人教中考数学易错题精选-圆的综合练习题及答案
一、圆的综合真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.如图,以O为圆心,4为半径的圆与x轴交于点A,C在⊙O上,∠OAC=60°.
(1)求∠AOC的度数;
(2)P为x轴正半轴上一点,且PA=OA,连接PC,试判断PC与⊙O的位置关系,并说明理由;
(3)有一动点M从A点出发,在⊙O上按顺时针方向运动一周,当S△MAO=S△CAO时,求动点M所经过的弧长,并写出此时M点的坐标.
【答案】(1)60°;(2)见解析;(3)对应的M点坐标分别为:M1(2,﹣3M2(﹣2,﹣3)、M3(﹣2,3M4(2,3).
【解析】
【分析】
(1)由于∠OAC=60°,易证得△OAC是等边三角形,即可得∠AOC=60°.
(2)由(1)的结论知:OA=AC,因此OA=AC=AP,即OP边上的中线等于OP的一半,由此可证得△OCP是直角三角形,且∠OCP=90°,由此可判断出PC与⊙O的位置关系.(3)此题应考虑多种情况,若△MAO、△OAC的面积相等,那么它们的高必相等,因此有四个符合条件的M点,即:C点以及C点关于x轴、y轴、原点的对称点,可据此进行求解.
【详解】
(1)∵OA=OC,∠OAC=60°,
∴△OAC是等边三角形,
故∠AOC=60°.
(2)由(1)知:AC=OA,已知PA=OA,即OA=PA=AC;
∴AC=1
OP,因此△OCP是直角三角形,且∠OCP=90°,
2
而OC是⊙O的半径,
故PC与⊙O的位置关系是相切.
(3)如图;有三种情况:
①取C点关于x轴的对称点,则此点符合M点的要求,此时M点的坐标为:M1(2,﹣
3
劣弧MA的长为:6044 1803
ππ
?
=;
②取C点关于原点的对称点,此点也符合M点的要求,此时M点的坐标为:M2(﹣2,﹣3
劣弧MA的长为:12048 1803
ππ
?
=;
③取C点关于y轴的对称点,此点也符合M点的要求,此时M点的坐标为:M3(﹣2,
3
优弧MA的长为:240416 1803
ππ
?
=;
④当C、M重合时,C点符合M点的要求,此时M4(2,3);
优弧MA的长为:300420 1803
ππ
?
=;
综上可知:当S△MAO=S△CAO时,动点M所经过的弧长为481620
,,,
3333
ππππ
对应的M点坐
标分别为:M1(2,﹣3M2(﹣2,﹣3)、M3(﹣2,3M4(2,3
【点睛】
本题考查了切线的判定以及弧长的计算方法,注意分类讨论思想的运用,不要漏解.
2.如图,△ABC内接于⊙O,弦AD⊥BC,垂足为H,连接OB.
(1)如图1,求证:∠DAC=∠ABO;
(2)如图2,在弧AC上取点F,使∠CAF=∠BAD,在弧AB取点G,使AG∥OB,若∠BAC=600,求证:GF=GD;
(3)如图3,在(2)的条件下,AF、BC的延长线相交于点E,若AF:FE=1:9,求sin∠ADG的值。
【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3)1114
. 【解析】
试题分析:(1)延长BO 交⊙O 于点Q ,连接AQ .由圆周角定理可得:∠AQB =∠ACB ,再由等角的余角相等即可得出结论; (2)证明△DFG 是等边三角形即可;
(3)延长GA ,作FQ ⊥AG ,垂足为Q ,作ON ⊥AD ,垂足为N ,作OM ⊥BC ,垂足为M ,延长AO 交⊙O 于点R ,连接GR .作DP ⊥AG ,DK ⊥AE ,垂足为P 、K .设AF =k ,则FE =9k ,AE =10k .在△AHE 中, AH =5k .设NH =x ,则AN =5k -x , AD =10k -2x .在△AQF 中, AF =k ,AQ =
2k ,FQ =
3
2
k .由(2)知:△GDF 是等边三角形,得到GD =GF =DF ,进而得到AG =9k -2x .
OM =NH =x ,BC =23x , GF =BC =23x .在△GQF 中,GQ =AG +AQ =192k -2x ,QF =3
k ,GF =23x ,由勾股定理解出74x k
,得到AG =9k -2x =11
2
k ,AR =2OB =4OM =4x =7k .在△GAR 中,由sin ∠ADG =sin ∠R 即可得出结论.
试题解析:解:(1)证明:如图1,延长BO 交⊙O 于点Q ,连接AQ . ∵BQ 是⊙O 直径,∴∠QAB =900.∵AD ⊥BC ,∴∠AHC =900. ∵弧AB =弧AB ,∴∠AQB =∠ACB .
∵∠AQB +∠ABO =900,∠ACB +∠CAD =900 ∴∠ABO =∠CAD
(2)证明:如图2,连接DF .
∵AG ∥OB ,∴∠ABO =∠BAG .∵∠ABO =∠CAD ,∴∠CAD =∠BAG . ∵∠BAC =600,∴∠BAD +∠CAD =∠BAD +∠BAG =600,即
∠GAD =∠BAC =60°.∵∠BAD =∠CAF .∴∠CAF +∠CAD =600,∴∠GAD =∠DAF =600,∴∠DGF =∠DAF =60°.
∵弧GD =弧GD ,∴∠GAD =∠GFD =600,∴∠GFD =∠DGF =600,∴△DFG 是等边三角形,∴GD =GF . (3)如图3,
延长GA ,作FQ ⊥AG ,垂足为Q ,作ON ⊥AD ,垂足为N ,作OM ⊥BC ,垂足为M ,延长AO 交⊙O 于点R ,连接GR .作DP ⊥AG ,DK ⊥AE ,垂足为P 、K .
