2013重庆高考数学文科卷(Word版)含解析答案

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2013年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）

数学试题卷（文史类）

数学试题（文史类）共 4 页。满分 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项：

1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用 橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．

（1）已知集合{1,2,3,4}U =，集合={1,2}A ，={2,3}B ，则

()=B A U

（A ）{1,3,4} （B ）{3,4} （C ）{3} （D ）{4} （2）命题“对于任意R x ∈,都有02≥x ”的否定为

（A ）存在R x ∈0，使得020

0

0≥x （D ）不存在R x ∈0，使得02

0

(3)函数)

2(log 12-=

x y 的定义域是 （A ）()2,∞- （B ）()∞+，2

（C ）()()∞+，32,3 （D ）()()∞+，42,4 (4)设P 是圆()()

4132

2

=++-y x 上的动点Q 是直线3-=x 上的

动点，则

PQ

的最小值为

（A ）6 （B ）4 （C ）3 （D ）2 (5)执行题（5）图所示的程序框图，则输出的k 的值是 （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6

(6)下图是某公司10个销售店某月销售某产品（单位：台）的茎叶图，则数据落在区间)30,22[内的频率为

（A ）2.0 （B ）4.0 （C ）5.0 （D ）6.0

(7)关于x 的不等式)0(08222

><--a a ax x 的解集为()21,x x ，且1512=-x x ，则=a

（A ）2

5 （B ）2

7 （C ）4

15 （D ）2

15

(8)某几何体的三视图如题（8）图所示，则该几何体的表面积为 （A ）180 （B ）200 （C ）220 （D ）240

(9)已知函数),(4sin )(3R b a x b ax x f ∈++=,5))10log (lg (2=f ，则=))2lg (lg (f

（A ）

5- （B ）1- （C ）3 （D ）4

(10)设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O ，所成的角?60的直线11B A 和

22B A ，使||||2211B A B A =,其中11,B A 和22,B A 分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲

线的离心率取值范围是

（A ）?

?

? ?

?2,332 （B ）???

????2,332 （C ）???

? ??∞+，3

32 （D ）?

??

????∞+，3

32 二、 填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上. (11)设复数)i(i 21是虚数单位+=z ,则=||z ___________ . (12)若9,,,2,c b a 成等差数列，则=-a c ___________ .

(13)若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相连而站的概率为___________ . (14)在OA 为边，OB 为对角线的矩形中，)2(),1,3(k OB AB ，-=-=，则实数=k _____ .

(15)设πα

≤≤0，不等式02cos )sin 8(82≥+-ααx x ，对R x ∈恒成立，则α的取

值范围为___________ .

1 8 9

2 1 2 2 7 9 3

3

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. (16)（本小题满分13分，（Ⅰ)小问7分，(Ⅱ)小问6分.）

设数列{}n a 满足：.,3,111

N n a a a n n ∈==+

（Ⅰ）求{}n a 的通项公式及前n 项和为n S ； （Ⅱ）已知{}n b 是等差数列，n T 为其前n 项和，且321321,a a a b a b ++==，求20T

(17)（本小题满分13分，（Ⅰ)小问9分，(Ⅱ)、(Ⅲ)小问各2分.）

从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入i x （单位：千元）与月储蓄i

y （单位：千元）的数据资料，算得.720,184,20,80101

10

1

2

101

10

1∑∑∑∑========i i i i i i i i i

x y x y x

(Ⅰ)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程a bx y +=； (Ⅱ)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；

(Ⅲ)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄.

附：线性回归方程

a bx y +=中，

,,1

2

21

x b y a x

n x y

x n y x b n

i i

n

i i

i

-=--=

∑∑==

其中y x ,为样本平均值，线性回归方程也可写为a x b y

???+=.

(18)（本小题满分13分，（Ⅰ)小问4分，(Ⅱ)小问9分.）

在ABC ?中,内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且.3222

bc c b a ++=

(Ⅰ)求A (Ⅱ)设,3=a S 为ABC ?的面积，求C B S cos cos 3+的最大值，并指出此时B 的值.

(19)（本小题满分12分，（Ⅰ)小问5分，(Ⅱ)小问7分.）

如（19）题图，四棱锥ABCD P -中，⊥PA 底面ABCD ,

.3

232π

=

∠=∠===ACD ACB CD BC PA ，，

(Ⅰ)求证⊥BD 平面PAC ；

(Ⅱ)若侧棱PC 上的点F 满足FC PF 7=,求三棱锥BDF P -的体积.

(20)（本小题满分12分，（Ⅰ)小问5分，(Ⅱ)小问7分.）

某村庄拟修建一个屋盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）.设该蓄水池的底面半径为r 米，高为h 米，体积为V 立方米.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为π12000（π为圆周率）. (Ⅰ)将V 表示成r 的函数)(r V ，并求该函数的定义域；

(Ⅱ)讨论函数)(r V 的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大.

