半角模型专题专练
半角模型例题
已知，正方形ABCD 中，∠EAF 两边分别交线段BC 、DC 于点E 、F ，且∠EAF ﹦45° 结论1：BE ﹢DF ﹦EF 结论2：S △ABE ﹢S △ADF ﹦S △AEF 结论3：AH ﹦AD
结论4：△CEF 的周长﹦2倍的正方形边长﹦2AB 结论5：当BE ﹦DF 时，△CEF 的面积最小 结论6：BM 2﹢DN 2﹦MN 2
结论7：三角形相似，可由三角形相似的传递性得到 结论8：EA 、FA 是△CEF 的外角平分线 结论9：四点共圆
结论10：△ANE 和△AMF 是等腰直角三角形（可通过共圆得到） 结论11：MN ﹦EF （可由相似得到）
结论12：S △AEF ﹦2S △AMN （可由相似的性质得到） 结论5的证明：
设正方形ABCD 的边长为1 则S △AEF ﹦1﹣S 1﹣S 2﹣S 3
﹦1﹣x ﹣y ﹣(1﹣x)(1﹣y) ﹦﹣xy
所以当x ﹦y 时，△AEF 的面积最小
结论6的证明：
将△
ADN顺时针旋转
90°使AD
与
AB重合
∴DN﹦BN′
易证△AMN≌△AMN′
∴MN﹦MN′
在Rt△BMN′中，由勾股定理可得：
BM2﹢BN′2﹦MN′2
即BM2﹢DN2﹦MN2
结论7的所有相似三角形：
△AMN∽△DFN △AMN∽△BME△AMN∽△BAN△AMN∽△DMA△AMN∽△AFE 结论8的证明：
因为△AMN∽△AFE
∴∠3＝∠2
因为△AMN∽△BAN
∴∠3＝∠4
∴∠2＝∠4
因为AB∥CD
∴∠1＝∠4
∴∠1＝∠2
结论9的证明：
因为∠EAN ﹦∠EBN ＝45° ∴A 、B 、E 、N 四点共圆（辅圆定理：共边同侧等顶角） 同理可证C 、E 、N 、F 四点共圆 A 、M 、F 、D 四点共圆 C 、E 、M 、F 四点共圆
**必会结论-------- 图形研究正方形半角模型
已知：正方形ABCD ，E 、F 分别在边BC 、CD 上，且
?=∠45EAF ，AE 、AF 分别交BD 于H 、G ，连EF .
一、全等关系
（1）求证：①EF BE DF =+；②DG 2﹢BH 2﹦HG 2；③AE 平分BEF ∠，AF 平分DFE ∠. 二、相似关系
（2）求证：①DG CE 2=；②BH CF 2=；③HG EF 2=. （3）求证：④DH BG AB ?=2；⑤HG BG AG ?=2；⑥2
1=?CF DF CE BE . 三、垂直关系
（4）求证：①EG AG ⊥；②FH AH ⊥；③BE
AB HCF =∠tan . （5)、和差关系
求证：①BE DG BG 2=-；②DH DF AD 2=+； ③||2||DG BH DF BE -=-.
例1、在正方形ABCD中，已知∠MAN﹦45°，若M、N分别在边
CB、DC的延长线上移动，
①.试探究线段MN、BM 、DN之间的数量关系.
②.求证：AB=AH.
例2、在四边形ABCD中，∠B+∠D﹦180°，AB=AD，若E、F分别
在边BC、CD上，且满足EF=BE +DF.
求证：∠EAF＝∠BAD
例3、在△ABC中，AB=AC，∠BAC=2∠DAE=120°，若BD=5，
CE=8，求DE的长。
例4、请阅读下列材料：
已知：如图1在Rt ABC
DAE
=，点D、E分别为线段BC上两动点，若45
∠=?．探
BAC
?中，90
∠=?，AB AC
究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系．
小明的思路是：把AEC
?，连结E D'，
?绕点A顺时针旋转90?，得到ABE'
使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：
（1）猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；
（2）当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图2，其它条件不变，⑴中探究的结论是否发生改变请说明你的猜想并给予证明．
图1
A
B
C
D
E
图2
A
B C
D
E
例5、探究：
（1）如图1，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝45°，试判断BE 、DF 与EF 三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果： ；
（2）如图2，若把(1)问中的条件变为“在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＋∠D ＝180°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF=2
1
∠BAD ”，则（1）问中的结论是否仍然成立若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；
（3）在（2）问中，若将△AE F 绕点A 逆时针旋转，当点分别E 、F 运动到BC 、CD 延长线上时， 如图3所示，其它条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化若变化，请给出结论并予以证明..
练习巩固1：
如图，在四边形ABCD 中，∠B ﹦∠D ﹦90°，AB ﹦AD ，若E 、F 分别在边BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝∠BAD . 求证：EF=BE +DF.
