正弦定理与余弦定理的综合应用
正弦定理与余弦定理的
综合应用
Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】
正弦定理与余弦定理的综合应用
(本课时对应学生用书第页)
自主学习回归教材
1.(必修5P16练习1改编)在△ABC中,若sin A∶sin B∶sin C=7∶8∶13,则cos C=.
【答案】-
1
2
【解析】由正弦定理知a∶b∶c=7∶8∶13,再由余弦定理得cos
C=
222
78-13
278
+
??=-
1
2.
2.(必修5P24复习题1改编)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,
c.若a2-b2=3bc,sin C=23sin B,则角A=.
【答案】
π
6
【解析】由sin C=23sin B得c=23b,代入a2-b2=3bc得a2-b2=6b2,所以a2=7b2,a=7b,
所以cos A=
222
-
2
b c a
bc
+
=
3
2,所以角A=
π
6.
3.(必修5P20练习3改编)如图,一船自西向东匀速航行,上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°方向、距塔68 n mile的M处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处,则这只船的航行速度为n mile/h.
(第3题)
【答案】
176
2
4.(必修5P26本章测试7改编)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,
c.若a sin A+c sin C-2a sin C=b sin B,则角B=.
【答案】45°
【解析】由正弦定理得a2+c2-2ac=b2,再由余弦定理得b2=a2+c2-2ac cos B,故cos B=
2
2,因此B=45°.
5.(必修5P19例4改编)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a,b,c成等比数列,则角B的取值范围为.
【答案】
π
3
??
?
??
,
【解析】因为a,b,c成等比数列,所以b2=ac,所以cos
B=
222
-
2
a c b
ac
+
=
22-
2
a c ac
ac
+
≥
1
2,
因为0
π
3.
1.测量问题的有关名词
(1)仰角和俯角:是指与目标视线在同一垂直平面内的水平视线的夹角.
其中目标视线在水平视线上方时叫作仰角,目标视线在水平视线下方时
叫作俯角.
(2)方向角:是指从指定方向线到目标方向线的水平角,如北偏东30°,南偏西45°.
(3)方位角:是指北方向线顺时针转到目标方向线的角.
(4)坡角:是指坡面与水平面所成的角.
(5)坡比:是指坡面的铅直高度与水平宽度之比.
2.求解三角形实际问题的基本步骤
(1)分析:理解题意,弄清已知和未知,画出示意图;
(2)建模:根据条件和目标,构建三角形,建立一个解三角形的数学模型;
(3)求解:利用正弦定理和余弦定理解三角形,求数学模型的解;
(4)检验:检验上述所求的角是否符合实际意义,从而得到实际问题的解.
【要点导学】
要点导学各个击破
利用正、余弦定理解常见的三角问题
例1 (2016·苏北四市期中)在锐角三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b=4,c=6,且a sin B=23.
(1)求角A的大小;
(2)若D为BC的中点,求线段AD的长.
【解答】(1)由正弦定理,得a sin B=b sin A.
因为b=4,a sin B=23,所以sin A=
3 2.
又0 2,所以A= π 3. (2)若b=4,c=6,由余弦定理得 a2=b2+c2-2bc cos A=16+36-2×24×1 2=28, 所以a=27. 又因为a sin B=23,所以sin B=21 7, 所以cos B=27 7. 因为D为BC的中点,所以BD=DC=7. 在△ABD中,由余弦定理, 得AD2=AB2+BD2-2AB·BD·cos B, 即AD2=36+7-2×6×7×27 7=19, 所以AD=19. 变式(2015·全国卷)已知a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C的对边,且sin2B=2sin A sin C. (1)若a=b,求cos B的值; (2)若B=90°,且a=2,求△ABC的面积. 【解答】(1)由题设及正弦定理可得b2=2ac. 又因为a=b,所以b=2c,a=2c, 由余弦定理可得cos B= 222 - 2 a c b ac = 1 4. (2)由(1)知b2=2ac. 因为B=90°,由勾股定理得a2+c2=b2. 故a2+c2=2ac,得c=a=2. 所以△ABC的面积为1. 【精要点评】解三角形问题的主要工具就是正弦定理、余弦定理,在解题过程中要注意边角关系的转化,根据题目需要合理选择变形的方向. 实际问题中解三角形 例2 2011年5月中下旬,强飓风袭击美国南部与中西部,造成了巨大的损失.为了减少强飓风带来的灾难,美国救援队随时待命进行救援.如图(1),某天,信息中心在A处获悉:在其正东方向相距80 n mile的B 处有一艘客轮遇险,在原地等待救援.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°,相距40 n mile的C处的救援船,救援船立即朝北偏东θ角的方向沿直线CB前往B处救援. (例2(1)) (1)若救援船的航行速度为60 n mile/h,求救援船到达客轮遇险位置的时间(7≈,结果保留两位小数); (2)求tan θ的值. 