2019-2020年辽宁省大连市高考数学二模试卷(理科)(有答案)

辽宁省大连市高考数学二模试卷（理科）

一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1．已知集合A={1，2}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}，则B的子集共有（）

A．2个B．4个C．6个D．8个

2．复数z=1+ai（a∈R）在复平面对应的点在第一象限，且||=，则z的虚部为（）

A．2 B．4 C．2i D．4i

3．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是（）

A．m⊥n，m∥α，n∥βB．m⊥n，α∩β=m，n?α

C．m∥n，n⊥β，m?αD．m∥n，m⊥α，n⊥β

4．执行如图的程序框图，如果输入x=1，则输出t的值为（）

A．6 B．8 C．10 D．12

5．已知{a

n }为等差数列，3a

4

+a

8

=36，则{a

n

}的前9项和S

9

=（）

A．9 B．17 C．36 D．81

6．已知函数f（x）=﹣x2﹣x+2，则函数y=f（﹣x）的图象为（）

A．B．C．D．

7．已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数=3， =3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）

A． =0.4x+2.3 B． =2x﹣2.4 C． =﹣2x+9.5 D． =﹣0.3x+4.4

8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实（虚）线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）

A．64 B．C．16 D．

9．D是△ABC所在平面内一点，=λ+μ（λ，μ∈R），则0＜λ＜1，0＜μ＜1是点D在△ABC 内部（不含边界）的（）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分且必要条件

D ．既不充分也不必要条件 10．命题p ：“?x 0∈[0，]，sin2x 0+cos2x 0＞a”是假命题，则实数a 的取值范围是（ ）

A ．a ＜1

B ．a ＜

C ．a ≥1

D ．a ≥

11．过抛物线C ：y 2=4x 的焦点F 的直线l 交C 于A ，B 两点，点M （﹣1，2），若?

=0，则直线l 的斜

率k=（ ） A ．﹣2 B ．﹣1 C ．1

D ．2

12．函数f （x ）=e ax ﹣lnx （a ＞0）存在零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．0＜a ≤ B ．0＜a ≤

C ．a ≥

D ．a ≥

二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡上的相应位置上

13．将3本不同的数学书和2本不同的语文书在书架上排成一行，若2本语文书相邻排放，则不同的排放方案共有______种（用数字作答） 14．设F 1、F 2分别是双曲线C ：﹣

=1（a ＞0，b ＞0）的左右焦点，点M （a ，b ）．若∠MF 1F 2=30°，

则双曲线的离心率为______． 15．已知函数f （x ）=

，若曲线y=f （x ）在点P i （x i ，f （x i ））（i=1，2，

3，其中x 1，x 2，x 3互不相等）处的切线互相平行，则a 的取值范围是______．

16．若数列{a n }满足：a 1=0，a 2=3且（n ﹣1）a n+1=（n+1）a n ﹣n 十1（n ∈N *，n ≥2），数列{b n }满足b n =??（

）n ﹣1，则数列{b n }的最大项为第______项．

三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（12分）（2016?大连二模）已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，b=acosC+asinC ．

（I ）求A ；

（Ⅱ）若a=2，b+c ≥4，求△ABC 的面积．

18．（12分）（2016?大连二模）甲、乙两名乒乓球运动员进行乒乓球单打比赛，根据以往比赛的胜负情况，每一局甲胜的概率为，乙胜的概率为，如果比赛采用“五局三胜制”（先胜三局者获胜，比赛结束）． （1）求甲获得比赛胜利的概率；

（2）设比赛结束时的局数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．

19．（12分）（2016?大连二模）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，AA 1=2，AC=2，M 是CC 1的

中点，P 是AM 的中点，点Q 在线段BC 1上，且BQ=QC 1． （1）证明：PQ ∥平面ABC ；

（2）若直线BA 1与平面ABM 成角的正弦值为

，求∠BAC 的大小．

20．（12分）（2016?大连二模）已知椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）的离心率e=，且椭圆上一点M

与椭圆左右两个焦点构成的三角形周长为4+2．

（1）求椭圆C 的方程；

（2）如图，设点D 为椭圆上任意一点，直线y=m 和椭圆C 交于A 、B 两点，且直线DA 、DB 与y 轴分别交于P 、Q 两点，试探究∠PF 1F 2和∠QF 1F 2之间的等量关系并加以证明．

