中考数学反比例函数-经典压轴题

一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，已知一次函数y= x+b的图象与反比例函数y= （x＜0）的图象交于点A（﹣1，2）和点B，点C在y轴上．

（1）当△ABC的周长最小时，求点C的坐标；

（2）当 x+b＜时，请直接写出x的取值范围．

【答案】（1）解：作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于点C，此时点C即是所求，如图所示．

∵反比例函数y= （x＜0）的图象过点A（﹣1，2），

∴k=﹣1×2=﹣2，

∴反比例函数解析式为y=﹣（x＜0）；

∵一次函数y= x+b的图象过点A（﹣1，2），

∴2=﹣ +b，解得：b= ，

∴一次函数解析式为y= x+ ．

联立一次函数解析式与反比例函数解析式成方程组：，

解得：，或，

∴点A的坐标为（﹣1，2）、点B的坐标为（﹣4，）．

∵点A′与点A关于y轴对称，

∴点A′的坐标为（1，2），

设直线A′B的解析式为y=mx+n，

则有，解得：，

∴直线A′B的解析式为y= x+ ．

令y= x+ 中x=0，则y= ，

∴点C的坐标为（0，）

（2）解：观察函数图象，发现：

当x＜﹣4或﹣1＜x＜0时，一次函数图象在反比例函数图象下方，

∴当 x+ ＜﹣时，x的取值范围为x＜﹣4或﹣1＜x＜0

【解析】【分析】（1）作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于点C，此时点C即是所求．由点A为一次函数与反比例函数的交点，利用待定系数法和反比例函数图象点的坐标特征即可求出一次函数与反比例函数解析式，联立两函数解析式成方程组，解方程组即可求出点A、B的坐标，再根据点A′与点A关于y轴对称，求出点A′的坐标，设出直线A′B的解析式为y=mx+n，结合点的坐标利用待定系数法即可求出直线A′B的解析式，令直线A′B解析式中x为0，求出y的值，即可得出结论；（2）根据两函数图象的上下关系结合点A、B的坐标，即可得出不等式的解集．

2．如图，反比例函数y= 的图象与一次函数y=kx+b的图象交于A、B两点，点A的坐标为（2，3n），点B的坐标为（5n+2，1）．

（1）求反比例函数与一次函数的表达式；

（2）将一次函数y=kx+b的图象沿y轴向下平移a个单位，使平移后的图象与反比例函数y= 的图象有且只有一个交点，求a的值；

（3）点E为y轴上一个动点，若S△AEB=5，则点E的坐标为________．

【答案】（1）解：∵A、B在反比例函数的图象上，

∴2×3n=（5n+2）×1=m，

∴n=2，m=12，

∴A（2，6），B（12，1），

∵一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点，

∴，

解得，

∴反比例函数与一次函数的表达式分别为y= ，y=﹣ x+7．

（2）解：设平移后的一次函数的解析式为y=﹣ x+7﹣a，

由，消去y得到x2+（2a﹣14）x+24=0，

由题意，△=0，（21a﹣14）2﹣4×24=0，

解得a=7±2 ．

（3）（0，6）或（0，8）

【解析】【解答】（3）设直线AB交y轴于K，则K（0，7），设E（0，m），

由题意，PE=|m﹣7|．

∵S△AEB=S△BEP﹣S△AEP=5，

∴ ×|m﹣7|×（12﹣2）=5．

∴|m﹣7|=1．

∴m1=6，m2=8．

∴点E的坐标为（0，6）或（0，8）．

故答案为（0，6）或（0，8）．

【分析】（1）由A、B在反比例函数的图象上，得到n，m的值和A、B的坐标，用待定系数法求出反比例函数与一次函数的表达式；（2）由将一次函数y=kx+b的图象沿y轴向下平移a个单位，得到平移后的一次函数的解析式，由平移后的图象与反比例函数的图象有且只有一个交点，得到方程组求出a的值；（3）由点E为y轴上一个动点和S△AEB=5，

求出点E的坐标.