【思维引导】(1)把问题转化为三角形中的边角关系,因此本题的关键是找出图中的角和边,利用余弦定理求出BC即可解决;(2)首先利用正弦定理求出sin∠ACB,然后利用同角基本关系求出tan ∠ACB,再利用两角和的正切公式即可得出结果. (例2(2)) 【解答】(1)如图(2), 在△ABC中,AB=80, AC=40,∠BAC=120°, 由余弦定理可知 BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos 120°, 即BC= 22 1 8040-28040- 2 ?? +??? ? ??=407, 故救援船到达客轮遇险位置所需时间为 407÷60=27 3≈ (h). (2)在△ABC中, 由正弦定理可得sin AB ACB ∠=sin BC BAC ∠, 则sin ∠ACB=AB BC·sin ∠BAC= 21 7. 显然∠ACB为锐角, 故cos ∠ACB=27 7,tan ∠ACB= 3 2, 而θ=∠ACB+30°. 所以tan θ=tan(∠ACB+30°)= tan tan30 1-tan30tan ACB ACB ∠ ∠ + = 53 3. 变式如图,某海岛上一观察哨A在上午11时测得一轮船在海岛北偏东60°的C处,12时20分测得该轮船在海岛北偏西60°的B处,12时40分,该轮船到达海岛正西方5 km的E港口,若该轮船始终匀速前进,求该轮船的速度. (变式) 【解答】设∠ABE =θ,船的速度为v km/h , 则BC =43v ,BE =1 3v , 在△ABE 中,5sin θ=0 13 sin30v ,即sin θ=152v . 在△ABC 中, sin(180-)AC θ=043 sin120v , 即AC =4sin 332v θ?=415323 2v v ?=203. 在△ACE 中, 2 53v ?? ? ??=25+2 203?? ???-2×5×203?? ???×cos 150°, 化简得259v 2=25+4003+100=775 3, 即v 2=93,所以v =93. 故船速为93 km/h. 例3 (2015·苏锡常镇、宿迁一调)如图,有一段河流,河的一侧是以O 为圆心、半径为103 m 的扇形区域OCD ,河的另一侧是一段笔直的河岸l ,岸边有一烟囱AB (不计B 离河岸的距离),且OB 的连线恰好与河岸l 垂直,设OB与圆弧CD的交点为E.经测量,扇形区域和河岸处于同一水平面,在点C,点O和点E处测得烟囱AB的仰角分别为45°,30°和60°. (例3) (1)求烟囱AB的高度; (2)如果要在CE间修一条直路,求CE的长. 【思维引导】一要理解这是一个立体图形,若设AB=h m,在Rt△ABE 中,∠AEB=60°,可求得EB= 3 3h. (1)在Rt△ABO中,∠AOB=30°,OB=3h,由OE=103,可求出AB. (2)在Rt△ABC中,∠ACB=45°,BC=AB,在△CBO中,求出cos ∠COB,在△CEO中,求CE的长. 【解答】(1)设AB的高度为h m. 在△CAB中,因为∠ACB=45°, 所以CB=h. 在△OAB和△EAB中,因为∠AOB=30°,∠AEB=60°, 所以OB=3h,EB= 3 3h. 由题意得3h-3 3 h =103,解得h=15. 答:烟囱的高度为15 m. (2)在△OBC中,OC=103 m,OB=153 m,BC=15 m, 所以cos ∠COB= 222 - 2? OC OB BC OC OB + = 3002253-225 2103153 +? ??= 5 6, 所以在△OCE中,OC=103 m,OE=103 m, 所以CE2=OC2+OE2-2OC·OE cos ∠COE=300+300-600×5 6=100. 答:CE的长为10 m. 变式(2015·苏锡常镇三模)如图(1),甲船从A处以每小时30 n mile的速度沿正北方向航行,乙船在B处沿固定方向匀速航行,B在A南偏西75°方向且与A相距102n mile 处.当甲船航行20 min到达C处时,乙船航行到甲船的南偏西60°方向的D处,此时两船相距10 n mile. (变式(1)) (1)求乙船每小时航行多少海里 (2)在C处的北偏西30°方向且与C相距83 3n mile处有一个暗礁E, 暗礁E周围2n mile范围内为航行危险区域.问:甲、乙两船按原航向和速度航行有无危险如果有危险,从有危险开始多少小时后能脱离危险如无危险,请说明理由. (变式(2))【解答】(1)如图(2),连接AD, 由题知CD=10,AC=20 60×30=10,∠ACD=60°, 所以△ACD为等边三角形, 所以AD=10,又因为∠DAB=45°, 在△ABD中,由余弦定理得 BD2=AD2+AB2-2AB×AD cos 45°=100, BD=10,v=10×3=30(n mile/h). 答:乙船的速度为每小时30 n mile. (2)在海平面内,以点B为原点,分别以东西方向作x轴,以南北方向作y轴,建立如图所示的平面直角坐标系.危险区域在以E为圆心,半径为r=2的圆内, 因为∠DAB=∠DBA=45°, 易知直线BD的方程为y=3x, E的横坐标为AB cos 15°-CE sin 30°,纵坐标为AB sin 15°+CE cos 30°+AC,求得A(53+5,53-5),C(53+5,53+5), E 113 5953 2 ?? ++ ? ? ?? , , 点E到直线BD的距离为d1=|5311-9-53| 2 =1<2,故乙船有危险; 点E到直线AC的距离为d2=43 3>2, 故甲船没有危险. 