2021届江西省丰城中学、高安二中等六校高三1月联考数学(理)试题

丰城中学、高安二中、上高二中、樟树中学、新余一中、

宜春中学

2021届六校联考理科数学试卷

命题人：上高二中 审题人：上高二中 2021年元2日 本试卷总分值为150分 考试时长120分钟 考试范围：高考范围

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1．若复数1z i i ?=-+，则复数z 的虚部为（ ） A ．－1

B ．1

C ．－i

D ．i

2．已知集合{|270}A x N x =∈-<，2{|340}B x x x =--≤，则A B =（ ）

A ．{}1,2,3

B ．{}0,1,2,3

C ．7

|2x x ??≤

????

D ．7|02x x ??<≤

????

3．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式．宋代称为撮尖，清代称攒尖．依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑．如图所示，某园林建筑为六角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥，若此正六棱锥的侧面等腰三角形的底角为α，则侧棱与底面外接圆半径的比为（ ）

A ．1

2cos α

B ．12sin α

C ．sin 3πsin

8α

D ．cos 3πcos

8

α

4．已知点P 是抛物线28y x =上的一个动点，则点P 到点(0,2)A 的距离与到抛物线准线距离之和的最小值是（ ） A ．5B ．3

C ．2

D ．

55．对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其线性相关系数比较，正确的是（ ）

A ．24310r r r r <<<<

B ．42130r r r r <<<<

C ．42310r r r r <<<<

D ．24130r r r r <<<<

6．已知函数()()

2

1x

f x x x e =++，则()f x 在(0())0f ，处的切线方程为（ ）

A ．10x y ++=

B ．10x y -+=

C ．210x y ++=

D ．210x y -+=

7．函数()()cos 0,2f x x πω?ω??

?=+>< ???的图象如图所示，为了得到sin y x ω=的图象，只需把

()y f x =的图象上所有点（ ）

A ．向右平移6

π

个单位长度 B ．向右平移12

π

个单位长度 C ．向左平移

6

π

个长度单位 D ．向左平移

12

π

个长度单位

8．在()62x y x y ??

-+ ???

的展开式中，34x y 的系数是（ ） A ．20

B ．

15

2

C ．5-

D ．252

-

9．若23sin 22sin 0αα-=，则πcos 24α??

+

= ??

?

（ ） A ．72

B ．

2或72

C ．22

D 2

10．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，120224BAC AP AB AC ∠====，，则三棱锥

P ABC -的外接球的表面积是（ ）

A ．18π

B ．36π

C ．72π

D ．40π

11．已知点M 为直线30x y +-=上的动点，过点M 引圆221x y +=的两条切线，切点分别为A ，B ，则点()0,1P -到直线AB 的距离的最大值为（ ）

A ．

32

B ．

53

C

．

2

D

12．已知函数1()x f x xe -=，若对于任意的(200,x e ?∈?

，函数()2

0()ln 1g x x x ax f x =-+-+在(

20,e ??内都有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为（ ）． A ．2

231,e e ?

?-

??

?

B ．2

23,e e ?

?-∞-

??

?

C ．22,e e e

e ?

?-

+ ??

?

D ．21,e e ?

?-

???

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知x ，y 满足约束条件0

122x x y x y ≥??

+≥??+≤?

，则32z x y =+的最小值为______．

14．设向量a ，b 满足3a =，1b =，且1

cos ,6

a b =

，则2a b -=__________. 15．设1F ，2F 分别是双曲线()22

2210,0x y a b a b

-=>>的左?右焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使

()2

2

0OP OF F P +?=，O 为坐标原点，且1

23PF

PF =，则该双曲线的离心率为__________.

16．在三棱锥A BCD -中，已知AD BC ⊥，8AD =，2BC =，10AB BD AC CD +=+=，则三棱锥ABCD 体积的最大值是______．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考

生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 17．已知数列{}n a 中，11a =，1(1)()2n

n n

n a a n N n a *++=

∈+

（1）求证：n n a ??

?

???

是等差数列； （2）若1n n n c a a +=，且数列4

3n n b n

=?，数列{}n n b c 的前n 项和为n T ，求n T 的取值范围.