3．在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为梦之点，例如，点（1，1），（﹣ 2，﹣ 2），（，），…，都是梦之点，显然梦之点有无数个．

（1）若点P（2，b）是反比例函数 (n为常数，n≠0)的图象上的梦之点，求这个反比例函数解析式；

（2）⊙O的半径是，

①求出⊙O上的所有梦之点的坐标；

②已知点M（m，3），点Q是（1）中反比例函数图象上异于点P的梦之点，过点Q的直线l与y轴交于点A，∠OAQ＝45°．若在⊙O上存在一点N，使得直线MN∥l或MN⊥l，求出m的取值范围．

【答案】（1）解：∵P（2，b）是梦之点，∴b=2

∴P（2，2）

将P（2，2）代入中得n=4

∴反比例函数解析式是

（2）解：①设⊙O上梦之点坐标是（，）∴∴

=1或 =-1

∴⊙O上所有梦之点坐标是（1，1）或（-1，-1）

②由（1）知，异于点P的梦之点Q的坐标为（-2，-2）

由已知MN∥l或MN⊥l

∴直线MN为y=-x+b或y=x+b

当MN为y=-x+b时，m=b-3

由图可知，当直线MN平移至与⊙O相切时，

且切点在第四象限时，b取得最小值，

此时MN记为，

其中为切点，为直线与y轴的交点

∵△O 为等要直角三角形，

∴O =

∴O =2

∴b的最小值是-2，

∴m的最小值是-5

当直线MN平移至与⊙O相切时，且切点在第二象限时，

b取得最大值，此时MN记为，

其中为切点，为直线与y轴的交点。

同理可得，b的最大值为2，m的最大值为-1．

∴m的取值范围为-5≤m≤-1．

当直线MN为y=x+b时，

同理可得，m的取值范围为1≤m≤5，

综上所述，m的取值范围为-5≤m≤-1或1≤m≤5

【解析】【分析】（1）由“ 梦之点”的定义可得出b的值，就可得出点P的坐标，再将点P的坐标代入函数解析式，求出n的值，即可得出反比例函数的解析式。

（2）①设⊙O上梦之点坐标是（a，a ）根据已知圆的半径，利用勾股定理建立关于a的方程，求出方程的解，就可得出⊙O上的所有梦之点的坐标；② 由（1）知，异于点P 的梦之点Q的坐标为（-2，-2），由已知直线MN∥l或MN⊥l，就可得出直线MN的解析式为y=-x+b或y=x+b。分两种情况讨论：当MN为y=-x+b时，m=b-3，当直线MN平移至与⊙O相切时，且切点在第四象限时，b取得最小值，当直线MN平移至与⊙O相切时，且切点在第二象限时，b的最大值为2，m的最大值为-1，就可得出m的取值范围，当直线MN为y=x+b时，同理可得出m的取值范围。

4．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在x轴负半轴上，顶点在轴正半轴上，顶点B在第一象限，线段，的长是一元二次方程的两根，，．

（1）直接写出点的坐标________点 C的坐标________；

（2）若反比例函数的图象经过点，求k的值；

（3）如图过点作轴于点；在轴上是否存在点，使以，，为顶点的三角形与以，，为顶点的三角形相似?若存在，直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；

（2）解：如图，过点作，垂足为，

∵，

∴，

设，

∵ =12，

∴EC=12-x，

在RtΔBEC中，，

∴

整理得：，

解得：（不合题意舍去），，∴，，

∴，

把代入，得

（3）解：存在．

如图2，

若点P在OD上，若△PDB∽△AOP，

则，即，

解得：OP=2或OP=6，

∴P（0，2）或P（0，6）；

如图3，

若点P在OD上方，△PDB∽△AOP，

则，即，

解得：OP=12，

∴P（0，12）；

如图4，

若点P在OD上方，△BDP∽△AOP，

则，即，

解得：OP=4+2 或OP=4-2 （不合题意舍去），

∴P（0，4+2 ）；

如图5，

若点P在y轴负半轴，△PDB∽△AOP，

则，即，

解得：OP=-4+2 或-4-2 （不合题意舍去），

则P点坐标为（0，4-2 ）

故点的坐标为：或或或或

【解析】【解答】解：（1）解一元二次方程，

解得：，

所以，

所以，；

【分析】（1）首先利用直接开平方法求出方程的两根，从而得出

OA=OC=6，进而得出A,C两点的坐标；

（2）如图，过点作，垂足为，根据等腰直角三角形的性质得出，设，EC=12-x，在RtΔBEC中利用勾股定理建立方程，求解并检验即可得出BE,OE 的长从而得出B点的坐标，然后利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式；

