初三数学直角三角形三角函数

一、一周知识概述

1、解直角三角形常用方法：

（1）勾股定理：c2=a2＋b2

（2）三个锐角三角函数：

（3）三个三角函数之间的关系：

①互余关系sinA=cos(90°－A)、cosA=sin(90°－A)

②平方关系：

③商数关系：

2、注意两个转化

（1）把实际问题转化为数学问题：将实际问题图形转化为平面几何图形，依题意，画出图形.

（2）若三角形不是直角三角形，应添加适当的辅助线，将原图形分割成几个直角三角形，找出边、角之间关系，求出所需要的量.

3、特殊角0°，30°，45°，60°，90°的三角函数值要在理解基础上记住.

0°30°45°60°90°

0 1

sinα

1 0

cosα

0 1 不存在

tanα

4、三个三角函数值随角的增加，函数值的变化特征：

当0°≤α≤90°时，正弦与正切的函数值随角的增大而增大，但tan90°的值不存在，而余弦的函数值是随角的增大而减小.

5、理解仰角、俯角、坡角、坡度等概念

有时为了测出江河、水库、筑路等的坡面AB与地面BC的倾斜程度，有时用坡角α的大小来反映。当α（0°≤α≤90°）较大时，则倾斜程度就较徒，有时把坡面AB的

铅垂高度h和水平宽度的比叫做坡度，用字母i表示.

二、重难点知识概述

1、重点

（1）锐角α的sinα,cosα,tanα的特殊角及对应的特殊值.

（2）0°、90°的特殊情况：sin0°=0，cos0°=1，tan0°=0，sin90°=1，cos90°=0，tan90°不存在.

（3）已知锐角α，则可求出sinα,cosα,tanα的值，当α是0°～90°中一般角时，可用科学计算器求出，反过来，若已知某三角函数值时，也可求出0°~90°间的角.

（4）利用直角三角形中的边角关系，解决实际问题.

2、难点

将一般三角形中所要求的值，转化为直角形求其值，即辅助线要恰当地作出。一般来说，辅助线不要破坏所给的特殊角.

一、周知识概述

1、从实际问题出发——梯子靠在墙上，有的较陡，有的较缓，用什么值反映出来？通过学习发现：把这一问题

转化为在直角三角形中，某锐角的对边与邻边的比.所以规定

显然，梯子的倾斜程度与tanA的值的大小有关，当0°

，梯子越陡.

2、相应地规定正弦：

3、关于30°，45°，60°的正弦，余弦、正切值，可由直角三角形来确定，与直角三角形大小无关，而与两锐角大小有关.

当∠A=30°时当∠A=45°时当∠A=60°时

将它们的特殊值列表如下：

三角函数

sinαcosαtanα

角α的度数

30°

45° 1

60°

4、为方便学习，应了解一下在直角三角形中，把∠A的邻边与∠A的对边之比起名为余切，即

5、在Rt△ABC中，由锐角A（0°

可得出即sin2A＋cos2A=1.

6、除特殊角30°，45°，60°的三角函数值外，还有0°，90°的极端情况规定：

（b≠0），而sin90°=1, cos90°=0, tan90°不存在.

二、本周重难点

1、重点：特殊角30°，45°，60°的正弦值，余弦值及正切值，且能根据特殊角的三角函数值，仅求锐角的大

小.

2、难点：如何将一般三角形，通过作辅助线转化为直角三角形去解决某些问题.

三、重难点知识讲解

例1、若关于x的一元二次方程x2＋ax＋b=0的两根是一直角三角形两锐角的正弦值，且a＋5b=1，求a,b的值.

分析：此题要用到两个方面的知识.一是一元二次方程根与系数的关系，二是利用在Rt△中，当∠C=90°时，有∠A＋∠B=90°，∴∠B=90°－∠A，则sinB=sin(90°－A)=cosA的关系，建立a,b的方程组求解.

解：设直角三角形ABC中，∠C=90°，依题意：sinA＋sinB=－a （1），

sinA·sinB=b，又∵∠A＋∠B=90°，∴∠B=90°－∠A．

∴sinB=sin(90°－A)=cosA则将（1），（2）式化为：

sinA＋cosA=－a （3）sinA·cosA=b（4）

(3)2－（4）×2，得

sin2A＋cos2A+2 sinA·cosA－2 sinA·cosA= a2－2b，

由sin2A＋cos2A=1 ，∴a2－2b=1 （5），

又由条件可知a＋5b=1 （6），

解（5）（6）组成的方程组，消去a得

∴

综上所得

例2、为了农田灌溉的需要，某乡利用土堤修筑一条渠道，在堤中间挖出一个深为1.2米，下底宽为2米，坡度为1﹕0.8的渠道（其横断面为等腰梯形）（如图），并把挖出来的土堆在两旁，使土堤的高度比原来增加0.6米.

求（1）渠面宽EF的长；（2）若修300米长的渠道需挖的土方数是多少？

解析：从图中可知，将原土堤横断面MNPQ中挖出一个等腰梯形ABCD，且将挖出的土方填在原土堤两边加高后，修成一个等腰梯形EBCF的渠道以便灌水，这中间要求AD、EF

等量.

