(完整word版)概率统计作业-第一章(参考解答)

《概率论与数理统计》第一章作业

一、一批产品中有合格品也有废品，从中有放回地抽取三件产品，以i A (1,2,3)i =表示第i 次抽到废品，试用i A 的运算表示下列事件：

1．第一次和第二次至少抽到一次废品；

2．只有第一次抽到废品；

3．只有一次抽到废品；

4．至少有一次抽到废品；

5．三次都抽到废品；

6．只有两次抽到废品。

解答：

1．12A A U ； 2．123A A A ； 3．123123123()()()A A A A A A A A A U U ；

4．123A A A U U ； 5．123A A A ； 6．123123123()()()A A A A A A A A A U U 。

二、计算下列各题：

1．已知()0.7P A =，()0.4P A B -=，求()P AB ；

解：由0.4()()()P A B P A P AB =-=-，得()()()0.70.40.3P AB P A P A B =--=-=； 所以()1()10.30.7P AB P AB =-=-=

2．已知()1/3P A =，(|)1/4P B A =，(|)1/6P A B =，求()P A B U ； 解：111()()(|)3412P AB P A P B A ==

?=； 又因为11()()(|)()126P AB P B P A B P B ===?，得1()2

P B =； 所以1113()()()()32124

P A B P A P B P AB =+-=+-=U

3．已知()()1/3P A P B ==，(|)1/6P A B =，求(|)P A B ；

解：因为()()(|)P AB P B P A B ==1113618

?= ()1()1[()()()](|)()1()1()P AB P A B P A P B P AB P A B P B P B P B --+-===--U 1111[]7331811213

-+-==-

4．设三个事件1A ,2A ,3A 相互独立，且()2/3i P A =，1,2,3i =。求：

（1）1A ,2A ,3A 至少发生一个的概率； 解：123123123123()1()1()1()()()P A A A P A A A P A A A P A P A P A =-=-=-U U U U

222261[1][1][1]33327

=--?-?-=

（2）1A ,2A ,3A 恰好发生一个的概率； 解：123123123()P A A A A A A A A A U U 123123123()()()P A A A P A A A P A A A =++

123123123()()()()()()()()()P A P A P A P A P A P A P A P A P A =++

21112111223333333339

??????=??+??+??= ? ? ???????

（3）1A ,2A ,3A 最多发生一个的概率。 解：123123123123()P A A A A A A A A A A A A U U U

123123123123()()P A A A A A A A A A P A A A =+U U

1232()()()9

P A P A P A =+ 32179327

??=+= ???

5．假设()0.4P A =，()0.9P A B =U ，在以下情况下求()P B

（1）,A B 互不相容；

解：因为,A B 互不相容，所以AB =?，所以()0P AB =，故：

()()()0.90.40.5P B P A B P A =-=-=U

（2）,A B 相互独立；

解：因为,A B 相互独立，所以()()()P AB P A P B =，

故有()()()()()()()()P A B P A P B P AB P A P B P A P B =+-=+-U

()()[1()]P A P B P A =+-

所以()()0.90.45()1()10.46

P A B P A P B P A --===--U （3）A B ?。

解：因为A B ?，所以A B B =U ，故()()0.9P B P A B ==U ；

另解：因为A B ?，所以()()P AB P A =，

故有：()()()()()()()P A B P A P B P AB P A P B P A =+-=+-U ()P B =

即()()0.9P B P A B ==U 。

三、将n 个质点随机地放入N ()N n ≥个盒子中，假设每个盒子容量无限，求下列事件的概率：

1．某指定的n 个盒子中各有一个质点；

2．恰有n 个盒子中各有一个质点；

3．某指定的盒子中恰有m ()m n <个质点。

解：

1．设A={某指定的n 个盒子中各有一个质点}。n 个质点随机地放入N ()N n ≥个盒子共有n

N 种放法，而某指定的n 个盒子中各有一个质点共有!n 种放法。所以由古典概型知： !()n n P A N

= 2．设B={恰有n 个盒子中各有一个质点}。n 个质点随机地放入N ()N n ≥个盒子共有n N 种放法；恰有n

个盒子中各有一个质点分为两步：第一步，由于n 个盒子没有指定，故从N 个盒子中任取n 个盒子共有n

N C 种取法；第二步，对每种盒子的取法均有!n 种放法，故恰有n 个盒子中各有一个质点共有n N C !n 种放法。所以由古典概型知：

!()n N n C n P B N = 3．设C={某指定的盒子中恰有m 个质点}。n 个质点随机地放入N ()N n ≥个盒子共有n N 种放法；某指定的盒子中恰有m 个质点分两步：第一步，从n 个质点中任取m 个放入指定的盒子，共有m n C 种放法；第二步，把n m -个质点随机放入另外（除指定的盒子以外）的1N -个盒子，共有(1)

n m N --种放法；所以某指定的盒子中恰有m 个质点共有m n C (1)n m N --种放法，所以由古典概型知：

(1)11()1m n m m n m m n n n C N P C C N N N ---????==- ? ?????

四、甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内到达的时间是等可能的。如果甲船的停泊时间是一小时，乙船的停泊时间是两小时，求一昼夜内甲乙两艘船到码头时任何一艘都不需要等候码头空出的概率？

解：设一昼夜内甲船到码头的时刻为x ，乙船到码头的时刻为y （单位：小时）。则样本空间为：

{(,)|024,024}x y x y Ω=≤≤≤≤

记A ={一昼夜内甲乙两艘船到码头时任何一艘都不需要等候码头空出}，则

{(,)|()1()2}{(,)|12}A x y y x x y x y y x y x =->->=>+<-或或

如图，由几何概型知：

2221(2322)10132()0.8793241152

A S P A S Ω+====

五、某人到上海参加会议，他乘火车、轮船、汽车或飞机去的概率分别为0.2,0.1,0.3和0.4，如果他乘火车、轮船、汽车前去，迟到的概率分别为1/3，1/12和1/4，如果他乘飞机去就不会迟到。求：

1．这个人去开会迟到的概率；

2．如果他迟到了，则他是乘轮船去的概率。

解：设B ={这个人去开会迟到}，1A ={这个人乘火车去开会}，2A ={这个人乘轮船去开会}，3A ={这个人乘汽车去开会}，4A ={这个人乘飞机去开会}。

已知1()0.2P A =，2()0.1P A =，3()0.3P A =，4()0.4P A =，

1(|)1/3P B A =，2(|)1/12P B A =，3(|)1/4P B A =，4(|)0P B A =。所以有

1．4

1()()(|)k k

k P B P A P B A ==∑0.21/30.11/120.31/40.40=?+?+?+?3/20= 2．22241()(|)

0.11/121(|)3/2018

()(|)k k

k P A P B A P A B P A P B A =?===∑

六、经验表明：预定餐厅座位而不来就餐的顾客比率为20%，如今餐厅有50个座位，但预定给了52位顾客，问到时顾客来到餐厅而没有座位的概率是多少？

解：设A ={顾客预定餐厅座位而不来就餐}，C ={顾客来到餐厅而没有座位}，k B ={预定了餐厅座位的52位中不来就餐的顾客数为k 个}， 0,1,2,,52k =L ，依题意有()0.2p P A ==，C =01B B U 。

所以()P C =0101()()()P B B P B P B =+U 0052115152520.20.80.20.8C C =??+??=0.000127881