18．如图，等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝AB ＝BC ＝1，CD ＝2，E 为CD 中点，以AE 为折痕把△ADE

折起，使点D 到达点P 的位置（P ?平面ABCE ）．

（1）证明：AE ⊥PB ；

（2）若直线PB 与平面ABCE 所成的角为4

，求二面角A ﹣PE ﹣C 的余弦值．

19．为了实现中华民族伟大复兴之梦，把我国建设成为富强民主文明和谐美丽的社会主义现代化强国，党和国家为劳动者开拓了宽广的创造性劳动的舞台.借此“东风”，某大型现代化农场在种植某种大棚有机无公害的蔬菜时，为创造更大价值，提高亩产量，积极开展技术创新活动.该农场采用了延长光照时间和降低夜间温度两种不同方案.为比较两种方案下产量的区别，该农场选取了40间大棚（每间一亩），分成两组，每组20间进行试点.第一组采用延长光照时间的方案，第二组采用降低夜间温度的方案.同时种植该蔬菜一季，得到各间大棚产量数据信息如下图：

（1）如果你是该农场的负责人，在只考虑亩产量的情况下，请根据图中的数据信息，对于下一季大棚蔬菜的种植，说出你的决策方案并说明理由；

（2）已知种植该蔬菜每年固定的成本为6千元/亩.若采用延长光照时间的方案，光照设备每年的成本为0.22千元/亩；若采用夜间降温的方案，降温设备的每年成本为0.2千元/亩.已知该农场共有大棚100间（每间1亩），农场种植的该蔬菜每年产出两次．．，且该蔬菜市场的收购均价为1千元/千斤.根据题中所给数据，用样本估计总体，请计算在两种不同的方案下，种植该蔬菜一年的平均利润；

（3）农场根据以往该蔬菜的种植经验，认为一间大棚亩产量超过5.25千斤为增产明显.在进行夜间降温试点的20间大棚中随机抽取3间，记增产明显的大棚间数为X ，求X 的分布列及期望.

20．已知椭圆()22

22:10x y M a b a b +=>>的一个焦点与短轴的两端点组成一个正三角形的三个顶点，且椭

圆经过点2N ?

???. （1）求椭圆M 的方程；

（2）若直线()0y kx m k =+≠与圆22

3

:4

E x y +=

相切于点P ，且交椭圆M 于,A B 两点，射线OP 于椭圆M 交于点Q ，设OAB ?的面积与QAB ?的面积分别为12,S S . ①求1S 的最大值； ②当1S 取得最大值时，求1

2

S S 的值.

21. 定义在0,

的函数1

()(1)ln e

x f x a x x x -=--+（其中a ∈R ）.

（1）若0a =，求()f x 的最大值；

（2）若函数()f x 在1x =处有极小值，求实数a 的取值范围.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2

2x m y m

?=?=?(m 为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴正

半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin cos 10ρθρθ-+=. （Ⅰ）求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程； （Ⅱ）已知点()2,1,P 设直线l 与曲线C 相交于,M N 两点，求

11PM PN

+的值. 23．已知函数1

()||()3

f x x a a =

-∈R . （1）当2a =时，解不等式1

()13

x f x -

+≥；

（2）设不等式

1

()

3

x f x x

-+≤的解集为M，若

11

,

32

M

??

?

??

??

，求实数a的取值范围.

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宜春中学

2021届六校联考理科数学试卷答案

BBAC,BDAD,BCDA 13． 2 14．

15．

1 16．

17.解：（1）

1(1)()2n

n n

n a a n N n a *++=

∈+，

1212n n n n

n a n n

a a a +++∴

==+， 112n n n n

a a ++∴

-=，1

11a

n n a ??

∴????

