高考数学二轮复习卷：2-10函数的应用

第2章 第10节

[基础强化]

考点一：二次函数模型

1．某地区预计的前x 个月内对某种商品的需求总量f(x)(万件)与月份x 的近似关系式是f(x)＝1

75x(x ＋1)(19－x)，x ∈N*,1≤x≤12，则的第x 月的需求量g(x)(万件)与月份x 的函数关系式是________． 解析：第x(2≤x≤12)月的需求量为 g(x)＝f(x)－f(x －1)

＝175(x ＋1)(19－x)－1

75x(x －1)(20－x) ＝1

25x(13－x)(2≤x≤12)．

当x ＝1时，g(1)＝f(1)＝12

25，同样满足上式， 所以g(x)＝1

25x(13－x)(1≤x≤12，x ∈N*)． 答案：g(x)＝1

25x(13－x)(1≤x≤12，x ∈N*)

2．某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金定为3 000元时，可全部租出；当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．

(1)当每辆车的月租金定为3 600元，能租出多少辆车？

(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？ 解：(1)当每辆车的月租金为3 600元时，未租出的车辆数为

3 600－3 000

50

＝12，所以这时租出了88辆车． (2)设每辆车的月租金定为x 元，则租赁公司的月收益为f(x)＝100－x －3 00050(x －150)－x －3 000

50×50，整理得

f(x)＝－x2

50＋162x －21 000 ＝－1

50(x －4 050)2＋307 050.

所以当x ＝4 050时，f(x)最大，最大值为f(4 050)＝307 050，即当每辆车的月租金定为4 050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307 050元． 考点二：指数函数型应用题

3．某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线．据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗疾病有效，则服药一次治疗该疾病有效的时间为 ( )

A ．4小时

B ．47

8小时 C ．415

16小时

D ．5小时

解析：由x ＝1，y ＝4可求得a ＝3，k ＝4 令y ＝0.25，得4t ＝0.25或(1

2)t －3＝0.25， ∴t1＝116或t2＝5，t2－t1＝5－116＝415

16(小时)． 因此服药一次治疗疾病的有效时间为415

16小时．

答案：C 4．某电器公司生产A 种型号的家庭电脑，平均每台电脑生产成本为5 000元，并以纯利润20%标定出厂价.开始，公司更新设备，加强管理，逐步推行股份制，从而使生产成本逐年降低．预计将平均每台A 种型号的家庭电脑尽管出厂价仅是出厂价的80%，但却实现了纯利润50%高效益． (1)求每台电脑的生产成本；

(2)以生产成本为基数，求至生产成本平均每年降低的百分数(精确到0.01，以下数据可供参考：5＝2.236，6＝2.449)．

解：(1)一方面可以根据的出厂价求得的出厂价；另一方面根据题意可把的出厂价用的生产成本表示，列出方程求解．

设每台电脑的生产成本为x 元，依题意，得 x(1＋50%)＝5 000×(1＋20%)×80%， 解得x ＝3 200(元)．

(2)因为～四年间成本平均每年降低的百分率相等，因此可把每台的生产成本用这个百分数表示，而这个量应与第(1)问中求得的每台电脑的生产成本相等，据此列出方程求解．

设至间每年平均生产成本降低的百分率为y ，则依题意，得5 000(1－y)4＝3 200. 解得y1＝1－255，y2＝1＋25

5(舍去)． y ＝1－25

5≈0.106≈0.11＝11%.

所以每台电脑的生产成本为3 200元，至生产成本平均每年降低约11%. 考点三：分段函数模型

5．如图，等腰梯形ABCD 中，上底DC ＝8，下底AB ＝20，AD ＝BC ＝10，设动点P 由B 沿梯形各边经C 、D 到A 点，则△APB 的面积随P 点变动而变化的函数关系式为________．

解析：设P 点在B 、C 之间运动，P 点运动的路程为x ，AB 与BC 的夹角为θ，

则sinθ＝

102－(20－82)2

10＝45，

当P 点在B 、C 两点之间，

S △APB ＝1

2×20×x×sinθ＝8x(x ∈[0,10))， 当P 点在C 、D 两点之间，

S △APB ＝1

2×20×8＝80(x ∈[10,18])， 当P 点在D 、A 两点之间， S △APB ＝224－8x(x ∈(18,28])， ∴S △APB ＝8x (x ∈[0,10))

6．某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，则订购的全部零件的出厂单价都降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．

(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？

(2)设一次订购量为x 个，零件的实际出厂单价为P 元，写出函数P ＝f(x)的表达式．

(3)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？(工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价－成本)

解：(1)设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x0个，

则x0＝100＋60－51

0.02＝550.因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元． (2)当0＜x≤100时，P ＝60；

当100＜x≤550时，P ＝60－0.02(x －100)＝62－x

50； 当x ＞550时，P ＝51.