21．（12分）（2016?大连二模）已知函数f （x ）=lnx+kx （k ∈R ）． （1）当k=﹣1时，求函数f （x ）的极值点；

（2）当k=0时，若f （x ）+﹣a ≥0（a ，b ∈R ）恒成立，试求e a ﹣1﹣b+1的最大值； （3）在（2）的条件下，当e a ﹣1﹣b+1取最大值时，设F （b ）=﹣m （m ∈R ），并设函数F （x ）有两个

零点x 1，x 2，求证：x 1?x 2＞e 2．

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题计分。做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑题号[选修4-1：几何证明选讲]

22．（10分）（2016?大连二模）已知点C 在圆O 直径BE 的延长线上，CA 切圆O 于A 点，CD 分别交AE 、AB 于点F 、D ，∠ADF=45°． （1）求证：CD 为∠ACB 的平分线；

（2）若AB=AC，求的值．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

23．（2016?大连二模）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已

．

知圆C的极坐标方程为ρ=4sinθ．从极点作圆C的弦，记各条弦中点的轨迹为曲线C

1

的极坐标方程；

（1）求C

1

（2）已知曲线l的参数方程为，（0≤α＜π，t为参数，且t≠0），l与C交于点A，l与C

1交于点B，且||=，求α的值．

[选修4-5：不等式证明选讲]

24．（2016?大连二模）已知a，b，c均为正实数，且++=1．

（1）证明： ++≤；

（2）求证： ++≥1．

辽宁省大连市高考数学二模试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1．已知集合A={1，2}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}，则B的子集共有（）

A．2个B．4个C．6个D．8个

【考点】子集与真子集．

【分析】先确定集合B，再求出B的子集的个数．

【解答】解：∵集合A={1，2}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}，

∴B={（2，1）}，

∴B的子集共有2个．

故选：A．

【点评】本题考查集合的关系，考查学生的计算能力，确定集合B是关键．

2．复数z=1+ai（a∈R）在复平面对应的点在第一象限，且||=，则z的虚部为（）

A．2 B．4 C．2i D．4i

【考点】复数的基本概念．

【分析】复数z=1+ai（a∈R）在复平面对应的点在第一象限，可得a＞0， =1﹣ai．由||=，可得

=，解得a．

【解答】解：复数z=1+ai（a∈R）在复平面对应的点在第一象限，∴a＞0， =1﹣ai．

∵||=，∴ =，解得a=2．

则z的虚部为2．

故选：A．

【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

3．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是（）

A．m⊥n，m∥α，n∥βB．m⊥n，α∩β=m，n?α

C．m∥n，n⊥β，m?αD．m∥n，m⊥α，n⊥β

【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．

【分析】在A中，α与β相交或相行；在B中，α与β不一定垂直；在C中，由由面面垂直的判定定理得α⊥β；在D中，由面面平行的判定定理得α∥β．

【解答】解：在A中，m⊥n，m∥α，n∥β，则α与β相交或相行，故A错误；

在B 中，m ⊥n ，α∩β=m，n ?α，则α与β不一定垂直，故B 错误； 在C 中，m ∥n ，n ⊥β，m ?α，由由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C 正确； 在D 中，m ∥n ，m ⊥α，n ⊥β，则由面面平行的判定定理得α∥β，故D 错误． 故选：C ．

【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．

4．执行如图的程序框图，如果输入x=1，则输出t 的值为（ ）

A ．6

B ．8

C ．10

D ．12

【考点】程序框图．

【分析】模拟程序的运行过程，依次写出每次循环得到的x ，t 的值，当x=121时满足条件x ＞120，退出循环，输出t 的值为8．

【解答】解：模拟程序的运行过程，可得 x=1，t=0

执行循环体，x=4，t=2

不满足条件x ＞120，执行循环体，x=13，t=4 不满足条件x ＞120，执行循环体，x=40，t=6 不满足条件x ＞120，执行循环体，x=121，t=8 满足条件x ＞120，退出循环，输出t 的值为8． 故选：B ．

【点评】本题考查循环框图的应用，注意判断框的条件的应用，考查计算能力，属于基础题．

5．已知{a n }为等差数列，3a 4+a 8=36，则{a n }的前9项和S 9=（ ） A ．9

B ．17

C ．36

D ．81

【考点】等差数列的前n 项和．

【分析】由等差数列性质得到a 1+4d=a 5=9，由此能求出{a n }的前9项和． 【解答】解：∵{a n }为等差数列，3a 4+a 8=36， ∴3（a 1+3d ）+a 1+7d=4a 1+8d=36， 解得a 1+4d=a 5=9，