练习巩固2：
如图，在五边形ABCDE 中，AB ﹦BC ﹦CD ﹦DE ﹦EA ， ∠CAD ＝∠BAE ，求∠BAE 的度数
练习巩固3：
已知：正方形ABCD 中，45MAN ∠=，绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB 、DC （或它们的延长线）于点M 、N ．
（1）如图1，当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN =时，有BM DN MN +=．当MAN ∠ 绕点A 旋转到
BM DN ≠时，如图2，请问图1中的结论还是否成立如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；
（2）当MAN ∠绕点A 旋转到如图3的位置时，线段BM DN ，和MN 之间有怎样的等量关系请写出你的猜想，并证明．
N
M
D
C
B
A
N
M
C
D
B
A
N
M D C
B
A
练习巩固4
(1)如图，在四边形ABCD 中，AB ﹦AD ，∠B ﹦∠D ﹦90°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝∠BAD ． 求证：EF BE FD =+;
E
F
D
C
B
A
v1.0 可编辑可修改
(2) 如图在四边形ABCD 中，AB ﹦AD ，∠B ﹢∠D ﹦180°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝∠BAD ，(1)中的结论是否仍然成立不用证明．
E
F
D C
B
A
(3) 如图，在四边形ABCD 中，AB ﹦AD ，∠B ﹢∠ADC ﹦180°，E 、F 分
别是边BC 、CD 延长线上的点，且∠EAF ＝∠BAD ，(1)中的结论是否仍然成立若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并
证明．
E
F D
C
B
A
（4）如图①，将边长为4cm 的正方形纸片ABCD 沿EF 折叠（点E 、F 分别在边AB 、CD 上），使点B 落在AD 边上的点M 处，点C 落在点N 处，MN 与CD 交于点P ，连接EP ． （1）如图②，若M 为AD 边的中点，
①△AEM 的周长﹦ cm ；
②求证：EP ﹦AE ﹢DP ；
（2）随着落点M 在AD 边上取遍所有的位置（点M 不与A 、D 重合），△PDM 的周长是否发生变化请说明理由．
（5）.如图17，正方形ABCD ，E 、F 分别为BC 、CD 边上一点． （1）若∠EAF ﹦45o．求证：EF ﹦BE ﹢DF ．
（2）若△AEF 绕A 点旋转，保持∠EAF ﹦45o，问⊿CEF 的周长是否随△AEF 位置的变化而变化
（3）已知正方形ABCD 的边长为1，如果⊿CEF 的周长为2．求∠EAF 的度数．
F
E D
C
B
A
图17
练习巩固5、
如图，已知在正方形ABCD 中，∠MAN ﹦45°，连接BD 与AM ，AN 分别交于E 、F 两点。 求证：（1）MN ﹦MB ﹢DN ；
（2）点A 到MN 的距离等于正方形的边长； （3）CMN 的周长等于正方形ABCD 边长的2倍； （4）
=
ABCD CMN S 2AB
S MN
； （5）若∠MAB ﹦20°，求∠AMN ； （6）若(
)
∠=ααMAB 0
45，求∠AMN ；
（7）=+222EF EB DF ；
（8）AEN 与AFM 是等腰三角形； （9）
=
AEF AMN
S 1S
2
。 练习巩固6、
在等边ABC ?的两边AB ，AC 所在直线上分别有两点M N D ，，为ABC ?外一点，且60MDN ∠=?，
120BDC ∠=?，BD CD =，探究：当点M N ，
分别爱直线AB AC ，上移动时，BM BN MN ，，之间的数量关系及AMN ?的周长Q 与等边ABC ?的周长L 的关系．
图①
M N
D
C
B
A
图②
M N
D C
B
A N
图③M
D C
B
A
（1）如图①，当点M N ，在边AB AC ，上，且DM DN =时，BM NC MN ，，之间的数量关系式_________；此时
Q
L
=__________ （2）如图②，当点M N ，在边AB AC ，上，且DM DN ≠时，猜想(1)问的两个结论还成立吗写出你的
（3）如图③，当点M N ，分别在边AB CA ，的延长线上时，若AN x =，则Q =_________(用x L ，表示) 练习巩固7、
如图所示，△ABC 是边长为1的等边三角形，△BDC 是顶角为120°的等腰三角形，以D 为顶点作一个60°的∠MDN ，点M ，N 分别在AB ，AC 上，求△AMN 的周长
练习巩固8、
如图，在正方形ABCD 中，BE=3，EF ﹦5，DF ﹦4，求∠BAE ﹢∠DCF 为多少度。
巩固练习9、
如图1，Rt△ABC≌Rt△EDF，∠ACB﹦∠F﹦90°，∠A﹦∠E﹦30°。△EDF 绕着边AB 的中点D 旋转，DE ，DF 分别交线段．．AC 于点M ，K ．
(1)①如图2、图3，当∠CDF ﹦0° 或60°时，AM ﹢CK_______MK(填“>”，“<”或“=”)． ②如图4，当∠CDF ﹦30° 时，AM ﹢CK___MK(只填“>”或“<”)．
(2)猜想：如图1，当0°＜∠CDF ＜60°时，AM ﹢CK_______MK ，证明你所得到的结论． (3)如果222AM CK MK =+，请直接写出∠CDF 的度数和AM
MK 的值．
中考数学 几何专题——半角模型
几何模型之半角模型 一、旋转性质 1.图形对应边相等（易得等腰，且等腰均相似） 2.对应角相等 3.对应点与旋转中心连线构成旋转角，旋转角处处相等 二、半角模型 半角模型（90°含45°） 条件模型结论 ①等腰直角△ABC; ②∠DAE=45° DE2=BD2+CE2 ①等腰直角△ABC; ②∠DAE=45° DE2=BD2+CE2 ①正方形ABCD; ②∠EAF=45°①EF=BE+DF； ②△CEF的周长是正方形周长的一半； ③点A到EF的距离等于正方形的边长. ①正方形ABCD; ②∠EAF=45°EF=DF-BE 三、模型演练 1.如图，在正方形ABCD中，AB=1，E，F分别是边BC，CD上的点，连接EF、AE、AF，过A作AH⊥EF 于点H．若EF=BF+DF．那么下列结论：①AE平分∠BEF；②FH=FD； ③∠EAF=45°；④S△E A F=S△A B E+S△A D F；⑤△CEF的周长为2．其中正确结论的 是．
2.在Rt△ABC中，AB=AC，D?E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ADC绕点A 顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，下列结论①△AEF≌△AED；②∠AED=45°； ③BE+DC=DE；④BE2+DC2=DE2，其中正确的是（） A.②④ B.①④ C.②③ D.①③ 3如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点M，N在边BC上，且∠MAN=45°，若BM=1，CN=3，求MN的长． 4.如图，在正方形OABC中，点B的坐标是（4，4），点E、F分别在边BC、BA上，OE=25．若∠EOF=45°，则F点的坐标是． 5.已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交