（3）存在．如图2，若点P在OD上，若△PDB∽△AOP，根据相似三角形对应边成比例得出，根据比例式列出方程，求解即可得出P点的坐标；如图3，若点P在

OD上方，△PDB∽△AOP，根据相似三角形对应边成比例得出则根据比例式列出方程，求解并检验即可得出P点的坐标；如图4，若点P在OD上方，△PDB∽△AOP，根

据相似三角形对应边成比例得出，根据比例式列出方程，求解并检验即可得出P 点的坐标；如图5，若点P在y轴负半轴，△PDB∽△AOP，根据相似三角形对应边成比

例得出，根据比例式列出方程，求解并检验即可得出P点的坐标，综上所述即可得出答案。

5．【阅读理解】对于任意正实数a、b，因为≥0，所以≥0，所以≥2 ，只有当时，等号成立．

【获得结论】在≥2 （a、b均为正实数）中，若为定值，则≥2 ，只有当时，有最小值2 ．

（1）根据上述内容，回答下列问题：若 >0，只有当 =________时，有最小值________．

（2）【探索应用】如图，已知A（－3，0），B（0，－4），P为双曲线（＞0）上的任意一点，过点P作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D．求四边形ABCD面积的最小值，并说明此时四边形ABCD的形状．

【答案】（1）1；2

（2）解：设P（x，），则C（x，0），D（0，），∴CA=x+3，BD= +4，∴S四边形

= CA×BD= （x+3）（ +4），化简得：S=2（x+ ）+12．∵x＞0，＞0，∴x+ ≥2 ABCD

=6，只有当x= ，即x=3时，等号成立，∴S≥2×6+12=24，∴四边形ABCD的面积有最小值24，此时，P（3，4），C（3，0），D（0，4），AB=BC=CD=DA=5，∴四边形ABCD是菱形．

【解析】【解答】解：（1）根据题目所给信息可知m+ ≥2 ，且当m= 时等号，∴当m=1时，m+ ≥2，即当m=1时，m+ 有最小值2．故答案为：1，2；

【分析】（1）此题是一道阅读题，根据题中所给的信息可知：，只有当m=时等号成立，一个正数只有1和它的倒数相等，从而得出答案；

（2）根据双曲线上点的坐标特点设出P点的坐标，根据垂直于坐标轴上的点的坐标特点表示出C,D两点的坐标，从而表示出AC,BD的长，根据对角线互相垂直的四边形的面积等于两对角线积的一半建立出S与x的函数关系式，根据题干提供的信息得出得出

,只有在，即x=3时，等号成立，从而得出S的最小值，从而得出P,C,D三点的坐标，进而算出AB=BC=CD=DA=5，根据四边相等的四边形是菱形得出结论。

6．你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长度y（m）是面条的粗细（横截面积）s（mm2）的反比例函数，其图象如图．

（1）写出y与s的函数关系式；

（2）求当面条粗3.2mm2时，面条的总长度是多少m？

【答案】（1）解：设y与x的函数关系式为y= ，

将x=4，y=32代入上式，

解得：k=4×32=128，

故y= ．

答：y与x的函数关系式y=

（2）解：当x=3.2时，y= =40．

答：当面条粗3.2mm2时，面条的总长度是40米

【解析】【分析】（1）根据图象可设出关系式，再把一个点的坐标代入可求出关系式；（2）把x=3.2代入关系式可求出y的值，即得答案.

