基本策略。
（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos 2
θ+sin 2
θ=tanx ·cotx=tan45°等。
（2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin 2
x+2cos 2
x=(sin 2
x+cos 2
x)+cos 2
x=1+cos 2
x ；配凑角：α=（α+β）－β，β=
2
β
α+－
2
β
α-等。
（3）降次与升次。（4）化弦（切）法。
（4）引入辅助角。asin θ+bcos θ=2
2
b a +sin(θ+?)，这里辅助角?所在象限由a 、b 的符号确
定，?角的值由tan ?=
a
b
确定。
1．已知tan x =2，求sin x ，cos x 的值． 解：因为2cos sin tan ==
x
x
x ，又sin 2x ＋cos 2x =1， 联立得???=+=，1
cos sin cos 2sin 2
2x x x
x 解这个方程组得.55cos 5
52sin ,55cos 552sin ???
????-=-=??
?????==x x x x
2．求
)
330cos()150sin()690tan()480sin()210cos()120tan(ο
ο
ο
οοο----的值．
解：原式
)
30360cos()150sin()30720tan()
120360sin()30180cos()180120tan(o οοοοοοοοοο--+---++-=
.3330cos )150sin (30tan )120sin )(30cos (60tan -=---=ο
οοοοο
3．若
,2cos sin cos sin =+-x
x x
x ，求sin x cos x 的值．
解：法一：因为
,2cos sin cos sin =+-x
x x
x
所以sin x －cos x =2(sin x ＋cos x )，
得到sin x =－3cos x ，又sin 2
x ＋cos 2
x =1，联立方程组，解得
，，???
???
?=-=??
?????-==1010cos 10
103sin 1010cos 10103sin x x x x 所以?-
=103
cos sin x x 法二：因为,2cos sin cos sin =+-x
x x
x
所以sin x －cos x =2(sin x ＋cos x )， 所以(sin x －cos x )2
=4(sin x ＋cos x )2
， 所以1－2sin x cos x =4＋8sin x cos x ，
所以有?-
=10
3cos sin x x 4．求证：tan 2
x ·sin 2
x =tan 2
x －sin 2
x ．
证明：法一：右边＝tan 2
x －sin 2
x =tan 2
x －(tan 2
x ·cos 2
x )=tan 2
x (1－cos 2
x )=tan 2
x ·sin 2
x ，问题得证． 法二：左边=tan 2
x ·sin 2
x =tan 2
x (1－cos 2
x )=tan 2
x －tan 2
x ·cos 2
x =tan 2
x －sin 2
x ，问题得证． 5．求函数)6
π
2sin(2+
=x
y 在区间[0，2]上的值域．
解：因为0≤x ≤2π，所以,6
π
76π26π,π20≤+≤≤≤x x 由正弦函数的图象， 得到],1,2
1
[)6π2sin(-∈+x
所以y ∈[－1，2]． 6．求下列函数的值域．
(1)y ＝sin 2
x －cos x +2；
(2)y ＝2sin x cos x －(sin x ＋cos x )．
解：(1)y =sin 2
x －cos x ＋2＝1－cos 2
x －cos x ＋2=－(cos 2
x ＋cos x )＋3， 令t =cos x ，则,4
13
)21(413)21(3)(],1,1[222
++-=++-=++-=-∈t t t t y t
利用二次函数的图象得到].4
13
,
1[∈y (2)y ＝2sin x cos x －(sin x ＋cos x )=(sin x ＋cos x )2
－1－(sin x ＋cos x )，令t =sin x ＋cos x 2=，
)4π
sin(+x ，则]2,2[-∈t 则，,12--=t t y 利用二次函数的图象得到].21,4
5[+-∈y
7．若函数y =A sin(ωx +φ)(ω＞0，φ＞0)的图象的一个最高点为)2,2(，它到其相邻的最低点之间的图象与x 轴交于(6，0)，求这个函数的一个解析式．
解：由最高点为)2,2(，得到2=A ，最高点和最低点间隔是半个周期，从而与x 轴交点的间隔是4
1
个周期，这样求得
44
=T ，T =16，所以?=8πω
又由)28π
sin(22?+?=，得到可以取).4
π
8πsin(2.4
π+=
∴=x y ?