解：（1）如图过F作FG⊥BC交BC的延长线于G，则：FG=0.6＋1.2=1.8(米)

（2）过D作DH⊥CG交CG于H，则由且DH=1.2，

例3、在Rt△ABC中∠C=90°，AB=6，BC=2.求

（1）sinA, cosA, tanA的值；

（2）sinA与cosB是否相等？sinB与cosA是否相等？为什么，tanA与sinA，cosA又有什么关系，为什么？

（3）sin2A与cos2A有什么关系？为什么？

解：∵BC=2，AB=6，. （1）

同理：

（2）

又∵∠B=90°－∠A，即sinA=cos(90°－A) ①

∴sinB=cosA而∠A=90°－∠B

∴sinB=cos(90°－B) ②

（3）

且sin2A＋cos2A=

综上所述，除了掌握从0°～90°间的特殊角的三角函数值外，还需了解它们之间的关系，可分为：

（1）互余关系：sinA=cos(90°－A)，cosA=sin(90°－A)

（2）平方关系：sin2A＋cos2A=1

（3）商数关系：可作为公式使用.

例4、在Rt△ABC中，∠C=90°，若求tanB的值.

解析：此题有两种解法，一是定义法，二是用三角函数间的关系式.

解法一：定义法：在Rt△ABC中，∠C=90°，且

∴设BC=3a，∴AB=5a，

解法二：∵sinA=cos(90°－A)=cosB，.

又∵sin2B＋cos2B=1，且sinB>0,

三角函数的运用(解直角三角形的运用)

第20题图课题：解直角三角形的运用【学习目标】1、理解锐角三角函数的概念。2、掌握30°、45°、60°的三角函数值。3、能熟练的运用锐角三角函数解决实际问题【学习重点】能熟练的运用锐角三角函数解决实际问题【教学难点】能熟练的运用锐角三角函数解决实际问题【学习过程】一、课堂前置 1、锐角三角函数的概念：如图，在△ABC 中，∠C =90° ①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记为sinA ，即c a sin =∠=斜边的对边A A ②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记为cosA ，即c b cos =∠= 斜边的邻边A A ③锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记为tanA ，即b a tan =∠∠= 的邻边的对边A A A 锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数 2、特殊角的三角函数值 3．如图（2）仰角是____________,俯角是____________． 4．如图（3）方向角：OA ：_____，OB ：_______，OC ：_______，OD ：________． 5．如图（4）坡度：AB 的坡度i AB ＝_______，∠α叫_____，tan α＝i ＝____．图（2）图（3）图（4）二、小组交流（2011年楚雄）20．（本小题8分）如图，甲、乙两船同时从港口A 出发，甲船以60海里/时的速度沿北偏东60°方向航行，乙船沿北偏西30°方向航行，半小时后甲船到达C 点，乙船正好到达甲船正西方向的B 1.7≈）． O A B C

60°30° F E M D C B A M C A B N B （2013年楚雄）20．（6分）如图，我国的一艘海监船在钓鱼岛A 附近沿正东方向航行，船在B 点时测得钓鱼岛A 在船的北偏东60°方向，船以50海里/时的速度继续航行2小时后到达C 点，此时钓鱼岛A 在船的北偏东30°方向．请问船继续航行多少海里与钓鱼岛A 的距离最近？三、分享表达：（2014年云南）21.（6分）如图，小明在M 处用高为1米（DM=1米）的测角仪测得旗杆AB 的顶端B 的仰角为30°，再向旗杆方向前进10米到F 处，又测得旗杆的顶端B 的仰角为60°，请求出旗杆AB 的高度。（取3≈1.73，结果保留整数。）（2012年云南）20．（本小题6分）如图，某同学在楼房的A 处测得荷塘的一端B 处的俯角为30°，荷塘另一端D 与点C 、B 在同一直线上，已知AC=32米，CD=16米，求荷塘宽BD 1.73≈，结果保留整数）四、拓展提升（2015年云南）19．为解决江北学校学生上学过河难的问题，乡政府决定修建一座桥．建桥过程中需测量河的宽度（即两平行河岸AB 与MN 之间的距离）．在测量时，选定河对岸MN 上的点C 处为桥的一端，在河岸点A 处，测得∠CAB=30°，沿河岸AB 前行 30米后到达B 处，在B 处测得∠CBA=60° ．请你根据以上测量数据求出河的宽度． 1.41≈ 1.73≈；结果保留整数）（2010年楚雄）20．（本小题8分）如图，河流的两岸PQ 、MN 互相平行，河岸PQ 上有一排小树，已知相邻两树之间的距离CD=50米，某人在河岸MN 的A 处测得∠DAN = 35°，然后沿河岸走了120米到达B 处，测得∠CBN=70°．求河流的宽度CE(结果保留两个有效数字)．（参考数据： sin35°≈ 0.57, cos35°≈ 0.82, tan35°≈ 0.70 sin 70°≈ 0.94, cos70°≈ 0.34, tan70°≈ 2.75 ）