以E为圆心,半径为2的圆截直线BD所得的弦长为l=2 22 1 - r d =2, 所以乙船遭遇危险持续时间t=2 30= 1 15(h). 答:甲船没有危险,乙船有危险,且在遭遇危险开始持续 1 15h后脱 险. 解三角形中的不等关系 微课9 ● 典型示例 例4 如图,在等腰直角三角形OPQ中,∠POQ=90°,OP=22,点M 在线段PQ上. (例4) (1)若OM=5,求PM的长; (2)若点N在线段MQ上,且∠MON=30°,问:当∠POM取何值时,△OMN 的面积最小并求出面积的最小值. 【思维导图】 【规范解答】(1)在△OMP中,∠P=45°,OM=5,OP=22. 由余弦定理,得OM2=OP2+PM2-2×OP×PM×cos 45°, 得PM2-4PM+3=0,解得PM=1或PM=3. (2)设∠POM=α,0°≤α≤60°,在△OMP中,由正弦定理,得 sin OM OPM ∠=sin OP OMP ∠, 所以OM= sin45 sin(45) OP α +,同理ON= sin45 sin(75) OP α +, 故S△OMN= 1 2×OM×ON×sin ∠MON = 1 4× 220 00 sin45 sin(45)sin(75) OP αα ++ =000 1 sin(45)sin(4530) αα +++ = 000 1 31 sin(45)sin(45)cos(45) 22 ααα ?? ++++ ?? ?? = 2000 1 31 sin(45)sin(45)cos(45) 22 ααα ++++ 因为0°≤α≤60°,所以30°≤2α+30°≤150°. 所以当α=30°时,sin(2α+30°)取得最大值为1,此时△OMN 的面积取得最小值,即∠POM =30°时,△OMN 的面积最小,其最小值为 ● 总结归纳 (1)求最值首先选择适当的变量作为自变量,若动点在圆上,则选择圆心角为自变量,三角形(特别是直角三角形)中常选择一锐角为自变量,最关键的是列出解析式.(2)若角是自变量,常把解析式化为 f (x )=A sin(ωx +φ)+B 的形式,求得最值. ● 题组强化 1.若△ABC 的内角满足sin A B =2sin C ,则cos C 的最小值是 . 【解析】由sin A B =2sin C 及正弦定理可得a =2c , 所以cos C= 222 - 2 a b c ab + = 2 22 2 - 2 2 a b a b ab ?? + + ? ?? = 22 32-22 8 a b ab ab + ≥ 26-22 8 ab ab ab= 6-2 4 , 当且仅当3a2=2b2,即 a b= 2 3时等号成立,所以cos C的最小值为 6-2 4. 2.在锐角三角形ABC中,已知A=2B,则 a b的取值范围是. 【答案】(23 ,) 【解析】因为A+B+C=180°,A=2B,△ABC为锐角三角形, 所以30° a b= sin2 sin B B=2cos B∈(23 ,). 3.已知线段AB外有一点C,∠ABC=60°,AB=200 km,汽车以80 km/h的速度由A向B行驶,同时摩托车以50 km/h的速度由B向C行驶,则运动开始h后,两车的距离最小. (第3题) 【答案】 70 43 【解析】如图,设t h后,汽车由A行驶到D,摩托车由B行驶到E,则 AD=80t,BE=50t. 因为AB=200,所以BD=200-80t,问题就转化为求DE最小时t的值. 由余弦定理,得DE2=BD2+BE2-2BD·BE cos 60°=(200-80t)2+2 500t2-(200- 80t)·50t=12 900t2-42 000t+40 000.当t=70 43时,DE最小. 4.(2015·苏州调查)如图,有两条相交成60°角的直路X'X,Y'Y,交点为O,甲、乙两人分别在OX,OY上,甲的起始位置与点O相距3 km,乙的起始位置与点O相距1km.后来甲沿XX'的方向、乙沿YY'的方向同时以4 km/h的速度步行. (第4题) (1)求甲、乙在起始位置时两人之间的距离; (2)设t h后甲、乙两人的距离为d(t),写出d(t)的表达式,当t为何值时,甲、乙两人之间的距离最短并求出两人之间的最短距离. 【解答】(1)由余弦定理,得起初两人的距离为 220 13-213cos60 +???=7(km). (2)设t h后两人的距离为d(t), 则当0≤t≤1 4时,d(t)=220 (1-4)(3-4)-2(1-4)(3-4)cos60 t t t t +=2 16-167 t t+; 当t>3 4时,d(t)=220 (4-1)(4-3)-2(4-1)(4-3)cos60 t t t t +=2 16-167 t t+; 当1 4 3 4时,d(t)=220 (4-1)(3-4)-2(4-1)(3-4)cos120 t t t t +=2 16-167 t t+. 所以d (t )=2 16-167t t += 2 116-32t ??+ ???(t ≥0), 当t =1 2时,两人的距离最短,且为3 km. 答:当t =1 2时,两人的距离最短为3 km. 1.(2015·北京卷)在△ABC 中,已知a =3,b =6,A =2π 3,则角 B = . 【答案】π 4 【解析】由正弦定理,得sin a A =sin b B ,即3 3 2=6sin B ,所以sin B =22, 因为b 4. 2.