奥数第4讲_巧求周长与面积

巧求周长与面积

掌握巧求周长与面积的基本方法；

1. 理解并掌握割补、平移等数学思想方法。

【例1】 （2007年“希望杯”第一试）右图中的阴影部分BCGF 是正方形，线段FH 长18厘米，线段

AC 长24厘米，则长方形ADHE 的周长是

__________厘米。

【分析】 由于图中阴影部分BCGF 是个正方形，其四条边的边长都相等，且等于长方形ADHE 的宽。

FH AC +的和应为长方形ADHE 的长加上正方形BCGF 的边长，所以等于长方形

ADHE 的长与宽之和。所以长方形ADHE 的周长为：(1824)284+?=厘米。

【例2】 如右图所示，在一个正方形画中、小两个正方形，使三个正方形具有公共顶点，这样大正方形被分割成了正方形区域甲，和L 形区域乙和丙。甲的边长为4厘米，乙的边长是甲的边长的1.5倍，丙的边长是乙的边长的1.5倍，那么丙的周长为多少厘米？EF 长多少厘米？

【分析】 乙的周长实际上是正方形AHJE 的周长（我们可将乙与甲重合的两条线段分别向左、

向下平移），同样的，丙的周长也就是正方形ABCD 的周长。由于4 1.56AE =?=，

6 1.59AD =?=，所以丙的周长为9436?=厘米，

642EF AE AF =-=-=（厘米）

。

【例3】 用若干个边长都是2厘米的平行四边形与三角形（如右图）拼接成一个大的平行四边

形，已知大平行四边形的周长是244厘米，那么平行四边形和三角形各有多少个？

【分析】 大平行四边形上、下两边的长为(24422)2120-?÷=厘米，观察上边，每6厘米有两

个平行四边形的边，所以共有小平行四边形1206240÷?=个，三角形的数量与小平行

四边形的数量相等，也是40个。

[拓展] 用若干个边长都是2厘米的平行四边形与三角形（如右图）拼接成一个大的平行四边形，

已知大平行四边形的周长是236厘米，那么平行四边形和三角形各有多少个？

[分析] 大平行四边形上、下两边的长为

(23622)2116-?÷=厘米，

观察上边，每6厘米有两个平行四边形的边，1166192÷=，所以有三角形

19238?=个，小平行四边形38139+=个。

【例4】 有9个小长方形，它们的长和宽分别相等，用这9个

小长方形拼成的大长方形(如图)的面积是45平方厘米，求这个大长方形的周长。

【分析】 从图上可以知道，小长方形的长的4倍等于宽的5倍，所以长是宽的54 1.25÷=倍。

每个小长方形的面积为4595÷=平方厘米，所以1.25?宽?宽5=，所以宽为2厘米，

长为2.5厘米。大长方形的周长为(2.542 2.5)229?++?=厘米。

[拓展] 右图的长方形被分割成5个正方形，已知原长方形的面积为

A C

B

F E A

120平方厘米，求原长方形的长与宽。

[分析] 大正方形边长的2倍等于小正方形边长的3倍，所以大正方形的边长是小正方形边长的

1.5倍，大正方形的面积是小正方形面积的1.5 1.5

2.25?=倍，所以小正方形面积为

120(2.2523)16÷?+=平方厘米，

所以小正方形的边长为4厘米，大正方形的边长为6厘米，原长方形的长为4312?=厘米，宽为4610+=厘米。

【例5】 （希望杯培训题）如右图所示，在一个正方形上先截去宽11

分米的长方形,再截去宽7分米的长方形，所得图形的面积比

原正方形减少301平方分米。原正方形的边长是______分米。

【分析】 把截去的两个长方形拼在一起，如右下图所示，再补上长11