高中数学经典例题

高中数学经典例题讲解高中数学经典例题讲解典型例题一例1下列图形中，满足唯一性的是（）． A．过直线外一点作与该直线垂直的直线 B．过直线外一点与该直线平行的平面C．过平面外一点与平面平行的直线D．过一点作已知平面的垂线分析：本题考查的是空间线线关系和线面关系，对定义的准确理解是解本题的关键．要注意空间垂直并非一定相关．解：A．过直线外一点作与这条直线垂直的直线，由于并没有强调相交，所以这样的垂线可以作无数条．事实上这无数条直线还在同一个平面内，这个平面为该直线的一个垂面．B．过直线外一点可以作一条而且仅能作一条直线与该直线平行，但可以作无数个平面和该直线平行．C．过此点作平面内任一直线的平行线，这条平行线都平行于平面．所以过平面外一点与平面平行的直线应有无数条．．过一点作已知平面的垂线是有且仅有一条．假设空间点、平面，过点有两条直线、都垂直于，由于、为相交直线，不妨设、所确定的平面为，与的交线为，则必有，，又由于、、都在平面内，这样在内经过点就有两条直线和直线垂直，与平面几何中经过一点有县仅有一条直线与已知直线垂直相矛盾．故选D．说明：有关“唯一性”结论的问题，常用反证法，或者借助于其它已证明过的唯一性命题来证明．在本书中，过一点作已知平面的垂线有且仅有一条，同时，过一点作

已知直线的垂面也是有且仅有一个．它们都是“唯一性”命题，在空间作图题中常常用到．典型例题二例2 已知下列命题：（1）若一直线垂直于一个平面的一条斜线，则该直线必垂直于斜线在这个平面内的射影；（2）平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线互相平行；（3）若平面外的两条直线，在这个平面上的射影互相垂直，则这两条直线互相垂直；（4）若两条直线互相垂直，且其中的一条平行一个平面，另一条是这个平面的斜线，则这两条直线在这个平面上的射影互相垂直．上述命题正确的是（）． A．（1）、（2） B．（2）、（3） C．（3）、（4） D．（2）、（4）分析：本题考查的三垂线定理及其逆定理的简单应用．应用这两个定理时要特别注意“平面内”这一条件，同时要注意各种不同位置的两定理的基本图形及其变式图形．解：（1）已知直线不一定在平面内，所以不能用三垂线逆定理来判断垂直关系； - 1 - 高中数学经典例题讲解（2）平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线必定与斜线在平面内的射影垂直，所以它们之间也平行；（3）根据三垂线定理可证明直线与另一直线的射影垂直，但不能进一步说明直线和直线垂直；（4）根据三垂线定理的逆定理和空间两直线所成角的概念，不难证明此命题的正确性．故选D．说明：（3）中若一直线与另一直线的射影垂直，则有另一直线必与这一直线的射影垂直．如E、FGBC在

2019中考数学解直角三角形汇编

解直角三角形应用篇 1．（2019山东泰安中考）（4分）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B 港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为（）km． A．30+30B．30+10C．10+30D．30 2．（2019山东淄博中考）如图，小明从A处沿北偏东40°方向行走至点B处，又从点B处沿东偏南20方向行走至点C处，则∠ABC等于（） A．130°B．120°C．110°D．100° 3（.2019山东聊城中考）某数学兴趣小组要测量实验大楼部分楼体高度（如图①所示，CD 部分），在起点A处测得大楼部分楼体CD的顶端C点的仰角为45，底端D点的仰角为 30°，在同一剖面沿水平地面向前走20米到达B处，测得顶端C的仰角为63.4（如图② 所示），求大楼部分楼体CD的高度约为多少米？（精确到1米）（参考数据：sin63.40.89， cos63.40.45，tan63.42.00，21.41，31.73）

的

4. (2019甘肃中考7分)某数学课题研究小组针对兰州市住房窗户设计遮阳篷”这-课题进行了探究: 出: 1是某住户窗户上方安装的，要求设计的遮阳篷既能最大限度夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射. 方案设计: 2,该数学课题研究小组通过调查研究设AC 的遮阳篷CD 数据收集: 通过查阅:兰州市一年中，夏至这一天的正午时刻，太DA 与遮阳篷C D 的夹角∠A D C 最大(∠A D C =77.44°):冬至这一天的正午时刻，太 DB 与遮阳篷CD 的夹角 ∠BDC 最小(∠BDC=30.56°);窗户的高度AB=2m 决: 根据上述方案及数据，求遮阳篷C . (结果0.1m,参考数据:sin30.56°≈0.51，cos30.56°≈0.86,tan30.56°≈0.59)

直角三角形知识点总结

直角三角形边角关系知识点考点总结考点一、直角三角形的性质（3~5分） 1、直角三角形的两个锐角互余可表示如下：∠C=90°?∠A+∠B=90° 2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 ∠A=30° 可表示如下： ?BC=2 1 AB ∠C=90° 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∠ACB=90° 可表示如下： ?CD=2 1 AB=BD=AD D 为AB 的中点 4、勾股定理直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ 5、摄影定理在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项 ∠ACB=90° BD AD CD ?=2 ? AB AD AC ?=2 CD ⊥AB AB BD BC ?=2 6、常用关系式由三角形面积公式可得： AB ?CD=AC ?BC

考点二、直角三角形的判定（3~5分） 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。 2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。考点三、锐角三角函数的概念（3~8分） 1、如图，在△ABC 中，∠C=90° ①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记为sinA ，即 c a sin =∠= 斜边的对边A A ②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记为cosA ，即 c b cos =∠= 斜边的邻边A A ③锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记为tanA ，即b a tan =∠∠= 的邻边的对边A A A ④锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记为cotA ，即a b cot =∠∠=的对边的邻边A A A 2、锐角三角函数的概念锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数 3、一些特殊角的三角函数值三角函数 0° 30° 45° 60° 90° sinα 0 21 22 2 3 1 cos α 1 2 3 2 2 21 0 tan α 0 3 3 1 3 不存在 cot α 不存在 3 1 3 3