半角模型收集专练
半角模型例题 已知，正方形ABCD 中，∠EAF 两边分别交线段BC 、DC 于点E 、F ，且∠EAF ﹦45° 结论1：BE ﹢DF ﹦EF 结论2：S △ABE ﹢S △ADF ﹦S △AEF 结论3：AH ﹦AD 结论4：△CEF 的周长﹦2倍的正方形边长﹦2AB 结论5：当BE ﹦DF 时，△CEF 的面积最小 结论6：BM 2﹢DN 2﹦MN 2 结论7：三角形相似，可由三角形相似的传递性得到 结论8：EA 、FA 是△CEF 的外角平分线 结论9：四点共圆 结论10：△ANE 和△AMF 是等腰直角三角形（可通过共圆得到） 结论11：MN ﹦√2 2EF （可由相似得到） 结论12：S △AEF ﹦2S △AMN （可由相似的性质得到） 结论5的证明： 设正方形ABCD 的边长为1 则S △AEF ﹦1﹣S 1﹣S 2﹣S 3 ﹦1﹣1 2x ﹣1 2y ﹣1 2(1﹣x)(1﹣y) ﹦1 2﹣12xy 所以当x ﹦y 时，△AEF 的面积最小 结论6的证明：
将△ADN 顺时针旋转90°使AD 与AB 重合 ∴DN ﹦BN ′ 易证△AMN ≌△AMN ′ ∴MN ﹦MN ′ 在Rt △BMN ′中，由勾股定理可得： BM 2﹢BN ′2﹦MN ′2 即BM 2﹢DN 2﹦MN 2 结论7的所有相似三角形： △AMN ∽△DFN △AMN ∽△BME △AMN ∽△BAN △AMN ∽△DMA △AMN ∽△AFE 结论8的证明： 因为△AMN ∽△AFE ∴∠3＝∠2 因为△AMN ∽△BAN ∴∠3＝∠4 ∴∠2＝∠4 因为AB ∥CD ∴∠1＝∠4 ∴∠1＝∠2 结论9的证明：
中考数学压轴题专项汇编专题15角含半角模型
专题15 角含半角模型 破题策略 1．等腰直角三角形角含半角 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D，E在BC上且∠DAE＝45° （1）△BAE∽△ADE∽△CDA （2）BD2＋CE2＝DE2． B C 证明（1）易得∠ADC＝∠B＋∠BAD＝∠EAB， 所以△BAE∽△ADE∽△CD A． （2）方法一（旋转法）：如图1，将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACF，连结EF． B C 则∠EAF＝∠EAD＝45°，AF＝AD， 所以△ADE∽△FAE （SAS）． 所以DE＝EF． 而CF＝BD，∠FCE＝∠FCA＋∠ACE＝90°， 所以BD2＋CE2＝CF2＋CE2＝EF2＝DE2． 方法二（翻折法）：如图2，作点B 关于AD 的对称点F，连结AF，DF，EF． B C 因为∠BAD＋∠EAC＝∠DAF＋∠EAF， 又因为∠BAD＝∠DAF， 则∠FAE＝∠CAE，AF＝AB＝AC， 所以△FAE∽△CAE（SAS）． 所以EF＝E C．
而DF＝BD，∠DFE＝∠AFD＋∠AFE＝90°， 所以BD2＋EC2＝FD2＋EF2＝DE2． 【拓展】①如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在BC 上，点E在BC的延长线上，且∠DAE＝45°，则BD2＋CE2＝DE2． D 可以通过旋转、翻折的方法来证明，如图： D D ②将等腰直角三角形变成任意的等腰三角形：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在 BC上，且∠DAE＝1 2 ∠BAC，则以BD，DE，EC为三边长的三角形有一个内角度数为180° －∠BA C． B 可以通过旋转、翻折的方法将BD，DE，EC转移到一个三角形中，如图： B B
半角模型题
半角模型题 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998
半角模型 例1(海淀201405-8) 如图，点P 是以O 为圆心， AB 为直径的半圆的中点，AB=2，等腰直角三角板45°角的顶点与点P 重合， 当此三角板绕点P 旋转时，它的斜边和直角边所在的直线与直径AB 分别 相交于C 、D 两点．设线段AD 的长为x ，线段BC 的长为y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是 A B C D 例2.(海201311-24)．已知在ABC △中， 90=∠ACB ，26==CB CA ， AB CD ⊥于D ，点E 在直线CD 上，CD DE 2 1=，点F 在线段AB 上，M 是DB 的中点，直线AE 与直线CF 交于N 点. （1）如图1，若点E 在线段CD 上，请分别写出线段AE 和CM 之间的位置关系和数量关系：___________，___________； （2）在（1）的条件下，当点F 在线段AD 上，且2AF FD =时，求证： 45=∠CNE ； （3）当点E 在线段CD 的延长线上时，在线段AB 上是否存在点F ，使得 45=∠CNE ．若存在，请直接写出AF 的长度；若不存在，请说明理由． D C B A N F E C B A
24. （本小题满分8分） （1）AE ⊥CM ，AE =CM （2）如图，过点A 作AG ⊥AB ,且AG =BM,，连接CG 、FG ,延长AE 交CM 于H . ∵ 90=∠ACB ,26==CB CA , ∴∠CAB =∠CBA =45°， 12. ∴∠GAC =∠MBC =45°. ∵AB CD ⊥, ∴CD=AD=BD =162 AB =. ∵ M 是DB 的中点, ∴3BM DM ==. ∴3AG =. ∵2AF FD =, ∴4 2.AF DF ==， ∴+2+3=5.FM FD DM == ∵AG ⊥AF , ∴FG = ∴.FG FM = 在△CAG 和△CBM 中， ∴△CAG ≌△CBM ． ∴CG =CM ,ACG BCM ∠=∠． ∴++90MCG ACM ACG ACM BCM ∠=∠∠=∠∠=．在△FCG 和△FCM 中， ∴△FCG ≌△FCM ． ∴FCG FCM ∠=∠． ∴45FCH ∠=. 由（1）知AE ⊥CM ， ∴90CHN ∠= ∴ 45=∠CNE . （3）存在. AF =8. 例3．(平谷201405-24)（1）如图1，点E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，∠EAF =45°，连接EF ， 则EF 、BE 、FD 之间的数量关系是：EF =BE +FD ．连结BD ，交AE 、AF 于点M 、N ，且MN 、BM 、DN 满足222DN BM MN +=，请证明这个等量关系；
专题20 半角模型(解析版)