分米、宽7分米的小长方形，所得长方形的面积是301117378+?=平方分米，这个长

方形的长等于原正方形的边长，宽为11718+=分米，所以原正方形边长为：

3781821÷=分米。

【例6】 如图，一个矩形被分成八个小矩形，其中有五个矩形的面积如图中所示（单位：平方厘米），问

大矩形的面积是多少平方厘米？

【分析】 通过分析题目中的已知条件可以看出，面积为16平

方厘米和面积为20平方厘米的两个长方形的宽相

等，即BC 相等，不妨假设2BC =厘米，可以算得：

8AC =厘米，10CD =厘米。于是可以算得：

368 4.5GC =÷=厘米，30103BE =÷=厘米，

128 1.5EF =÷=厘米。于是大长方形的长为

10818+=厘米，宽为4.523 1.511+++=厘米，因

此大长方形的面积为1811198?=平方厘米。

【例7】 一块正方形的苗圃（如右图实线所示），若将它的边

长各增加30米（如图虚线所示），则面积增加9900平

方米，问原来这块正方形苗圃的面积是多少平方米？

【分析】 小正方形的面积为：3030900?=平方米。用增加的面积减去小正方形的面积就得到

增加的两个长方形的面积和，为：99009009000-=平方米。而增加的两个长方形的

面积相等，于是其中一个长方形的面积为900024500÷=平方米。长方形的宽为30米，

那么长为：450030150÷=米，这就是原来这块正方形苗圃的边长，原来这块正方形

苗圃的面积为150********?=（平方米）。

【例8】 长方形ABCD 的周长是30厘米，以这个长方形的每一条边为边长向外画正方形。已知

这四个正方形的面积之和为290平方厘米，那么长方形ABCD 的面积是多少平方厘

米？

711B C E F G D A 3020121636

【分析】 从图形我们可以看出，1A B 的长度恰好为长方形的长与宽之和，即为长方形ABCD 周长

的一半，可以看出若以1A B 和1BC 为边能构成大正方形111A BC E （如右图b 所示），其中

包含两个长方形和两个正方形，而且两个长方形的面积是相等的，两个正方形的面积刚

好是290平方厘米的一半。这样我们容易求出：大正方形111A BC E 的边长为30215÷=厘

米，面积为：1515225?=平方厘米，正方形11CDD C 与正方形

1ADEA 的面积之和为：2902145÷=（平方厘米）。长方形ABCD 与长方形11EDD E 的面积相等。所以，长方形ABCD 的

面积为：(225145)240-÷=（平方厘米）。

[巩固] 用两块长方形纸片和一块正方形纸片拼成一个大正方形，长方形纸片面积分别为44平方

厘米与28平方厘米，原正方形纸片面积是多少平方厘米？

[分析] 做辅助线，如右下图，小正方形Ⅰ的面积为442816-=，所以

4a =,2847b =÷=，原正方形面积为7749?=（平方厘米）

。

【例9】 如图，正方形ABCD 的边长是5，E ，F 分别是AB 和BC 的中点，求四边形BFGE 的面积。

【分析】 如下图，利用割补法，原正方形面积等于5个小正方形面积之和，所以每个小正方形面积是5555?÷=，而阴

影部分面积等于1个小正方形面积，所以也是5。

【例10】 把正三角形的每条边三等分，以各边的中间一段为边向外作小正三角形，得到一个六角形。再将这个六角形的六个“角”（即小正三角形）的两边三等分，又以它的中间段为边向外作更小的小正三角形，这样就得到如右图所示的图