∴S 9=×（a 1+a 9）=9a 5=9×9=81． 故选：D ．

【点评】本题考查等差数列的前9项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．

6．已知函数f（x）=﹣x2﹣x+2，则函数y=f（﹣x）的图象为（）

A．B．C．D．

【考点】函数的图象．

【分析】利用已知条件求出函数f（﹣x），然后利用二次函数的性质，判断函数的图象即可．

【解答】解：函数f（x）=﹣x2﹣x+2，则函数y=f（﹣x）=﹣x2+x+2．函数的图象开口向下，经过（﹣1，0）与（2，0），

函数的图象为：．

故选：D．

【点评】本题考查函数的图象，二次函数的性质的应用，考查计算能力．

7．已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数=3， =3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）

A． =0.4x+2.3 B． =2x﹣2.4 C． =﹣2x+9.5 D． =﹣0.3x+4.4

【考点】线性回归方程．

【分析】变量x与y正相关，可以排除C，D；样本平均数代入可求这组样本数据的回归直线方程．

【解答】解：∵变量x与y正相关，

∴可以排除C，D；

样本平均数=3， =3.5，代入A符合，B不符合，

故选：A．

【点评】本题考查数据的回归直线方程，利用回归直线方程恒过样本中心点是关键．

8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实（虚）线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）

A．64 B．C．16 D．

【考点】由三视图求面积、体积．

【分析】根据三视图知几何体是三棱锥、为棱长为4的正方体一部分，画出直观图，由正方体的性质判断出线面位置关系、求出底面的面积，由椎体的体积公式求出该多面体的体积． 【解答】解：根据三视图知几何体是：三棱锥D ﹣ABC 、为棱长为4的正方体一部分， 直观图如图所示：B 是棱的中点， 由正方体的性质得，CD ⊥平面ABC ， △ABC 的面积S==4，

所以该多面体的体积V==

，

故选：D ．

【点评】本题考查三视图求几何体的体积，结合三视图和对应的正方体复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．

9．D 是△ABC 所在平面内一点， =λ

+μ

（λ，μ∈R ），则0＜λ＜1，0＜μ＜1是点D 在△ABC

内部（不含边界）的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分且必要条件

D ．既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】若=λ

+μ

（λ，μ∈R ），点D 在△ABC 内部，可得：0＜λ＜1，0＜μ＜1；反之不成立，

例如

时，点D 为边BC 的中点．即可判断出结论．

【解答】解：若=λ

+μ

（λ，μ∈R ），点D 在△ABC 内部，则0＜λ＜1，0＜μ＜1，

反之不成立，例如

时，点D 为边BC 的中点．

∴0＜λ＜1，0＜μ＜1是点D 在△ABC 内部（不含边界）的必要不充分条件． 故选：B ．

【点评】本题考查了平面向量基本定理、向量共线定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

10．命题p ：“?x 0∈[0，

]，sin2x 0+cos2x 0＞a”是假命题，则实数a 的取值范围是（ ）

A ．a ＜1

B ．a ＜

C ．a ≥1

D ．a ≥

【考点】特称命题．

【分析】特称命题转化为全称命题，求出sin （2x+）的最大值，从而求出a 的范围即可．

【解答】解：“?x 0∈[0，]，sin2x 0+cos2x 0＞a”是假命题，

即?x ∈[0，

]，sin2x+cos2x ≤a 是真命题，

由sin2x+cos2x=sin （2x+）≤a ，

得：sin （2x+）≤， 由x ∈[0，]得：2x+

∈[

，

]，

故sin （2x+）的最大值是1，

故只需

≥1，解得：a ≥

，

故选：D ．

【点评】本题考查了特称命题转化为全称命题，考查三角函数问题，是一道中档题．

11．过抛物线C ：y 2=4x 的焦点F 的直线l 交C 于A ，B 两点，点M （﹣1，2），若?

=0，则直线l 的斜

率k=（ ） A ．﹣2 B ．﹣1 C ．1

D ．2

【考点】抛物线的简单性质．

【分析】先根据抛物线方程求得焦点坐标，进而设出过焦点弦的直线方程，与抛物线方程联立消去y ，根据韦达定理表示出x 1+x 2=2+

，x 1x 2=1，y 1y 2=﹣4，由

?