(21)（本小题满分12分，（Ⅰ)小问4分，(Ⅱ)小问8分.）

如题（21）图，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离

心率2

2

e =

，过左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于A 、A '两点，4AA '=．

（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；

（Ⅱ）取平行于y 轴的直线与椭圆相较于不同的两点P 、P '，过P 、P '作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外．求Q PP '?的面积S 的最大值，并写出对应圆Q 的标准方程．

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(重庆卷)

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．答案：D 解析：∵A ∪B ＝{1,2}∪{2,3}＝{1,2,3}，U ＝{1,2,3,4}， ∴U (A ∪B )＝{4}，故选D ． 2．答案：A

解析：由全称命题p ：?x ∈D ，p (x )的否定为?p ：?x 0∈D ，?p (x 0)，知选A ． 3．答案：C 解析：由题知220,

log 20,

x x ->??(-)≠?

解得2,

21,x x >??

-≠?即2,3.

x x >??≠?

所以该函数的定义域为(2,3)∪(3，＋∞)，故选C ． 4．答案：B 解析：∵由圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4知，圆心的坐标为(3，－1)，半径r ＝2， ∴圆心到直线x ＝－3的距离d ＝|3－(－3)|＝6. ∴|PQ |min ＝d －r ＝6－2＝4，故选B ． 5．答案：C 解析：∵k ＝1，s ＝1＋(1－1)2＝1； k ＝2，s ＝1＋(2－1)2＝2； k ＝3，s ＝2＋(3－1)2＝6； k ＝4，s ＝6＋(4－1)2＝15； k ＝5，s ＝15＋(5－1)2＝31＞15. ∴k ＝5.故选C ． 6．答案：B 解析：∵数据总个数n ＝10， 又∵落在区间[22,30)内的数据个数为4， ∴所求的频率为

4

0.410

=. 7． 答案：A 解析：∵由x 2－2ax －8a 2＜0(a ＞0)，得(x －4a )(x ＋2a )＜0，即－2a ＜x ＜4a ，∴x 1＝－2a ，x 2＝4a . ∵x 2－x 1＝4a －(－2a )＝6a ＝15， ∴155

62

a =

=.故选A ． 8．答案：D 解析：由三视图知该几何体是底面为等腰梯形的直棱柱，

如图所示，S 上＝2×10＝20， S 下＝8×10＝80， S 前＝S 后＝10×5＝50， S 左＝S 右＝

1

2

(2＋8)×4＝20， 所以S 表＝S 上＋S 下＋S 前＋S 后＋S 左＋S 右＝240， 故选D ． 9．答案：

C

解析：∵21log 10lg2

=

， ∴lg(log 210)＝lg(lg 2)－

1＝－lg(lg 2)．

令g (x )＝ax 3＋b sin x ，易知g (x )为奇函数． ∵f (lg(log 210))＝f (－lg(lg 2))＝g (－lg(lg 2))＋4＝5，∴g (－lg(lg 2))＝1.∴g (lg(lg 2))＝－1. ∴f (lg(lg 2))＝g (lg(lg 2))＋4＝－1＋4＝3. 故选C ．

10． 答案：A

解析：不妨令双曲线的方程为22

221x y a b

-=(a ＞0，b ＞0)，由|A 1B 1|＝|A 2B 2|及双曲线的对称性

知A

1，A 2，B 1，B 2关于x 轴对称，如图．

又∵满足条件的直线只有一对， ∴tan 30°＜

b a ≤tan 60°，即333b

a

<≤. ∴2

2133b a

<≤. ∵b 2

＝c 2

－a 2

，∴22

2

133c a a

-<≤，即43＜e 2≤4. ∴23

3＜e ≤2，即e ∈2323?? ? ??

，.故选A ． 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上． 11．答案：5

解析：∵z ＝1＋2i ，∴22||125z =+=. 12．答案：

7

2

解析：设公差为d ，则c －a ＝2d ＝9277

225142

-?=?=-. 13．答案：

2

3

解析：甲、乙、丙三人随机站在一排有：

甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲，共6种．

若甲、乙两人相邻而站则有甲乙丙、丙甲乙、乙甲丙、丙乙甲，共4种，故所求的概率为42

63

=. 14．答案：4

解析：∵OA ＝(－3,1)，OB

＝(－2，k )，

∴AB ＝OB

－OA ＝(－2，k )－(－3,1)＝(1，k －1)． 又OA ，AB

为矩形相邻两边所对应的向量， ∴OA ⊥AB ，即OA ·

AB

＝－3×1＋1×(k －1)＝－4＋k ＝0， 即k ＝4.

15．答案：π5π

0,,π66????

????????

解析：不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，则有Δ＝(8sin α)2－4×8cos 2α＝64sin 2α－32cos 2α≤0，

即2sin 2α－cos 2α＝2sin 2α－(1－2sin 2α)＝4sin 2α－1≤0. ∴sin 2α≤1

4

. ∴11sin 22

α-

≤≤. 又0≤α≤π，结合下图可知，α∈π5π

0,,π66????