∵AF :FE =1:9,∴设AF =k ,则FE =9k ,AE =10k .在△AHE 中,∠E =300,∴AH =5k . 设NH =x ,则AN =5k -x .∵ON ⊥AD ,∴AD =2AN =10k -2x 又在△AQF 中,∵∠GAF =1200,∴∠QAF =600,AF =k ,∴AQ =2k ,FQ 3
. 由(2)知:△GDF 是等边三角形,∴GD =GF =DF ,
∵∠GAD =∠DAF =600,∴DP =DK ,∴△GPD ≌△FKD ,△APD ≌△AKD ∴FK =GP ,AP =AK ,∠ADK =300,∴AD =2AK =AP +AK =AF +AG ∴AG =10k -2x -k =9k -2x .
∵作OM ⊥BC ,ON ⊥AD ,∴OM =NH =x .∵∠BOD =
1
2
∠BOC =∠BAC =600 ∴BC =2BM =23.∵∠BOC =∠GOF ,∴GF =BC =23 在△GQF 中,GQ =AG +AQ =192k -2x ,QF =3
2
k ,GF =23 ∵222GQ FQ GF +=
∴()
2
2
21932322k x k x ??
??-+= ? ? ?????
, ()12713
42
x k x k =
=-,舍去. ∴AG =9k -2x =11
2
k ,AR =2OB =4OM =4x =7k , 在△GAR 中,∠RGA =900,
∴sin ∠ADG =sin ∠R =
AG AR =11
14
.
点睛:本题是圆的综合题.熟练掌握圆的基本性质和常用的辅助线做法是解答本题的关键.
3.(8分)已知AB为⊙O的直径,OC⊥AB,弦DC与OB交于点F,在直线AB上有一点E,连接ED,且有ED=EF.
(1)如图①,求证:ED为⊙O的切线;
(2)如图②,直线ED与切线AG相交于G,且OF=2,⊙O的半径为6,求AG的长.
【答案】(1)见解析;(2)12
【解析】
试题分析:(1)连接OD,由ED=EF可得出∠EDF=∠EFD,由对顶角相等可得出
∠EDF=∠CFO;由OD=OC可得出∠ODF=∠OCF,结合OC⊥AB即可得知∠EDF+∠ODF=90°,即∠EDO=90°,由此证出ED为⊙O的切线;
(2)连接OD,过点D作DM⊥BA于点M,结合(1)的结论根据勾股定理可求出ED、EO 的长度,结合∠DOE的正弦、余弦值可得出DM、MO的长度,根据切线的性质可知
GA⊥EA,从而得出DM∥GA,根据相似三角形的判定定理即可得出△EDM∽△EGA,根据相似三角形的性质即可得出GA的长度
试题解析:解:(1)连接OD,∵ED=EF,∴∠EDF=∠EFD,∵∠EFD=∠CFO,
∴∠EDF=∠CFO.∵OD=OC,∴∠ODF=∠OCF.∵OC⊥AB,
∴∠CFO+∠OCF=∠EDF+∠ODF=∠EDO=90°,∴ED为⊙O的切线;
(2)连接OD,过点D作DM⊥BA于点M,由(1)可知△EDO为直角三角形,设
ED=EF=a,EO=EF+FO=a+2,由勾股定理得,EO2=ED2+DO2,即(a+2)2=a2+62,解得,a=8,
即ED=8,EO=10.∵sin∠EOD=
4
5
ED
EO
=,cos∠EOD=
3
5
OD
OE
=,
∴DM=OD?sin∠EOD=6×4
5=
24
5
,MO=OD?cos∠EOD=6×
3
5
=
18
5
,∴EM=EO﹣MO=10﹣
18 5=
32
5
,EA=EO+OA=10+6=16.
∵GA切⊙O于点A,∴GA⊥EA,∴DM∥GA,∴△EDM∽△EGA,∴DM EM
GA EA
=,即2432
55
16
GA
=,解得GA=12.
点睛:本题考查的是切线的判定、垂径定理和勾股定理的应用、等腰三角形的性质、角的三角函数值、相似三角形的判定及性质,解题的关键是:(1)通过等腰三角形的性质找出∠EDO=90°;(2)通过相似三角形的性质找出相似比.
4.如图,OB是以(O,a)为圆心,a为半径的⊙O1的弦,过B点作⊙O1的切线,P为劣弧OB上的任一点,且过P作OB、AB、OA的垂线,垂足分别是D、E、F.
(1)求证:PD2=PE?PF;
(2)当∠BOP=30°,P点为OB的中点时,求D、E、F、P四个点的坐标及S△DEF.
【答案】(1)详见解析;(2)D 3
,
3
4
a),E
33
a,
3
4
a),F
3
,
0),P 3
,
2
a
);S△DEF
33
a2.
【解析】
试题分析:(1)连接PB,OP,利用AB切⊙O1于B求证△PBE∽△POD,得
出PB PE
OP PD
=,同理,△OPF∽△BPD,得出
PB PD
OP PF
=,然后利用等量代换即可.
(2)连接O1B,O1P,得出△O1BP和△O1PO为等边三角形,根据直角三角形的性质即可解得D、E、F、P四个点的坐标.再利用三角形的面积公式可直接求出三角形DEF的面积.
