思维特训(十六) “三数”与“三差”中的数学思想

思维特训(十六) “三数”与“三差”中的数

学思想

方法点津·

平均数、中位数、众数是一组数据的代表；极差、方差、标准差反映了一组数据的离散程度．在以上数据计算求值的过程中，应用数学思想(数形结合思想、整体思想、分类讨论思想、统计思想等)解决问题，效果明显．

典题精练·

类型一数形结合思想

1．小亮和小莹自制了一个标靶进行投标比赛，两人各投了10次，图16－TX－1是他们投标成绩(均为整数)的统计图．

图16－TX－1

(1)根据图中信息填写下表：

(2)分别用平均数和中位数解释谁的成绩比较好．

类型二整体思想

2．如果x1与x2的平均数是4，那么x1＋1与x2＋5的平均数是________．

3．由从小到大依次排列的七个数，其平均数为38，若其前4个数的平均数为33，后4个数的平均数是42，试求这组数据的中位数．

类型三分类讨论思想

4．已知一组数据5，7，7，x的中位数与平均数相等，求x的值及这组数据的中位数．

类型四统计思想

5．某校学生会向全校1900名学生发起了“心系地震灾区”捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如图16－TX－2所示的统计图，请根据相关信息，解决下列问题：

(1)本次接受随机调查的学生人数为________，图①中m的值是________；

(2)求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；

(3)根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数．

图16－TX－2

详解详析

1．[导学号：34972434]解：(1)填表如下：

(2)平均数相等说明两人整体水平相当，成绩一样好；小莹的中位数大说明小莹的成绩比小亮好．

2．[导学号：34972435]7 [解析] 因为x 1与x 2的平均数是4，所以x 1＋x 2＝8.所以x 1＋1与x 2＋5的平均数是12(x 1＋1＋x 2＋5)＝12(x 1＋x 2)＋3＝1

2

×8＋3＝7.

3．[解析] 显然根据题目中的三个条件要直接求出这七个数是不可能的，但可以把前3个数看作一个整体，后3个数也看作一个整体．

解：设前3个数和为a ，后3个数和为b ，中间的数(即中位数)为x .由题意得a ＋x ＝33×4，即a ＝

132－x ；b ＋x ＝42×4，即b ＝168－x .而a ＋x ＋b ＝38×7，所以132－x ＋x ＋168－x ＝266，所以x ＝34.即中位数为34.

4．[导学号：34972439]解：当x ≥7时，原数据按从小到大的顺序排列为：5，7，7，x ，其中位数为7＋72＝7，所以5＋7＋7＋x

4

＝7，解得x ＝9；

当x ≤5时，原数据按从小到大的顺序排列为：x ，5，7，7，其中位数为5＋7

2＝6，所以

5＋7＋7＋x

4

＝6，解得x ＝5； 当5＜x ＜7时，原数据按从小到大的顺序排列为：5，x ，7，7，其中位数为x ＋7

2，所以

5＋7＋7＋x 4＝x ＋7

2

，解得x ＝5(舍去)． 综上所述，当x ＝5时，中位数为6；当x ＝9时，中位数为7. 5．[导学号：34972440]解：(1)50 32

(2)因为x ＝(5×4＋10×16＋15×12＋20×10＋30×8)÷50＝16(元)，

所以这组样本数据的平均数是16元；

因为在这组样本数据中，10元出现了16次，出现次数最多，所以这组样本数据的众数是10元；

因为将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是15元，有15＋15

＝15(元)，

2

所以这组样本数据的中位数是15元．

(3)因为在这50名学生中，捐款金额为10元的学生人数所占的百分比为32%，

所以由样本数据，估计该校1900名学生中捐款金额为10元的学生人数所占的百分比为32%，所以1900×32%＝608(名)．

所以该校本次活动捐款金额为10元的学生约有608名．