(2016·苏州期中)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,若 tan A =2tan B ,a 2-b 2=1 3c ,则c = . 【答案】1 正弦定理和余弦定理 高考风向 1.考查正弦定理、余弦定理的推导;2.利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形;3.在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中恒等变换、诱导公式等知识点进行综合考查. 学习要领 1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用;2.通过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换,和三角函数性质相结合. 1. 正弦定理:a sin A =b sin B =c sin C =2R ,其中R 是三角形外接圆的半径.由正弦定理可以变形:(1)a ∶b ∶c =sin_A ∶sin_B ∶sin_C ;(2)a =2R sin_A ,b =2R sin_B ,c =2R sin_C ;(3)sin A =a 2R ,sin B =b 2R ,sin C = c 2R 等形式,解决不同的三角形问题. 2. 余弦定理:a 2=b 2+c 2-2bc cos_A ,b 2=a 2+c 2-2ac cos_B ,c 2=a 2+b 2-2ab cos_C .余弦定理可以变形: cos A =b 2+c 2-a 22bc ,cos B =a 2+c 2-b 22ac ,cos C =a 2+b 2-c 2 2ab . 3. S △ABC =12ab sin C =12bc sin A =12ac sin B =abc 4R =1 2 (a +b +c )·r (r 是三角形内切圆的半径),并可由此计算R 、 r . 4. 在△ABC 中,已知a 、b 和A 时,解的情况如下: [1.在三角形中,大角对大边,大边对大角;大角的正弦值也较大,正弦值较大的角也较大,即在△ABC 中,A >B ?a >b ?sin A >sin B ;tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC ;在锐角三角形中,cos A 1.2.2解斜三角形 学习目的: 1进一步掌握利用正、余弦定理解斜三角形的方法,明确解斜三角形知识在实际中有着广泛的应用; 2熟练掌握实际问题向解斜三角形类型的转化; 3通过解斜三角形的应用的教学,继续提高运用所学知识解决实际问题的能力 学习重点:1实际问题向数学问题的转化;2解斜三角形的方法 学习难点:实际问题向数学问题转化思路的确定 课堂过程: 一、复习引入: 上一节,我们一起学习了解三角形问题在实际中的应用,了解了一些把实际问题转化为解三角形问题的方法,掌握了一定的解三角形的方法与技巧这一节,继续给出几个例题, 要求大家尝试用上一节所学的方法加以解决 二、讲解范例: 应用二:测量高度 例1 如图,AB 是底部B 不可到达的一个建筑物,A 为建筑物的最高点。设计一种测量建筑物高度AB 的方法 分析:由于建筑物的底部B 是不可到达的,所以不能直接测量建筑物的高。由解直角三角形的知识,只要能测出一点C 到建筑物的顶部A 的距离CA ,并测出由点C 观察A 的仰角,就可以计算出建筑物的高。所以应该设法借助解三角形的知识测出CA 的长。 解:选择一条水平基线HG , 使H 、G 、B 三点在同一条直线上,由在H, G 两点用测角仪器测得A 的仰角分别为α,β,CD=a. 测角仪器的高为h, 那么,在△ACD 中,根据正弦定理可得: sin sin() a AC βαβ= - sin asin sin = sin(-) AB AE h AC h h ααβαβ=+=++ 例2 如图,在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角α=54°40′, 在塔底C 处测得A 处的俯角β=50°1′ 。已知铁塔BC 部分的高为27.3m, 求出山高CD (精确到1m ) 分析:根据已知条件,应该设法计算出AB 或AC 的长 解:在△ABC 中, ∠BCA=90°+ β , ∠ABC=90°-α, , ∠BAC= α -β, ∠BAD=α. 根据正弦定理得: E D G H C A B A α β 教学准备 教学目标 1. 知识目标:理解并掌握正弦定理,能初步运用正弦定理解斜三角形;技能目标:理解用向量方法推导正弦定理的过程,进一步巩固向量知识,体现向量的工具性情感态度价值观:培养学生 在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力; /难点教学重点2. 重点:正弦定理的探索和证明及其基本应用。难点:已知两边和其中一边的对角解三角形时判 断解的个数。教学用具 3. 多媒体标签 4. 正弦定理 教学过程 讲授新课在初中,我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探讨直角三角形中,角 根据锐BC=a,AC=b,AB=c, ABC.与边的等式关系。如图11-2,在Rt中,设角三角函数中正弦函数的定义,有 . ,又,则,中,ABC从而在直角三角 形. 思考:那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立?(由学生讨论、分析)可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况: ,根上的高是CDABC1(证法一)如图.1-3,当是锐角三角形时,设边AB CD=据任意角三角函数的定义,有,则. . 