高考数学数列题型之等差数列与等比数列综合题
等差数列与等比数列综合题
例 已知等差数列{}n a 满足:37a =,5726a a +=,{}n a 的前n 项和为n S . (Ⅰ)求n a 及n S ;
(Ⅱ)令b n =211
n a -(n ∈N *),求数列{}n b 的前n 项和n T . 【解析】(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ,因为37a =,5726a a +=,所以有 11
2721026a d a d +=??+=?,解得13,2a d ==, 所以321)=2n+1n a n =+-(
;n S =n(n-1)3n+22?=2n +2n 。 (Ⅱ)由(Ⅰ)知2n+1n a =,所以b n =211n a -=21=2n+1)1-(114n(n+1)?=111(-)4n n+1?, 所以n T =111111(1-+++-)4223n n+1?-=11(1-)=4n+1?n 4(n+1)
, 即数列{}n b 的前n 项和n T =
n 4(n+1)。 【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前n 项和公式的应用、裂项法求数列的和,熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。
例 设n S 为数列{}n a 的前n 项和,2n S kn n =+,*n N ∈,其中k 是常数.
(I ) 求1a 及n a ;
(II )若对于任意的*
m N ∈,m a ,2m a ,4m a 成等比数列,求k 的值.
解(Ⅰ)当1,111+===k S a n , 12)]1()1([,2221+-=-+--+=-=≥-k kn n n k n kn S S a n n n n (*)
经验,,1=n (*)式成立, 12+-=∴k kn a n
(Ⅱ)m m m a a a 42,, 成等比数列,m m m a a a 42
2.=∴,
即)18)(12()14(2+-+-=+-k km k km k km ,整理得:0)1(=-k mk ,
对任意的*∈N m 成立, 10==∴k k 或
例 等比数列{n a }的前n 项和为n s ,已知1S ,3S ,2S 成等差数列
(1)求{n a }的公比q ;
(2)求1a -3a =3,求n s
解:(Ⅰ)依题意有
由于 01≠a ,故
又0≠q ,从而21-=q 5分
(Ⅱ)由已知可得3212
11=--)(a a
故41=a 从而))(()())((n n n 211382
112114--=----=S 10分 例 已知数列{}n a 满足, *11212,,2
n n n a a a a a n N ++=∈’+2==. ()I 令1n n n b a a +=-,证明:{}n b 是等比数列;
(Ⅱ)求{}n a 的通项公式。
(1)证1211,b a a =-=
当2n ≥时,1111,11()222n n n n n n n n n a a b a a a a a b -+--+=-=
-=--=- 所以{}n b 是以1为首项,12
-为公比的等比数列。 (2)解由(1)知111(),2
n n n n b a a -+=-=- 当2n ≥时,121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++-21111()()22n -=++-++- 当1n =时,
111521()1332
a ---==。 所以1*521()()332n n a n N -=--∈。 例 设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知()21n
n n ba b S -=- (Ⅰ)证明:当2b =时,{}
12n n a n --?是等比数列;
(Ⅱ)求{}n a 的通项公式
高考数学压轴专题专题备战高考《数列》难题汇编及答案
数学高考《数列》试题含答案 一、选择题 1.已知等比数列{a n },a n >0,a 1=256,S 3=448,T n 为数列{a n }的前n 项乘积,则当T n 取得最大值时,n =( ) A .8 B .9 C .8或9 D .8.5 【答案】C 【解析】 【分析】 设等比数列{a n }的公比为q ,由a n >0,可得q >0.根据a 1=256,S 3=448,可得256(1+q +q 2)=448,解得q .可得a n ,T n ,利用二次函数的单调性即可得出. 【详解】 设等比数列{a n }的公比为q ,∵a n >0,∴q >0. ∵a 1=256,S 3=448, ∴256(1+q +q 2)=448, 解得q 12= . ∴a n =2561 1()2 n -?