是以1为首项，2为公差的等差数列. 21n

n

n a ∴

=- （2）由（1）可得21

n n

a n =

-， 所以(1)

(21)(21)

n n n c n n +=

-+，

14(1)11

3(21)(21)3(21)3(21)n n n n n n b c n n n n -+=

=--+-+

21111111

11333335

3(21)3(21)3(21)

n n n n T n n n -=-

+-++

-=-???-++

因为111114803(21)3(23)3(21)(23)

n n n n n n T T n n n n ++++-=

-=>++++，

所以{}n T 是递增数列，

n T 的最小值为18

9

T =

，又因为1n T < 8

19

n T ∴≤< 18．（1）连接BD ，设AE 的中点为O ，

∵AB ∥CE ，AB ＝CE

1

2

=

CD ， ∴四边形ABCE 为平行四边形，∴AE ＝BC ＝AD ＝DE ， ∴△ADE ，△ABE 为等边三角形，

∴OD ⊥AE ，OB ⊥AE ，折叠后,OP AE OB AE ⊥⊥， 又OP ∩OB ＝O ，

∴AE ⊥平面POB ，又PB ?平面POB ， ∴AE ⊥PB ．

（2）在平面POB 内作PQ ⊥平面ABCE ，垂足为Q ，则Q 在直线OB 上， ∴直线PB 与平面ABCE 夹角为∠PBO 4

π

=，

又OP ＝OB ，∴OP ⊥OB ，

∴O 、Q 两点重合，即PO ⊥平面ABCE ，

以O 为原点，OE 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则P （0，03E （12，0，0），C （13

0），

∴PE =（

12，0，3

），EC =（12，32

，0）， 设平面PCE 的一个法向量为1n =（x ，y ，z ），则1100n PE n EC ??=???=??，即1

3

02

13

02

x z x y ?=???

?=??，

令x 3=1n =3，﹣1，1），

又OB ⊥平面PAE ，∴2n =（0，1，0）为平面PAE 的一个法向量， 设二面角A ﹣EP ﹣C 为α，则|cosα|＝|cos 12,n n ＜＞|1212

555

n n n n ?=

=

=，

由图可知二面角A ﹣EP ﹣C 为钝角，所以cosα

5=-

．

19．（1）第一组数据平均数为5.050.1 5.150.2 5.250.4 5.350.3 5.24?+?+?+?=千斤/亩， 第二组数据平均数为5442325.18 5.20 5.22 5.24 5.26 5.28 5.22202020202020

?

+?+?+?+?+?=千斤/亩， 可知第一组方法较好，所以采用延长光照时间的方法；（ （2）（i ）对于采用延长光照时间的方法：

每亩平均产量为5.050.1 5.150.2 5.250.4 5.350.3 5.24?+?+?+?=千斤. ∴该农场一年的利润为()5.242160.22100426??--?=千元. （ii ）对于采用降低夜间温度的方法： 每亩平均产量为

5.185 5.204 5.224 5.242 5.263 5.282

5.2220

?+?+?+?+?+?=千斤，

∴该农场一年的利润为()5.222160.2100424??--?=千元.

因此，该农场若采用延长光照时间的方法，预计每年的利润为426千元；若采用降低夜间温度的方法，预计每年的利润为424千元.

（3）由图可知，增产明显的大棚间数为5间，由题意可知，

X 的可能取值有0，1，2，3，

()31532091

0228C C P X ===；

()2115532035

176C C C P X ===；

()121553205

238C C C P X ===；

()353201

3114

C P X C ===.

所以X 的分布列为

所以()3551312376381144

E X

=?

+?+?

=. 20．解：（1）由题意设椭圆的上下顶点为12(0,),(0,)B b B b -，左焦点为1(,0)F c -，则121B B F △是等边三

角形，所以2b a =，则椭圆方程为222214x y b b +=，将

2N

?

代入椭圆方程，可得2221

142b b

+=，解得1b =， 所以椭圆方程为2

214

x y +=

（2）①由直线()0y kx m k =+≠与圆22

3

:4E x y +=

=22433m k =+，设1122(,),(,)A x y B x y ，

将直线()0y kx m k =+≠代入椭圆方程得，222

(14)8440k x kmx m +++-=，

222222644(14)(44)4(1644)k m k m k

m ?=-+

-=-+，

因为22433m k =+，所以2

4(131)0k ?=+>，

且2121222

844

,14

14km m x x x x k k

-+=-=++，

所以12

AB x =-=

=设点O 到直线的距离为d =

所以OAB 的面积为

221122

11

(33)(131)1224(41)

