面积法证明余弦理

以下资料引自：

张景中、彭翕成所著《绕来绕去的向量法》和《仁者无敌面积法》。

面积解释

如图9，以△ABC 的三边为边长向外作三个正方形，90ACB ∠=，CN IH ⊥交AB 于

K 。据说欧几里德就是利用此图形证明勾股定理的。易证EAB CAH ?(最好是将CAH 看作是EAB 旋转而成)，进而可得ACDE AHNK S S =；同理BFCG KNIB S S =，所以直角三角形斜边上的正方形面积等于两直角边上两正方形面积之和。

此处还有一个副产品：ACDE AHNK S S =等价于2*AC AK AB =，无需用到相似，轻松

可得射影定理。

图9 图10 假若不是直角三角形呢？如图10，△ABC 的三高的延长线将三个正方形分为6个矩形，

而且两两相等，cos BFMJ BLPE S S ac B ==，cos MGCJ CHNK S S ab C ==，cos KNIA LADP S S bc A ==，则2222cos cos cos 2cos b c bc A ac B ab C bc A a +=++=+，轻松可得余弦定理。

例1：证明余弦定理。

勾股定理只是对于直角三角形成立，很有必要将之推广到一般三角形的情形，这样在

使用的时候才方便。在第一章中已经介绍了面积法证明余弦定理了，下面再介绍三种面积证法。

证明勾股定理主要用到平移，而证明余弦定理则可能需要用旋转。

余弦定理证明1：如图1，将△ABC 绕点B 旋转一个较小角度α得到△DBE ，则

ABC DBE ?；由面积关系得AECD ABD DBC CBE ABE S S S S S =++-，即

1*sin 2AC DE α= 1111*sin *sin()*sin *sin()2222

AB DB DB CB B CB EB AB EB B αααα+-+-+， 即2221111sin sin (sin cos cos sin )sin 2222

b c ac B B a ααααα=+-+ 1(sin cos cos sin )2

ac B B αα-+，化简得2b =222cos c ac B a -+。

图1 图2

如果认为证法1较麻烦，也还有简单的证法。

余弦定理证明2：只要注意到cos BIHC FHGE S S ab C ==-，

ABC EDG AEF BDI ???，立马可得2222cos c a b ab C =+-。

余弦定理证明3：如图3，在△ABC 中，设三边长度为a ，b ，c ，在AB 边上取点E ，使得

2b AE c =；在AB 边上取点D ，使得2

a BD c

=；易得△AEC ∽△CDB ∽△ACB ， ab CD CE c == ；由ABC AEC EDC DBC S S S S =++得

2221111sin sin ()sin()sin 2222b ab ab a ab ab C C C A B C c c c c c

=+--+， 化简得222

2cos c a b ab C =+-。

图3

在作者所著《从数学教育到教育数学》一书中，还介绍了几种用面积法证明余弦定理的

证法，有兴趣的读者可查阅。

在以上三种证法当中，证法2无疑是最美妙的，完全达到无字证明的境界。所谓无字证

明，是指不用或用少量文字说明就能解释一些数学定理。国外研究者甚多，称之为proof without words 。

向量数量积

我们现在要强调向量数量积的几何意义：

a b ?等于a 的长度与b 在a 方向上的投影的乘积。而a b b a ?=?，所以a b ?又可以等于：b 的长度

与a 在b 方向上的投影的乘积。通俗说来，就是a 与b ，谁往谁身上

靠都可以！

一些资料都指出了22

2()2a b a b a b +=++暗藏余弦定理，但没有进一步的研究。在实数运算中，我们容易构建图形说明222()2a b a b ab +=++。在向量运算中，如何构造图形说明22

2()2a b a b a b +=++呢？ 如图1，以△ABC 三边的三边为边长向外作三个正方形，三高的

延长线将三个正方形分为6个矩形，由a b b a =得**BA BC BA BL BJ BC

==，即cos BFMJ BLPE S S ac B ==，同理cos CJMG CHNK S S ab C ==，cos AKNI ADPL S S bc A ==，则

2222cos cos cos 2cos b c bc A ac B ab C bc A a +=++=+。

注意到J 、C 、A 、L 四点共圆，这说明向量数量积还暗藏圆幂定

理。所以说，别小看a b b a =，不是简单交换顺序那么简单，中间值得研究的东西多着呢！

图1

面积法与勾股定理

1面积法的源起

利用面积关系来说明数学中的某些恒等式、不等式，或证明某些定理，这是一个古老而又年轻的方法。

说它古老，是因为：早在三千多年前，在几何学还没形成一门系统学科时，人们已经会用这种方法来解决某些问题了。

说它年轻，是因为：直到今天，人们并没有给它足够的重视，因为这种方法的潜力远没有得到发挥。它广泛的、五花八门的用途，虽然已经逐步被各种竞赛教材所吸收，但还很少在正式的教科书、教学参考书和各种学生读物中得到系统的阐述。

