高考数列经典大题

高考数列经典大题

1、等比数列{}n a 的各项均为正数,4352,,4a a a 成等差数列,且2322a a =.

(1)求数列{}n a 的通项公式; (2)设()()

25

2123n n n b a n n +=

++,求数列{}n b 的前n 项与n S .

2、已知数列{}n a 满足:11a =,且对任意∈n N *都有

n

a +

+=

.

(Ⅰ)求2a ,3a 的值;

(Ⅱ

)求数列{}n a

的通项公式; (Ⅲ)证明n n

a a ++∈n N *). 3、已知数列}{n a 满足且01=a *)(),1(2

1

21N n n n S S n n ∈++=+

（1）求23,,a a :并证明12,(*);n n a a n n N +=+∈ （2）设*),(1N n a a b n n n ∈-=+求证:121+=+n n b b ; (3)求数列*)}({N n a n ∈的通项公式。 4.设b>0,数列}{n a 满足b a =1,)2(1

11

≥-+=

--n n a nba a n n n .(1)求数列}{n a 的通项公式;(2)

证明:对于一切正整数n ,121

+≤+n n b a .

5: 已知数列{}n a 就是等差数列,()

*

+∈-=N

n a a c n n n 212

(1)判断数列{}n c 就是否就是等差数列,并说明理由;(2)如果

()为常数k k a a a a a a 13143,130********-=+++=+++ ,试写出数列{}n c 的

通项公式;(3)在(2)的条件下,若数列{}n c 得前n 项与为n S ,问就是否存在这样的实数k ,使n S 当且仅当12=n 时取得最大值。若存在,求出k 的取值范围;若不存在,说明理由。

6、已知各项均为正数的数列{}n a 满足12212+++=n n n n a a a a , 且42342+=+a a a ,

其中*

∈N n 、(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设数列}{n b 满足n

n

n n na b 2)12(?+=

,

就是否存在正整数,m n (1)m n <<,使得n m b b b ,,1成等比数列？若存在,求出所有的,m n 的值;若不存在,请说明理由、(3) 令1n n

n

c a =+

,记数列}{n c 的前n 项积为n T ,其中*∈N n ,试比较n T 与9的大小,并加以证明、

7、已知数列}{n a 的前n 项与为n S ,且满足1(n n S a n =-∈N *)、各项为正数的数列

}{n b 中, 对于一切n ∈N

*

,有

1

11

n

k k k n b b b b =++=

++, 且

1231,2,3b b b ===、

(1)求数列{}n a 与{}n b 的通项公式;

(2)设数列{}n n a b 的前n 项与为n T ,求证:2n T <、

8、已知函数

213(),{},22

n f x x x a =+n 数列的前n 项和为S 点(,)(n n S n N *

∈）均在函数()y f x =的图

象上。

(1)求数列{}n a 的通项公式n a ;(2)令1,2

n n n a

b -=求数列{}n n b n T 的前项和； (3)令11,n n n n n a a

c a a ++=+证明:121

222n c c n <++<+n …+c .

9、已知数列 {}n a 满足112,21n n n a a a a +==+、

(Ⅰ)令1n n b a =-,求数列{}n b 的通项公式;(Ⅱ)设数列{}n b 的前n 项与为n S , (ⅰ)令2n n n T S S =-,求证:数列{}n T 就是单调数列;(ⅱ)求证:当2n ≥时,2711

12

n n S +≥

. 10、已知数列{}n a 的首项13

5

a =

,13,1,2,21n n n a a n a +=

=+.

(1)求证:数列11n a ??

-????

为等比数列;

(2) 记12111

n n

S a a a =

++,若100n S <,求最大的正整数n . (3)就是否存在互不相等的正整数,,m s n ,使,,m s n 成等差数列且1,1,1m s n a a a ---成等比数列,如果存在,请给出证明;如果不存在,请说明理由.

11、已知函数()log k f x x =(k 为常数,0k >且1k ≠),且数列{}()n f a 就是首项为4,公差为2的等差数列、

(Ⅰ)求证:数列{}n a 就是等比数列;

(Ⅱ) 若()n n n b a f a =?,当2k =时,求数列{}n b 的前n 项与n S ;

(III)若lg n n n c a a =,问就是否存在实数k ,使得{}n c 中的每一项恒小于它后面的项？若存在,求出k 的范围;若不存在,说明理由.

12、已知数列{}n a 就是各项均不为0的等差数列,公差为d ,n S 为其前n 项与,且满

足221n n a S -=,n *N ∈.数列{}n b 满足1

1

n n n b a a +=

?,n T 为数列{}n b 的前n 项与. (1)求1a 、d 与n T ;(2)若对任意的n *N ∈,不等式8(1)n n T n λ<+?-恒成立,求实数λ的取值范围;

(3)就是否存在正整数,m n (1)m n <<,使得1,,m n T T T 成等比数列？若存在,求出所有,m n 的值;若不存在,请说明理由.

13、设数列{}n a 就是公差为d 的等差数列,其前n 项与为n S .

(1)已知11a =,2d =,

(ⅰ)求当n ∈N *时,

64

n S n +的最小值; (ⅱ)当n ∈N *时,求证:132422315

16

n n n S S S S S S +++++<;

(2)就是否存在实数1a ,使得对任意正整数n ,关于m 的不等式m a n ≥的最小正整数解为32n -?若存在,则求1a 的取值范围;若不存在,则说明理由. 14、定义数列{}n a : 121,2a a ==,且对任意正整数n ,有

1

22(1)(1)1n n n n a a ++??=+-+-+??、

(1)求数列{}n a 的通项公式与前n 项与n S ;

(2)问就是否存在正整数,m n ,使得221n n S mS -=？若存在,则求出所有的正整数对(,)m n ;若不存在,则加以证明、

15、已知数列{a n }中,212,a t a t ==(t>0且t≠1).

若x =就是函数

311()3[(1)]1(2)n n n f x a x t a a x n -+=-+-+≥的一个极值点.

(Ⅰ)证明数列1{}n n a a +-就是等比数列,并求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)记1

2(1)n n

b a =-,当t =2时,数列{}n b 的前n 项与为S n ,求使S n >2008的n 的最小值;

(Ⅲ)当t =2时,求证:对于任意的正整数n ,有 ∑=+<++n

k k k k a a 1131

)

1)(1(2。

16、已知数列{}n a 满足()111,21n n a a a n N *+==+∈ (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;

(Ⅱ)若数列{}n b 满足n n b n

b b b b a )1(444411

11321+=---- ,证明:{}n b 就

是等差数列; (Ⅲ)证明:

()23

111

12

3

n n N a a a *++++

<∈