8．已知函数f (x )=cos 4
x －2sin x cos x －sin 4
x ．
(Ⅰ)求f (x )的最小正周期； (Ⅱ)若],2
π
,0[∈x 求f (x )的最大值、最小值． 数x
x
y cos 3sin 1--=
的值域．
解：(Ⅰ)因为f (x )=cos 4
x －2sin x cos x －sin4x ＝(cos 2
x －sin 2
x )(cos 2
x ＋sin 2
x )－sin2x
)4
π
2sin(2)24πsin(22sin 2cos 2sin )sin (cos 22--=-=-=--=x x x x x x x
所以最小正周期为π．
(Ⅱ)若]2π,0[∈x ，则]4π3,4π[)4π2(-∈-x ，所以当x =0时，f (x )取最大值为;1)4πsin(2=--当8
π
3=x 时，
f (x )取最小值为.2-
1． 已知2tan =
θ，求（1）
θθθ
θsin cos sin cos -+；（2）θθθθ22cos 2cos .sin sin +-的值.
解：（1）
2232121tan 1tan 1cos sin 1cos sin 1sin cos sin cos --=-+=-+=-
+
=++θθθ
θθθθθθθ； (2) θ
+θθ
+θθ-θ=θ+θθ-θ2
2222
2
cos sin cos 2cos sin sin cos 2cos sin sin 3
24122221cos sin 2cos sin cos sin 2222-=++-=+θ
θ+θθ
-θθ=. 说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。
2． 求函数2
1sin cos (sin cos )y x x x x =++++的值域。
解：设sin cos )[4
π
t x x x =+=
+∈，则原函数可化为
2213
1()24
y t t t =++=++
，因为[t ∈，所以
当t =
时，max 3y =12t =-时，min 3
4
y =，
所以，函数的值域为3
[34
y ∈，。
3．已知函数2
()4sin 2sin 22f x x x x R =+-∈，。
（1）求()f x 的最小正周期、()f x 的最大值及此时x 的集合； （2）证明：函数()f x 的图像关于直线8
π
x =-
对称。 解：2
2
()4sin 2sin 222sin 2(12sin )f x x x x x =+-=--
2sin 22cos 2)4
πx x x =-=- (1)所以()f x 的最小正周期T π=，因为x R ∈，
所以，当2242ππx k π-=+，即38
π
x k π=+时，()f x 最大值为 (2)证明：欲证明函数()f x 的图像关于直线8
π
x =-对称，只要证明对任意x R ∈，有
()()88
ππ
f x f x --=-+成立，
因为())]2)28842ππππ
f x x x x --=---=--=-，
())]2)28842ππππ
f x x x x -+=-+-=-+=-，
所以()()88ππf x f x --=-+成立，从而函数()f x 的图像关于直线8
π
x =-对称。
4． 已知函数y=
2
1cos 2
x+23sinx ·cosx+1 （x ∈R ）,
（1）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；
（2）该函数的图像可由y=sinx(x ∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？ 解：（1）y=
21cos 2x+23sinx ·cosx+1=41 (2cos 2
x －1)+ 41+43（2sinx ·cosx ）+1
=
41cos2x+43sin2x+45=21(cos2x ·sin 6π+sin2x ·cos 6π)+4
5
=
21sin(2x+6π)+4
5
所以y 取最大值时，只需2x+6π=2π+2k π,（k ∈Z ），即 x=6
π
+k π,（k ∈Z ）。
所以当函数y 取最大值时，自变量x 的集合为{x|x=6
π
+k π,k ∈Z}
（2）将函数y=sinx 依次进行如下变换：
（i ）把函数y=sinx 的图像向左平移6π，得到函数y=sin(x+6
π
)的图像； （ii ）把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），得到函数y=sin(2x+6π
)的图像；
（iii ）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的21倍（横坐标不变），得到函数y=21sin(2x+6
π
)的
图像；
（iv ）把得到的图像向上平移
45个单位长度，得到函数y=21sin(2x+6π)+4
5
的图像。 综上得到y=
2
1cos 2
x+23sinxcosx+1的图像。
历年高考综合题
一，选择题
1.（08全国一6）2
(sin cos )1y x x =--是 （ ） A ．最小正周期为2π的偶函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数
D ．最小正周期为π的奇函数
2.（08全国一9）为得到函数πcos 3y x ??