试题解析:(1)证明:连接PB,OP,
∵PE⊥AB,PD⊥OB,
∴∠BEP=∠PDO=90°,
∵AB切⊙O1于B,∠ABP=∠BOP,
∴△PBE∽△POD,
∴=,
同理,△OPF∽△BPD
∴=,
∴=,
∴PD2=PE?PF;
(2)连接O1B,O1P,
∵AB切⊙O1于B,∠POB=30°,
∴∠ABP=30°,
∴∠O1BP=90°﹣30°=60°,
∵O1B=O1P,
∴△O1BP为等边三角形,
∴O1B=BP,
∵P为弧BO的中点,
∴BP=OP,
即△O1PO为等边三角形,
∴O1P=OP=a,
∴∠O1OP=60°,
又∵P为弧BO的中点,
∴O1P⊥OB,
在△O1DO中,∵∠O1OP=60°O1O=a,
∴O1D=a,OD=a,
过D作DM⊥OO1于M,∴DM=OD=a,OM=DM=a,
∴D(﹣a, a),
∵∠O1OF=90°,∠O1OP=60°
∴∠POF=30°,
∵PE⊥OA,
∴PF=OP=a,OF=a,
∴P(﹣a,),F(﹣a,0),
∵AB切⊙O1于B,∠POB=30°,
∴∠ABP=∠BOP=30°,
∵PE⊥AB,PB=a,
∴∠EPB=60°
∴PE=a,BE=a,
∵P为弧BO的中点,
∴BP=PO,
∴∠PBO=∠BOP=30°,
∴∠BPO=120°,
∴∠BPE+∠BPO=120°+60°=180°,
即OPE三点共线,
∵OE=a+a=a,
过E作EM⊥x轴于M,∵AO切⊙O1于O,
∴∠EOA=30°,
∴EM=OE=a,OM=a,
∴E(﹣a, a),
∵E(﹣a, a),D(﹣a, a),
∴DE=﹣a﹣(﹣a)=a,
DE边上的高为: a,
∴S△DEF=×a×a=a2.
故答案为:D(﹣a, a),E(﹣a, a),F(﹣a,0),P(﹣a,);S△DEF=a2.
5.如图,△ABC内接于⊙O,∠BAC的平分线交⊙O于点D,交BC于点E(BE>EC),且BD=3D作DF∥BC,交AB的延长线于点F.
(1)求证:DF为⊙O的切线;
(2)若∠BAC=60°,DE=7,求图中阴影部分的面积.
【答案】(1)详见解析;(2)93﹣2π.
【解析】
【分析】
(1)连结OD,根据垂径定理得到OD⊥BC,根据平行线的性质得到OD⊥DF,根据切线的判定定理证明;
(2)连结OB,连结OD交BC于P,作BH⊥DF于H,证明△OBD为等边三角形,得到∠ODB=60°,OB=BD=23,根据勾股定理求出PE,证明△ABE∽△AFD,根据相似三角形的性质求出AE,根据阴影部分的面积=△BDF的面积-弓形BD的面积计算.
【详解】
证明:(1)连结OD,
∵AD平分∠BAC交⊙O于D,
∴∠BAD=∠CAD,
∴BD CD,
∴OD⊥BC,
∵BC∥DF,
∴OD⊥DF,
∴DF为⊙O的切线;
(2)连结OB,连结OD交BC于P,作BH⊥DF于H,
∵∠BAC=60°,AD平分∠BAC,
∴∠BAD=30°,
∴∠BOD=2∠BAD=60°,
∴△OBD为等边三角形,
∴∠ODB=60°,3,
∴∠BDF=30°,
∵BC∥DF,
∴∠DBP=30°, 在Rt △DBP 中,PD=
1
2
,
, 在Rt △DEP 中,∵
∴
=2, ∵OP ⊥BC , ∴BP=CP=3, ∴CE=3﹣2=1,
∵∠DBE=∠CAE ,∠BED=∠AEC , ∴△BDE ∽△ACE ,
∴AE :BE=CE :DE ,即AE :5=1
, ∴
∵BE ∥DF , ∴△ABE ∽△AFD ,
∴BE AE
DF AD
=
,即
57
DF = , 解得DF=12, 在Rt △BDH 中,BH=
1
2
, ∴阴影部分的面积=△BDF 的面积﹣弓形BD 的面积=△BDF 的面积﹣(扇形BOD 的面积﹣
△BOD 的面积)
=21122?
﹣2π.
【点睛】
考查的是切线的判定,扇形面积计算,相似三角形的判定和性质,圆周角定理的应用,等边三角形的判定和性质,掌握切线的判定定理,扇形面积公式是解题的关键.
6.如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,AB 是直径,过点O 作OD ⊥CB ,垂足为点D ,延长DO 交⊙O 于点E ,过点E 作PE ⊥AB ,垂足为点P ,作射线DP 交CA 的延长线于F 点,连接EF ,
(1)求证:OD=OP;(2)求证:FE是⊙O的切线.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.
【解析】
试题分析:(2)证明△POE≌△ADO可得DO=EO;
(3)连接AE,BE,证出△APE≌△AFE即可得出结论.
试题解析:(1)∵∠EPO=∠BDO=90°∠EOP=∠BOD
OE=OB
∴△OPE≌△ODB
∴OD="OP"
(2)连接EA,EB
∴∠1=∠EBC
∵AB是直径
∴∠AEB=∠C=90°
∴∠2+∠3=90°
∵∠3=∠DEB
∵∠BDE=90°
∴∠EBC+∠DEB=90°
∴∠2=∠EBC=∠1
∵∠C=90°∠BDE=90°
∴CF∥OE
∴∠ODP=∠AFP
∵OD=OP
∴∠ODP=∠OPD
∵∠OPD=∠APF
∴∠AFP=∠APF
∴AF=AP 又AE=AE
∴△APE≌△AFE
∴∠AFE=∠APE=90°
∴∠FED=90°
∴FE是⊙O的切线
考点:切线的判定.
