变分原理与变分法

第一章变分原理与变分法

1.1 关于变分原理与变分法（物质世界存在的基本守恒法则）

一、大自然总是以可能最好的方式安排一切，似乎存在着各种安排原

理：

昼/夜，日/月，阴/阳，静止/运动等矛盾/统一的协调体；

对静止事物：平衡体的最小能量原理，对称/相似原理；

对运动事物：能量守恒，动量（矩）守恒，熵增原理等。

变分原理是自然界静止(相对稳定状态)事物中的一个普遍适应的数学定律，获称最小作用原理。

Examples:

① 光线最短路径传播；

② 光线入射角等于反射角，光线在反射中也是光传播最短路

径（Heron）；

③ 光线折射遵循时间最短的途径（Fermat）；

>

+

AE+

AC

EB

CB

Summary: 实际上光的传播遵循最小能量原理；

在静力学中的稳定平衡本质上是势能最小的原理。

二、变分法是自然界变分原理的数学规划方法（求解约束方程系统极

值的数学方法），是计算泛函驻值的数学理论

● 数学上的泛函定义

定义：数学空间（集合）上的元素（定义域）与一个实数域间

（值域）间的（映射）关系

特征描述法：{ J:}

Examples:

① 矩阵范数：线性算子（矩阵）空间 数域

‖A‖1 = ；；

② 函数的积分： 函数空间 数域

D ?=?n b a n f dx x f J )(

Note: 泛函的自变量是集合中的元素（定义域）；值域是实数域。 Discussion ：

① 判定下列那些是泛函：

； ； 3x+5y=2；

② 试举另一泛函例子。

● 物理问题中的泛函举例

① 弹性地基梁的系统势能