初三数学三角函数知识点

三角函数知识点及同步练习 1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。 2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)： 3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值； 4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。 5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要) A 90B 90∠-?=∠? =∠+∠得由B A 对边邻边 C b A 90 B 90∠-?=∠? =∠+∠得由B A

6、正弦、余弦的增减性：当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。 1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。 2、应用举例： (1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。 (2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。用字母i 表示，即h i l = 。坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等。把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么 tan h i l α= =。【例1】在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AC ＝12，BC ＝15。（1）求AB 的长；（2）求sinA 、cosA 的值；（3）求A A 22cos sin +的值；（4）比较sinA 、cosB 的大小。变式：（1）在Rt △ABC 中，∠C ＝900，5=a ，2=b ，则sinA ＝。（2）在Rt △ABC 中，∠A ＝900，如果BC ＝10，sinB ＝0.6，那么AC ＝。【例2】计算：020045sin 30cot 60sin +? :i h l =h l α

中考数学解析汇编19 锐角三角函数及解直角三角形

锐角三角函数及解直角三角形 29.1 锐角三角函数以及特殊角（2011江苏省无锡市，2，3′）sin45°的值是（） A. 12 B. 2 D.1 【解析】sin45° = 2 【答案】B 【点评】本题主要考查常见锐角三角函数值。需要学生记忆，这是对基础知识的考查，属于容易题。（2012四川内江，11，3分）如图4所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sinA 的值为 A ．12 B C D 【解析】欲求sinA ，需先寻找∠A 所在的直角三角形，而图形中∠A 所在的△ABC 并不是直角三角形，所以需要作高．观察格点图形发现连接CD （如下图所示），恰好可证得CD ⊥AB ，于是有sinA ＝CD AC 【答案】B 【点评】在斜三角形中求三角函数值时往往需要作高构造直角三角形，将这类问题以格点图形为背景展现时，要注意利用格点之间连线的特殊位置灵活构造．解决这类问题，一要注意构造出直角三角形，二要熟练掌握三角函数的定义． 29.2 三角函数的有关计算图4 图4

（2012福州，9，4分，）如图，从热气球C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别为30°、45°，如果此时热气球C 处的高度CD 为100米，点A 、D 、B 在同一直线上，则AB 两点的距离是（） A ．200米 B. C. D. 1)米解析：由题意，∠A=30°，∠B=45°，则tan ,tan CD CD A B AD DB = =，又CD=100，因此 AB=AD+DB= 00100100100tan tan tan 30tan 45 CD CD A B +=+=。答案：D 点评：本题考查了俯角概念、30°、45°的正切三角函数值，考察了用三角函数模型解决实际问题的能力，难度中等。 ( 2012年浙江省宁波市,8,3)如图，Rt △ABC,∠C=900,AB=6,cosB=23 ,则BC 的长为（A ）4 (B)2 5 (C) 18 1313 (D) 121313 【解析】由三角函数余弦的定义cosB=BC AB =23 ，又∵AB=6∴BC=4,故选A 【答案】A 【点评】本题考查三角函数的定义，比较容易. （2012福州,15，4分，）如图，已知△ABC ，AB=AC=1，∠A=36°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，则AD 的长是， cosA 的值是 .（结果保留根号） 8题图 A B C

新人教版高中数学必修五第一章解直角三角形教案：正弦定理和余弦定理

1.1 正弦定理和余弦定理【知识要点】 1. 正弦定理：在三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 是三角形ABC 的外接圆的半径，则有===2sin sin sin a b c R A B C 。文字语言表述为：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。 2.余弦定理：在三角形ABC 中，有： 222222222=+-2cos ;=a +-2cos ;=+-2cos a b c bc A b c ac B c a b ab C ；变形后：222222222 +-+-+-cos =,cos =,cos =222b c a a c b a b c A B C bc ac ab 。 3. 解三角形的基本类型及解法 a. 一般的，把三角形的三个内角A 、B 、C 和它们的对边a 、b 、c 叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫做解三角形。 b. 解三角形有一下几种类型：（1）已知一边和两角（2）两边和夹角（3）三边（4）两边和其中一边对角 4. 判断三角形的形状常见结论：（1）若222+=a b c ，则C=90? （2）若2 2 2 +a b c >，则C <90? （3）若2 2 2 +a b c <，则C 90>? （4）sin 2sin 2,+= 2 A B π =若则A=B,或A B 5. 三角形的综合问题【知识应用】 1. 研究三角形问题的一般有两种思路：一是边化角，二是角化边。在解题时要结合题设，发现题设结构，再结合正弦定理解决。【J 】例1 （1）三角形ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 。若c=2,6,120b B ==?，则a=______。（2）在三角形ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若 (3)cos cos , cos b c A a C A -=则=________。