同理可得,从而 是钝角三角形时,以上关系式仍然成立。(由学生课后ABC类似可推出,当自己推导)从上面的研探过程,可得以下定理正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即 ] 理解定理[)正弦定理说明同一三角形中,边与其对角的正弦成正比,且比例系 数为同1 ( ;使一正数,即存在正数k,, 等价于2(),,。从而知正弦定理的基本作用为: ;①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边,如②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值,如 . 一般地,已知三角形的某些边和角,求其他的边和角的过程叫作解三角形。. 评述:应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时,可能有两解的情形。 2(1)题。)、(页练习第第随堂练习[]511 正弦定理、余弦定理在生活中的应用 正弦定理、余弦定理是解三角形得重要工具,解三角形在经济生活和工程测量中的重要应用,使高考考查的热点和重点之一,本文将正弦定理、余弦定理在生活中的应用作以简单介绍,供同学们学习时参考. 一、在不可到达物体高度测量中的应用 例1 如图,在河的对岸有一电线铁塔AB ,某人在测量河对岸的塔高AB 时,选与塔底B 在同一水平面内的两个测量点C 与D ,现测得 BCD BDC CD s αβ∠=∠==,,,并在点C 测得塔顶 A 的仰角为θ,求塔高A B . 分析:本题是一个高度测量问题,在?BCD 中,先求 出CBD ∠,用正弦定理求出BC ,再在ABC Rt △中求出 塔高AB. 解析:在BCD △中,CBD ∠=παβ--. 由正弦定理得 sin BC BDC ∠=sin CD CBD ∠. 所以BC =sin sin CD BDC CBD ∠∠=sin sin()s βαβ+·. 在ABC Rt △中,AB =tan BC ACB ∠= tan sin sin()s θβαβ+·. 点评:对不可到达的物体的高度测量问题,可先在与物体底部在同一平面内找两点,测出这两点间的距离,再测出这两点分别与物体底部所在点连线和这两点连线所成的角,利用正弦定理或余弦定理求出其中一点到物体底部的距离,在这一点测得物体顶部的仰角,通过解直角三角形,求得物体的高. 二、在测量不可到达的两点间距离中的应用 例2某工程队在修筑公路时,遇到一个小山 包,需要打一条隧道,设山两侧隧道口分别为A 、B , 为了测得隧道的长度,在小山的一侧选取相距3km 的C 、D 两点高,测得∠ACB=750, ∠BCD=450 , ∠ADC=300,∠ADC=450(A 、B 、C 、D ) ,试求隧道的长度. 分析:根据题意作出平面示意图,在四边形 ABCD 中,需要由已知条件求出AB 的长,由图可知,在?ACD 和?BCD 中,利用正弦定理可求得AC 与BC ,然后再在?ABC 中,由余弦定理求出AB. 解析:在?ACD 中,∵∠ADC=300,∠ACD=1200,∴∠CAD=300,∴AC=CD=3. 在?BCD 中,∠CBD==600 由正弦定理可得,BC=003sin 75sin 60=26)2 + 正弦定理与余弦定理的综合应用 (本课时对应学生用书第页 ) 自主学习回归教材 1.(必修5P16练习1改编)在△ABC中,若sin A∶sin B∶sin C=7∶8∶13,则cos C=. 【答案】-1 2 【解析】由正弦定理知a∶b∶c=7∶8∶13,再由余弦定理得cos C= 222 78-13 278 + ??=- 1 2. 2.(必修5P24复习题1改编)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a2-b23bc,sin C3B,则角A=. 【答案】π6 【解析】由sin C 3B得c3b,代入a2-b23得a2-b2=6b2,所以a2=7b2,a7b, 所以cos A= 222 - 2 b c a bc + = 3 ,所以角A= π 6. 3.(必修5P20练习3改编)如图,一船自西向东匀速航行,上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°方向、距塔68 n mile的M处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处,则这只船的航行速度 为n mile/h. (第3题) 【答案】 176 4.(必修5P26本章测试7改编)设△ABC的角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a sin A+c sin C2sin C=b sin B,则角B=. 【答案】45° 【解析】由正弦定理得a2+c22ac=b2,再由余弦定理得b2=a2+c2-2ac cos B,故cos B=2 , 因此B=45°. 5.(必修5P19例4改编)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a,b,c成等比数列,则角B的取值围为. 【答案】 π0 3?? ???, 正弦定理与余弦定理 1.已知△ABC 中,a=4,ο 30,34==A b ,则B 等于( ) A .30° B.30° 或150° C.60° D.60°或120° 2.已知锐角△ABC 的面积为33,BC=4,CA=3,则角C 的大小为( ) A .75° B.60° C.45° D.30° 3.