几何学的产生，源于人们对土地面积测量的需要。翻开任何一本关于数学史的通俗读物，差不多都记载着这样的故事：在古埃及，尼罗河每年定期泛滥。洪水带来了尼罗河肥沃的淤积泥土，这让人们在干旱的沙漠地区种植农作物提供了很好的条件。随之也带来了一个问题，因为洪水在带来肥沃土壤的同时，也抹掉了田地之间的界限标志。洪水消退后，人们要重新画出田地的界限，这就必须丈量和计算田地的面积。年复一年，这就积累了最基本的几何知识。

这样看来，从一开始，几何学就和面积结下不解之缘。英文中的“几何”——“Geometry”，这个单词的字头“Geo-”，便含有土地的意思。

利用面积关系证明几何定理，最早的例子是勾股定理的证明。勾股定理是几何学中的一颗璀璨明珠，历史悠久，证法繁多。千百年来对它的探讨从未停止过，人们不断提出新的证法，其中有著名的数学家，也有业余的数学爱好者；既有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。

图1-1和图1-2都是勾股定理的经典证明。图1-1取自趙爽（三国时代人，生活于公元3世纪）注《周髀算經》（1213年宋版），此证法一般被称为赵爽弦图证法；图1-2取自徐光启、利玛窦合译的《几何原本》，该证法一般被称为欧几里得证法。

图1-1 图1-2

2002年8月20-28日，世界数学家大会在北京召开。大会所使用的会标就是赵爽弦图(图3)。

图3 图4

勾股定理相当重要，被称为是几何学的基石。经过不断探索研究，据说到现在，已经有400多种证法了，无疑成为数学中证法最多的定理。

勾股定理被发现之后，数学家们除了不断寻找新证法，也在寻找应用。

勾股定理的一个直接应用就是希波克拉底发现了月牙定理。如图4，直角三角形的面积等于两个月牙面积之和。

就是这么一个简单的图形，掀起了很大的风波，误导了很多数学爱好者。

月牙形是曲线形，直角三角形是直线形，直线和曲线是如此地不同，因此很容易使人产生错觉，似乎直线形的面积是不可能等于曲线形的面积的。然而正是希波克拉底的这个月牙图形，证明了直线形的面积是完全可能等于曲线形的面积的。这在当时，数学发展的初期，对开阔大家的眼界，有着极大的意义。同时，月牙图形的出现也让很多数学研究者，包括希波克拉底在内，陷入了一个死胡同，他们“坚信”化圆为方问题是可以实现的。其实，希波克拉底只是解决了化月牙形为方这一特殊情况，而该方法很难推广解决直线形图形和曲线形图形等面积转化的一般情况。

古代数学，不管是东方还是西方，都擅长用几何图形来说明问题。这可看作是无字证明（without words proof）的源头。很大程度上，是由于当时代数研究很不系统，缺乏能够方便使用的符号工具。图5是月牙定理的图形证明，多个小图片连在一起，生动再现了面积转化的过程，十分直观。如果利用现代信息技术，譬如用超级画板作成动画形式，或以gif

格式的动态图片展示，则更有趣了。

图5

面积割补的证明大多可以如此处理。图6和图7也是将多幅小图片连在一起，构成勾股

定理的动画证明。这两种证明多次用到了等底等高平行四边形面积相等。

图6

图7

而化圆为方问题实质上等价于用直尺圆规作出线段π的问题。1882年，法国数学家林

德曼证明了π是超越数，而尺规作图所能完成的线段是代数数，所以化圆为方问题是尺规作图所不能完成的。

但假若不受尺规作图的限制，化圆为方问题并非难事。如图8，将一个半径为R 的圆作

一滚动，得到的正方形面积与之相等。设正方形的边长为a ，根据射影定理可得22*a R R R ππ==。

图8

勾股定理证明很多，但多数来之不易， 可谓是古今中外数学爱好者集体智慧的结晶。很多的巧证，都是冥思苦想而成。本书中，我们会给出两种批量生成勾股定理证明方法，

一种是拿两个三角形拼摆，另一种则需借助计算机（见24章），所得证法之多，让人惊讶。 2勾股定理的拼摆证法

如图9，以△ABC 的三边为边长向外作三个正方形，90ACB ∠=，CN IH ⊥交AB 于

K 。据说欧几里德就是利用此图形证明勾股定理的。易证EAB CAH ?(最好是将CAH 看作是EAB 旋转而成)，进而可得ACDE AHNK S S =；同理BFCG KNIB S S =，所以直角三角形斜边上的正方形面积等于两直角边上两正方形面积之和。