初三数学：解直角三角形

解直角三角形知识要点： 1、锐角三角函数：正弦、余弦、正切、余切 sin A =斜边的对边A ∠, cos A =斜边的邻边 A ∠, tan A =的邻边的对边A A ∠∠, cot A = 的对边的邻边 A A ∠∠ (1)平方关系：1cos sin 2 2=+A A ； (2)倒数关系：1cotA tanA =?； (3)商的关系：tanA= A A cos sin (4)互余两角的正余弦、正余切关系：如果ο 90=∠+∠B A ，那么B A A cos )90cos(sin =-=ο ；tanA=cot （90°-A ）=cotB 2、解直角三角形 3、解直角三角形的应用：坡度问题、测量问题、航海问题关键是把实际问题转化为数学问题来解决 (构造直角三角形) 几个专用名词：俯角、仰角、坡角、坡度（或坡比）、方向角一：转化思想在解直角三角形中的应用转化的思想在数学中应用十分广泛，在不含直角三角形的图形中（如斜三角形、梯形等），我们应通过作适当的垂线构造直角三角形，从而转化为解直角三角形问题，希望同学们在不断地学习中总结这种添加垂线的技巧例1. 在△ABC 中，已知AB=6，∠B=45°，∠C=60°，求AC 、BC 的长．已知条件解法一边及一锐角直角边a 及锐角A B ＝90°-A ，b ＝a·tanA，c= sin a A 斜边c 及锐角A B ＝90°-A ，a ＝c·sinA，b ＝c·cosA 两边两条直角边a 和b ，B ＝90°-A ，直角边a 和斜边c sinA= a c ，B ＝90°-A ，

例2. 如图所示，△ABC中，∠BAC=120°，AB=5，AC=3，求sinB·sinC的值．例3．如图，在ΔABC中，∠C=90°，∠A的平分线交BC于D，则 CD AC AB- 等于（）． A .sin A B. cos A C . tan A D . cot A 例4．如图所示，在ΔABC中，∠B=60°，且∠B所对的边b=1，AB+BC=2，求AB的值．例5．已知：在ΔABC中，∠B=60°，∠C=45°，BC=5，求ΔABC的面积．例6．如图，ΔABC中，∠A=90°，AB=AC，D是AC上的一点，且AD∶DC=1∶3，求tan∠DBC的值．二：可解的非直角三角形的类型与解法解这类三角形一般都需要三个条件，它的解题思路是：作垂线，构造含特殊角的直角三角形来解决，下面分类举例说明，供同学们参考．一、“SSS”型：例1．已知：如图１，BC=2，AC=6，AB=31 +，求△ABC各内角的度数． B A D C 图1

圆中的计算——构造直角三角形转化三角函数

专题：圆中的计算——构造直角三角形转化三角函数学习目标：能运用圆心角、圆周角的转换进行圆中的计算教学过程一、知识回顾如图，在⊙O 中，⌒AB =⌒AC ，∠ACB=75°. (1) (2) (3) (1)如图(1)，∠ABC= ，∠A= (2)如图(2)，作直径CD ，连BD ，∠DBC= ，∠D= (3)如图(3)，连AO 并延长交BC 于M ，连OC ，∠AMC= ,∠MOC= 思考：图(2)，图(3)中，能用线段的比表示出sin ∠BAC 、cos ∠BAC 、tan ∠BAC 吗？二、例题精练 1.如图，点E 在以AB 为直径的⊙O 上，点C 是⌒BE 的中点，连BE 交AC 于点F 。若cos ∠CAE=4 5 ，BF=15，求AC 的长。 2.如图，△ABC 内接于⊙O ，AB=AC ，CO 的延长线交AB 于点D. (1)求证：AO 平分∠BAC ；(2)若BC=6，sin ∠BAC=3 5，求AC 和CD 的长. 归纳：如何通过转换圆周角或圆心角转化三角函数呢？ A

三、课堂检测 1.如图，⊙O 的直径为5，△ABC 为⊙O 的内接三角形，AC =2√6，则tan ∠B= 2.如图，△ABC 内接于⊙O ，AB=AC ，若AB=4√3， cos ∠BAC=1 3，则BC= 3.如图，AB 为⊙O 的直径，CD 为⊙O 的弦，AB=10，cos ∠BAC=3 5 ，∠BAD=30°，则线段CD 的长是四、巩固练习 1.如图，△ABC 内接于⊙O ，E 在⌒AC 上，⌒EC =⌒AB ，AC=BC ，若AB=4，BE=6，求cos ∠EBC. 2.如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB=AC ，点P 是⌒AB 的中点，连接PA 、PB 、PC ，若sin ∠BPC=24 25，求tan ∠PAB. A E A

初中数学总复习三角函数

初中三角函数〖考试要求〗通过实例认识锐角三角函数（sinA，cosA，tanA），知道300，450，600角的三角函数值；会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它对应的锐角. 度数sinαcosαtanα 30° 2 1 2 3 3 3 45° 2 2 2 2 1 60° 2 3 2 1 3 1．1 正弦和余弦例1已知0°≤α≤90°．（1）求证：sin2α+cos2α=1；（2）求证：sinα+cosα≥1，讨论在什么情形下等号成立；（3）已知sinα+cosα=1，求sin2α+cos2α的值．证明（1）如图6-1，当0°＜α＜90°时，sinα=BC/AB，cosα=AC/AB，所以在这种情形下 A B C A B C

当α=0°时，sinα=0，cosα=1；当α=90°，sinα=1，cosα=0．所以在这两种情形下仍有 sin2α+cos2α=1．（2）如图6-1，当0°＜α＜90°时，sinα=BC/AB，cosα=AC/AB．所以在这种情形下当α=0°时，sinα+cosα=0+1=1；当α=90°时，sinα+cosα=1+0=1．所以当0°≤α≤90°时，总有 sinα+cosα≥1，当并且只当α=0°或α=90°时，等号成立．（3）由于已知sina+cosα=1．由（2）可知α=0°或α=90°，所以总有 sin2α+cos2α=1．例2 求证：对于0°≤α≤90°， 1．2 正切和余切证明（1）当0°＜α＜90°时，如图6-2，