已知ABC ?中,c b a ,,分别是角C B A ,,所对的边,若0cos cos )2(=++C b B c a ,则角B 的大小为( ) A . 6 π B . 3 π C . 32π D .6 5π 4.在?ABC 中,a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边.若 sin sin C A =2,ac a b 322=-,则B ∠=( ) A. 030 B. 060 C. 0120 D. 0150 5.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c .已知a=5,c=10,A=30°,则B 等于( ) A .105° B.60° C.15° D.105° 或 15° 6.已知ABC ?中,75 6,8,cos 96 BC AC C ===,则ABC ?的形状是( ) A .锐角三角形 B .直角三角形 C .等腰三角形 D .钝角三角形 7.在ABC ?中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且2B C =,2cos 2cos b C c B a -=,则角A 的大小为( ) A . 2π B .3π C .4π D .6 π 8.在△ABC 中,若sin 2 A +sin 2 B <sin 2 C ,则△ABC 的形状是( ) A .锐角三角形 B .直角三角形 C .钝角三角形 D .不能确定 9.在ABC ?中,sin :sin :sin 3:2:4A B C =,那么cos C =( ) A. 14 B.23 C.23- D.14 - 10.在ABC ?中,a b c ,,分别为角A B C ,,所对边,若2cos a b C =,则此三角形一定是( ) A .等腰直角三角形 B .直角三角形 C .等腰三角形 D .等腰或直角三角形 11.在△ABC 中,cos 2 =,则△ABC 为( )三角形. A .正 B .直角 C .等腰直角 D .等腰 12.在△ABC 中,A=60°,a=4,b=4 ,则B 等于( ) A .B=45°或135° B .B=135° C .B=45° D .以上答案都不对 13.在ABC ?,内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1 sin cos sin cos ,2 a B C c B A b += 且a b >,则B ∠=( ) 第二节应用举例 题型一 测量距离问题 A 、 B 两点在河的两岸,要测量两点之间的距离,测量者在A 的同侧,在所在的河岸边选定一点 C ,测出 AC 的距离是55m, 51=∠BAC , 75=∠ACB .求A 、B 两点间的距离(精 确到1.0m ). 分析 所求的边AB 的对角是已知的,又已知三角形的一边AC ,根 据三角形内角和定理可计算出AC 的对角,根据正弦定理,可以计算出边AB . 解答 根据正弦定理,得 ABC AC ACB AB ∠= ∠sin sin ABC ACB ABC ACB AC AB ∠∠= ∠∠=sin sin 55sin sin 76554 sin 75sin 55)7551180sin(75sin 55?≈=--= (m) 点拨 本题是测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题,用正弦定理就可解决。 本题型的解题关键在于明确:(1)测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题,一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题,再运用正弦定理解决。(2)测量两个不可到达的点之间的距离问题,首先把求不可到达的两点之间的距离转化 A B C 为应用正弦定理求三角形的边长问题,然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题。 衍生1★★ 如图所示,客轮以速度v 2由A 至B 再到C 匀速航行,货轮从AC 的中点D 出发,以速度V 沿直线匀速航行,将货物送达客轮,已知BC AB ⊥,且50=-BC AB 海里。若两船同时启航出发,则两船相遇之处距C 点 海里。(结果精确到小数点后1位) 解析 AB DB 2< ∴两船相遇点在BC 上,可设为E ,设x CE =,则 V BE AB DE 22+= 故 V x x 45cos 2252)225(22??-+V x 2)50(50-+= 得 3 5000 2= x ,∴8.40≈x 答案 8.40 点拨 本题考查了测量距离问题。 衍生2★★★如图所示,B A ,两点都在河的对岸(不可到达),设计一种测量B A , 两点间距离的方法。 分析 可以先计算出河的这一岸的一点C 到对岸两点的距离, 再测 A B C D α β A γ δ 第七节 正弦定理、余弦定理应用举例 时间:45分钟 分值:75分 一、选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分) 1.如图所示,已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ,灯塔A 在观察站C 的北偏东20°,灯塔B 在观察站C 的南偏东40°,则灯塔A 与灯塔B 的距离为( ) A .a km B.3a km C.2a km D .2a km 解析 利用余弦定理解△ABC .