=0，求得k 值．

【解答】解：∵抛物线的方程为y 2=4x ，∴F （1，0），设焦点弦方程为y=k （x ﹣1），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），

代入抛物线方程得k 2x 2﹣（2k 2+4）x+k 2=0 由韦达定理：x 1+x 2=2+，x 1x 2=1，y 1y 2=﹣4，y 1+y 2= ∵M （﹣1，2），

?

=0，

∴（x 1+1，y 1﹣2）?（x 2+1，y 2﹣2）=0， ∴1﹣2k+k 2=0， ∴k=1． 故选：C ．

【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．

12．函数f（x）=e ax﹣lnx（a＞0）存在零点，则实数a的取值范围是（）

A．0＜a≤ B．0＜a≤C．a≥D．a≥

【考点】函数零点的判定定理．

x（a＞1）图象仅有一个交点，且在公共点处有公共的切线，【分析】先考虑函数f（x）=a x与g（x）=log

a

a的值，再利用换元法，即可得出结论．

x（a＞1）图象仅有一个交点，

【解答】解：先考虑函数f（x）=a x与g（x）=log

a

且在公共点处有公共的切线，a的值．

两函数互为反函数，则该切线即为y=x，设切点A，

可求出A（e，e），此时a=e．

x（a＞1）无公共点；

若a＞e时，则f（x）=a x与g（x）=log

a

x（a＞1）有两个公共点．

若1＜a＜e时，则f（x）=a x与g（x）=log

a

x，

对f（x）=e ax﹣lnx（a＞0），换元令t=e a，即得t x=log

t

由上知1＜e a=t≤e，得0＜a≤．

故选：A．

【点评】本题考查函数的零点，考查数形结合的数学思想，考查学生转化问题的能力，属于中档题．

二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡上的相应位置上

13．将3本不同的数学书和2本不同的语文书在书架上排成一行，若2本语文书相邻排放，则不同的排放方案共有48 种（用数字作答）

【考点】排列、组合的实际应用．

【分析】根据题意，使用捆绑法，2本不同的语文书，将其排在一起当做一个元素，有2种情况，再将其与其他3本不同的数学书全排列，由分步计数原理乘法公式，计算可得答案． 【解答】解：由题意分2步进行，

先将2本不同的语文书排在一起，看成做一个元素，考虑其顺序，有A 22种情况， 再将其与其他3本不同的数学书全排列，有A 44种情况， 则其不同的排列方法为A 44A 22=48种， 故答案为：48．

【点评】本题考查排列、组合的运用，注意相邻问题一般用捆绑法，不相邻问题用插空法或间接法．

14．设F 1、F 2分别是双曲线C ：﹣

=1（a ＞0，b ＞0）的左右焦点，点M （a ，b ）．若∠MF 1F 2=30°，

则双曲线的离心率为 2 ． 【考点】双曲线的简单性质．

【分析】求得直线MF 1的斜率为tan30°=，即有

=

，运用a ，b ，c 的关系和离心率公式计算即可

得到所求值．

【解答】解：由题意可得F 1（﹣c ，0），M （a ，b ）， 直线MF 1的斜率为tan30°=，

即有=

， 即a+c=

b ，

平方可得（a+c ）2=3b 2=3（c 2﹣a 2）=3（c+a ）（c ﹣a ）， 化简可得a+c=3（c ﹣a ）， 即为c=2a ，可得e==2． 故答案为：2．

【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用直线的斜率公式和a ，b ，c 的关系和离心率公式，考查化简整理的运算能力，属于基础题．

15．已知函数f （x ）=

，若曲线y=f （x ）在点P i （x i ，f （x i ））（i=1，2，3，

其中x 1，x 2，x 3互不相等）处的切线互相平行，则a 的取值范围是 （﹣1，2） ． 【考点】分段函数的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．

【分析】对函数f （x ）分段研究，求出各段的导数，判断出在x ≤0时切线的斜率范围，由此得到在x ＞0时，斜率的取值范围，由此得到a 的取值范围．

【解答】解：∵函数f （x ）=，

∴f′（x ）=，

∵曲线y=f （x ）在点P i （x i ，f （x i ））（i=1，2，3，其中x 1，x 2，x 3互不相等）处的切线互相平行， 即y=f′（x ）在点P i （x i ，f （x i ））处的值相等． ∵当x ≤0时，f′（x ）=﹣2x+2a ﹣2≥2a ﹣2， ∴当x ＞0时，f′（x ）必须满足，

，

∴﹣1＜a ＜2， 故答案为（﹣1，2）

【点评】本题主要考查导数的几何意义，解题中运用转化化归的数学思想．

16．若数列{a n }满足：a 1=0，a 2=3且（n ﹣1）a n+1=（n+1）a n ﹣n 十1（n ∈N *，n ≥2），数列{b n }满足b n =?