7．已知一次函数y1=x+m的图象与反比例函数y2= 的图象交于A、B两点，已知当x＞1时，y1＞y2；当0＜x＜1时，y1＜y2．

（1）求一次函数的函数表达式；

（2）已知反比例函数在第一象限的图象上有一点C到x轴的距离为2，求△ABC的面

积．

【答案】（1）解：∵当x＞1时，y1＞y2；当0＜x＜1时，y1＜y2，∴点A的横坐标为1，

代入反比例函数解析式，=y，

解得y=6，

∴点A的坐标为（1，6），

又∵点A在一次函数图象上，

∴1+m=6，

解得m=5，

∴一次函数的解析式为y1=x+5

（2）解：∵第一象限内点C到x轴的距离为2，∴点C的纵坐标为2，

∴2= ，解得x=3，

∴点C的坐标为（3，2），

过点C作CD∥x轴交直线AB于D，

则点D的纵坐标为2，

∴x+5=2，

解得x=﹣3，

∴点D的坐标为（﹣3，2），

∴CD=3﹣（﹣3）=3+3=6，

点A到CD的距离为6﹣2=4，

联立，

解得（舍去），，

∴点B的坐标为（﹣6，﹣1），

∴点B到CD的距离为2﹣（﹣1）=2+1=3，

S△ABC=S△ACD+S△BCD= ×6×4+ ×6×3=12+9=21．

【解析】【分析】（1）首先根据x＞1时，y1＞y2，0＜x＜1时，y1＜y2确定点A的横坐标，然后代入反比例函数解析式求出点A的纵坐标，从而得到点A的坐标，再利用待定系数法求直线解析式解答；（2）根据点C到x轴的距离判断出点C的纵坐标，代入反比例函数解析式求出横坐标，从而得到点C的坐标，过点C作CD∥x轴交直线AB于D，求出点D 的坐标，然后得到CD的长度，再联立一次函数与双曲线解析式求出点B的坐标，然后△ABC的面积=△ACD的面积+△BCD的面积，列式进行计算即可得解．

8．如图，在平面直角坐标系中，OA⊥OB，AB⊥x轴于点C，点A（，1）在反比例函数y= 的图象上．

（1）求反比例函数y= 的表达式；

（2）在x轴的负半轴上存在一点P，使得S△AOP= S△AOB，求点P的坐标；

（3）若将△BOA绕点B按逆时针方向旋转60°得到△BDE．直接写出点E的坐标，并判断点E是否在该反比例函数的图象上．

【答案】（1）解：∵点A（，1）在反比例函数y= 的图象上，

∴k= ×1= ，

∴反比例函数表达式为y= .

（2）解：∵A（，1），AB⊥x轴于点C，

∴OC= ，AC=1，

∵OA⊥OB，OC⊥AB，

∴∠A=∠COB，

∴tan∠A= =tan∠COB= ，

∴OC2=AC?BC，即BC=3，

∴AB=4，

∴S△AOB= × ×4=2 ，

∴S△AOP= S△AOB= ，

设点P的坐标为（m，0），

∴ ×|m|×1= ，解得|m|=2 ，

∵P是x轴的负半轴上的点，

∴m=﹣2 ，

∴点P的坐标为（﹣2 ，0）

（3）解：由（2）可知tan∠COB= = = ，

∴∠COB=60°，

∴∠ABO=30°，

∵将△BOA绕点B按逆时针方向旋转60°得到△BDE，

∴∠OBD=60°，

∴∠ABD=90°，

∴BD∥x轴，

在Rt△AOB中，AB=4，∠ABO=30°，

∴AO=DE=2，OB=DB=2 ，且BC=3，OC= ，

∴OD=DB﹣OC= ，BC﹣DE=1，

∴E（﹣，﹣1），

∵﹣ ×（﹣1）= ，

∴点E在该反比例函数图象上

【解析】【分析】（1）由点A的坐标，利用待定系数法可求得反比例函数表达式；（2）由条件可求得∠A=∠COB，利用三角函数的定义可得到OC2=AC?BC，可求得BC的长，可求得△AOB的面积，设P点坐标为（m，0），由题意可得到关于m的方程，可求得m的值；（3）由条件可求得∠ABD=90°，则BD∥x轴，由BD、DE的长，可求得E点坐标，代入反比例函数解析式进行判断即可．

