倒立摆控制系统的设计

倒立摆控制系统的设计

自动控制理论课程设计倒立摆系统的控制器设计

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二O一三课程设计指导教师评定成绩表：

指导教师评定成绩：

指导教师签名：年月日重庆大学本科学生课程设计任务书

目录

一、倒立摆控制系统概述 (2)

二、数学模型的建立 (3)

三、系统开环响应分析 (5)

四、根轨迹法控制器设计 (6)

4.1根轨迹分析 (6)

4.2系统根轨迹设计 (7)

4.3校正后系统性能分析 (9)

4.4系统控制器的调整 (9)

五、频域法控制器设计 (11)

5.1频域法分析 (11)

5.2串联校正器的选择与设计 (11)

5.3系统的仿真 (14)

六、PID控制器设计 (15)

七、总结及心得体会 (17)

八、参考教材 (17)

一、倒立摆控制系统概述

倒立摆装置被公认为自动控制理论中的典型实验设备，也是控制理论教学和科研中控对象，运用控制手段可使之具有良好的稳定性。通过对倒立摆系统的研究，不仅可以解决控制中的理论问题，还能将控制理论所涉及的三个基础学科：力学、数学和电学（含计算机）有机的结合起来，在倒立摆系统中进行综合应用。在多种控制理论与方法的研究和应用中，特别是在工程实践中，也存在一种可行性的试验问题，将其理论和方法得到有效的经验，倒立摆为此提供一个从控制理论通往实践的桥梁。

在稳定性控制问题上，倒立摆既具有普遍性又具有典型性。倒立摆系统作为一个控制装置，结构简单、价格低廉，便于模拟和数字实现多种不同的控制方法，作为一个被控对象，它是一个高阶次、不稳定、多变量、非线性、强耦合的快速系统，只有采用行之有效的控制策略，才能使其稳定。倒立摆系统可以用多种理论和方法来实现其稳定控制，如PID、自适应、状态反馈、智能控制、模糊控制及人工神经元网络等多种理论和方法，都能在倒立摆系统控制上得到实现，而且当一种新的控制理论和方法提出以后，在不能用理论加以严格证明时，可以考虑通过倒立摆装置来验证其正确性和实用性。

倒立摆的种类：悬挂式、直线、环形、平面倒立摆等。一级、二级、三级、四级乃至多级倒立摆。

倒立摆控制系统的组成：倒立摆系统由倒立摆本体，电控箱以及控制平台（包括运动控制卡和PC机）三大部分组成。

本次课程设计利用单级倒立摆，主要设计PC机内控制函数，减小超调量和调节时间！

二、数学模型的建立

系统建模可以分为两种：机理建模和实验建模。对于倒立摆系统，由于其本身是自不稳定的系统，实验建模存在一定的困难。机理建模就是在了解研究对象的运动规律基础上，通过物理、化学等学科的知识和数学手段建立起系统内部变量、输入变量以及输出变量之间的数学关系。

图 1 直线一级倒立摆系统

?M 小车质量1.096 Kg

?m 摆杆质量0.109 Kg

? b 小车摩擦系数0.1N/m/sec

?l 摆杆转动轴心到质心长度0.25m

?I 摆杆惯量0.0034 kg·m2

? F 加在小车上的力

?x 小车位置

?φ摆杆与垂直向上方向的夹角

?θ摆杆与垂直向下方向的夹角

图2小车及摆杆受力分析---------- N 和P 为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量小车水平方向的合力： –

摆杆水平方向的合力：

摆杆水平方向的运动方程：

摆杆力矩平衡方程：

摆杆垂直方向的合力：

摆杆垂直方向的运动方程：

用u 来代表被控对象的输入力F，线性化后，两个运动方程如下(其中 )：

如果令进行拉普拉斯变换，得到摆杆角度和小车加速度之间的传递函数：

把实际参数带入可得系统的实际模型为：

三、系统开环响应分析

我们已经得到系统的实际模型，下面对其进行单位阶跃响应分析，在MATLAB 中输入以下程序：

M = 0.5;

m = 0.2;

b = 0.1;