?（

）n ﹣1，则数列{b n }的最大项为第 6 项．

【考点】数列递推式．

【分析】通过（n ﹣1）a n+1=（n+1）a n ﹣n 十1（n ∈N *，n ≥2）与na n+2=（n+2）a n+1﹣n 作差、两边同时除以n （n+1），整理得

=

，利用累乘法计算可知a n ﹣a n ﹣1=2n ﹣1（n ≥2），进而利用累加法可知a n =n 2﹣1，化简可知b n =n （n+1）?（

）n ﹣1，从而问题转化求当x ＞0时函数f （x ）=x （x+1）?（

）

x ﹣1

的最大值，利用导数有关知识计算即得结论．

【解答】解：∵（n ﹣1）a n+1=（n+1）a n ﹣n 十1（n ∈N *，n ≥2）， ∴na n+2=（n+2）a n+1﹣n ，

两式相减，得：na n+2﹣na n+1=（n+1）a n+1﹣（n+1）a n ﹣1， 两边同时除以n （n+1），整理得： =

（n ∈N *，n ≥2），

又∵a 1=0，a 2=3，a 3=3a 2﹣1=8， ∴

=2，

=2，

∴=，

由累乘法可知a n ﹣a n ﹣1﹣1=

??…??

=??…??2

=2（n ﹣1），

∴a n ﹣a n ﹣1=1+2（n ﹣1）=2n ﹣1（n ≥2），

由累加法可知：a n =（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+…+（a 3﹣a 2）+（a 2﹣a 1）+a 1 =（2n ﹣1）+[2（n ﹣1）﹣1]+…+（2×3﹣1）+（2×2﹣1） =2（2+3+…+n ）﹣（n ﹣1） =2?

﹣n+1

=n 2﹣1（n ≥2）， 又∵a 1=0满足上式， ∴a n =n 2﹣1， ∴b n =

?

?（）n ﹣1

=n （n+1）?（

）n ﹣1，

令f （x ）=x （x+1）?（

）x ﹣1，通过求导、计算可得草图如图，

故数列{b n }的最大项为第6项， 故答案为：6．

【点评】本题考查数列的通项及前n 项和，考查累乘法、累加法计算数列的通项公式，考查利用导数研究函数的单调性，注意解题方法的积累，属于难题．

三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（12分）（2016?大连二模）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，b=acosC+asinC．（I）求A；

（Ⅱ）若a=2，b+c≥4，求△ABC的面积．

【考点】余弦定理；正弦定理．

【分析】（1）利用余弦定理将角化边得出b2+c2﹣a2=absinC=2bccosA，再使用正弦定理得出tanA；（2）利用余弦定理和基本不等式可得bc≥4，bc≤4，故bc=4．

【解答】解：（1）在△ABC中，∵b=acosC+asinC，

∴b=a×+asinC．

即b2+c2﹣a2=absinC．

又∵b2+c2﹣a2=2bccosA，

∴asinC=ccosA，

∴sinAsinC=sinCcosA，

∴tanA=．

∴A=．

（2）由余弦定理得：cosA==，∴b2+c2=bc+4≥2bc，∴bc≤4．

又b2+c2=bc+4，∴（b+c）2=3bc+4，

∵b+c≥4，∴（b+c）2=3bc+4≥16，∴bc≥4．

∴bc=4．

==．

∴S

△ABC

【点评】本题考查了正余弦定理，基本不等式的应用，属于中档题．

18．（12分）（2016?大连二模）甲、乙两名乒乓球运动员进行乒乓球单打比赛，根据以往比赛的胜负情况，每一局甲胜的概率为，乙胜的概率为，如果比赛采用“五局三胜制”（先胜三局者获胜，比赛结束）．（1）求甲获得比赛胜利的概率；