7.如图,已知AB是⊙O的直径,P是BA延长线上一点,PC切⊙O于点C,CD⊥AB,垂
足为D .
(1)求证:∠PCA =∠ABC ;
(2)过点A 作AE ∥PC 交⊙O 于点E ,交CD 于点F ,交BC 于点M ,若∠CAB =2∠B ,CF =3,求阴影部分的面积. 【答案】(1)详见解析;(2)6334
π-.
【解析】 【分析】
(1)如图,连接OC ,利用圆的切线的性质和直径对应的圆周角是直角可得∠PCA=∠OCB ,利用等量代换可得∠PCA=∠ABC.
(2)先求出△OCA 是等边三角形,在利用三角形的等边对等角定理求出FA=FC 和CF=FM,然后分别求出AM 、AC 、MO 、CD 的值,分别求出0A E S ?、BOE S 扇形 、ABM S ? 的值,利用
0A E ABM BOE S S S S ??=+-阴影部分扇形,然后通过计算即可解答.
【详解】
解:(1)证明:连接OC ,如图,
∵PC 切⊙O 于点C ,∴OC ⊥PC, ∴∠PCA+∠ACO=90o,
∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ACB=∠ACO+OCB=90o ∴∠PCA=∠OCB, ∵OC=OB,∴∠OBC=∠OCB, ∴∠PCA=∠ABC ; (2)连接OE ,如图,
∵△ACB 中,∠ACB =90o,∠CAB =2∠B,
∴∠B =30o,∠CAB =60o,∴△OCA 是等边三角形, ∵CD ⊥AB,∴∠ACD+∠CAD =∠CAD +∠ABC =90o, ∴∠ACD =∠B =30o,
∵PC ∥AE,∴∠PCA =∠CAE =30o,∴FC=FA, 同理,CF =FM,∴AM =2CF=23, Rt △ACM 中,易得AC=23×
3
=3=OC, ∵∠B =∠CAE =30o,∴∠AOC=∠COE=60o, ∴∠EOB=60o,∴∠EAB=∠ABC=30o,∴MA=MB, 连接OM,EG ⊥AB 交AB 于G 点,如图所示,
∵OA=OB,∴MO ⊥AB,∴MO =3 ∵△CDO ≌△EDO(AAS), ∴3
32
∴1
332
ABM S AB MO ?=
?= 同样,易求93
AOE S ?=
, 260333602
BOE
S ππ
?==
扇形 ∴0A E ABM BOE S S S S ??=+-阴影部分扇形933633
332
ππ-+-=
. 【点睛】
本题考查了切线的性质、解直角三角形、扇形面积和识图的能力,综合性较强,有一定难度,熟练掌握定理并准确识图是解题的关键.
8.如图1,⊙O 的直径AB =12,P 是弦BC 上一动点(与点B ,C 不重合),∠ABC =30°,过点P 作PD ⊥OP 交⊙O 于点D .
(1)如图2,当PD∥AB时,求PD的长;
(2)如图3,当弧DC=弧AC时,延长AB至点E,使BE=1
2
AB,连接DE.
①求证:DE是⊙O的切线;
②求PC的长.
【答案】(1)26;(2)①证明见解析;②33﹣3.
【解析】
试题分析:(1)根据题意首先得出半径长,再利用锐角三角三角函数关系得出OP,PD的长;
(2)①首先得出△OBD是等边三角形,进而得出∠ODE=∠OFB=90°,求出答案即可;
②首先求出CF的长,进而利用直角三角形的性质得出PF的长,进而得出答案.
试题解析:(1)如图2,连接OD,
∵OP⊥PD,PD∥AB,
∴∠POB=90°,
∵⊙O的直径AB=12,
∴OB=OD=6,
在Rt△POB中,∠ABC=30°,
∴OP=OB?tan30°=6×=2,
在Rt△POD中,
PD===;
(2)①如图3,连接OD,交CB于点F,连接BD,
∵,
∴∠DBC=∠ABC=30°,
∴∠ABD=60°,
∵OB=OD,
∴△OBD是等边三角形,
∴OD⊥FB,
∵BE=AB,
∴OB=BE,
∴BF∥ED,
∴∠ODE=∠OFB=90°,
∴DE是⊙O的切线;
②由①知,OD⊥BC,
∴CF=FB=OB?cos30°=6×=3,
在Rt△POD中,OF=DF,
∴PF=DO=3(直角三角形斜边上的中线,等于斜边的一半),
∴CP=CF﹣PF=3﹣3.
考点:圆的综合题
9.已知:如图,以等边三角形ABC一边AB为直径的⊙O与边AC、BC分别交于点D、E,过点D作DF⊥BC,垂足为F.(1)求证:DF为⊙O的切线;(2)若等边三角形ABC的边长为4,求图中阴影部分的面积.
【答案】(1)见解析(2332
3
π
-
【解析】
试题分析:(1)连接DO,要证明DF为⊙O的切线只要证明∠FDP=90°即可;
(2)首先由已知可得到CD,CF的长,从而利用勾股定理可求得DF的长;再连接OE,求得CF,EF的长,从而利用S直角梯形FDOE﹣S扇形OED求得阴影部分的面积.
试题解析:
(1)证明:连接DO.
∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=∠C=60°.
∵OA=OD,
∴△OAD是等边三角形.