=29﹣n . T n =28?27?……?2 9﹣n =2 8+7+…+9﹣n ()217 289[)89242 2 22 n n n ??--- ?+-? ?==. ∴当n =8或9时,T n 取得最大值时, 故选C . 【点睛】 本题考查了等比数列的通项公式与求和公式及其性质、二次函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 2.已知等比数列{}n a 满足13a =,13521a a a ++=,则357a a a ++=( ) A .21 B .42 C .63 D .84 【答案】B 【解析】 由a 1+a 3+a 5=21得24242 1(1)21172a q q q q q ++=∴++=∴=∴ a 3+a 5+a 7=2 135()22142q a a a ++=?=,选B. 3.数列{}n a 的通项公式为( )n a n c n N * =-∈.则“2c <”是“{}n a 为递增数列”的( ) 条件. A .必要而不充分 B .充要 C .充分而不必要 D .即不充分也不必要
等差等比数列综合习题
等差、等比数列综合习题 一、选择题 1、数列16 14,813,412 ,211…前n 项的和为( ) A 、2212n n n ++ B 、12122+-+n n n C 、n n n 2122-+ D 、12 12)1(+--n n n 2、三个不同实数c b a ,,成等差数列,b c a ,,又成等比数列,则=b a ( ) A 、47 B 、4 C 、-4 D 、2 3、在等差数列}{n a 中,已知30201561=+++a a a a ,则数列的前20项和S 20=( ) A 、100 B 、120 C 、140 D 、150 4、已知数列}{n a 的601-=a ,31-=-n n a a ,那么++||||21a a …||30a +=( ) A 、-495 B 、765 C 、1080 D 、3105 5、某企业的生产总值月平均增长率为p%,则年平均增长率为( ) A 、12p% B 、12%)1(p + C 、1%)1(11 -+p D 、1%)1(12-+p 6、设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和,已知331S 与441S 的等比中项为3531,51S S 与44 1S 的等差中项为1,求通项n a 。 7、设有数列,,21a a …n a …又若23121,,a a a a a --…1--n n a a 是首项为1,公比为 31的等比数列。 (1)求n a (2)求++21a a …n a + 8、在等比数列}{n a 中,已知27 21154321= ++++a a a a a ,482111111154321=++++a a a a a ,求3a 。
高考数学数列大题训练答案版
高考数学数列大题训练 1. 已知等比数列432,,,}{a a a a n 中分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项,且1,641≠=q a 公比 (Ⅰ)求n a ;(Ⅱ)设n n a b 2log =,求数列.|}{|n n T n b 项和的前 解析: (1)设该等差数列为{}n c ,则25a c =,33a c =,42a c =Q 533222()c c d c c -==- ∴2334()2()a a a a -=-即:223111122a q a q a q a q -=- ∴12(1)q q q -=-,Q 1q ≠, ∴121, 2q q ==,∴1164()2n a -=g (2)121log [64()]6(1)72n n b n n -==--=-g ,{}n b 的前n 项和(13)2n n n S -= ∴当17n ≤≤时,0n b ≥,∴(13)2 n n n n T S -== (8分) 当8n ≥时,0n b <,12789n n T b b b b b b =+++----L L 789777()()2n n n S b b b S S S S S =-+++=--=-L (13)422 n n -=- ∴(13)(17,)2(13)42(8,)2 n n n n n T n n n n -?≤≤∈??=?-?-≥∈??**N N 2.已知数列}{n a 满足递推式)2(121≥+=-n a a n n ,其中.154=a (Ⅰ)求321,,a a a ; (Ⅱ)求数列}{n a 的通项公式; (Ⅲ)求数列}{n a 的前n 项和n S 解:(1)由151241=+=-a a a n n 及知,1234+=a a 解得:,73=a 同理得.1,312==a a (2)由121+=-n n a a 知2211+=+-n n a a