（2）设比赛结束时的局数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．

【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．

【分析】（1）甲获得比赛胜利包含三种情况：①甲连胜三局；②前三局甲两胜一负，第四局甲胜；③前四局甲两胜两负，第五局甲胜．由此能求出甲获得比赛胜利的概率．

（2）由已知得X的可能取值为3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．

【解答】解：（1）甲获得比赛胜利包含三种情况：

①甲连胜三局；②前三局甲两胜一负，第四局甲胜；③前四局甲两胜两负，第五局甲胜．

∴甲获得比赛胜利的概率：

p=++C（）2（）2×=．

（2）由已知得X的可能取值为3，4，5，

P（X=3）==，

P（X=4）=+×=，

P（X=5）=C（）2（）2×+C（）2（）2×=，

∴随机变量X的分布列为：

X 3 4 5

P

数学期望EX==．

【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式的合理运用．

19．（12分）（2016?大连二模）如图，在直三棱柱ABC﹣A

1B

1

C

1

中，AB⊥BC，AA

1

=2，AC=2，M是CC

1

的

中点，P是AM的中点，点Q在线段BC

1上，且BQ=QC

1

．

（1）证明：PQ∥平面ABC；

（2）若直线BA

1

与平面ABM成角的正弦值为，求∠BAC的大小．

【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．

【分析】（1）设AB=a，BC=b，以B为坐标原点建立坐标系，则为平面ABC的一个法向量，求出，

的坐标，通过证明=0得出PQ∥平面ABC；

（2）求出和平面ABM的法向量，令|cos＜，＞|=得出a，b的关系，结合a2+b2=8得出a，b的值，从而确定∠BAC的大小．

为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系B﹣xyz，如图所示：【解答】证明：（1）分别以BA，BC，BB

1

（0，b，2）．

设AB=a，BC=b，则A（a，0，0），B（0，0，0），M（0，b，1），C

1

∴P（，，），Q（0，，）．∴=（﹣，﹣，0）．

∵BB

⊥平面ABC，∴ =（0，0，2）为平面ABC的一个法向量．

1

∵=0，PQ?平面ABC，

∴PQ∥平面ABC．

（2）A

（a，0，2），=（a，0，2），=（a，0，0），=（0，b，1），

1

设平面ABM的法向量为=（x，y，z），则，

∴，令z=1得=（0，﹣，1）．

∴cos＜，＞===．

∴（a2+4）（）=15．

∵AC=2，∴a2=8﹣b2．∴（12﹣b2）（）=15．

解得b=．∴sin∠BAC==．

∴∠BAC=30°．

【点评】本题考查了线面平行的判定，空间向量的应用，线面角的计算，属于中档题．

20．（12分）（2016?大连二模）已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率e=，且椭圆上一点M

与椭圆左右两个焦点构成的三角形周长为4+2．

（1）求椭圆C的方程；

（2）如图，设点D为椭圆上任意一点，直线y=m和椭圆C交于A、B两点，且直线DA、DB与y轴分别交于

P、Q两点，试探究∠PF

1F

2

和∠QF

1

F

2

之间的等量关系并加以证明．

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．

【分析】（1）：由题意可得：e==，2a+2c=4+2，又a2=b2+c2．联立解出即可得出椭圆C的方程．

（2）设D（x

0，y

），则+=1．把y=m代入椭圆方程可得：A（﹣，m），B（，m）．利

用点斜式可得：直线DA的方程与直线DB的方程，可得P，Q的坐标．利用斜率公式只要证明?=1即可得出．

【解答】（1）解：由题意可得：e==，2a+2c=4+2，又a2=b2+c2．

联立解得：a=2，b=c=．

∴椭圆C的方程为： =1．

（2）解：∠PF

1F

2

+∠QF

1

F

2

=90°．

下面给出证明：F

1

．

设D（x

0，y

），则+=1．

把y=m代入椭圆方程可得： +=1，解得x=±．取A（﹣，m），B（，m）．

直线DA的方程为：y﹣y

0=（x﹣x

），可得P．

同理可得：直线DB的方程为：y﹣y

0=（x﹣x

），可得Q．

∴=，

=．

又=2﹣．

∴?=?=

==1．

∴∠PF 1F 2+∠QF 1F 2=90°．

【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、直线方程、斜率计算公式、点与椭圆的位置关系，考查了探究能力、推理能力与计算能力，属于难题．