∴∠ADO=60°,
∵DF⊥BC,
∴∠CDF=90°﹣∠C=30°,
∴∠FDO=180°﹣∠ADO﹣∠CDF=90°,
∴DF为⊙O的切线;
(2)∵△OAD是等边三角形,
∴AD=AO=AB=2.
∴CD=AC﹣AD=2.
Rt△CDF中,
∵∠CDF=30°,
∴CF=CD=1.
∴DF=,
连接OE,则CE=2.
∴CF=1,
∴EF=1.
∴S直角梯形FDOE=(EF+OD)?D F=,
∴S扇形OED==,
∴S阴影=S直角梯形FDOE﹣S扇形OED=﹣.
【点睛】此题考查学生对切线的判定及扇形的面积等知识点的掌握情况,当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时,常连接过该公共点的半径,证明该半径垂直于这条直线.也考查了等边三角形的性质和利用割补法计算补规则图形的面积.
10.已知AB 是半圆O 的直径,点C 在半圆O 上.
(1)如图1,若AC=3,∠CAB=30°,求半圆O 的半径;
(2)如图2,M 是BC的中点,E 是直径AB 上一点,AM 分别交CE,BC 于点F,D. 过点F 作FG∥AB 交边BC 于点G,若△ACE 与△CEB 相似,请探究以点D 为圆心,GB 长为半径的⊙D 与直线AC 的位置关系,并说明理由.
【答案】(1)半圆O的半径为3;
(2)⊙D与直线AC相切,理由见解析
【解析】
试题分析:(1)依据直径所对的圆周角是直角可得∠C=90°,2再依据三角函数即可求解;(2) 依据△ACE与△CEB相似证出∠AEC=∠CEB=90°, 再依据M是BC的中点,证明CF=CD, 过点F作FP∥GB交于AB于点P, 证出△ACF≌△APF,得出CF=FP,再证四边形FPBG是平行四边形,得到 FP=GB从而CD=GB,点D到直线AC的距离为线段CD的长.
试题解析:
(1)∵ AB是半圆O的直径,
∴∠C=90°.
在Rt△ACB中,AB=
cos AC CAB ∠
=
3 cos30?
=23.
∴ OA=3
(2)
⊙D与直线AC相切.
理由如下:
由(1)得∠ACB=90°.
∵∠AEC=∠ECB+∠6,
∴∠AEC>∠ECB,∠AEC>∠6.∵△ACE与△CEB相似,
∴∠AEC=∠CEB=90°.
在Rt△ACD,Rt△AEF中分别有
∠1+∠3=90°,∠2+∠4=90°.
∵ M是BC的中点,
∴∠COM=∠BOM.
∴∠1=∠2,
∴∠3=∠4.
∵∠4=∠5,
∴∠3=∠5.
∴ CF=CD.
过点F作FP∥GB交于AB于点P,则∠FPE=∠6.在Rt△AEC,Rt△ACB中分别有
∠CAE+∠ACE=90°,∠CAE+∠6=90°.
∴∠ACE=∠6=∠FPE.
又∵∠1=∠2,AF=AF,
∴△ACF≌△APF.
∴ CF=FP.
∵ FP∥GB,FG∥AB,
∴四边形FPBG是平行四边形.
∴ FP=GB.
∴ CD=GB.
∵ CD⊥AC,
∴点D到直线AC的距离为线段CD的长
∴⊙D与直线AC相切.
中考数学易错题专题训练-二次函数练习题及答案
一、二次函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.已知二次函数的图象以A(﹣1,4)为顶点,且过点B(2,﹣5) (1)求该函数的关系式; (2)求该函数图象与坐标轴的交点坐标; (3)将该函数图象向右平移,当图象经过原点时,A、B两点随图象移至A′、B′,求△O A′B′的面积. 【答案】(1)y=﹣x2﹣2x+3;(2)抛物线与x轴的交点为:(﹣3,0),(1,0)(3)15. 【解析】 【分析】(1)已知了抛物线的顶点坐标,可用顶点式设该二次函数的解析式,然后将B 点坐标代入,即可求出二次函数的解析式; (2)根据函数解析式,令x=0,可求得抛物线与y轴的交点坐标;令y=0,可求得抛物线与x轴交点坐标; (3)由(2)可知:抛物线与x轴的交点分别在原点两侧,由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时,抛物线平移的单位,由此可求出A′、B′的坐标.由于△OA′B′不规则,可用面积割补法求出△OA′B′的面积. 【详解】(1)设抛物线顶点式y=a(x+1)2+4, 将B(2,﹣5)代入得:a=﹣1, ∴该函数的解析式为:y=﹣(x+1)2+4=﹣x2﹣2x+3; (2)令x=0,得y=3,因此抛物线与y轴的交点为:(0,3), 令y=0,﹣x2﹣2x+3=0,解得:x1=﹣3,x2=1, 即抛物线与x轴的交点为:(﹣3,0),(1,0); (3)设抛物线与x轴的交点为M、N(M在N的左侧), 由(2)知:M(﹣3,0),N(1,0), 当函数图象向右平移经过原点时,M与O重合,因此抛物线向右平移了3个单位, 故A'(2,4),B'(5,﹣5), ∴S△OA′B′=1 2 ×(2+5)×9﹣ 1 2 ×2×4﹣ 1 2 ×5×5=15. 【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的
中考数学易错题题目(经典)