中考常考几何模型 专题20 半角模型 倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形 如图①： （1）∠2=2 1 ∠AOB ；（2）OA=OB 。 如图②： 连接 FB ，将△FOB 绕点 O 旋转至△FOA 的位置，连接 F ′E 、FE ，可得△OEF ′≌△OEF 。 模型精练 1．（2019秋?九龙坡区校级月考）如图．在四边形ABCD 中，∠B +∠ADC ＝180°，AB ＝AD ，E 、F 分别是边BC 、CD 延长线上的点，且∠EAF =1 2 ∠BAD ，求证：EF ＝BE ﹣FD ． 【点睛】在BE 上截取BG ，使BG ＝DF ，连接AG ．根据SAA 证明△ABG ≌△ADF 得到AG ＝AF ，∠BAG ＝∠DAF ，根据∠EAF =1 2∠BAD ，可知∠GAE ＝∠EAF ，可证明△AEG ≌△AEF ，EG ＝EF ，那么EF ＝
GE ＝BE ﹣BG ＝BE ﹣DF ． 【解析】证明：在BE 上截取BG ，使BG ＝DF ，连接AG ． ∵∠B +∠ADC ＝180°，∠ADF +∠ADC ＝180°， ∴∠B ＝∠ADF ． 在△ABG 和△ADF 中， {AB =AD ∠B =∠ADF BG =DF ， ∴△ABG ≌△ADF （SAS ）， ∴∠BAG ＝∠DAF ，AG ＝AF ． ∴∠BAG +∠EAD ＝∠DAF +∠EAD ＝∠EAF =1 2∠BAD ． ∴∠GAE ＝∠EAF ． 在△AEG 和△AEF 中， {AG =AF ∠GAE =∠EAF AE =AE ， ∴△AEG ≌△AEF （SAS ）． ∴EG ＝EF ，
中考数学必会几何模型：半角模型
半角模型 已知如图：①∠2=1 2 ∠AOB；②OA=OB. O A B E F 1 23 连接FB，将△FOB绕点O旋转至△FOA的位置，连接F′E，FE，可得△OEF≌△OEF′ 43 2 1 F' F E B A O 模型分析 ∵△OBF≌△OAF′， ∴∠3=∠4，OF=OF′. ∴∠2=1 2 ∠AOB， ∴∠1+∠3=∠2 ∴∠1+∠4=∠2 又∵OE是公共边， ∴△OEF≌△OEF′. （1）半角模型的命名：存在两个角度是一半关系，并且这两个角共顶点； （2）通过先旋转全等再轴对称全等，一般结论是证明线段和差关系； （3）常见的半角模型是90°含45°，120°含60°. 模型实例 例1 已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，它的两边分别交线段CB、DC于点M、N．（1）求证：BM+DN=MN． （2）作AH⊥MN于点H，求证：AH=AB．
证明：（1）延长ND 到E ，使DE=BM ， ∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=AB ． 在△ADE 和△ABM 中， ?? ? ??=∠=∠=BM DE B ADE AB AD ∴△ADE ≌△ABM ． ∴AE=AM ，∠DAE=∠BAM ∵∠MAN=45°，∴∠BAM+∠NAD=45°． ∴ ∠MAN=∠EAN=45°． 在△AMN 和△AEN 中， ?? ? ??=∠=∠=AN AN EAN M AN EA M A ∴△AMN ≌△AEN ． ∴MN=EN ． ∴BM+DN=DE+DN=EN=MN ． （2）由（1）知，△AMN ≌△AEN ． ∴S △AMN =S △AEN ． 即EN AD 2 1 MN AH 21?=?． 又∵MN=EN ， ∴AH=AD ． 即AH=AB ．
半角模型专题专练复习进程
半角模型专题专练
半角模型例题 已知，正方形ABCD 中，∠EAF 两边分别交线段BC 、DC 于点E 、F ，且∠EAF ﹦45° 结论1：BE ﹢DF ﹦EF 结论2：S △ABE ﹢S △ADF ﹦S △AEF 结论3：AH ﹦AD 结论4：△CEF 的周长﹦2倍的正方形边长﹦2AB 结论5：当BE ﹦DF 时，△CEF 的面积最小 结论6：BM 2﹢DN 2﹦MN 2 结论7：三角形相似，可由三角形相似的传递性得到 结论8：EA 、FA 是△CEF 的外角平分线 结论9：四点共圆 结论10：△ANE 和△AMF 是等腰直角三角形（可通过共圆得到） 结论11：MN ﹦√2 2EF （可由相似得到） 结论12：S △AEF ﹦2S △AMN （可由相似的性质得到） 结论5的证明： 设正方形ABCD 的边长为1 则S △AEF ﹦1﹣S 1﹣S 2﹣S 3 ﹦1﹣12x ﹣12y ﹣1 2(1﹣x)(1﹣y) ﹦1 2﹣1 2xy 所以当x ﹦y 时，△AEF 的面积最小 结论6的证明： 将△ADN 顺时针旋转90°使AD 与AB 重合 ∴DN ﹦BN ′ 易证△AMN ≌△AMN ′ ∴MN ﹦MN ′ 在Rt △BMN ′中，由勾股定理可得： BM 2﹢BN ′2﹦MN ′2 即BM 2﹢DN 2﹦MN 2 结论7的所有相似三角形：
△AMN ∽△DFN △AMN ∽△BME △AMN ∽△BAN △AMN ∽△DMA △AMN ∽△AFE 结论8的证明： 因为△AMN ∽△AFE ∴∠3＝∠2 因为△AMN ∽△BAN ∴∠3＝∠4 ∴∠2＝∠4 因为AB ∥CD ∴∠1＝∠4 ∴∠1＝∠2 结论9的证明： 因为∠EAN ﹦∠EBN ＝45° ∴A 、B 、E 、N 四点共圆（辅圆定理：共边同侧等顶角） 同理可证C 、E 、N 、F 四点共圆 A 、M 、F 、D 四点共圆 C 、E 、M 、F 四点共圆 **必会结论-------- 图形研究正方形半角模型 已知：正方形ABCD ，E 、F 分别在边BC 、CD 上，且?=∠45EAF ，AE 、AF 分别交BD 于H 、G ，连EF . 一、全等关系 （1）求证：①EF BE DF =+；②DG 2﹢BH 2﹦HG 2；③AE 平分BEF ∠，AF 平分DFE ∠. 二、相似关系 （2）求证：①DG CE 2=；②BH CF 2=；③HG EF 2=. （3）求证：④DH BG AB ?=2；⑤HG BG AG ?=2；⑥21=?CF DF CE BE . 三、垂直关系 （4）求证：①EG AG ⊥；②FH AH ⊥；③BE AB HCF =∠tan . （5)、和差关系 求证：①BE DG BG 2=-；②DH DF AD 2=+； ③||2||DG BH DF BE -=-.
专题05倍半角模型巩固练习(提优)含答案及解析-冲刺中考数学几何专项复习
倍半角模型巩固练习（提优） 1.如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、AB上，且∠FDE＝45o，连接DE、DF、EF，试探究EF、AF、CE之间的数量关系. 2.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90o，点D在CB的延长线上，连接AD，EA ⊥AD，∠ACE＝∠ABD. （1）求证：AD＝AE； （2）点F为CD的中点，AF的延长线交BE于点G，求∠AGE的度数. 3.如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，CE＝CD，点F为CE的中点，点G
为CD上的一点，连接DF、EG、AG，∠1＝∠2. （1）若CF＝2，AE＝3，求BE的长； （2）求证：∠CEG＝∠AGE. 4.如图，在正方形ABCD中，E为AD边上的中点，过点A作AF⊥BE交CD边于点F，M是AD边上一点，且BM＝DM＋CD. （1）求证：点F是CD边上的中点； （2）求证：∠MBC＝2∠ABE. 5. 如图，在矩形ABCD中，F是DC上一点，AE平分∠BAF交BC于点E，且DE⊥AF， 垂足为点M，BE＝3，，求MF的长.
6. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90o，D是AB边上的一点，M是CD的中点，若∠AMD ＝∠BMD.求证：∠CDA＝2∠ACD. 倍半角模型巩固练习（提优） 1.如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、AB上，且∠FDE＝45o，连接DE、DF、EF，试探究EF、AF、CE之间的数量关系. 【解答】EF＝AF＋CE，证明见解析 【解析】如图，将△DCE绕着点D顺时针旋转90o得到△DGA.
∵∠EDC＋∠ADF＋∠FDE＝90o，∠FDE＝45o，∴∠EDC＋∠ADF＝45o， 又∵旋转，∴DE＝DG，∠GDA＝∠EDC，∴∠GDA＋∠ADF＝∠GDF＝∠FDE＝45o， 在△DGF与△DEF中，DF＝DF，∠GDF＝∠EDF，DG＝DE，∴△DGF≌△DEF，∴EF＝GF＝GA＋AF， ∵旋转，∴GA＝CE，∴EF＝AF＋CE. 2.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90o，点D在CB的延长线上，连接AD，EA ⊥AD，∠ACE＝∠ABD. （1）求证：AD＝AE； （2）点F为CD的中点，AF的延长线交BE于点G，求∠AGE的度数. 【解答】（1）见解析；（2）∠AGE＝90o 【解析】（1）证明：∵EA⊥AD，∴∠DAE＝∠90o，∴∠DAB＋∠BAE＝90o， ∵∠BAC＝90o，∴∠CAE＋∠BAE＝90o，∴∠DAB＝∠CAE， ∵∠ACE＝∠ABD，AB＝AC，∴△ADB≌△ACE，∴AD＝AE； （2）如图，延长AG至点H，使得FH＝FA.
八上培优半角模型精修订
八上培优半角模型 SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#
八上培优5 半角模型方法：截长补短 图形中，往往出现90°套45°的情况，或者120°套60°的情况。还有2α套α的情况。求证的结论一般是线段的和与差。解决的方法是：截长补短构造全等三角形。旋转移位造全等，翻折分割构全等。截长法，补短法。 勤学早和新观察均有专题。勤学早在第49页，新观察在第34页，新观察培优也有涉及，在第27页2两个例题，29页有习题。这些题大同小异，只是图形略有变化而已。证明过程一般要证明两次全等。 下面是新观察第34页1~4题 1.如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90゜，∠D=60゜，AB=BC，E、F，分别在AD、CD 上，且∠EBF=60゜．求证：EF=AE+CF． 2.如图2，在上题中，若E、F分别在AD、DC的延长线上，其余条件不变，求证： AE=EF+CF． 3.如图，∠A=∠B=90°, CA=CB=4, ∠ACB=120°，∠ECF=60°，AE=3, BF=2, 求五边形ABCDE的面积.
A C B F E A C B F E D 4．如图1．在四边形ABCD中．AB=AD，∠B+∠D=180゜，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠BAD=2∠EAF． （1）求证：EF=BE+DF； （2）在（1）问中，若将△AEF绕点A逆时针旋转，当点E、F分别运动到BC、CD延长线上时，如图2所示，试探究EF、BE、DF之间的数量关 系． 3.如图3，在四边形ABDC中，∠B+∠C=180°，DB=DC，∠BDC=120°，以D为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．
半角模型专题--优选专练.doc
半角模型例题 已知，正方形 ABCD中，∠ EAF两边分别交线段 BC、 DC于点 E、F，且∠ EAF﹦ 45°结论 1：BE﹢ DF﹦EF 结论 2：S△ABE﹢ S△ADF﹦S△AEF 结论 3：AH﹦ AD 结论 4：△ CEF的周长﹦ 2 倍的正方形边长﹦ 2AB 结论 5：当 BE﹦DF时，△ CEF的面积最小 22 2 结论 6：BM﹢DN﹦MN 结论 7：三角形相似，可由三角形相似的传递性得到 结论 8：EA、 FA是△ CEF的外角平分线 结论 9：四点共圆 结论 10：△ ANE和△ AMF是等腰直角三角形（可通过共圆得到） 结论 11： MN﹦EF（可由相似得到） 结论 12： S△ AEF﹦2S△ AMN（可由相似的性质得到） 结论 5 的证明： 设正方形 ABCD的边长为 1 则S△AEF﹦1﹣S1﹣S2﹣ S3 ﹦1﹣ x﹣ y﹣ (1 ﹣x)(1 ﹣y) ﹦﹣ xy 所以当 x﹦y 时，△ AEF的面积最小 结论 6 的证明： 将△ ADN顺时针旋转 90°使 AD与 AB重合 ′ ∴DN﹦ BN ′ 易证△ AMN≌△ AMN ′ ∴MN﹦ MN ′ 在 Rt△BMN中，由勾股定理可得： 2′ 2′2 BM﹢BN ﹦MN 22 2 即 BM﹢DN﹦MN 结论 7 的所有相似三角形： △ AMN∽△ DFN△AMN∽△ BME△AMN∽△ BAN△ AMN∽△ DMA△AMN∽△ AFE
结论 8 的证明： 因为△ AMN∽△ AFE ∴∠ 3＝∠ 2 因为△ AMN∽△ BAN ∴∠ 3＝∠ 4 ∴∠ 2＝∠ 4 因为 AB∥CD ∴∠ 1＝∠ 4 ∴∠ 1＝∠ 2 结论 9 的证明： 因为∠ EAN﹦∠ EBN＝ 45° ∴A、B、E、N 四点共圆（辅圆定 理：共边同侧等顶角） 同理可证 C、E、N、F 四点共圆 A、M、 F、 D 四点共圆 C、E、 M、 F 四点共圆 **必会结论 --------图形研究正方形半角模型 已知：正方形 ABCD ，E、F分别在边 BC 、 CD 上，且 EAF 45 ，AE、AF分别交BD于H、 G ，连EF. 一、全等关系 （）求证：① 2 2 2 平分，平分 DF BE EF ；②DG﹢ BH﹦ HG；③AE BEF AF DFE . 1 二、相似关系 （2）求证：①CE 2DG ；② CF 2 BH ；③ EF 2HG . （3）求证：④AB2 BG DH ；⑤ AG 2 BG HG ；⑥BE DF 1 . CE CF 2 三、垂直关系 （4）求证：①AG EG ；②AH FH ；③tan HCF AB . （5) 、和差关系 BE 求证：① BG DG 2BE ；② AD DF 2DH ； ③ | BE DF | 2 | BH DG | .