(3)设销售商的一次订购量为x 个时，工厂获得的利润为L 元．

当x ＝500时，L ＝6 000；当x ＝1 000时，L ＝11 000.

因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6 000元；如果订购1 000个，利润是11 000元．

考点四：函数模型y ＝ax ＋b

x 的应用

7．(·保定调研)如图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72 dm2(图中阴影部分)，上下空白各2 dm ，左右空白各1 dm ，则四周空白部分面积的最小值是________dm2.

解析：设海报的长、宽分别是x dm 、y dm(x ＞4，y ＞2)．则有(x －4)(y －2)＝72，y ＝72

x －4＋2，四周空白部

分面积是xy －72，xy －72＝[(x －4)＋4] ＋x －4≥8＋2×2×12＝56，

当且仅当72×2

x －4＝x －4，即x ＝16时取等号．因此当且仅当x ＝16时，四周空白部分面积的最小值是56 dm2.

答案：56

8．某大型企业的员工每天用餐需消耗大米4 000 kg.该企业采购大米的市场价格为每千克3元，企业仓库最多能储存56 000 kg 的大米，一次采购大米不超过32 000 kg 时，需付运费196元；一次采购大米超过32 000 kg 而不超过56 000 kg 时，需付运费256元．大米的保管费用为每1 000 kg 每天2元(该企业规定不使用当天采购的大米)．设企业一次采购的大米可供员工用餐的天数为x ，企业平均每天所付的大米费用(包括买米费、运费、保管费)为y 元． (1)试写出y 与x 的函数关系；

(2)该企业一次采购多少天所需的大米，能使平均每天所付的大米费用最少？

解：(1)企业x 天需大米4 000x kg ，其保管费用为2

1 000·4 000[x ＋(x －1)＋…＋2＋1]＝4x(x ＋1)． ①当0＜x≤8时，

y ＝1

x [4x(x ＋1)＋196]＋3×4 000 ＝196

x ＋4x ＋12 004. ②当9≤x≤14时，

y ＝1

x [4x(x ＋1)＋256]＋3×4 000 ＝256

x ＋4x ＋12 004.

(2)①当0＜x≤8时，y ＝196

x ＋4x ＋12 004≥2196x ·4x ＋12 004＝12 060.当且仅当4x ＝196

x ，x ＝7时，y 最小

值为12 060.

②9≤x≤14时，y ＝256x ＋4x ＋12 004，令f(x)＝256

x ＋4x ＋12 004，利用单调性定义可证f(x)在[9,14]上为增函数．

当x ＝9时，f(x)有最小值12 0684

9. 因为12 060＜12 0684

9，

故该企业应一次采购7天所需的大米，能使平均每天所付的大米费最少.

[感悟高考]

1.(·湖北)为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气

中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝(a为常数)，如图所示．根据图中提供的信息，回答下列问题：

(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为__________________；

(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．

解析：由图可设y＝kt(0≤t≤0.1)，把点(0.1,1)分别代入

2．(·上海)近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快.全球太阳电池的年生产量达到670兆瓦，年生产量的增长率为34%.以后四年中，年生产量的增长率逐年递增2%(如的年生产量的增长率为36%)．

(1)求全球太阳电池的年生产量(结果精确到0.1兆瓦)；

(2)目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，的实际安装量为1 420兆瓦．假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在42%，到，要使年安装量与年生产量基本持平(即年安装量不少于年生产量的95%)，这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少(结果精确到0.1%)? 解：(1)由已知得,,,太阳电池的年生产量的增长率依次为36%,38%,40%,42%.

故全球太阳电池的年生产量为

670×1.36×1.38×1.40×1.42≈2499.8(兆瓦)．

(2)设太阳电池的年安装量的平均增长率为x，

则

1420(1＋x)4 2499.8(1＋42%)4≥95%.

解之，得x≥0.615.

因此，这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到61.5%.

3．(·湖南)某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m 米．余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x)x 万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素．记余下工程的费用为y 万元． (1)试写出y 关于x 的函数关系式；

(2)当m ＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？

解：(1)设需新建n 个桥墩，则(n ＋1)x ＝m ，即n ＝m

x －1，所以y ＝f(x)＝256n ＋(n ＋1)(2＋x)x ＝256(m x －1)＋m x (2＋x)x ＝256m

x ＋m x ＋2m －256. (2)由(1)知，f′(x)＝－256m x2＋12mx －12＝m 2x2(x 3

2－512)． 令f′(x)＝0，得x 3

2＝512，所以x ＝64.