O G F B D A C E 1.如图,矩形ABCD 中,3AB =cm ,6AD =cm ,点E 为AB 边上的任意一点,四边形EFGB 也是矩形,且2EF BE =,则AFC S =△ 2 cm . 2 .5月23日8时40分,哈尔滨铁路局一列满载着2400吨“爱心”大米的专列向四川灾区 进发,途中除3次因更换车头等原因必须停车外,一路快速行驶,经过80小时到达成都.描述上述过程的大致图象是( ) 3 如图,将沿DE 折叠,使点A 与BC 边的中点F 重合,下列结论中:①EF AB ∥且1 2 EF AB =;②BAF CAF ∠=∠; ③1 2 ADFE S AF DE =g 四边形; ④2BDF FEC BAC ∠+∠=∠,正确的个数是( ) A .1 B .2 C .3 D .4 4 如图,在四边形ABCD 中,动点P 从点A 开始沿A B C D 的路径匀速前进到D 为止。在这个过程中,△APD 的面积S 随时间t 的变 化关系用图象表示正确的是( ) 5如图,在正方形纸片ABCD 中,对角线AC 、BD 交于点O ABCD ,使AD 落在BD 上,点A 恰好与BD 上的点F 重合.别交AB 、AC 于点E 、G.连接GF.下列结论:①∠AGD=112.5°;②③S △AGD=S △OGD ;④四边形AEFG 是菱形;⑤BE=2OG.是 . 6 福娃们在一起探讨研究下面的题目: 参考下面福 娃们的讨 论,请你解该题,你选择的答案是( ) 贝 贝:我注意 s t O A s t O B s t O C s t O D A D C E F G B s 80 O v t 80 O v 80 O t v O A . B. C . D . 80 A D B F E 第20题图 D C B P A 函数2y x x m =-+(m 为常数)的图象如左图, 如果x a =时,0y <;那么1x a =-时, 函数值( ) A .0y < B .0y m << C .y m > D .y m = x y O x 1 x 2
历年中考数学易错题汇编-旋转练习题及答案
一、旋转真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.(1)发现:如图1,点A为线段BC外一动点,且BC=a,AB=b.填空: 当点A位于时,线段AC的长取得最大值,且最大值为(用含a,b的式子表示) (2)应用:点A为线段BC外一动点,且BC=4,AB=1,如图2所示,分别以AB,AC为边,作等边三角形ABD和等边三角形ACE,连接CD,BE. ①请找出图中与BE相等的线段,并说明理由;②直接写出线段BE长的最大值. (3)拓展:如图3,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(6,0),点P 为线段AB外一动点,且PA=2,PM=PB,∠BPM=90°,请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标. 【答案】(1)CB的延长线上, a+b;(2)①CD=BE,理由见解析;②BE长的最大值为5;(3)满足条件的点P坐标(222)或(222),AM的最大值为2+4. 【解析】 【分析】 (1)根据点A位于CB的延长线上时,线段AC的长取得最大值,即可得到结论;(2) ①根据已知条件易证△CAD≌△EAB,根据全等三角形的性质即可得CD=BE;②由于线段BE长的最大值=线段CD的最大值,根据(1)中的结论即可得到结果;(3)连接BM,将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN,连接AN,得到△APN是等腰直角三角形,根据全等三角形的性质得到PN=PA=2,BN=AM,根据当N在线段BA的延长线时,线段BN取得最大值,即可得到最大值为2+4;如图2,过P作PE⊥x轴于E,根据等腰直角三角形的性质即可求得点P的坐标.如图3中,根据对称性可知当点P在第四象限时也满足条件,由此求得符合条件的点P另一个的坐标. 【详解】 (1)∵点A为线段BC外一动点,且BC=a,AB=b, ∴当点A位于CB的延长线上时,线段AC的长取得最大值,且最大值为BC+AB=a+b, 故答案为CB的延长线上,a+b; (2)①CD=BE, 理由:∵△ABD与△ACE是等边三角形, ∴AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°, ∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC, 即∠CAD=∠EAB,
中考数学易错题精选-锐角三角函数练习题及答案解析
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.某地是国家AAAA 级旅游景区,以“奇山奇水奇石景,古賨古洞古部落”享誉巴渠,被誉为 “小九寨”.端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”,昂首向天,望穿古今.一个周末,某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离.他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD ,想法测出了尾部C 看头顶B 的仰角为40,从前脚落地点D 看上嘴尖A 的仰角刚好60,5CB m =, 2.7CD m =.景区管理员告诉同学们,上嘴尖到地面的距离是3m .于是,他们很快就算出了AB 的长.你也算算?(结果精确到0.1m .参考数据:400.64400.77400.84sin cos tan ?≈?≈?≈,,.2 1.41,3 1.73≈≈) 【答案】AB 的长约为0.6m . 【解析】 【分析】 作BF CE ⊥于F ,根据正弦的定义求出BF ,利用余弦的定义求出CF ,利用正切的定义求出DE ,结合图形计算即可. 【详解】 解:作BF CE ⊥于F , 在Rt BFC ?中, 3.20BF BC sin BCF ?∠≈=, 3.85CF BC cos BCF ?∠≈=, 在Rt ADE ?E 中,3 1.73tan 3AB DE ADE = ==≈∠, 0.200.58BH BF HF AH EF CD DE CF ∴+=﹣=,==﹣= 由勾股定理得,22BH AH 0.6(m)AB =+≈, 答:AB 的长约为0.6m .