2.角含半角模型
角含半角模型 破题策略 1． 等腰直角三角形角含半角 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，点D ，E 在BC 上且∠DAE ＝45° （1） △BAE ∽△ADE ∽△CDA （2）BD 2＋CE 2＝DE 2 ． 45° E A B C D 证明（1）易得∠ADC ＝∠B ＋∠BAD ＝∠EAB ， 所以△BAE ∽△ADE ∽△CD A ． （2）方法一（旋转法）：如图1，将△ABD 绕点A 逆时针旋转90°得到△ACF ，连结EF ． 45° F E A B C D 则∠EAF ＝∠EAD ＝45°，AF ＝AD ， 所以△ADE ∽△FAE （ SAS ）． 所以DE ＝ EF ． 而CF ＝BD ，∠FCE ＝∠FCA ＋∠ACE ＝90°， 所以BD 2＋ CE 2＝CF 2＋CE 2＝EF 2＝DE 2 ． 方法二（翻折法）：如图2，作点B 关于AD 的对称点F ，连结AF ，DF ，EF ． 45° E A B C D 因为∠BAD ＋∠EAC ＝∠DAF ＋∠EAF ， 又因为∠BAD ＝∠DAF ， 则∠FAE ＝∠CAE ，AF ＝AB ＝AC ， 所以△FAE ∽△CAE （SAS ）． 所以EF ＝ E C ．
而DF ＝BD ， ∠DFE ＝∠AFD ＋ ∠AFE ＝90°， 所以BD 2＋ EC 2＝ FD 2＋ EF 2＝ DE 2 ． 【拓展】①如图，在△ ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，点D 在BC 上，点E 在BC 的 延长线上，且∠DAE ＝45°，则BD 2＋CE 2＝DE 2 ． E D 可以通过旋转、翻折的方法来证明，如图： E A D F E A D ②将等腰直角三角形变成任意的等腰三角形：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D ，E 在 BC 上，且∠DAE ＝1 2 ∠BAC ，则以BD ，DE ，EC 为三边长的三角形有一个内角度数为180° －∠BA C ． B 可以通过旋转、翻折的方法将BD ，DE ，EC 转移到一个三角形中，如图： B C E B D
人教版八年级下册第18章平行四边形——弦图模型和半角模型专题(Word版,无答案)
一 ) 弦图模型 基本图形】已知正方形 ABCD,过 B,D 两点分别向过点 C 的直线作垂线 , 垂足分别为点 E,F, 则△ BCE ≌△ CDF h, 正方形 ABCD 的四 个顶点分 (1) 当 a=45 °时, 求△EAD 的面积 (2) 当 a=30 °时, 求△EAD 的面积 (3) 当0° 变式训练 】如图，分别以 ABC 的AC 和BC 为一边，在ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半． 4．如图,直角梯形ABCD 中,AD/BC,∠ADC=90°,是AD 的垂直平分线,交AD 于点M,以腰AB 为边作正方形ABFE，EP⊥l 于点P. 求证:2EP+AD=2CD 二）半角模型 半角模型【用旋转和对称（翻折）的方法解决问题】基本结论：在正方形ABCD中，若M、N 分别在边BC、CD上移动，且满足MN=BM+ DN，则有以下基本结论（需记忆）：① . ∠MAN4=5°；② . C CMN 2AB；③ . AM、AN分别平分 ∠BMN和∠DNM. 同样，在正方形ABCD中,若已知∠MAN4=5°，则会有：① . MN=B+MD N; ②C CMN 2AB;③.AM、AN分别平分∠BMN 和∠DNM④; 若继续作AH⊥MN于点H, 则有AH=AB. F 倍半角模型知识精讲 一、二倍角模型处理方法 1. 作二倍角的平分线，构成等腰三角形. 例：如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，作∠ABC的平分线交AC于点D，则∠DBC＝∠C，DB＝DC，即△DBC是等腰三角形. 2. 延长二倍角的一边，使其等于二倍角的另一边，构成两个等腰三角形. 例：如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，延长CB到点D，使得BD＝AB，连接AD，则△ABD、△ADC都是等腰三角形. 例题：如图，在△ABC中，∠C＝2∠A，AC＝2BC，求证：∠B＝90o. 【解答】见解析 【证法一】如图1，作∠C的平分线CE交AB于点E，过点E作ED⊥AC于点D. 则∠ACE＝∠A，AE＝CE， ∵AE＝EC，ED⊥AC，∴CD＝AC， 又∵AC＝2BC，∴CD＝CB，∴△CDE≌△CBE，∴∠B＝∠CDE＝90o； 【证法二】如图2，延长AC到点D，使得CD＝CB，连接BD，取AC的中点E，连接BE. 由题意可得EC＝CD＝BC，∠DBE＝90o， ∵CD＝CB，∠D＝∠CBD，∴∠ACB＝2∠D， ∵∠ACB＝2∠A，∠A＝∠D，∴AB＝BD， 又∵AE＝DC，∴△ABE≌△DBC，∴∠ABE＝∠DBC，∴∠ABC＝∠EBD＝90o. 【证法三】如图3，作∠C的平分线CD，延长CB到点E，使得CE＝AC，∴AC＝BC＋BE. ∵AC＝2BC，∴BC＝BE，在△ACD与△ECD中，AC＝EC，∠ACD＝∠ECD，CD＝CD， ∴△ACD≌△ECD，∴∠A＝∠E， 又∵∠DCB＝∠DCA＝∠A，∴∠E＝∠DCB，∴DC＝DE，∴∠ABC＝90o. 二、倍半角综合 1. 由“倍”造“半” 已知倍角求半角，将倍角所在的直角三角形相应的直角边顺势延长即可. 如图，若，则（） 2. 由“半”造“倍” 正方形角含半角模型提升 例1．如图，折叠正方形纸片ABCD ，先折出折痕BD ，再折叠使AD 边与对角线BD 重合，得折痕DG ，使2AD =，求AG ． 例2 ．如图，P 为正方形ABCD 内一点，10PA PB ==，并且P 点到CD 边的距离也等于10，求正方形ABCD 的面积 例3. 如图，E 、F 分别为正方形ABCD 的边BC 、CD 上的一点，AM EF ⊥，?垂足为M ，AM AB =，则有EF BE DF =+，为什么 例4. 如图，在正方形ABCD 的BC 、CD 边上取E 、F 两点，使45EAF ∠=o ，AG EF ⊥于G . 求证：AG AB = 例5.(1) 如图1,在正方形ABCD 中,点E ,F 分别在边BC ,CD 上,AE ,BF 交于点 O ,90AOF ?∠=. 求证：BE CF =. (2) 如图2,在正方形ABCD 中,点E ,H ,F ,G 分别在边AB ,BC ,CD ,DA 上,EF ,GH 交于点 O ,90FOH ?∠=,4EF =.求GH 的长. 【双基训练】 1. 如图6，点A 在线段BG 上，四边形ABCD 与DEFG 都是正方形，?其边长分别为3cm 和5cm ，则CDE ?的面积为________2cm ． (6) (7) 2．你可以依次剪6张正方形纸片，拼成如图7所示图形．?如果你所拼得的图形中正方形①的面积为1，且正方形⑥与正方形③的面积相等，?那么正方形⑤的面积为________． 3.