易知∠ACB =120°,在△ACB 中,由余弦 定理得AB 2=AC 2+BC 2-2AC ·BC cos120°=2a 2-2a 2×? ?? ??-12=3a 2, ∴AB =3a . 答案B 2.张晓华同学骑电动自行车以24 km/h 的速度沿着正北方向的公路行驶,在点A 处望见电视塔S 在电动车的北偏东30°方向上,15 min 后到点B 处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上,则电动车在点B 时与电视塔S 的距离是( ) A .2 2 km B .3 2 km C .3 3 km D .2 3 km 解析 如图,由条件知AB =24×15 60=6,在△ABS 中,∠BAS =30°,AB =6,∠ABS =180°-75°=105°,所以∠ASB =45°.由正弦定理知BS sin30°=AB sin45°,所以BS =AB sin45°sin30°=3 2. 答案B 3.轮船A 和轮船B 在中午12时离开海港C ,两艘轮船航行方向的夹角为120°,轮船A 的航行速度是25海里/小时,轮船B 的航行速度是15海里/小时,下午2时两船之间的距离是( ) A .35海里 B .352海里 C .353海里 D .70海里 解析 设轮船A 、B 航行到下午2时时所在的位置分别是E ,F ,则依题意有CE =25×2=50,CF =15×2=30,且∠ECF =120°, EF =CE 2+CF 2-2CE ·CF cos120° = 502+302-2×50×30cos120°=70. 答案D 4.(2014·济南调研)为测量某塔AB 的高度,在一幢与塔AB 相距20 m 正弦定理和余弦定理的应用举例 考点梳理 1.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等. 2.实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方的角叫仰角,目标视线在水平视线下方的角叫俯角(如图①). (2)方向角:相对于某正方向的水平角,如南偏东30°,北偏西45°,西偏北60°等; (3)方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B点的方位角为α(如图②).(4)坡度:坡面与水平面所成的二面角的度数. 【助学·微博】 解三角形应用题的一般步骤 (1)阅读理解题意,弄清问题的实际背景,明确已知与未知,理清量与量之间的关系.侧重考查从实际问题中提炼数学问题的能力. (2)根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形问题的模型. (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解. (4)将三角形问题还原为实际问题,注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等. 解三角形应用题常有以下两种情形 (1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解. (2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形,这时需作出这些三角形,先解够条件的三角形,然后逐步求解其他三角形,有时 需设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要求的解. 考点自测 1.(2012·江苏金陵中学)已知△AB C的一个内角为120°,并且三边长构成公差为4的等差数列,则三角形的面积等于________. 解析 记三角形三边长为a-4,a ,a +4,则(a+4)2=(a -4)2+a2-2a (a-4) co s 120°,解得a =10,故S =12×10×6×s in 120°=15错误!. 答案 15错误! 2.若海上有A ,B ,C 三个小岛,测得A ,B 两岛相距10海里,∠BAC =60°,∠ABC =75°,则B ,C间的距离是________海里. 解析 由正弦定理,知 B Csi n 60° =错误!.解得BC =5错误!(海里). 答案 5错误! 3.(2013·日照调研)如图,一船自西向东匀速航行,上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68海里的M 处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处,则这只船的航行速度为________海里/时. 解析 由正弦定理,得MN =68si n 120°si n 45° =34\r(6)(海里),船的航行速度为错误!=错误!(海里/时). 答案 错误! 4.在△ABC 中,若2错误!abs in C =a 2+b 2+c 2,则△ABC 的形状是________. 解析 由23ab sin C =a2+b 2+c 2,a 2+b2-c 2=2ab cos C 相加,得a 2+b 2=2ab sin 错误!.又a2+b 2≥2ab ,所以 sin 错误!≥1,从而s in 错误!=1,且a =b,C =错误!时等号成立,所以△ABC 是等边三角形. 答案 等边三角形 5.(2010·江苏卷)在锐角△A BC中,角A,B ,C 的对边分别为a ,b ,c. 习题课 正弦定理与余弦定理 双基达标 (限时20分钟) 1.在△ABC 中,若2cos B sin A =sin C ,则△ABC 的形状一定是 ( ). A .