当0＜x ＜64时，f′(x)＜0，f(x)在区间(0,64)内为减函数；

当64＜x ＜640时，f′(x)＞0，f(x)在区间(64,640)内为增函数． 所以f(x)在x ＝64处取得最小值．此时n ＝m x －1＝640

64－1＝9.

故需新建9个桥墩才能使y 最小． 4．(·江苏)按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a 元，如果他卖出该产品的单价为m 元，

则他的满意度为m m ＋a ；如果他买进该产品的单价为n 元，则他的满意度为n

n ＋a .如果一个人对两种交易(卖

出或买进)的满意度分别为h1和h2，则他对这两种交易的综合满意度为h1h2.

现假设甲生产A 、B 两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A 、B 两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A 、B 的单价分别为mA 元和mB 元，甲买进A 与卖出B 的综合满意度为h 甲，乙卖出A 与买进B 的综合满意度为h 乙．

(1)求h 甲和h 乙关于mA 、mB 的表达式；当mA ＝3

5mB 时，求证：h 甲＝h 乙；

(2)设mA ＝3

5mB ，当mA 、mB 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？ (3)记(2)中最大的综合满意度为h0，试问能否适当选取mA 、mB 的值，使得h 甲≥h0和h 乙≥h0同时成立，但等号不同时成立？试说明理由．

分析：本小题主要考查函数的概念、基本不等式等基础知识，考查数学建模能力、抽象概括能力以及数学阅读能力．

设mA ＝x ，mB ＝y.

解：(1)甲买进产品A 的满意度：h1甲＝12

x ＋12；

甲卖出产品B 的满意度：h2甲＝

y y ＋5

； 甲买进产品A 和卖出产品B 的综合满意度：h 甲＝

12x ＋12·y

y ＋5

； 同理，乙卖出产品A 和买进产品B 的综合满意度：h 乙＝x x ＋3·20y ＋20

. 当x ＝3

5y 时，h 甲＝

12x ＋12·y

y ＋5

＝12

35y ＋12·y y ＋5

＝

20y

(y ＋20)(y ＋5)

，

h 乙＝

x x ＋3·20y ＋20

＝35y

35y ＋3·20y ＋20 ＝

20y

(y ＋20)(y ＋5)

，故h 甲＝h 乙．

(2)当x ＝3

5y 时，由(1)知h 甲＝h 乙＝20y

(y ＋20)(y ＋5)

，

因为20y

(y ＋20)(y ＋5)

＝

20y ＋100y ＋25

≤4

9，且等号成立当且仅当y ＝10.当y ＝10时，x ＝6.因此，当mA ＝6，mB

＝10时，甲、乙两人的综合满意度均最大，且最大的综合满意度为2

3. (3)由(2)知h0＝2

3. 因为h 甲h 乙＝12x ＋12·y y ＋5·x x ＋3·20

y ＋20

＝

12x ＋36x ＋15·20y ＋100y ＋25

≤4

9，

所以，当h 甲≥23，h 乙≥23时，有h 甲＝h 乙＝2

3.

因此，不能取到mA ，mB 的值，使得h 甲≥h0和h 乙≥h0同时成立，但等号不同时成立. [高考预测]

1.一个人以6米/秒的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时，交通灯由红变绿，汽车以1米/秒的加速度匀加速开走，那么 ( )

A ．此人可在7米内追上汽车

B ．此人可在10米内追上汽车

C ．此人追不上汽车，其间距离最近为5米

D ．此人追不上汽车，其间距离最近为7米

解析：设此人与车的距离为f(t)，追车所用时间为t 秒，则f(t)＝25＋12×1×t2－6t ＝1

2t2－6t ＋25， 又∵Δ＝(－6)2－4×1

2×25＜0，

∴f(t)恒大于0，最小值为7，

即此人追不上汽车，其间距离最近为7米． 答案：D

2．汽车在匀速行驶过程中，汽油平均消耗率g(即每小时的汽油耗油量，单位：L/h)与汽车行驶的平均速度v(单位：km/h)之间满足：g ＝1

2 500(v －50)2＋5(0＜v ＜150)．若定义“汽油的使用率最高”为每千米汽油平均消耗量最小(单位：L/km)，则汽油的使用率最高时，汽车速度是________km/h.

解析：由题意可知，每千米汽油平均消耗量为g v ＝1

2 500(v －50)2＋5

v ＝v 2 500＋6v －125，当且仅当v 2 500＝6

v ，即v ＝506时，g

v 取得最小值，故汽车速度为50 6. 答案：50 6