2014年矩阵论考试样卷(研究生)

同济大学课程考核试卷（样卷）

2013—2014学年第一学期

命题教师签名： 审核教师签名： 课号：2102001 课名：矩阵论 考试考查：考试

此卷选为：期中考试( )、期终考试( √ )、重修( )试卷

（注意：本试卷共七大题，三大张，满分100分．考试时间为120分钟.要求写出解题过程，否则不予计分） 一、填空与选择题（4?6分）

1.设矩阵134251122A --??

?

=-- ?

???

的三角分解A LR =，则单位下三角形矩阵L =

2.设5阶矩阵A 的特征矩阵E A λ-的初等因子是2

,,2,2λλλλ--，则A 的最小多项式

()m λ= 。

3.设T 是22

R

?上的线性变换：对任意2

2R ?∈A ，()2T

T A A A =+，则T 的特征值

是 。

4.设A 为4阶实矩阵，线性方程组0Ax =的解空间是V ，4

(){|R }R A Ax x =∈，则V 在4

R 内的正交补是

A. ()R A

B. ()T R A

C. ()()T R A R A ?

D. ()()T R A R A +

5. 设3

R 中1{(,0,0)|R }T

V x x =∈，2{(,,)|R }T

V x x x x =∈，则12V V +=

A.{(,,)|,R }T x x y x y ∈

B.{(,,)|,R }T x y x x y ∈

C.{(,,)|,R }T x y y x y ∈

D. }R ∈x x x x T |),,{(

6.设A 是m n ?矩阵，则[()]T

R AA +=

A.()R A

B.()T R A )(+A R D.前三个选项都不对

二、（14分）设1231231001002,1,0;0,1,1121111αααβββ???????????? ? ? ? ? ? ?

====== ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?---????????????

是3R 的两

组基，T 为3

R 上的线性变换，T

T

1231313((,,))(2,,2)T x x x x x x x =+，求 （1）求由基123,,ααα到基123,,βββ的过度矩阵； （2）T 在基123,,βββ的下的矩阵。

三、（14分）设內积空间22

R

?中的内积为：11223344(,)A B a b a b a b a b =+++，其中

12123434,a a b b A B a a b b ????== ? ?????

，

并且123100100,,001001A A A ?????=== ?? ?

?????是22

R ?的子空间V 的标准正交基， （1）求V 在22

R

?中的正交补，

（2）求V 上的一个正交变换T ，使得11()T A A =

，223())T A A A =

-，并求T 在基123,,A A A 下的矩阵。

四、（14分）求下面微分方程组的初值问题的解

0()

()()(0)

t dx t Ax t dt x t x =?=?

?

?=?

其中310410122A -?? ?=- ? ?-??，1(0)11x ?? ?

=- ? ???

。

五、（12分）设矩阵136112114A -??

?

=- ? ?-??

，求A 的初等因子和Jordan 标准形J 。

六、（12分）用广义逆验证下面线性方程组是矛盾方程组，并求其最小二乘解的通解。

1231231

2321

484221

x x x x x x x x x --=??

-++=??-++=-?

七、（10分）设A 为m n ?矩阵，+

A 是A 的广义逆, 方程组Ax b =有解，证明: （1）()()T R A R A +

=

（2）A b +

是方程组Ax b =的唯一属于()T

R A 的解。