=+
??
?
的图象，只需将函数sin y x =的图像（ ） A ．向左平移
π
6个长度单位 B ．向右平移
π
6个长度单位 C ．向左平移5π
6
个长度单位
D ．向右平移5π
6
个长度单位
3.(08全国二1)若sin 0α<且tan 0α>是，则α是 （ ） A ．第一象限角
B ． 第二象限角
C ． 第三象限角
D ． 第四象限角
4.（08全国二10）．函数x x x f cos sin )(-=的最大值为 （ ） A ．1 B ． 2 C ．3 D ．2
5.（08安徽卷8）函数sin(2)3
y x π
=+图像的对称轴方程可能是 （ ）
A ．6
x π
=-
B ．12
x π
=-
C ．6
x π
=
D ．12
x π
=
6.（08福建卷7）函数y =cos x (x ∈R)的图象向左平移
2
π
个单位后，得到函数y=g(x )的图象，则g(x )的解析式为 ( )
7.（08广东卷5）已知函数2
()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是 （ ）
A 、最小正周期为π的奇函数
B 、最小正周期为
2π
的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2
π
的偶函数
8.（08海南卷11）函数()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为 （ ）
A. －3，1
B. －2，2
C. －3，
32 D. －2，32 9.（08湖北卷7）将函数sin()y x θ=-的图象F 向右平移3
π
个单位长度得到图象F ′，若F ′的一条对称
轴是直线,1
x π
=则θ的一个可能取值是 （ ）
A.
512π B.512π- C.1112π D.1112
π-
10.（08江西卷6）函数sin ()sin 2sin
2
x f x x
x =
+是 （ ）
A ．以4π为周期的偶函数
B ．以2π为周期的奇函数
C ．以2π为周期的偶函数
D ．以4π为周期的奇函数
11.若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则MN 的最大值为 （ ） A ．1
B
C
D ．2
12.（08山东卷10
）已知πcos sin 6αα??-
+= ??
?7πsin 6α??+ ???
的值是（ ） A
． B
C ．45-
D ．45
13.（08陕西卷1）sin330?等于 （ ） A
．2
-
B ．12-
C ．12
D
．
2
14.（08四川卷4）()2
tan cot cos x x x += ( ) Ａ.tan x Ｂ.sin x Ｃ.cos x Ｄ.cot x
15.（08天津卷6）把函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标
缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是 （ ） A ． B ．
C ．
D ．
16.（08天津卷9）设，，，则 （ ） A ．
B ．
C ．
D ．
17.（08浙江卷2）函数的最小正周期是 （ ） A. B . C. D.
18.（08浙江卷7）在同一平面直角坐标系中，函数的图象和直线的交点个数是 （ ）
.1 C
二，填空题
19.（08北京卷9）若角α的终边经过点(12)P -，，则tan 2α的值为 ． 20.（08江苏卷1）()cos 6f x x πω?
?
=-
??
?
的最小正周期为
5
π
，其中0ω>，则ω= ． 21.（08辽宁卷16）设02x π??
∈ ???
，，则函数22sin 1sin 2x y x +=的最小值为 ．
22.（08浙江卷12）若，则_________。
23.（08上海卷6）函数f (x )＝3sin x +sin(2+x )的最大值是 三，解答题
24. （08四川卷17）求函数24
74sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+-的最大值与最小值。
25. （08北京卷15）已知函数2
π()sin 3sin 2f x x x x ωωω?
?
=+
??
?
（0ω>）
的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03??????