2011高考数学压轴题专题训练
2011高考数学压轴题专题训练--数列(36页WORD ) 第六章 数列 高考题 三、解答题 22.(2009全国卷Ⅰ理)在数列{}n a 中,1111 1,(1)2 n n n n a a a n ++==++ (I )设n n a b n = ,求数列{}n b 的通项公式 (II )求数列{}n a 的前n 项和n S 分析:(I )由已知有 1112n n n a a n n +=++11 2 n n n b b +∴-= 利用累差迭加即可求出数列{}n b 的通项公式: 1 122 n n b -=-(* n N ∈) (II )由(I )知1 22n n n a n -=- , ∴n S =11(2)2n k k k k -=-∑111(2)2n n k k k k k -===-∑∑ 而 1 (2)(1)n k k n n ==+∑,又11 2n k k k -=∑ 是一个典型的错位相减法模型, 易得 11 12 42 2n k n k k n --=+=-∑ ∴n S =(1)n n +1242n n -++- 评析:09年高考理科数学全国(一)试题将数列题前置,考查构造新数列和利用错位相减法求前n 项和,一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。 23.(2009北京理)已知数集{}()1212,, 1,2n n A a a a a a a n =≤<<≥具有性质P ;对任意的 (),1i j i j n ≤≤≤,i j a a 与 j i a a 两数中至少有一个属于A . (Ⅰ)分别判断数集{}1,3,4与{}1,2,3,6是否具有性质P ,并说明理由;
高考数学压轴题:交集数列
高考数学压轴题:交集数列 数列中一类元素交并问题,实际考查思想方法,如最小公倍数、余数分析法,二项式定理应用. 类型一 两个等差数列取交集数列问题 典例1. 若数列{}n a 的通项公式为232n n a +=- ,数列{b }n 的通项公式为n b 5 34 n =--. 设集合* {|2,}n A x x a n N ==∈, *{|4,}n B y y b n N ==∈.若等差数列{}n c 任一项 1,n c A B c ∈是A B 中的最大数,且10265125c -<<-,求{}n c 的通项公式. 类型二 一个等差数列和一个二次型数列取交集数列问题 典例2已知数列{n a }的通项公式为72n a n =+,数列{n b }的通项公式为2 n b n =.若将数 列{n a },{n b }中相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列{n c },则数列{}n c 的通项公式为____. 类型三 一个等差数列和一个指数型数列取交集数列问题 典例3 已知数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别为319n a n =-, 2n n b =.将{}n a 与{}n b 中的公共项按照从小到大的顺序排列构成一个新数列记为{}n c . (1)试写出1c ,2c ,3c ,4c 的值,并由此归纳数列{}n c 的通项公式; (2)证明你在(1)所猜想的结论. 1. 设数列{a n }的通项公式为12-=n a n ,数列{b n }的通项公式为b n =3n -2.集合A ={x ∣x =a n ,n ∈N * },B ={x ∣x =b n ,n ∈N * }.将集合A ∪B 中的元素从小到大依次排列, 构成数列c 1,c 2,c 3,…,则{c n }的通项公式为___________. 2. 已知各项均为正数的等差数列{}n a 的公差d 不等于0,设13,,k a a a 是公比为q 的等比数列{}n b 的前三项, (1)若k=7,12a = (i )求数列{}n n a b 的前n 项和T n ;
高中数学-等比数列练习题(含答案)
等比数列练习(含答案) 一、选择题 1.(广东卷文)已知等比数列}{n a 的公比为正数,且3a ·9a =22 5a ,2a =1,则1a = A. 2 1 B. 22 C. 2 D.2 【答案】B 【解析】设公比为q ,由已知得( )2 2 8 41112a q a q a q ?=,即2 2q =,又因为等比数列}{n a 的公比为 正数,所以q = 故212a a q = == ,选B 2、如果1,,,,9a b c --成等比数列,那么( ) A 、3,9b ac == B 、3,9b ac =-= C 、3,9b ac ==- D 、3,9b ac =-=- 3、若数列}{ n a 的通项公式是=+++-=1021),23()1(a a a n a n n Λ则 (A )15 (B )12 (C )-12 D )-15 答案:A 4.