当α=0°时，tgα=0，sinα=0，cosα=1．所以仍有tgα= （2）α必须满足不等式： 0°＜α＜90°．如图6-2，所以tgα·ctgα=1．例2 已知锐角α，且tgα是方程x2-2x-3=0的一个根，求解： x2-2x-3=0的两根为3和-1．这里只能是tgα=3．如图6-3，由于tgα=3．因此可设BC=3，AC=1，从而

中考复习锐角三角函数及解直角三角形教学设计

中考复习锐角三角函数及解直角三角形教学设计吉林省白山市靖宇县景山学校高芝红义务教育课程标准人教版教科书《数学》九年级下《锐角三角函数及解直角三角形》专题复习。根据数学新课标及吉林省中考数学考纲制定以下教学目标：教学目标知识与技能使学生掌握特殊角三角函数值，理解直角三角形的边角关系，并能运用这些关系解直角三角形。过程与方法在学生经历“回顾—应用—归纳”直角三角形相关知识过程中，体会数形结合、转化、化归、抽象的思想。情感态度与价值观通过运用直角三角形相关知识解决问题,培养学生的综合运用知识解决问题的能力，体验运用数学知识解决一些简单的实际问题，培养学生用数学的意识。重点特殊角的三角函数值及选择正确关系式运用三角函数解决与直角三角形有关的实际问题。难点将实际问题抽象为数学问题，选择正确关系式运用三角函数解决与直角三角形有关的实际问题。教法数学是一门培养人的思维，发展人的思维的重要学科，九年级学生具备一定的探究能力，因此我采用学生独立思考、阐述解题思路、合作探究、引导启发等方法突破难点。学法通过学生独立思考、师生合作等方法认识到数与形相结合的意义和作用，提高学生将千变万化的实际问题转化为数学问题解决的能力，体验到学好知识，能应用于社会实践，从而培养学生用数学的意识。教具课件三角板教学过程设计师生通过回忆与直角三角形有关的知识引出课题——设计意图锐角三角函数及解直角三角形专题复习充分利用学生知活动1 【知识梳理】识最近发展区进1.锐角三角函数的定义：入主题。若在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为 a、b、c，则sinA＝___，cosA＝___，tanA＝ ___，cotA=___. 2.特殊角的三角函数值：

初三数学解直角三角形

初三数学解直角三角形 1、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素（直角除外）求未知元素的过程，叫解直角三角形． 2、解直角三角形的依据（1）三边之间的关系：a2＋b2=c2．（2）两锐角之间的关系：∠A＋∠B=90°．（3）边角之间的关系：例1如图，在△ABC中，AD为BC边上的高，tanB=cos∠DAC．（1）求证：AC=BD；（2）若BC=12，，求AD的长． 3、仰角与俯角：在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫俯角．如图所示：例2、汶川地震后，抢险队派一架直升机去A、B两个村庄抢险，飞机在距地面450米的上空P点，测得A村的俯角为30°，B村的俯角为60°，如图所示，求A、B两个村庄之间的距离．（精确到1m．参考数据） 4、方向角：指北或指南方向与目标方向线所成的小于90°的夹角叫方向角．如图所示：例3某段笔直的限速公路上，规定汽车的最高行驶速度不能超过60km/h．交通管理部门在离该公路100m处设置了一速度监测点A，在如图所示的坐标系中，点A在y轴上，测速路段BC在x轴上，点B在点A的北偏西60°方向上，点C在点A的北偏东45°方向上．1）请在图中画出表示北偏东45°方向的射线AC，并标出点C的位置； 2）点B的坐标为__________，点C的坐标为__________； 3）一辆汽车从点B行驶到点C所用的时间为15s，请你通过计算判断汽车在这段限速公路上是否超速行驶（本问中取1.7） 1、已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，，则a=（） A．B． C． D．6 2、一等腰梯形的高为4，下底长为8，下底的底角的正弦值为0.8，那么它的上底和腰长分别为（）A．4和5 B．2和5 C．2和4 D．4和10 3、王师傅在楼顶的A处测得楼前一棵树CD的顶端C的俯角为60°，又知水平距离BD为10m，楼高AB为24m，则树高CD为（）m．

初三数学直角三角形三角函数之欧阳数创编

一、一周知识概述时间：2021.03.02 创作：欧阳数 1、解直角三角形常用方法：（1）勾股定理：c2=a2＋b2 （2）三个锐角三角函数：（3）三个三角函数之间的关系： ①互余关系sinA=cos(90°－A)、cosA=sin(90°－A) ②平方关系： ③商数关系： 2、注意两个转化（1）把实际问题转化为数学问题：将实际问题图形转化为平面几何图形，依题意，画出图形. （2）若三角形不是直角三角形，应添加适当的辅助线，将原图形分割成几个直角三角形，找出边、角之间关系，求出所需要的量. 3、特殊角0°，30°，45°，60°，90°的三角函数值要在理解基础上记住.