，上的取值范围．
26. （08天津卷17）已知函数2
2s (in cos s 1)2co f x x x x ωωω++=（,0x R ω∈>）的最小值正周期是
2
π
． （Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）求函数()f x 的最大值，并且求使()f x 取得最大值的x 的集合．
27. （08安徽卷17）已知函数()cos(2)2sin()sin()344
f x x x x π
ππ
=-
+-+ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122
ππ
-上的值域
28. （08陕西卷17）已知函数2()2sin cos 233444
x x x
f x =-． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及最值；
（Ⅱ）令π()3g x f x ?
?
=+
??
?
，判断函数()g x 的奇偶性，并说明理由．
19.
34 20. 10 21.3 22. 25
7- 24. 解：2
4
74sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+-
()2272sin 24cos 1cos x x x =-+- 2272sin 24cos sin x x x =-+ 272sin 2sin 2x x =-+
()2
1sin 26x =-+
由于函数()2
16z u =-+在[]11-，中的最大值为
()2
max 11610z =--+= 最小值为
()2
min 1166z =-+=
故当sin 21x =-时y 取得最大值10，当sin 21x =时y 取得最小值6
【点评】：此题重点考察三角函数基本公式的变形，配方法，符合函数的值域及最值； 【突破】：利用倍角公式降幂，利用配方变为复合函数，重视复合函数中间变量的范围是关键；
25. 解：（Ⅰ）1cos 2()222x f x x ωω-=
+11
2cos 2222
x x ωω=-+
π1sin 262x ω?
?=-+ ??
?．
因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>， 所以
2π
π2ω
=，解得1ω=． （Ⅱ）由（Ⅰ）得π1()sin 262
f x x ??=-
+ ??
?． 因为2π03
x ≤≤
， 所以ππ7π2666
x --≤≤，
所以1πsin 2126x ??-
- ???
≤≤， 因此π130sin 2622x ?
?-+ ??
?≤≤，即()f x 的取值范围为302??
????
，． 26. 解：
()2
42sin 22
4sin 2cos 4cos 2sin 22
2cos 2sin 12sin 2
2cos 12+??? ?
?
+=+??? ?
?
+=++=+++?
=πωπωπωωωωωx x x x x x x
x f 由题设，函数()x f 的最小正周期是2π，可得2
22π
ωπ=，所以2=ω．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()244sin 2+??? ?
?
+=
πx x f ．
当ππ
π
k x 22
4
4+=
+
，即()Z k k x ∈+
=
216
π
π
时，??? ?
?+44sin πx 取得最大值1，所以函数()x f 的最大值
是22+
，此时x 的集合为?
??
???∈+=Z k k x x ,216|ππ
27. 解：（1）()cos(2)2sin()sin()344
f x x x x π
ππ
=-
+-+Q
1cos 22(sin cos )(sin cos )2x x x x x x =
++-+
221cos 22sin cos 22x x x x =
++-
1cos 22cos 222
x x x =
+- sin(2)6
x π
=- 2T 2
π
π=
=周期∴ （2）5[,],2[,]122636
x x ππ
πππ
∈-
∴-∈-Q 因为()sin(2)6
f x x π
=-在区间[,]123ππ-
上单调递增，在区间[,]32
ππ
上单调递减，
所以 当3
x π
=
时，()f x 取最大值 1
又
1()()12
22f f π
π-
=<=Q ，∴当12
x π
=-时，()f x
取最小值所以 函数 ()f x 在区间[,]122
ππ
-
上的值域为[2- 28. 解：（Ⅰ）()f x
Q sin
22x x =π2sin 23x ??
=+ ???
． ()f x ∴的最小正周期2π
4π12
T =
=． 当πsin 123x ??+=-
???时，()f x 取得最小值2-；当πsin 123x ??
+= ???
时，()f x 取得最大值2． （Ⅱ）由（Ⅰ）知π()2sin 23x f x ??=+
???．又π()3g x f x ?
?=+ ??
?．
∴1ππ()2sin 233g x x ???
?=+
+ ???????π2sin 22x ??
=+ ???
2cos 2x =． Q ()2cos 2cos ()22x x g x g x ??
-=-== ???．
∴函数()g x 是偶函数．