形。如果所作的最小的小正三角形的面积为1平方厘米，

求如图中整个图形的面积。

【分析】 题目中出现了大、中、小三种规格的正三角形(如图a )，

综合应用 图a 中中

中

大C 1D 1E 1A 1E B C

D A

G F E A C

B F G

由已知，图中最小的小正三角形的面积是1平方厘米，于是我们就以1平方厘米的小正

三角形为单位，对图a 进行分割，得到图b 。从图b 可以看出，一个大正三角形中包

含9个中正三角形，一个中正三角形中包含9个小正三角形。由此可以求出，一个大

正三角形中包含9981?=个小正三角形，在图a 中，除了一个大三角形之外，还有3个

中正三角形和12个小正三角形，所以整个图形中共含有小三角形的个数为：

993912120?+?+=个，而每个小正三角形的面积为1平方厘米，所以图a 中图形的

面积为120平方厘米。

【例11】 （“迎春杯”初赛）如右图，甲、乙、丙、丁四个长方形拼

成一个正方形EFGH ，中间阴影为正方形。已知甲、乙、丙、

丁四个长方形面积的和是32平方厘米，四边形ABCD 的面积是20平方厘米，求甲、乙、丙、丁四个长方形周长的总和。

【分析】 甲、乙、丙、丁四个长方形的长与宽之和的总和等于大正方形的周长，所以甲、乙、

丙、丁四个长方形的周长的总和等于大正方形的周长的2倍。大正方形的面积等于四

边形ABCD 的面积加上甲、乙、丙、丁面积和的一半，即2032236+÷=平方厘米，

所以大正方形边长为6厘米，所以甲、乙、丙、

丁四个长方形周长的总和为64248??=厘米。

【例12】 （2006年“希望杯”第二试）如右图，用标号为

1，2，3，4，5的五种大小不同的正方形拼成一

个大长方形，大长方形的长和宽分别是18，14，

则标号为5的正方形的面积是多少？

【分析】 如果标号为5的正方形的边长是a ，那么1号比2

号大a ，2号比3号大a ，所以1号比3号大2a ，又因为2号和3号的边长之和是14，

1号和2号的边长之和是18，所以1号比3号大18144-=，即24a =，2a =，标号为

5的正方形的面积是224?=。

[巩固] （希望杯培训题）小军用编号为1，2，3，4，5的大小不同的正方形拼出一个长方形，

如右图所示，则中间阴影部分正方形的周长

是多少厘米？ [分析] 因为正方形1的边长+正方形2的边长+正方形3的边长30=厘米， 正方形1的边长+正方形2的边长22=厘米，所以 正方形3的边长30228=-=(厘米)，正方形5的边长2+?正方形3的边长22=厘米，所以正方形

5的边长22826=-?=厘米，周长为

6424?=厘米。

[拓展] 一个大长方形若能分割成若干个大小不同的小正方形，则称为完美长方形。下面一个长

方形是由9个小正方形组成的完美长方形。图中正方形A 和B 的边长分别是7厘米和4

厘米，那么这个完美长方形的面积是多少平方厘米？

G F D C 524443

1厘米

[分析] 为了叙述方便，我们将图中各个小正方形分别用字母表示(如图)。

设最小的正方形边长为x 厘米，又因为小正方形A 的边长为7厘米，小正方形B 的边长

为4厘米，所以小正方形C 的边长可以表示为7x +（厘米），小正方形D 的边长可以表

示为772x x x ++=+（厘米），小正方形E 的边长可以表示为7411x x -+=-（厘米），小正方形F 的边长可以表示为11415x x -+=-（厘米），小正方形G 的边长可以表示为