如图9，已知正方形ABCD 的面积为35平方厘米，E 、F 分别为边AB 、BC 上的点．AF 、CE 相交于G ，并且ABF ?的面积为14平方厘米，BCE ?的面积为5平方厘米，?那么四边形BEGF 的面积是________． 4. 如图，A 、B 、C 三点在同一条直线上，2AB BC =。分别以 AB 、BC 为边作正方形ABEF 和正方形BCMN ，连接FN ， EC 。 求证：FN EC =。 5.如图 ，ABCD 是正方形．G 是BC 上的一点，DE AG ⊥于 E ，BF AG ⊥于 F ． （1）求证：ABF DAE △≌△； （2）求证：DE EF FB =+． 【纵向应用】 6. 在正方形ABCD 中，12∠=∠．求证：BE OF 2 1 = 7. 在正方形ABCD 中，12∠=∠．AE DF ⊥,求证：CE OG 2 1= 8. 如图13，点E 为正方形ABCD 对角线BD 上一点, EF BC ⊥, EG CD ⊥ 求证：AE FG ⊥ 9.已知：点E 、F 分别正方形ABCD 中AB 和BC 的中点，连接AF 和DE 相交于点G , 图2 D G A E B C F 13 A D E F C G B 半角模型 例1(如图，点P 是以O 为圆心， AB 为直径的半圆的中点，AB=2，等腰直角三角板45°角的顶点与点P 重合， 当此三角板绕点P 旋转时，它的斜边和直角边所在的直线与直径AB 分别相交于C 、D 两点．设线段AD 的长为x ，线段BC 的长为y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是 A B CD 例2.已知在ABC △中， 90= ∠ACB ，26==CB CA ，AB CD ⊥于D ，点E 在直线 CD 上，CD DE 2 1 = ，点F 在线段AB 上，M 是 DB 的中点，直线AE 与直线CF 交于N 点. （1）如图1，若点E 在线段CD 上，请分别写出线段AE 和CM 之间的位置关系和数量关系：___________ ，___________； （2）在（1）的条件下，当点F 在线段AD 上，且2AF FD =时，求证： 45=∠CNE ； （3）当点E 在线段CD 的延长线上时，在线段AB 上是否存在点F ，使得 45=∠CNE ．若存在，请直接写出AF 的长度；若不存在，请说明理由． D C B A N M F E D C B A 24. （本小题满分8分） （1）AE ⊥CM ，AE =CM （2）如图，过点A 作AG ⊥AB ,且AG =BM,，连接CG 、FG ,延长AE 交CM 于H . ∵ 90=∠ACB ,26==CB CA , ∴∠CAB =∠CBA =45°， 12. ∴∠GAC =∠MBC =45°. ∵AB CD ⊥, ∴CD=AD=BD =1 62 AB =. ∵M 是DB 的中点, ∴3BM DM ==. ∴3AG =. ∵2AF FD =, ∴4 2.AF DF ==， ∴+2+3=5.FM FD DM == ∵AG ⊥AF , ∴FG = ∴.FG FM = 在△CAG 和△CBM 中， CA CB CAG CBM AG BM =?? ∠=∠??=? ，， ， ∴△CAG ≌△CBM ． ∴CG =CM ,ACG BCM ∠=∠． ∴++90MCG ACM ACG ACM BCM ∠=∠∠=∠∠= ．在△FCG 和△FCM 中， CG CM FG FM CF CF =?? =??=? ，， ， ∴△FCG ≌△FCM ． ∴FCG FCM ∠=∠． ∴45FCH ∠= . 由（1）知AE ⊥CM ， ∴90CHN ∠= ∴ 45=∠CNE . （3）存在. AF =8. 中考数学几何模型5：角含半角模型TH 名师点睛拨开云雾开门见山角含半角模型，顾名思义即一个角包含着它的一半大小的角。它主要包含：等腰直角三角形角含半角模型；正方形中角含半角模型两种类型。解决类似问题的常见办法主要有两种：旋转目标三角形法和翻折目标三角形法。 类型一：等腰直角三角形角含半角模型 （1）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D，E在BC上，且∠DAE=45°，则：BD2+CE2=DE2. 图示（1）作法1：将△ABD旋转90°作法2：分别翻折△ABD,△ACE （2）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D在BC上，点E在BC延长线上，且∠DAE=45°，则：BD2+CE2=DE2. 图示（2） （3）如图，将等腰直角三角形变成任意等腰三角形时，亦可以进行两种方法的操作处理.. 任意等腰三角形 类型二：正方形中角含半角模型 （1）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，连接EF，过点A作AG⊥于EF于点G，则：EF=BE+DF，AG=AD. 图示（1）作法：将△ABE绕点A逆时针旋转90° （2）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CB，DC的延长线上，∠EAF=45°，连接EF，则：EF=DF-BE. 图示（2）作法：将△ABE绕点A逆时针旋转90° （3）如图，将正方形变成一组邻边相等，对角互补的四边形，在四方形ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠ C=180°，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=1 2 ∠BAD，连接EF，则：EF=BE+DF. 图示（3）作法：将△ABE绕点A逆时针旋转∠BAD的大小 中考数学几何模型5：角含半角模型st ●模型1：截长补短模型●模型2：共顶点模型●模型3：对角互补模型●模型:4：中点模型●模型5：角含半角模型 ●模型6：弦图模型 ●模型7：轴对称最值模型 ●模型8：费马点最值模型 ●模型9：隐圆模型 ●模型10：胡不归最值模型 ●模型11：阿氏圆最值模型 ●模型12：主从联动模型 名师点睛拨开云雾开门见山角含半角模型，顾名思义即一个角包含着它的一半大小的角。它主要包含：等腰直角三角形角含半角模型；正方形中角含半角模型两种类型。解决类似问题的常见办法主要有两种：旋转目标三角形法和翻折目标三角形法。 类型一：等腰直角三角形角含半角模型 （1）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D，E在BC上，且∠DAE=45°，则：BD2+CE2=DE2. 图示（1）作法1：将△ABD旋转90°作法2：分别翻折△ABD,△ACE （2）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D在BC上，点E在BC延长线上，且∠DAE=45°，则：BD2+CE2=DE2. 图示（2） （3）如图，将等腰直角三角形变成任意等腰三角形时，亦可以进行两种方法的操作处理.. 任意等腰三角形 类型二：正方形中角含半角模型 （1）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，连接EF，过点A作AG⊥于EF于点G，则：EF=BE+DF，AG=AD. 