2021-2022年高考数学一轮总复习第3章导数及其应用第一节导数的概念及其运算AB卷文新人教A版
2021年高考数学一轮总复习第3章导数及其应用第一节导数的概念
及其运算AB卷文新人教A版
1.(xx·大纲全国，10)已知曲线y＝x4＋ax2＋1在点(－1，a＋2)处切线的斜率为8，则a＝( )
A.9
B.6
C.－9
D.－6
解析求导数得y′＝4x3＋2ax，将－1代入值为8，则a＝－6.
答案D
2.(xx·新课标全国Ⅲ，16)已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝－x，则曲线y＝
f(x)在点(1，2)处的切线方程是________.
解析设x>0，则－x<0，f(－x)＝e x－1＋x，因为f(x)为偶函数，所以f(x)＝e x－1＋x，f′(x)＝e x－1＋1，f′(1)＝2，y－2＝2(x－1)，即y＝2x.
答案y＝2x
3.(xx·新课标全国Ⅰ，14)已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2，7)，则a＝________.
解析f′(x)＝3ax2＋1，f′(1)＝1＋3a，f(1)＝a＋2.
(1，f(1))处的切线方程为y－(a＋2)＝(1＋3a)(x－1).
将(2，7)代入切线方程，得7－(a＋2)＝(1＋3a)，解得a＝1.
答案 1
4.(xx·新课标全国Ⅱ，16)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线与曲线y ＝ax 2
＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________.
解析 由y ＝x ＋ln x ，得y ′＝1＋1
x
，得曲线在点(1，1)的切线的斜率为k ＝y ′|x ＝1
＝2，所以切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1，此切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，消去y 得ax 2＋ax ＋2＝0，得a ≠0且Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8. 答案 8
1.(xx·陕西，10)如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切).已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为( )
A.y ＝12x 3－1
2x 2－x
B.y ＝12x 3＋1
2x 2－3x
C.y ＝1
4
x 3－x
D.y ＝14x 3＋1
2
x 2－2x
解析 法一 由题意可知，该三次函数满足以下条件：过点(0，0)，(2，0)，在(0，0)处的切线方程为y ＝－x ，在(2，0)处的切线方程为y ＝3x －6，以此对选项进行检验.A 选项，y ＝12x 3－12x 2－x ，显然过两个定点，又y ′＝3
2
x 2－x －1，则y ′|x ＝0＝－1，
y ′|x ＝2＝3，故条件都满足，由选择题的特点知应选A.
法二 设该三次函数为f (x )＝ax 3＋bx 2
＋cx ＋d ， 则f ′(x )＝3ax 2
＋2bx ＋c ，
由题设有?????f （0）＝0?d ＝0，f （2）＝0?8a ＋4b ＋2c ＋d ＝0，
f ′（0）＝－1?c ＝－1，f ′（2）＝3?12a ＋4b ＋c ＝3，
解得a ＝12，b ＝－1
2，c ＝－1，d ＝0.
故该函数的解析式为y ＝12x 3－1
2x 2－x ，选A.
答案 A
2.(xx·江苏，11)在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋b
x
(a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是________. 解析 由曲线y ＝ax 2＋b x 过点P (2，－5)可得－5＝4a ＋b 2 (1).又y ′＝2ax －b
x
2，所以在点P 处的切线斜率4a －b 4＝－7
2
(2).由(1)(2)解得a ＝－1，b ＝－2，所以a ＋b ＝
－3. 答案 －3
3.(xx·广东，11)曲线y ＝－5e x ＋3在点(0，－2)处的切线方程为______________. 解析 由y ＝－5e x ＋3得，y ′＝－5e x ，所以切线的斜率k ＝y ′|x ＝0＝－5，所以切线方程为y ＋2＝－5(x －0)，即5x ＋y ＋2＝0. 答案 5x ＋y ＋2＝0
4.(xx·北京，20)已知函数f (x )＝2x 3－3x . (1)求f (x )在区间[－2，1]上的最大值；
(2)若过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切，求t 的取值范围；
(3)问过点A (－1，2)，B (2，10)，C (0，2)分别存在几条直线与曲线y ＝f (x )相切？(只需写出结论)
解 (1)由f (x )＝2x 3－3x 得f ′(x )＝6x 2－3.