【点睛】 考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键. 2.如图,AB是⊙O的直径,点C,D是半圆O的三等分点,过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点E,过点D作DF⊥AB于点F,交⊙O于点H,连接DC,AC. (1)求证:∠AEC=90°; (2)试判断以点A,O,C,D为顶点的四边形的形状,并说明理由; (3)若DC=2,求DH的长. 【答案】(1)证明见解析; (2)四边形AOCD为菱形; (3)DH=2. 【解析】 试题分析:(1)连接OC,根据EC与⊙O切点C,则∠OCE=90°,由题意得 ,∠DAC=∠CAB,即可证明AE∥OC,则∠AEC+∠OCE=180°,从而得出 ∠AEC=90°; (2)四边形AOCD为菱形.由(1)得,则∠DCA=∠CAB可证明四边形AOCD是平行四边形,再由OA=OC,即可证明平行四边形AOCD是菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形); (3)连接OD.根据四边形AOCD为菱形,得△OAD是等边三角形,则∠AOD=60°,再由 DH⊥AB于点F,AB为直径,在Rt△OFD中,根据sin∠AOD=,求得DH的长. 试题解析:(1)连接OC,
来看这些历年中考数学易错题你能都做对吗
来看这些历年中考数学易错题你能都做对吗?(附答案) 作者:学大教育编辑整理 来源:网络 一、选择题 1、A 、B 是数轴上原点两旁的点,则它们表示的两个有理数是( ) A 、互为相反数 B 、绝对值相等 C 、是符号不同的数 D 、都是负数 2、有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示,则化简|a-b|-|a+b|的结果是( ) A 、2a B 、2b C 、2a-2b D 、2a+b 3、轮船顺流航行时m 千米/小时,逆流航行时(m-6)千米/小时,则水流速度( ) A 、2千米/小时 B 、3千米/小时 C 、6千米/小时 D 、不能确定 4、方程2x+3y=20的正整数解有( ) A 、1个 B 、3个 C 、4个 D 、无数个 5、下列说法错误的是( ) A 、两点确定一条直线 B 、线段是直线的一部分 C 、一条直线是一个平角 D 、把线段向两边延长即是直线 6、函数y=(m 2-1)x 2-(3m-1)x+2的图象与x 轴的交点情况是 ( ) A 、当m ≠3时,有一个交点 B 、1±≠m 时,有两个交 C 、当1±=m 时,有一个交点 D 、不论m 为何值,均无交点 7、如果两圆的半径分别为R 和r (R>r ),圆心距为d ,且(d-r)2=R 2,则两圆的位置关系是( ) A 、内切 B 、外切 C 、内切或外切 D 、不能确定 8、在数轴上表示有理数a 、b 、c 的小点分别是A 、B 、C 且b 一、初一数学代数式解答题压轴题精选(难) 1.任何一个整数N,可以用一个的多项式来表示: N= . 例如:325=3×102+2×10+5. 一个正两位数的个位数字是x,十位数字y. (1)列式表示这个两位数; (2)把这个两位数的十位上的数字与个位上的数字交换位置得到一个新的两位数,试说明新数与原数的和能被11整除. (3)已知是一个正三位数.小明猜想:“ 与的差一定是9的倍数。”请你帮助小明说明理由. (4)在一次游戏中,小明算出、、、与等5个数和是3470,请你求出这个正三位数. 【答案】(1)解:10y+x (2)解:根据题意得:10y+x+10x+y=11(x+y),则所得的数与原数的和能被11整除(3)解:∵ - =100a+10b+c-(100b+10c+a)=99a-90b-9c =9(11a-10b-c),∴ 与的差一定是9的倍数 (4)解:∵ + + + + + =3470+ ∴222(a+b+c)=222×15+140+ ∵100<<1000,∴3570<222(a+b+c)<4470,∴16<a+b+c≤20.尝试发现只有a+b+c=19,此时 =748成立,这个三位数为748. 【解析】【分析】(1)由已知一个正两位数的个位数字是x,十位数字y ,因此这个两位数是:十位上的数字×10+个位数的数字。 (2)根据题意将新的两位数和原两位数相加,再化简,即可得出结果。 (3)分别表示出两个三位数,再求出它们的差,就可得出它们的差是否为9的倍数。(4)根据题意求出a+b+c的取值范围,再代入数据进行验证即可。 2.|a|的几何意义是数轴上表示数a的点与原点O的距离,例如:|3|=|3﹣0|,即|3﹣0|表示3、0在数轴上对应两点之间的距离.一般地,点A、B在数轴上分别表示数a、b,那么A、B之间的距离可表示为|a﹣b|,解决下面问题: (1)数轴上表示﹣1和2的两点之间的距离是________;数轴上P、Q两点的距离为6,点P表示的数是2,则点Q表示的数是________; (2)点A在数轴上表示数为x,点B、C在数轴上表示的数分别为多项式2m2n+mn﹣2的常数项和次数.________ ①若B、C两点分别以3个单位长度/秒和2个单位长度/秒的速度同时向右运动t秒.当OC =2OB时,求t的值;________ ②用含x的绝对值的式子表示点A到点B、点A到点C的距离之和为________,直接写出 一、反比例函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.