9．如图，已知直线l：y=kx+b（k＜0，b＞0，且k、b为常数）与y轴、x轴分别交于A 点、B点，双曲线C：y= （x＞0）．

（1）当k=﹣1，b=2 时，求直线l与双曲线C公共点的坐标；

（2）当b=2 时，求证：不论k为任何小于零的实数，直线l与双曲线C只有一个公共点（设为P），并求公共点P的坐标（用k的式子表示）．

（3）①在（2）的条件下，试猜想线段PA、PB是否相等．若相等，请加以证明；若不相等，请说明理由；

②若直线l与双曲线C相交于两点P1、P2，猜想并证明P1A与P2B之间的数量关系．【答案】（1）解：联立l与C得，

①﹣②，得﹣x+2 ﹣ =0

化简，得x2﹣2 x+3=0

解得x1=x2= ，y1=y2= ，

直线l与双曲线C公共点的坐标为（，）

（2）解：证明：联立l与C得，

①﹣②，得

kx+2 ﹣ =0，

化简，得

kx2+2 x﹣3=0，

a=k，b=2 ，c=﹣3，

△=b2﹣4ac=（2 ）2﹣4k×（﹣3）=12k﹣12k=0，

∴kx2+2 x﹣3=0只有相等两实根，即不论k为任何小于零的实数，直线l与双曲线C只有一个公共点；

x=﹣，y= ，

即P（﹣，）

（3）解：①PA=PB，理由如下：

y=kx+b当x=0时，y=b，即A（0，b）；

当y=0时，x=﹣，即B（﹣，0），

P（﹣，），

PA= ，

PB= ，

∴PA=PB．

②P1A=P2B，理由如下：

y=kx+b当x=0时，y=b，即A（0，b）；

当y=0时，x=﹣，即B（﹣，0），

联立l与C得，

①﹣②，得

kx+b﹣ =0，

化简，得

kx2+bx﹣3=0，

解得P1（，）P2（，）

P1A2=（）2+（）2，P2B2=（）2+

（）2，

∴P1A2=P2B2，

∴P1A=P2B

【解析】【分析】（1）根据联立函数解析式，可得方程组，根据代入消元法，可得方程组的解，可得交点的坐标；（2）根据联立函数解析式，可得方程组，根据代入消元法，可的一元二次方程，根据判别式，可得答案；（3）①根据函数与自变量的关系，可得A、B点坐标，根据两点间距离公式，可得答案；②根据函数与自变量的关系，可得A、B点坐标，根据联立函数解析式，可得方程组，根据代入消元法，可得方程组的解，可得交点的坐标，根据两点间距离公式，可得答案．

10．如图，在平面直角坐标系中，点A（－5，0），以OA为半径作半圆，点C是第一象限内圆周上一动点，连结AC、BC，并延长BC至点D，使CD＝BC，过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线AC于点E、F，点E为垂足，连结OF.

（1）当∠BAC＝30o时，求△ABC的面积；

（2）当DE＝8时，求线段EF的长；

（3）在点C运动过程中，是否存在以点E、O、F为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）解：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=30°，