令f ′(x )＝0，得x ＝－
22或x ＝2
2
. 因为f (－2)＝－10，f ? ????
－
22＝2，f ? ??
??22＝－2， f (1)＝－1，所以f (x )在区间[－2，1]上的最大值为f ? ??
??
－22＝ 2.
(2)设过点P (1，t )的直线与曲线y ＝f (x )相切于点(x 0，y 0)， 则y 0＝2x 3
0－3x 0，且切线斜率为k ＝6x 2
0－3， 所以切线方程为y －y 0＝(6x 20－3)(x －x 0)， 因此t －y 0＝(6x 2
0－3)(1－x 0).
整理得4x 30－6x 20＋t ＋3＝0.
设g (x )＝4x 3－6x 2＋t ＋3，
则“过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切”等价于“g (x )有3个不同零点”.
g ′(x )＝12x 2－12x ＝12x (x －1)，
g (x )与g ′(x )的情况如下：
x(－∞，0)0(0，1)1(1，＋∞) g′(x)＋0－0＋
g(x)t＋3t＋1
所以，g(0)＝t＋3是g(x)的极大值，g(1)＝t＋1是g(x)的极小值.
当g(0)＝t＋3≤0，即t≤－3时，此时g(x)在区间(－∞，1]和(1，＋∞)上分别至多有1个零点，所以g(x)至多有2个零点.
当g(1)＝t＋1≥0，即t≥－1时，此时g(x)在区间(－∞，0)和[0，＋∞)上分别至多有1个零点，所以g(x)至多有2个零点.
当g(0)＞0且g(1)＜0，即－3＜t＜－1时，因为g(－1)＝t－7＜0，g(2)＝t＋11＞0，所以g(x)分别在区间[－1，0)，[0，1)和[1，2)上恰有1个零点，由于g(x)在区间(－∞，0)和(1，＋∞)上单调，所以g(x)分别在区间(－∞，0)和[1，＋∞)上恰有1个零点.综上可知，当过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切时，t的取值范围是(－3，－1).
(3)过点A(－1，2)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切；
过点B(2，10)存在2条直线与曲线y＝f(x)相切；
过点C(0，2)存在1条直线与曲线y＝f(x)相切.
5.(xx·天津，11)已知函数f(x)＝ax ln x，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为
f(x)的导函数.若f′(1)＝3，则a的值为________.
解析f′(x)＝a ln x＋ax·1
x
＝a(ln x＋1)，由f′(1)＝3得，
a(ln 1＋1)＝3，解得a＝3.
答案3
6.(xx·北京，18)已知函数f(x)＝x2＋x sin x＋cos x.
(1)若曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，求a与b的值；
(2)若曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，求b的取值范围.
解由f(x)＝x2＋x sin x＋cos x，得f′(x)＝x(2＋cos x).
(1)∵曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，
∴f′(a)＝a(2＋cos a)＝0，b＝f(a).解得a＝0，b＝f(0)＝1.
(2)令f′(x)＝0，得x＝0.f(x)与f′(x)的变化情况如下：
∴函数f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增，f(0)＝1是f(x)的最小值.
若b≤1时，曲线y＝f(x)与直线y＝b最多只有一个交点.
当b＞1时，f(－2b)＝f(2b)≥4b2－2b－1＞4b－2b－1＞b，
f(0)＝1＜b，∴存在x1∈(－2b，0)，x2∈(0，2b)，
使得f(x1)＝f(x2)＝b，
由于函数f(x)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上均单调，
∴当b＞1时曲线y＝f(x)与直线y＝b有且仅有两个不同交点.综上可知，如果曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，那么b的取值范围是(1，＋∞).