图示（1）作法：将△ABE绕点A逆时针旋转90° （2）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CB，DC的延长线上，∠EAF=45°，连接EF，则：EF=DF-BE. 图示（2）作法：将△ABE绕点A逆时针旋转90° （3）如图，将正方形变成一组邻边相等，对角互补的四边形，在四方形ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠ C=180°，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=1 2 ∠BAD，连接EF，则：EF=BE+DF. 图示（3）作法：将△ABE绕点A逆时针旋转∠BAD的大小 几何图形之半角模型 主题半角模型 教学内容 教学目标 1.掌握正方形的定义，弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系。 2.掌握正方形的性质定理1和性质定理2。 3.正确运用正方形的性质解题。 4.通过四边形的从属关系渗透集合思想。 5.通过理解四种四边形内在联系，培养学生辩证观点。 知识结构 正方形的性质 因为正方形是特殊的平行四边形，还是特殊的矩形，特殊的菱形， 所以它具有这些图形性质的综合，因此正方形有以下性质（由学生和老师一起总结）。 正方形性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边相等。 正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。 说明：定理2包括了平行四边形，矩形，菱形对角线的性质，一个题设同时有四个结论，这是该定理的特点，在应用时需要哪个结论就用哪个结论，并非把结论写全。 小结： （1）正方形与矩形，菱形，平行四边形的关系如上图 （2）正方形的性质： ①正方形对边平行。 ②正方形四边相等。 ③正方形四个角都是直角。 ④正方形对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。 典型例题精讲 例1．如图，折叠正方形纸片ABCD ，先折出折痕BD ，再折叠使AD 边与对角线BD 重合，得折痕DG ，使2AD =，求AG ． 【解析】：作GM ⊥BD ，垂足为M ． 由题意可知∠ADG=GDM ， 则△ADG ≌△MDG ． ∴DM=DA=2． AC=GM 又易知：GM=BM ． 而BM=BD-DM=2 2-2=2（2-1）， ∴AG=BM=2（2-1）． 例2 ．如图，P 为正方形ABCD 内一点，10PA PB ==，并且P 点到CD 边的距离也等于10，求正方形ABCD 的面积 【解析】：过P 作EF AB ⊥于F 交DC 于E ． 设PF x =，则10EF x =+，1 (10)2 BF x =+． 由2 22PB PF BF =+． 可得：2 221 10 (10)4 x x =++． 故6x =． 2 16256ABCD S ==． 例3. 如图，E 、F 分别为正方形ABCD 的边BC 、CD 上的一点，AM EF ⊥， ?垂足为M ，AM AB =，则有EF BE DF =+，为什么 【解析】：要说明EF=BE+DF ，只需说明BE=EM ，DF=FM 即可，而连结AE 、AF ．只要能说明△ABE ≌△AME ，△ADF ≌△AMF 即可． 理由：连结AE 、AF ． 由AB=AM ，AB ⊥BC ，AM ⊥EF ，AE 公用， ∴△ABE ≌△AME ． ∴BE=ME ． 同理可得，△ADF ≌△AMF ． ∴DF=MF ． ∴EF=ME+MF=BE+DF ． D C B A M N 图2A M B D C N 1图B A C D M N 第九章 半角模型 模型1 倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形 已知如图： ② ∠2=12∠AOB ； ②OA=OB 。 连接F ′B ，将△FOB 绕点O 旋转 至△FOA 的位置，连接F ′E 、FE ， 可得△OEF ′≌△OEF 。 模型分析 （1）半角模型的命名：存在两个角度是一半关系，并且这两个角共顶点； （2）通过先旋转全等再轴对称全等，一般结论是证明线段和差关系； （3）常见的半角模型是90°含45°，120°含60°。 模型实例 例1．如图，已知正方形ABCD 中，∠MAN=45°，它的两边分别交线段CB 、DC 于点M 、N 。 （1）求证：BM+DN=MN ； （2）作AH ⊥MN 于点H ，求证：AH=AB 。 例2．在等边△ABC 的两边AB 、AC 上分别有两点M 、N ，D 为△ABC 外一点， 且∠MDN=60°，∠BDC=60°，BD=DC 。探究：当M 、N 分别在线段AB 、AC 上移动时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系。 （1）如图①，当DM=DN 时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系是 ； （2）如图②，当DM ≠DN 时，猜想（1）问的结论还成立吗？写出你的猜想 并加以证明。 例3．如图，在四边形ABCD 中，∠B+∠ADC=180°，E 、F 分别是BC 、CD 延长 A F E B C D A B C D M N 2图A D B E C 图1D C E B A 线上的点，且∠EAF=12∠BAD 。求证：EF=BE-FD 。 热搜精练 1．如图，正方形ABCD ，M 在CB 延长线上，N 在DC 延长线，∠MAN=45°。 求证：MN=DN-BM 。 2．已知，如图①，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，点D 、E 分别为线段 BC 上两动点，若∠DAE=45°。探究线段BD 、DE 、EC 三条线段之间的数量 关系。小明的思路是：把△AEC 绕点A 顺时针旋转90°，得到△ABE ′，连接E ′D ，使问题得劲解决。请你参考小明的思路探究并解决以下问题： （1）猜想BD 、DE 、EC 三条线段之间的数量关系式，并对你的猜想给予证明； （2）当动点E 在线段BC 上，动点D 运动到线段CB 的延长线上时，如图②， 其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明。 3．已知，在等边△ABC 中，点O 是边AC 、BC 的垂直平分线的交点，M 、N 分别在直线AC 、BC 上，且∠MON=60°。 （1）如图①，当CM=CN 时，M 、N 分别在边AC 、BC 上时，请写出AM 、CN 、MN倍半角模型知识精讲
2018年初中数学突破中考压轴题几何模型之正方形的半角模型教案
半角模型题
第5讲角含半角模型(解析版)
第5讲角含半角模型(原卷版) 2020年中考数学几何模型能力提升篇(全国通用)
人教版中考数学压轴题解题模型----几何图形之半角模型(含解析)
9第九章 半角模型 初中几何专题提高讲义