∴BC= AB=5，

∴AC= ，

∴S△ABC= AC?BC=

（2）解：连接AD，

∵∠ACB=90°，CD=BC，

∴AD=AB=10，

∵DE⊥AB，

∴AE= =6，

∴BE=AB?AE=4，

∴DE=2BE，

∵∠AFE+∠FAE=90°，∠DBE+∠FAE=90°，

∴∠AFE=∠DBE，

∵∠AEF=∠DEB=90°，

∴△AEF∽△DEB，

∴ =2，

∴EF= AE= ×6=3

（3）解：连接EC，设E(x，0)，

当的度数为60°时，点E恰好与原点O重合；

①0°< 的度数<60°时，点E在O、B之间，∠EOF>∠BAC=∠D，

又∵∠OEF=∠ACB=90°，由相似知∠EOF=∠EBD，此时有△EOF∽△EBD，

∴，

∵EC是Rt△BDE斜边的中线，

∴CE=CB，

∴∠CEB=∠CBE，

∴∠EOF=∠CEB，

∴OF∥CE，

∴△AOF∽△AEC

∴，

∴，即，

解得x= ，因为x>0，

∴x= ；

②60°< 的度数<90°时，点E在O点的左侧，

若∠EOF=∠B，则OF∥BD，

∴OF= BC= BD，

∴即解得x= ，

若∠EOF=∠BAC，则x=? ，

综上点E的坐标为( ，0) ；（，0）；（?，0）.

【解析】【分析】（1）根据圆周角定理求得∠ACB=90°，根据30°的直角三角形的性质求得BC，进而根据勾股定理求得AC，然后根据三角形面积公式即可求得；（2）连接AD，由垂直平分线的性质得AD=AB=10，又DE=8，在Rt△ODE中，由勾股定理求AE，依题意证明△AEF∽△DEB，利用相似比求EF；（3）当以点E、O、F为顶点的三角形与△ABC相似时，分为两种情况：①当交点E在O，B之间时；②当点E在O点的左侧时；分别求E点坐标.

11．已知抛物线与轴的两个交点间的距离为2．

（1）若此抛物线的对称轴为直线，请判断点（3,3）是否在此抛物线上？

（2）若此抛物线的顶点为（S，t），请证明；

（3）当时，求的取值范围

【答案】（1）解：抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴的两个交点间的距离为2，可得抛物线与轴的两个交点为（0，0）和（2，0），

所以抛物线的解析式为与

当时，

所以点（3,3）在此抛物线上 .

（2）解：抛物线的顶点为，则对称轴为直线，且抛物线与轴的两个交点间的距离为2，

可得抛物线与轴的两个交点为（，，0）和（，0）

所以抛物线的解析式为与

由得

所以；

（3）解：由（2）知即整理得

由对称轴为直线，且二次项系数

可知当时，b的随a的增大而增大

当a=10时，得

当a=20时，得

所以当时，

【解析】【分析】（1）根据已知条件得出两个交点坐标，利用待定系数法求出解析式，然后验证点（3,3）是否在这条抛物线上即可；（2）先确定对称轴为直线，再得出与x 轴的两交点坐标为（，0）和（，0），再利用待定系数法求出解析式的顶点

式可得解；（3）把t=-1代入顶点坐标公式，得到二次函数解析式，根据函数的增减性分别计算a=10和20时b的值从而得解.

12．已知函数

（1）判断该函数的图象与轴的交点个数．

（2）若，求出函数值在时的取值范围．

（3）若方程在内有且只有一个解，直接写出的范围．

【答案】（1）解：△，

当时，图象与轴只有一个交点，当时，图象与轴有两个交点

（2）解：时，，

当时，函数有最小值，

当时，，

故：

（3）解：若方程在内有且只有一个解，

即为和函数只有一个交点，

函数，与轴的交点为：，函数的顶点坐标为：，故在时，

和函数只有一个交点时，或

【解析】【分析】（1）△，即可求解；（2）时，，当时，函数有最小值，当时，，即可求解；（3）若方程在

内有且只有一个解，即为和函数只有一个交点，即可求解

13．如图1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A开始以1cm/s的速度沿AB 边向点B运动，点Q从点B以2cm/s的速度沿BC边向点C运动，如果P、Q同时出发，设运动时间为ts，

（1）当t=2时，求△PBQ的面积；

（2）当t= 时，试说明△DPQ是直角三角形；

（3）当运动3s时，P点停止运动，Q点以原速立即向B点返回，在返回的过程中，DP是否能平分∠ADQ？若能，求出点Q运动的时间；若不能，请说明理由.

【答案】（1）解：当t=2时，AP=t=2，BQ=2t=4，

∴BP=AB-AP=4，