2020届全国普通高校运动训练、民族传统体育单独招生模拟测数学试题
2020届体育单招数学模考试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题6分，共60分） 1. 已知集合{}2≥=x x A ，{}
12
>=x
x B ，则=B A （ ）
{}2.
≥x x A {}1.>x x B {}1.->x x C {}21.≤<-x x D
2. 已知等差数列{}n a 首项为1-，前n 项和为n S ，若16913-=S ，则公差=d （ ）
4.3.2.1.----D C B A
3. 已知)(12
2Z k k ∈-=
π
πα
，则=α2tan （ ） 3
3.3
.3
3.3
.-
-±
±D C B A 4. 从1、2、3、4、5中任取两个数，其积为奇数的概率（ ） 5
1.5
2.
5
3.
10
3.
D C B A 5. 已知圆柱的母线长为2，表面积为π16，则圆柱体积为（ ） ππ
ππ
32.16.8.4.D C B A
6. 过椭圆14
22
=+y x 焦点作长轴垂线，交椭圆于B A ,，则=AB （ ） 4.3.2.1
.D C B A
7. 已知向量)3,1(-=，),2(x =，且b a //
，那么=a 2（ ）
104.10
3.10
2.10
.D C B A
8. 在ABC ?中，AB=3，AC=4，BC=37，则AB 边上的高为（ ） 3.32.2
2.2
.D C B A
9. 方程)1)(2()2()1(2
2
-+=++-a a y a x a 表示的是双曲线，则a 的取值范围是（ ）
)1,2(.-A )2,1(.-B ),1(.∞+C ),1()2,(.∞+--∞ D 10. 函数x x y 2cos sin -=的最小值是（ ） 2.8
9.2.4
5.--
--
D C B A
班级 姓名 考场 考号
密
封 线 内 不 要 答 题
二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分） 11. 若抛物线px y 22
-=的准线方程为1=x ，则
=p .
12. 62??? ?
?-x x 的展开式中2
x 的系数为 .
13. 曲线3
2x x y +=在点)3,1(处的切线方程为 . 14. 已知等比数列 ,22,4，则数列的第9项为 .
15. 已知正三棱锥ABC P -，2=AB ，3=PA ，侧棱PA 与底面ABC 所成角的余弦值为 .
16. 已知点P 是椭圆1592
2=+y x 上一点，21,F F 是椭圆的左右焦点，若021=?PF PF ，则21F PF ?的面积为 .
选择题答案填写处
三、解答题（本大题共3小题，每小题18分，共54分）
17. 在△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，a 、b 、c 成递增的等差数列，且
A
b
B a cos cos =
. （1）证明：△ABC 是直角三角形；（2）求.sin B
18. 已知椭圆C 的中心在坐标原点O 处，焦点在x 轴上，离心率为
23，且C 过点)2
3
,
1(-. （1）求C 的方程；
（2）若直线l ：0=+-t y x 与C 交于B A ,两点，且5
4
=
?AOB S ，求l 的方程.
19.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BB1=1，D，E分别是A1C1，AB1中点.
（1）证明：DE∥平面BB1C1C；（2）求点B到平面AB1C1的距离.
A1
参考答案
选择题ABDAB ADCDC
填空题11. 2；12. 60；13. 5x-y-2=0；14.
4
1
；15. 932；16. 5.
解答题
17. （1）证明：由正弦定理得a=2RsinA,b=2RsinB (2R 为△ABC 外接圆半径) 于是由已知可得
A
b
B a cos cos =
，进而得B A 2sin 2sin =，因为a,b,c 成递增的等差数列，所以b a ≠，要使得B A 2sin 2sin =，只有π=+B A 22，所以2
π
=
C ，所以△ABC 是直角
三角形.
（2）由已知得c a b +=2，进而得C A B sin sin sin 2+=，在AB C Rt ?中，
B A
C cos sin ,1sin ==，所以1cos sin 2+=B B ，解得5
4sin =
B . 18. （1）解：依题意可设)0(,2,3>==t t a t c ，所以2
2t b =，于是椭圆C 方程为
14222
2=+t y t x 代入)23,1(-，得12
=t ，所以C 的方程为14
22=+y x . (2) 依题意设),(),,(2211y x B y x A ，联立???????
=+=+-14
02
2
y x t y x 得044852
2=-++t tx x ，此时
2
1680t -=?，l 与C 交于两点，只需5t 2
<. 于是5
4
4,5822121-=-=+t x x t x x ，进而得
2
22552451616256411t t t AB -=--+=，原点O 到直线AB 的距离为2
t d =
，5
4
21=?=
?d AB S AOB ，解得1±=t ，或2±=t . 所以直线l 方程为01=+-y x ，或01=--y x ，或02=--y x ，或02=+-y x . 19. （1）证明：取A 1B 1中点为F ，连接DF ，EF.于是DF ，EF 分别为△A 1B 1C 1，△AA 1B 1中位线. 所以1111//2
1
//,21//
BB A A EF C B DF ，所以平面DEF ∥平面BB 1C 1C. 又DE 在平面DEF 内，所以DE ∥平面BB 1C 1C.
（2）如图，1111C AB B C V V ABB -=-，,4
7
sin ,43
cos 1111=∠=∠AB C AB C
于是d ?????=????
4722213123112131，解得7
21
=d 即为所求距离.