此处还有一个副产品：ACDE AHNK S S =等价于2*AC AK AB =，无需用到相似，轻松可得射影定理。

图9 图10 假若不是直角三角形呢？如图10，△ABC 的三高的延长线将三个正方形分为6个矩形，

而且两两相等，cos BFMJ BLPE S S ac B ==，cos MGCJ CHNK S S ab C ==，cos KNIA LADP S S bc A ==，则2222cos cos cos 2cos b c bc A ac B ab C bc A a +=++=+，轻松可得余弦定理。

若将图10加以变化，深入探究，还会有新的收获。

如图11，从点D 出发向斜边AB 作垂线段。显然可以从图11中抽取出图12，由作图可

知DK AB ⊥，易证ABC DLC ?，BC LC =；由面积关系得BCL ACD ALBD S

S S +=化

简即得222a b c +=。

图11 图12

这一证明应该引起我们的重视和反思。勾股定理研究的是直角三角形三边之间的关系，这一关系与直角三角形的三边上是否存在正方形无关，而长期以来我们却不自觉地由数的方（平方）联想到形的方（正方）。去掉正方形，从图11中抽取出图12，图形显得简洁多了，其本质可看作是将△ABC 绕点C 旋转90得到。

如果我们用动态的眼光看图12，则会得到更多的证明。 考虑到看图的习惯，首先将图12转变成图13的形式，其本质是一样的。如图13，将Rt △ABC 旋转90得到Rt △CDE ，由ECB ACD BEAD S S S +=得222a b c +=。（注意：此处涉及凹四边形面积计算，若一时不习惯，可多走一步：延长AB 交DE 于K ，则2111*()*222

BEAD EAD EBD S S S ED AK BK ED AB c =-=-==）

将图13中的Rt △CDE 平移EC ，得到图14，由CDB CAD CADB S S S +=得222a b c +=。

图13 图14

将图14中的Rt △CDF 再平移一点，得到图15，由EFB FADB EADB S S S +=得222a b c +=。

图15 图16

将图13中的Rt △CDE 平移CA ，得到图16。则ABE ABD ADBE S S S +=，即222a b c +=。 将图13中的Rt △CDE 平移EA ，得到图17。图17就是通常所说的总统证法，也可看作是赵爽弦图证法的取半。

图17 图18

图18是赵爽弦图，此图其实包含了勾股定理的两种证法。把图18中外部的正方形去掉得到图19。对于图19，常规的证明是2

214**()2

AB AF BF AF BF =+-，化简得222AB AF BF =+。从另一个角度来看，因为12

CDG ABG ABCD S S S +=，所以2111**222CH DG AG BF AB +=，即222AB AF BF =+。这一证明的好处就是无需用到平方和公式，小学生都能接受。

对于图19，我

们还可以这样分析。ABD ADG BDG ABG ADG FDG ABG ADF ABG S S S S S S S S S =++=++=+，即

2111**222

AB AF DG AG BF =+，即222AB AF BF =+。

图19 图20 将图19中的Rt △AGD 平移一点，得到图

20，由TAC BRS TAS TSC BRS TARB S S S S S S +=++=得222a b c +=。

将图20中的Rt △RST 再平移一点，使得S 与C 重合，得到图13。这就说明欧几里得证法和赵爽弦图证法本质上都可以看作是两个直角三角形拼摆而成，东西方两种经典的证明由此联系，合为一体。

这说明，证明勾股定理并不需要花心思构造太复杂的图形。拿两个完全一样的直角三角形拼摆，再根据面积关系就能简单证明了，而且证法是多种多样的。

直角三角形的三边符合勾股定理，这本是一个天然的性质，却需要另外一个自我才能证明。就好像有人寄东西给你，当你去邮局取时，自己却不能证明自己的身份，此时身份证就成了你的另一个自我。

下面再给出勾股定理的两种拼摆证法。

如图21，221111()2222

c a b a ab b +-=+，所以222a b c +=。 如图22，作''C B CB ⊥，2'a BB b =，2'b A D c

=，由''''AB BA AB C ABA S S S =+得

22

2111222a b c b c b c =+，所以222a b c +=。

图21 图22

3勾股定理的分割证明

图23——25都是勾股定理经典的分割证明。这些证明无需文字说明，一看即明。