15419x x -+=-（厘米）

，小正方形H 的边长可以表示为7714x x ++=+（厘米），观察大长方形可知：小正方形D 、C 、H 的边长之和等于小正方形F 、G 的边长之和，

可以列方程为：(72)(7)(14)(15)(19)x x x x x +++++=-+-，解得1x =。从而可得小正

方形C 、D 、E 、F 、G 、H 的边长分别为8厘米、9厘米、10厘米、14厘米、18厘

米、15厘米。大长方形的长为：181533+=（厘米），宽为：141832+=（厘米），大长

方形的面积为：33321056?=（平方厘米）。

【例13】 有一大一小两块正方形试验田，他们的周长相差40米，面积相差220平方米，那么小

正方形试验田的面积是多少平方米？

【分析】 根据已知条件，我们将两个正方形试验田的一个顶点对齐，画出示意图（如图a ），将

大正方形在小正方形外的部分分割成两个直角梯形，再拼成一个长方形（如图b ）。

由于两个正方形的周长相差40米，从而它们的每边相差40410÷=米，即图b 中的长

图

a 图b

方形的宽是10米。又因为长方形的面积是两个正方形的面积之差，即为220平方米，

从而长方形的长为：2201022÷=（米）。由图可知，长方形的长是大正方形与小正方

形的边长之和，长方形的宽为大正方形与小正方形的边长之差，从而小正方形的边长

为：(2210)26-÷=（米）。所以小正方形的面积为：6636?=（平方米）。

【附1】 从一块正方形的玻璃板上锯下宽为0.5米的一个长方形玻璃条

后，剩下的长方形的面积为5平方米，请问锯下的长方形玻璃

条的面积等于多少？

【分析】 我们先按题目中的条件画出示意图(如图a )，我们先看图中剩下的长方形，已知它的面积为5平方米，它的长和宽相差

0.5米，我们可以将这样形状的四个长方形拼成一个弦图(如图b )。

图b 是一个大正方形，它的边长等于长方形的长和宽之和，

中间的那个小正方形的边长，等于长方形的长和宽之差，

即0.5米。所以中间的小正方形的面积为0.50.50.25?=平

方米，那么大正方形的面积为540.2520.25?+=平方米。 因为4.5 4.520.25?=，所以大正方形的边长等于4.5米。所

以原题中剩下的长方形的长与宽的和为4.5米，而长与宽

的差为0.5米，所以剩下的长方形的长为：

(4.50.5)2 2.5+÷=米，

即原正方形的边长为2.5米。又知锯下的长方形玻璃条的宽为0.5 米，于是可得锯下的长方形玻璃条的面积为2.50.5 1.25?=平方米。

【附2】 有红、黄、绿三块大小一样的正方形纸片，放在一个正方形盒，它们之间相互叠合（如

右图），已知露在外面的部分中，红色面积是20，黄色面积是12，绿色面积是8，那么

正方形盒的底面积是多少？

【分析】 黄色纸片露出部分与绿色纸片露出部分面积不同，由于三块纸片的大小一样，把黄色纸

片向左移动，在这个移动过程中，黄色纸片露出部分减少的面积等于绿色纸片纸片露出

部分增加的面积，它们露出部分的面积和不变，为81220+=。当黄色纸片移动到正方

形盒的最左边时，如右下图所示，可知此时黄色纸片露出部分与绿色纸片露出部分的面

积相等，所以黄色纸片露出部分面积为20210÷=，绿色纸片露出面积也为10。

右下图中，由于红色部分面积是绿色部分面积的20102÷=倍，

所以黄色部分面积是空白部分面积的2倍。所以空白部分的面积

为1025÷=，正方形盒的底面积为201010545+++=。解答此

题的关键是让黄色纸片移动，使复杂的图形变为基本图形。

【附3】 右图中外侧的四边形是一个边长为10厘米的正方形，求阴影部分的面积。

附加题目 图b 0.50.55

5550.55

【分析】如右下图所示，可知阴影部分面积与空白部分面积之差即为小长方形OPMN的面积，为326

+÷=平方厘米。

?=平方厘米，所以阴影部分面积为(1006)253

巩固精练

1.右图中正方形的边长为3厘米，每边被3等分，求图中所有正方形周长的和。

【分析】分类进行统计：

边长为1厘米的正方形的周长的和是：14(33)36

???=(厘米)，

边长为2厘米的正方形周长的和是：24(22)32

???=(厘米)，

边长为3厘米的正方形周长是：34(11)12

???=(厘米)，

图中所有正方形周长的和是：36321280

++=(厘米)。

2.用同样的长方形条砖，在一个盆的周围砌成一个正方形边框，如

右图所示。已知外面大正方形的周长是264厘米，里面小正方形

的面积是900平方厘米，每块长方形条砖的长是_____厘米，宽

是______厘米。