21．（12分）（2016?大连二模）已知函数f （x ）=lnx+kx （k ∈R ）． （1）当k=﹣1时，求函数f （x ）的极值点；

（2）当k=0时，若f （x ）+﹣a ≥0（a ，b ∈R ）恒成立，试求e a ﹣1﹣b+1的最大值； （3）在（2）的条件下，当e a ﹣1﹣b+1取最大值时，设F （b ）=﹣m （m ∈R ），并设函数F （x ）有两个

零点x 1，x 2，求证：x 1?x 2＞e 2．

【考点】函数模型的选择与应用；导数在最大值、最小值问题中的应用．

【分析】（1）求导数，令f′（x ）=0，可得x=1，函数在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，可得

函数f （x ）的极值点；

（2）确定a ≤lnx+恒成立，求出右边的最小值，可得a ﹣1≤lnb ，即可求e a ﹣1﹣b+1的最大值；

（3）在（2）的条件下，F （x ）=﹣m ，原不等式x 1?x 2＞e 2进一步整理得到ln

＞，只

要能证出上述不等式恒成立即可．

【解答】（1）解：当k=﹣1时，f （x ）=lnx ﹣x ，∴f′（x ）=﹣1．

令f′（x ）=0，可得x=1，函数在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减， ∴函数f （x ）的极大值点是1；

（2）解：当k=0时，若f （x ）+﹣a ≥0（a ，b ∈R ）恒成立，则lnx+﹣a ≥0（a ，b ∈R ）恒成立， ∴a ≤lnx+恒成立， 令y=lnx+，则y′=，由题意b ＞0，函数在（0，b ）上单调递减，在（b ，+∞）上单调递增，

∴a ≤lnb+1， ∴a ﹣1≤lnb ， ∴e a ﹣1﹣b+1≤1，

∴e a ﹣1﹣b+1的最大值为1；

（3）证明：由（2）可知a ﹣1=lnb ，F （b ）=

﹣m ，∴F （x ）=

﹣m

∵x 1、x 2为函数F （x ）的两个零点，不妨设0＜x 1＜x 2， ∴

﹣m=0，

﹣m=0，

∴lnx 1﹣mx 1=0，lnx 2﹣mx 2=0，

∴lnx 1﹣lnx 2=m （x 1﹣x 2），lnx 1+lnx 2=m （x 1+x 2） 原不等式x 1?x 2＞e 2等价于lnx 1+lnx 2＞2?m （x 1+x 2）＞2， ?

＞

?ln

＞

，

令=t ，则0＜t ＜1，

∴ln ＞?lnt ＞，

设g （t ）=lnt ﹣，（0＜t ＜1），

∴g′（t ）=＞0，

∴函数g （t ）在（1，+∞）是递增， ∴g （t ）＞g （1）=0即不等式lnt ＞成立，

故所证不等式x 1?x 2＞e 2成立

【点评】本题主要考查了导数在函数单调性和函数极值中的应用，连续函数的零点存在性定理及其应用，考查构造法的运用，属中档题．

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题计分。做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑题号[选修4-1：几何证明选讲]

22．（10分）（2016?大连二模）已知点C在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于A点，CD分别交AE、AB于点F、D，∠ADF=45°．

（1）求证：CD为∠ACB的平分线；

（2）若AB=AC，求的值．

【考点】与圆有关的比例线段．

【分析】（1）判断出△ADF为等腰直角三角形，根据弦切角定理，三角形外角定理，及圆周角定理的推论，即可得出结论；

（2）若AB=AC，结合（1）的结论，我们可得△ABC三个角分别为30°，30°，120°，解三角形，即可得到的值．

【解答】（1）证明：∵CA切圆O于A点，

∴由弦切角定理，可得∠CAE=∠B

∵BE为圆O的直径

∴∠DAF=90°

∵∠ADF=45°，

∴∠ADF=∠AFD

∴∠ACD+∠CAE=∠B+∠BCD

∴∠ACD=∠BCD，

∴CD为∠ACB的角平分线；

（2）解：若AB=AC，则∠CAE=∠B=∠ACB=30°

则=．

【点评】本题考查的知识点是圆周角定理，弦切角定理，三角形外角定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

23．（2016?大连二模）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已

．

知圆C的极坐标方程为ρ=4sinθ．从极点作圆C的弦，记各条弦中点的轨迹为曲线C

1

（1）求C

的极坐标方程；

1