等腰直角三角形 B .直角三角形 C .等腰三角形 D .等边三角形 解析 ∵2cos B sin A =sin C =sin(A +B ), ∴sin A cos B -cos A sin B =0, 即sin(A -B )=0,∴A =B . 答案 C 2.在△ABC 中,若a 2=bc ,则角A 是 ( ). A .锐角 B .钝角 C .直角 D .60° 解析 cos A =b 2+c 2-a 2 2bc = b 2+ c 2 -bc 2bc = ????b -c 22+3c 2 4 2bc >0,∴0°<A <90°. 答案 A 3.在△ABC 中,AB =7,AC =6,M 是BC 的中点,AM =4,则BC 等于 ( ). A.21 B.106 C.69 D.154 解析 设BC =a ,则BM =MC =a 2. 在△ABM 中, AB 2=BM 2+AM 2-2BM ·AM cos ∠AMB , 即72=14a 2+42-2×a 2×4·cos ∠AMB ① 在△ACM 中, AC 2=AM 2+CM 2-2AM ·CM ·cos ∠AMC 即62=42+14a 2+2×4×a 2·cos ∠AMB ② ①+②得:72+62=42+42+1 2 a 2, ∴a =106. 答案 B 4.在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,若a 2+c 2-b 2=3ac ,则角B 的值为________. 解析 ∵a 2+c 2-b 2=3ac , ∴cos B =a 2+c 2-b 22ac =3ac 2ac =32,∴B =π 6. 答案 π 6 5.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若a =2,b =2,sin B +cos B =2,则角A 的大小为________. 解析 由sin B +cos B =2sin ????B +π 4=2得 sin ????B +π4=1,∴B =π 4. 由正弦定理a sin A =b sin B 得 sin A =a sin B b = 2sin π 4 2 =12 , ∴A =π6或56 π. ∵a <b ,∴A <B ,A =π 6. 答案 π6 6.在△ABC 中,内角A 、B 、C 成等差数列,其对边a ,b ,c 满足2b 2=3ac ,求A . 解 由A 、B 、C 成等差数列及A +B +C =180°得B =60°,A +C =120°. 由2b 2=3ac 及正弦定理得 2sin 2B =3sin A sin C , 故sin A sin C =12 . cos(A +C )=cos A cos C -sin A sin C =cos A cos C -1 2, 即cos A cos C -12=-1 2, cos A cos C =0, cos A =0或cos C =0, 课时作业3应用举例 时间:45分钟满分:100分 课堂训练 1.海上有A、B两个小岛相距10海里,从A岛望C岛和B岛成60°的视角,从B岛望C岛和A岛成75°的视角,则B、C间的距离是() A.103海里B.106海里 C.52海里D.56海里 【答案】 D 【解析】如图,∠A=60°,∠B=75°, 则∠C=45°, 由正弦定理得: BC=AB·sin A sin C =10×sin60° sin45° =5 6. 2.如图所示,设A、B两点在河的两岸,一测量者在A所在的河岸边选定一点C,测出AC的距离为50m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后,就可以计算出A、B两点的距离为() A .502m B .503m C .252m D.2522m 【答案】 A 【解析】 因为∠ACB =45°,∠CAB =105°,所以∠ABC =30°,根 据正弦定理可知,AC sin ∠ABC =AB sin ∠ACB ,即50sin30°=AB sin45°,解得AB =502m ,选A. 3.从某电视塔的正东方向的A 处,测得塔顶仰角是60°;从电视塔的西偏南30°的B 处,测得塔顶仰角为45°,A ,B 间距离是35m ,则此电视塔的高度是________m. 【答案】 521 【解析】 如图所示,塔高为OC ,则∠OAC =60°,∠AOB =180°-30°=150°,∠CBO =45°,AB =35, 设电视塔高度为h m,则OA=3 3h,OB=h,在△AOB中由余弦定理可得AB2=OA2+OB2-2OA·OB·cos∠AOB, 即352=(3 2+h2-2×33h×h×(-32) 3h) 解得h=521. 4.如图所示,海中小岛A周围38海里内有暗礁,一船正向南航行,在B处测得小岛A在船的南偏东30°,航行30海里后,在C处测得小岛在船的南偏东45°,如果此船不改变航向,继续向南航行,有无触礁的危险? 【分析】船继续向南航行,有无触礁的危险,取决于A到直线BC的距离与38海里的大小,于是我们只要先求出AC或AB的大小,再计算出A到BC的距离,将它与38海里比较大小即可.正弦定理和余弦定理
1.2.2正弦、余弦定理应用
1正弦定理和余弦定理-教学设计-教案
正弦定理、余弦定理在生活中的应用
正弦定理与余弦定理地综合应用
(完整版)正弦定理与余弦定理练习题
正弦定理和余弦定理的应用
正弦定理余弦定理
正弦定理和余弦定理的应用举例(解析版)
人教新课标版数学高二-2014版数学必修五练习1-1正弦定理与余弦定理
(完整版)正弦定理余弦定理应用实例练习含答案
正弦定理与余弦定理