如图,已知抛物线y=﹣x2+9的顶点为A,曲线DE是双曲线y= (3≤x≤12)的一部分,记作G1,且D(3,m)、E(12,m﹣3),将抛物线y=﹣x2+9水平向右移动a个单位,得到抛物线G2. (1)求双曲线的解析式; (2)设抛物线y=﹣x2+9与x轴的交点为B、C,且B在C的左侧,则线段BD的长为________; (3)点(6,n)为G1与G2的交点坐标,求a的值. (4)解:在移动过程中,若G1与G2有两个交点,设G2的对称轴分别交线段DE和G1于M、N两点,若MN<,直接写出a的取值范围. 【答案】(1)把D(3,m)、E(12,m﹣3)代入y= 得,解得, 所以双曲线的解析式为y= ; (2)2 (3)解:把(6,n)代入y= 得6n=12,解得n=2,即交点坐标为(6,2), 抛物线G2的解析式为y=﹣(x﹣a)2+9, 把(6,2)代入y=﹣(x﹣a)2+9得﹣(6﹣a)2+9=2,解得a=6± , 即a的值为6± ; (4)抛物线G2的解析式为y=﹣(x﹣a)2+9, 把D(3,4)代入y=﹣(x﹣a)2+9得﹣(3﹣a)2+9=4,解得a=3﹣或a=3+ ; 把E(12,1)代入y=﹣(x﹣a)2+9得﹣(12﹣a)2+9=1,解得a=12﹣2 或a=12+2 ; ∵G1与G2有两个交点, ∴3+ ≤a≤12﹣2 , 设直线DE的解析式为y=px+q, 把D(3,4),E(12,1)代入得,解得, ∴直线DE的解析式为y=﹣ x+5, ∵G2的对称轴分别交线段DE和G1于M、N两点, ∴M(a,﹣ a+5),N(a,), ∵MN<, ∴﹣ a+5﹣<, 整理得a2﹣13a+36>0,即(a﹣4)(a﹣9)>0, ∴a<4或a>9, ∴a的取值范围为9<a≤12﹣2 . 【解析】【解答】解:(2)当y=0时,﹣x2+9=0,解得x1=﹣3,x2=3,则B(﹣3,0),而D(3,4), 所以BE= =2 . 故答案为2 ; 【分析】(1)把D(3,m)、E(12,m﹣3)代入y= 得关于k、m的方程组,然后解方程组求出m、k,即可得到反比例函数解析式和D、E点坐标;(2)先解方程﹣x2+9=0得到B(﹣3,0),而D(3,4),然后利用两点间的距离公式计算DE的长;(3)先利用反比例函数图象上点的坐标特征确定交点坐标为(6,2),然后把(6,2)代入y=﹣(x ﹣a)2+9得a的值;(4)分别把D点和E点坐标代入y=﹣(x﹣a)2+9得a的值,则利用图象和G1与G2有两个交点可得到3+ ≤a≤12﹣2 ,再利用待定系数法求出直线DE的 解析式为y=﹣ x+5,则M(a,﹣ a+5),N(a,),于是利用MN<得到﹣ a+5﹣<,然后解此不等式得到a<4或a>9,最后确定满足条件的a的取值范围. 2.如图直角坐标系中,矩形ABCD的边BC在x轴上,点B,D的坐标分别为B(1,0),D(3,3). 初中数学选择、填空、简答题 易错题集锦及答案 一、选择题 1、A 、B 是数轴上原点两旁的点,则它们表示的两个有理数是( C ) A 、互为相反数 B 、绝对值相等 C 、是符号不同的数 D 、都是负数 2、有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示,则化简|a-b|-|a+b|的结果是( A ) A 、2a B 、2b C 、2a-2b D 、2a+b 3、轮船顺流航行时m 千米/小时,逆流航行时(m-6)千米/小时,则水流速度( B ) A 、2千米/小时 B 、3千米/小时 C 、6千米/小时 D 、不能确定 4、方程2x+3y=20的正整数解有( B ) A 、1个 B 、3个 C 、4个 D 、无数个 5、下列说法错误的是( C ) A 、两点确定一条直线 B 、线段是直线的一部分 C 、一条直线是一个平角 D 、把线段向两边延长即是直线 6、函数y=(m 2-1)x 2 -(3m-1)x+2的图象与x 轴的交点情况是 ( C ) A 、当m ≠3时,有一个交点 B 、1±≠m 时,有两个交 C 、当1±=m 时,有一个交点 D 、不论m 为何值,均无交点 7、如果两圆的半径分别为R 和r (R>r ),圆心距为d ,且(d-r)2=R 2 ,则两圆的位置关系是( B ) A 、内切 B 、外切 C 、内切或外切 D 、不能确定 8、在数轴上表示有理数a 、b 、c 的小点分别是A 、B 、C 且b 中考数学易错题集锦 一、选择题 1、A 、B 是数轴上原点两旁的点,则它们表示的两个有理数是( ) A 、互为相反数 B 、绝对值相等 C 、是符号不同的数 D 、都是负数 2、有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示,则化简|a-b|-|a+b|的结果是( ) A 、2a B 、2b C 、2a-2b D 、2a+b 3、轮船顺流航行时m 千米/小时,逆流航行时(m-6)千米/小时,则水流速度( ) A 、2千米/小时 B 、3千米/小时 C 、6千米/小时 D 、不能确定 4、方程2x+3y=20的正整数解有( ) A 、1个 B 、3个 C 、4个 D 、无数个 5、下列说法错误的是( ) A 、两点确定一条直线 B 、线段是直线的一部分 C 、一条直线不是平角 D 、把线段向两边延长即是直线 6、函数y=(m 2-1)x 2-(3m-1)x+2的图象与x 轴的交点情况是 ( ) A 、当m ≠3时,有一个交点 B 、1±≠m 时,有两个交点 C 、当1±=m 时,有一个交点 D 、不论m 为何值,均无交点 7、如果两圆的半径分别为R 和r (R>r ),圆心距为d ,且(d-r)2=R 2,则两圆的位置关系是( ) A 、内切 B 、外切 C 、内切或外切 D 、不能确定 8、在数轴上表示有理数a 、b 、c 的小点分别是A 、B 、C 且b七年级数学代数式易错题(Word版 含答案)
历年中考数学易错题汇编-反比例函数练习题附答案
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