设{n a }为等差数列,公差d = -2,n S 为其前n 项和.若1011S S =,则1a =( ) A.18 B.20 C.22 D.24 答案:B 解析: 20 ,100,1111111110=∴+==∴=a d a a a S S Θ 5.(四川)已知等比数列()n a 中21a =,则其前3项的和3S 的取值范围是() A.(],1-∞- B.()(),01,-∞+∞U C.[)3,+∞ D.(][),13,-∞-+∞U 答案 D 6.(福建)设{a n }是公比为正数的等比数列,若n 1=7,a 5=16,则数列{a n }前7项的和为( ) A.63 B.64 C.127 D.128 答案 C 7.(重庆)在等比数列{a n }中,a 2=8,a 5=64,,则公比q 为( ) A .2 B .3 C .4 D .8 答案 A 8.若等比数列{a n }满足a n a n +1=16n ,则公比为 A .2 B .4 C .8 D .16 答案:B 9.数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=1,a n +1 =3S n (n ≥1),则a 6= (A )3 × 44 (B )3 × 44+1 (C )44 (D )44+1 答案:A 解析:由a n +1 =3S n ,得a n =3S n -1(n ≥ 2),相减得a n +1-a n =3(S n -S n -1)= 3a n ,则a n +1=4a n (n ≥ 2),a 1=1,a 2=3,则a 6= a 2·44=3×44,选A . 10.(湖南) 在等比数列{}n a (n ∈N*)中,若11a =,41 8 a =,则该数列的前10项和为( ) A .4122- B .2122- C .10122- D .111 22 - 答案 B 11.(湖北)若互不相等的实数 成等差数列, 成等比数列,且 310a b c ++=,则a = A .4 B .2 C .-2 D .-4 答案 D 解析 由互不相等的实数,,a b c 成等差数列可设a =b -d ,c =b +d ,由310a b c ++=可得b =2,所以a =2-d ,c =2+d ,又,,c a b 成等比数列可得d =6,所以a =-4,选D 12.(浙江)已知{}n a 是等比数列,4 1 252= =a a ,,则13221++++n n a a a a a a Λ=( ) A.16(n --41) B.6(n --21) ,,a b c ,,c a b
高考数学数列大题专题
高考数学数列大题专题 1. 已知等比数列432,,,}{a a a a n 中分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项,且1,641≠=q a 公比 (Ⅰ)求n a ;(Ⅱ)设n n a b 2log =,求数列.|}{|n n T n b 项和的前 2.已知数列}{n a 满足递推式)2(121≥+=-n a a n n ,其中.154=a (Ⅰ)求321,,a a a ; (Ⅱ)求数列}{n a 的通项公式; (Ⅲ)求数列}{n a 的前n 项和n S 3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且有12a =,11353n n n n S a a S --=-+(2)n ≥ (1)求数列n a 的通项公式; (2)若(21)n n b n a =-,求数列n a 的前n 项的和n T 。 4.已知数列{n a }满足11=a ,且),2(22*1N n n a a n n n ∈≥+=-且. (Ⅰ)求2a ,3a ;(Ⅱ)证明数列{n n a 2}是等差数列; (Ⅲ)求数列{n a }的前n 项之和n S
5.已知数列{}n a 满足31=a ,1211-=--n n n a a a . (1)求2a ,3a ,4a ; (2)求证:数列11n a ??? ?-?? 是等差数列,并写出{}n a 的一个通项。 622,,4,21121+=-===++n n n n n b b a a b a a . 求证: ⑴数列{b n +2}是公比为2的等比数列; ⑵n a n n 221-=+; ⑶4)1(2221-+-=++++n n a a a n n Λ. 7. .已知各项都不相等的等差数列}{n a 的前六项和为60,且2116a a a 和为 的等比中项. (1)求数列}{n a 的通项公式n n S n a 项和及前; (2)若数列}1{,3),(}{11n n n n n b b N n a b b b 求数列且满足=∈=-*+的前n 项和T n .