0°30°45°60°90° 0 1 sinα 1 0 cosα 0 1 不存在 tanα 4、三个三角函数值随角的增加，函数值的变化特征：当0°≤α≤90°时，正弦与正切的函数值随角的增大而增大，但tan90°的值不存在，而余弦的函数值是随角的增大而减小. 5、理解仰角、俯角、坡角、坡度等概念有时为了测出江河、水库、筑路等的坡面AB与地面BC的倾斜程度，有时用坡角α的大小来反映。当α（0°≤α≤90°）较大时，则倾斜程度就较徒，有时把坡面AB 的铅垂高度h和水平宽度的比叫做坡度，用字母i表示. 二、重难点知识概述 1、重点（1）锐角α的sinα,cosα,tanα的特殊角及对应的特殊值.

（2）0°、90°的特殊情况：sin0°=0，cos0°=1， tan0°=0，sin90°=1，cos90°=0，tan90°不存在. （3）已知锐角α，则可求出sinα,cosα,tanα的值，当α是0°～90°中一般角时，可用科学计算器求出，反过来，若已知某三角函数值时，也可求出0°~90°间的角.（4）利用直角三角形中的边角关系，解决实际问题. 2、难点将一般三角形中所要求的值，转化为直角形求其值，即辅助线要恰当地作出。一般来说，辅助线不要破坏所给的特殊角. 一、周知识概述 1、从实际问题出发——梯子靠在墙上，有的较陡，有的较缓，用什么值反映出来？通过学习发现：把这一问题转化为在直角三角形中，某锐角的对边与邻边的比.所以规定显然，梯子的倾斜程度与tanA的值的大小有关，当0°

锐角三角函数及解直角三角形的应用练习题

第18题图 C B A 锐角三角函数及解直角三角形的应用一、选择题 1.如图折叠直角三角形纸片的直角，使点C 落在斜边AB 上的点E 处. 已知AB=38, ∠B=30°, 则DE 的长是( ). A. 6 B. 4 C. 34 D. 23 2.如图，修建抽水站时，沿着倾斜角为30°的斜坡铺设管道，若量得水管AB 的长度为80米，那么点B 离水平面的高度BC 的长为（） A 80 3 3米 B ．403米 C ．40米 D ．10米 3．一个斜坡的坡角为30°，则这个斜坡的坡度为（） A ． 1：2 B. 3 ：2 C. 1： 3 D. 3 ：1 4．等腰三角形底边长为10㎝，周长为36cm ，那么底角的余弦等于（）．（A ）513 （B ）1213 （C ）10 13 （D ）512 5．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在CB 的延长线上的D ′处，那么tan ∠BAD ′等于（） (A)1 (B)2 （C ）2 2 (D)22 6．在△ABC 中，三边之比为2:3:1::=c b a ，则sinA+tanA 等于（）（A ） 6323+ （B ）32 1 + （C ）233 （D ）213+ 7．在菱形ABCD 中，∠ADC=120°，则BD ∶AC 等于（）（A ）2:3 （B ）3:3 （C ）1∶2 （D ）1:2 8．如图是一束平行的光线从教室窗户射入的平面示意图，光线与地面所成的∠AMC=30°，在教室地面的影长MN=32米，若窗户的下檐到教室地面的距离BC=1米，则窗户的上檐到教室地面的距离AC 为（）（A ）32米（B ）3米（C ）3.2 米（D ） 2 3 3米 A B C M N

解直角三角形知识点整理

在RT ABC ?中，∠C=90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，则： sin A a A c ∠= =的对边斜边 cos A b A c ∠==的邻边斜边 tan A a A A b ∠= =∠的对边的邻边 c o t A b A A a ∠==∠的邻边的对边常用变形：sin a c A = ；sin a c A =等，。二、锐角三角函数的有关性质： 1、当0°<∠A<90°时，0sin 1A <<；0cos 1A <<；tan 0A >；cot 0A > 2、在0°--90°之间，正弦、正切（sin 、tan ）的值，随角度的增大而增大；余弦、余切（cos 、 cot ）的值，随角度的增大而减小。三、同角三角函数的关系： 22sin cos 1A A += t a n c o t 1A A = sin tan cos A A A = c o s c o t sin A A A = 常用变形：2 sin 1cos A A =- 2c o s 1s i n A A =- 四、正弦与余弦，正切与余切的转换关系：如图1，由定义可得：sin cos cos(90)a A B A c = ==?- 同理可得： sin cos(90)A A =?- cos sin(90)A A =?-tan cot(90)A A =?- c o t t a n (90A A =?- 五、特殊角的三角函数值：三角函数 sin α cos α tan α cot α 30° 12 32 33 3 45° 22 22 1 1 60° 32 12 3 33 六、解直角三角形的基本类型及其解法总结：类型已知条件解法两边两直角边a 、b 2 2c a b =+，tan a A b = ，90B A ∠=?-∠ 直角边a ，斜边c 22 b c a =-，sin a A c =，90B A ∠=?-∠ 一边一锐角直角边a ，锐角A 90B A ∠=?-∠，cot b a A =，sin a c A = 斜边c ，锐角A 90B A ∠=?-∠，sin a c A = ，cos b c A = 60° 30° 32 1 B C A 45° 22 2 B C A