I= 0.006;

g = 9.8;

l = 0.3;

q = (M+m )*( I+m*l^2)-(m*l)^2;

num = [m*l/q 0 0];

den = [1 b*(I+m*l^2)/q -(M+m)*m*g*l/q -b*m*g*l/q 0];

t = 0 : 0.05 : 5;

impulse( num , den , t );

axis ( [ 0 1 0 60 ]);

可以得到小车位置与加速度实际模型的单位阶跃响应如图3：

图 3 系统的单位阶跃响应曲线

由图可知，在进行校正之前，小车的单位阶跃响应是发散的，倒立摆系统不稳定！

四、根轨迹法控制器设计

4.1 根轨迹分析

上面已经得到系统被控对象的传递函数：

在MATLAB中输入以下程序：

clear all;

clc;

num =[0.02725 ];

den =[0.0102125 0 -0.26705];

rlocus (num,den)；

运行程序后便得到控制系统开环传递函数的根轨迹图。由图4我们知道系统有两个开环极点：

可以看出一个极点位于右半平面，并且有一条根轨迹起始于该极点，并沿着实轴

向左跑到位于原点的零点处，这意味着无论增益如何变化，这条根轨迹总是位于

右半平面，即系统总是不稳定的。

4.2 系统根轨迹设计

开环传递函数为：

根轨迹设计的要求为：

最大超调亮：

调整时间：(2%误差带)

1）根据要求的性能指标，计算出校正后闭环主导极点的坐标。

由,计算出考虑到非主导极点和闭环零点的影响，设计时的取值应留有余量。取，。，再由

图 4 系统根轨迹图

得。

期望闭环主导极点,为校正的开环传递函数

。

2）画出未校正系统的根轨迹图及标明

观察发现为校正系统的根轨迹并不经过期望的闭环主导极点，如果想要校正后的根轨迹经过该点，需要增加校正网络。

3）计算超前校正网络应提供的超前相角。

。。。。

4）计算角、和：

。

故校正网络的传递函数为：

该校正网络使校正后的开环传递函数满足了希望极点是根轨迹上的点的相角条件。

5）为了使校正后的传递函数满足幅值条件，应当串入一个，开环传递函数为：

由幅值条件即可求得。在MATLAB里面键入以下程序：

s=-9+7.22*i

f1=abs(s+5.246)

f2=abs(s+24.54)

f3=abs(0.0102125*s^2-0.26705)

solve('k*f1*0.02725/(f2*f3)=1')；

解得

6）于是系统的校正网络传递函数为：

4.3 校正后系统性能分析

在Simulink中进行系统仿真，得到校正后系统单位阶跃响应为：

图 5校正后系统的单位阶跃响应

计算超调量：满足要求

计算调节时间：不满足要求

计算结果表明，校正后系统的超调亮满足要求，但是调节时间不满足要求，并且稳态误差过大。

4.4 系统控制器的调整

调整至220，进行仿真，得到系统单位阶跃响应如图6 所示：

图6调整增益后的系统单位阶跃响应同时进行零极点调整，最后得出满足条件的零极点及增益为：

满足条件的控制器单位阶跃响应为：

图 6满足条件的单位阶跃响应

超调量：满足要求

调节时间：0.28s 满足要求

稳态误差：17%

以上结果均满足设计要求。

五、频域法控制器设计

5.1 频域法分析

一级倒立摆实际模型的开环传递函数为：

在MATLAB中输入以下程序：

clear all;

clc;

num = [0.02725];

den =[0.0102125 0 -0.26705];

G = tf(num,den);

figure;

margin(G);

grid on;

得到校正前系统的bode图为：

图7 未校正系统的bode图

由图可以看出，系统的bode图不经过0dB线，系统不稳定，需要增加串联校正环节。

5.2 串联校正器的选择与设计

系统开环传递函数：