????????

.

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．

解：(1)由题设知{a n }是首项为1，公比为3的等比数列， 所以a n ＝3

n －1

，S n ＝1313n --＝12(3n

－1)．

(2)b 1＝a 2＝3，b 3＝1＋3＋9＝13，b 3－b 1＝10＝2d ， 所以公差d ＝5， 故T 20＝20×3＋

20192

?×5＝1 010. 17．

解：(1)由题意知

n ＝10，1180810n i i x x n ====∑，1120

210

n i i y y n ====∑，

又l xx ＝

2

21n

i

i x

nx =-∑＝720－10×82＝80，

l xy ＝

1

n

i i

i x y nx y =-∑＝184－10×8×2＝24，

由此得24

0.380

xy xx

l b l =

=

=，a y bx =-＝2－0.3×8＝－0.4， 故所求回归方程为y ＝0.3x －0.4.

(2)由于变量y 的值随x 的值增加而增加(b ＝0.3＞0)，故x 与y 之间是正相关． (3)将x ＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y ＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)． 18．

解：(1)由余弦定理得cos A ＝22233

222

b c a bc bc bc +--==-

. 又因0＜A ＜π，所以5π

6

A =.

(2)由(1)得sin A ＝1

2

，

又由正弦定理及a ＝3得 S ＝

12bc sin A ＝12·sin sin a B A

·a sin C ＝3sin B sin C ， 因此，S ＋3cos B cos C ＝3(sin B sin C ＋cos B cos C )＝3cos(B －C )． 所以，当B ＝C ，即ππ

212

A B -==时，S ＋3cos B cos C 取最大值3.

19．

(1)证明：因BC＝CD，即△BCD为等腰三角形，

又∠ACB＝∠ACD，故BD⊥AC．

因为P A⊥底面ABCD，所以P A⊥BD．

从而BD与平面P AC内两条相交直线P A，AC都垂直，所以BD⊥平面P AC．

(2)解：三棱锥P－BCD的底面BCD的面积S△BCD＝1

2

BC·CD·sin∠BCD＝

1

2

×2×2×

2π

sin

3

＝

3.

由P A⊥底面ABCD，得

V P－BCD＝1

3

·S△BCD·P A＝

1

3232

3

??=.

由PF＝7FC，得三棱锥F－BCD的高为1

8

P A，

故V F－BCD＝1

3

·S△BCD·

1

8

P A＝

111

323

384

???=，

所以V P－BDF＝V P－BCD－V F－BCD＝

17 2

44 -=.

20．

解：(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh元，底面的总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．

又据题意200πrh＋160πr2＝12 000π，

所以h＝1

5r

(300－4r2)，

从而V(r)＝πr2h＝π

5

(300r－4r3)．

因r＞0，又由h＞0可得53

r<，故函数V(r)的定义域为(0,53)．

(2)因V(r)＝π

5

(300r－4r3)，

故V′(r)＝π

5

(300－12r2)．

令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(因r2＝－5不在定义域内，舍去)．当r∈(0,5)时，V′(r)＞0，故V(r)在(0,5)上为增函数；

当r∈(5,53)时，V′(r)＜0，故V(r)在(5,53)上为减函数．

由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8.

即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．

21．

解：(1)由题意知点A(－c,2)在椭圆上，则

22

22

2

1

c

a b

(-)

+=.从而e2＋

2

4

b

＝1.

由

2

2

e=得2

2

4

8

1

b

e

==

-

，从而

2

2

2

16

1

b

a

e

==

-

.

故该椭圆的标准方程为

22

1 168

x y

+=.

(2)由椭圆的对称性，可设Q(x0,0)．又设M(x，y)是椭圆上任意一点，则

|QM |2＝(x －x 0)2＋y 2

＝x 2

－2x 0x ＋x 02

＋28116x ??

- ???

＝1

2

(x －2x 0)2－x 02＋8(x ∈[－4,4])． 设P (x 1，y 1)，由题意，P 是椭圆上到Q 的距离最小的点，因此，上式当x ＝x 1时取最小值， 又因x 1∈(－4,4)，所以上式当x ＝2x 0时取最小值，从而x 1＝2x 0，且|QP |2＝8－x 02. 由对称性知P ′(x 1，－y 1)，故|PP ′|2＝|2y 1|， 所以S ＝

1

2

|2y 1||x 1－x 0| ＝2101

281||216x x ???- ???

＝2

2

0024x x (-) ＝22

0224x -(-)+.

当02x =±时，△PP ′Q 的面积S 取到最大值22.

此时对应的圆Q 的圆心坐标为Q (2±，0)，半径2

0||86QP x =-=

，

因此，这样的圆有两个，其标准方程分别为(x ＋2)2＋y 2＝6，(x －2)2＋y 2＝6.