初中数学解直角三角形练习题.docx

xx 学校xx学年xx 学期xx试卷姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________ 题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题（每空xx 分，共xx分）试题1: .如图：小明想测量电线杆AB的高度，发现电线杆的影子恰好落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得米，米，CD与地面成的角，且在此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度约为多少米。（结果保留两位有效数字）。试题2: 某电信部门计划修建一条连结B、C两地的电缆，测量人员在山脚A测得B、C两地的仰角分别为，在B地测得C地的仰角为，已知C地比A地高，电缆BC至少长多少米？（精确到）试题3: 如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD，且建筑物周围没有开阔平整地带，该建筑物顶端宽度AD和高度DC 都可直接测得，从A、D、C三点可看到塔顶端H，可供使用的测量工具有皮尺、测倾器。（1）请你根据现有条件，充分利用矩形建筑物，设计一个测量塔顶端到地面高度HG的方案，具体要求如下： a.测量数据尽可能少。评卷人得分

b.在所给图形上，画出你设计的测量平面图，并将应测数据标记在图形上。（如果测A、D间距离，用m表示，若测D、C 间的距离，用n表示，若测角用表示）（2）根据你测量的数据，计算塔顶端到地面的高度HG。（用字母表示，测倾器高度忽略不计）试题4: 如图：一轮船原在A处，它的北偏东方向上有一灯塔P，轮船沿着北偏西方向航行4小时到达B处，这时灯塔P 正好在轮船的正东方向上，已知轮船的航速为25海里/时，求轮船在B处时与灯塔P的距离。试题5: 为了测量旗杆的高度，准备如下测量工具： ①镜子②皮尺③长2米的标杆④高1.5米的测角仪（能测量仰角和俯角的仪器），请你根据你所设计的测量方案回答下列问题： ①在你设计方案中，选用的测量工具是_________________（填序号）。 ②在图中画出你的测量方案示意图。 ③你需要测量示意图中哪些数据，并用a、b、c、d等字母表示测得的数据。 ________________________________________________ ④写出求旗杆高的算式，AB＝_____________米。

直角三角形的边角关系知识点

直角二角形的边角关系知识考点知识讲解： 1.锐角三角函数的概念如图，在ABC 中，/ C 为直角，则锐角 A 的各三角函数的定义如下： (1)角A 的正弦：锐角A 的对边与斜边的比叫做/ A 的正弦，记作sinA , ⑵ 角A 的余弦：锐角A 的邻边与斜边的比叫做/ A 的余弦，记作 cosA , 口口 b 即 cosA = (3)角A 的正切：锐角A 的对边与邻边的比叫做/ A 的正切，记作tanA , 即 tanA =7 b (4) 角A 的余切：锐角A 的邻边与对边的比叫做/ A 的余切，记作cotA , 即 si nA

b 即cotA =- a 2.直角三角形中的边角关系

(1) 三边之间的关系：a 2 + b 2 = c 2 (2) 锐角之间的关系：A + B = 90° (3) 边角之间的关系： sinA = cosB = -, cosA = sinB =2 c c a b tanA = cotB = , cotA = tanB = 3. 三角函数的关系 (1) 同角的三角函数的关系 2) 倒数关系：tan A -c otA = 1 sinA cosA tanA = , cotA =. cosA st nA (2) 互为余角的函数之间的关系 sin(90 ° - A) = cosA , cos(90 ° - A) = sinA tan (90 ° — A) = cotA , cot (90 ° — A) = tanA 4. 一些特殊角的三角函数值 1) 平方关系：sinA 2 + cosA 2 = 1 3) 商的关系:

三角函数与解直角三角形.doc

学习必备欢迎下载锐角三角函数 1、勾股定理：直角三角形两直角边 a 、 b 的平方和等于斜边 c 的平方。 a 2 b 2 c 2 2、如下图，在 Rt △ABC 中，∠ C 为直角，则∠ A 的锐角三角函数为 ( ∠A 可换成∠ B)：定义表达式取值范围正 A 的对边 0 sin A 1 sin A 斜边 ( ∠A 为锐角 ) 弦余 A 的邻边 0 cos A 1 cos A 斜边 ( ∠A 为锐角 ) 弦正 A 的对边 tan A 0 tan A A 的邻边 ( ∠A 为锐角 ) 切 3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。由 A B 90 B 得 B 90 A 斜边 c 对 sin A sin A cos(90 A) a 边 cosB b cos A sin B cos A sin(90 A) A C 邻边 4、 0°、 30°、 45°、 60°、 90°特殊角的三角函数值 ( 重要 ) 三角函数 30° 45° 60° sin cos tan 5 、正弦、余弦的增减性：当 0°≤ ≤ 90°时， sin 随的增大而增大， cos 随的增大而减小。 6 、正切、余切的增减性：当 0° < <90°时， tan 随的增大而增大注意：一定要记住上面的公式与特殊三角函数的值。

解直角三角形 1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。依据：①边的关系：a2 b2 c 2； ②角的关系： A+B=90°； ③边角关系：三角函数的定义。 A的对边 cos A A的邻边 A的对边 sin A 斜边tan A 斜边A的邻边 2、应用举例： (1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。视线铅垂线仰角水平线俯角视线h i h : l α l (2)坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度 (坡比 )。用字母i表示，即i h 。坡度一般写成 1: m的形式，如 i 1:5 等。 l 把坡面与水平面的夹角记作(叫做坡角 )，那么i h tan 。l 3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图 3，OA、OB、OC、 OD 的方向角分别是： 45°、 135 °、 225°。 4、指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图 4,OA、 OB、OC、 OD 的方向角分别是：北偏东 30°（东北方向），南偏东 45°（东南方向），南偏西60°（西南方向），北偏西 60°（西北方向）。

初三数学 直角三角形三角函数