k k S AB d m x x k +++==-=≤=+， 当2233131k k +=+，得2

1

5

k =

时等号成立，所以1S 的最大值为1 ②设33(,)Q x y ，由直线()0y kx m k =+≠与圆22

3

:4

E x y +=

相切于点P ，可得OQ AB ⊥，则2211

4

y x k x y ????=-+=???，可得222

3322

44,44k x y k k ==++，

所以7

OQ ====，

因为OP =

，所以7PQ OQ OP =-=，

所以121

212111

2

OP AB OP S S PQ PQ AB === 21. （1）若0a =，则1

()e

x f x x -=-+，求导得1()e 1x f x -'=-+，

令()0f x '>，得01x <<；令()0f x '<，得1x >， 所以函数()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减， 所以1,()x f x =取得极大值也是最大值，

0max ()(1)e 10f x f ==-+=.

（2）1

1()ln 1e 1x f x a x x -??'=+-

-+ ???

，其中()01f '=， 令11()ln 1e 1x h x a x x -??=+-

-+ ???，则1

211()e x h x a x x -??'=+- ???

，

当0a ≤时，()0h x '<，则函数()f x '在()0,∞+上单调递减，又()01f '=， 所以()0,1x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；

()1,x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，

即()f x 在1x =处有极大值，与题干矛盾，故0a ≤不符合题意；

当0a >时，令1

211()()e x t x h x a x x -??'==+- ???

，

则1

2312()e x t x a x x -??'=-

-- ??

?，显然()0t x '<， 则()h x '在()0,∞+上单调递减，而()0

(1)11e 21h a a '-=+-=. ①若1

02

a <≤

，21(1)0h a '=-≤， 故当()1,x ∈+∞时，()(1)0h x h ''<≤，此时()f x '单调递减， 所以()(1)0f x f ''<=，故()f x 在()1,+∞单调递减， 显然()f x 在1x =处不可能有极小值，故1

02

a <≤不满足题意； ②若1

2

a >

时，21(1)0h a '=->， 故当()0,1x ∈时，()(1)0h x h ''>>，此时()f x '单调递增， 所以()0,1x ∈时，()(1)0f x f ''<=，即()f x 在()0,1单调递减， 由（1）知，1e 0x x --+≤，即1e x x -≥，则e 1a a ≥+，

所以()2

11(1)e 11a h a a a a ??'+=+-??++????

()()211111a a a a ??

+-??++????≤+()()3222101a a a a +=-++<+， 因为(1)0h '>，(1)0h a '+<，所以存在()01,1x a ∈+使得0()0h x '=， 则()01,x x ∈时，()0h x '>，即()f x '

单调递增，

所以()01,x x ∈时，()(1)0f x f ''>=，即()f x 在()01,x 单调递增， 所以()f x 在()0,1单调递减，在()01,x 单调递增， 故()f x 在1x =处取得极小值.

综上所述，若()f x 在1x =处有极小值，则1

2

a >. 22．()I 由cos ,sin ,x y ρθρθ== 可得直线l 的直角坐标方程为10.x y --= 由曲线C 的参数方程，消去参数,m

可得曲线C 的普通方程为24y x =.

()II 易知点()2,1P 在直线l 上，直线l

的参数方程为22

12

x y ?

=+

???

?=+??

(t 为参数). 将直线l 的参数方程代入曲线C

的普通方程，并整理得2140t --=. 设12,t t

是方程2140t --=

的两根，则有121214t t t t +==-.

2122212

1111111

t t t PM PN t t t t t t t +∴+=+===-

47

=

=

23．（1）当2a =时，

原不等式可化为|31||2|3x x -+-≥. ①当1

3

x ≤

时， 则33012x x x -++-?≤≥，所以0x ≤； ②当

1

23

x <<时， 则32113x x x -+≥?≥-，所以12x ≤<； ⑧当2x ≥时，

则332

13

2x x x +≥?≥--，所以2x ≥. 综上所述：

当2a =时，不等式的解集为{|0x x ≤或1}x ≥. （2）由1

||()3

x f x x -

+≤， 则|31|||3x x a x -+-≤， 由题可知：

|31|||3x x a x -+-≤在11,32??

????

恒成立，

所以31||3x x a x -+-≤，即||1x a -≤，

即11a x a -≤≤+，

所以11143

12312a a a ?-≤???-≤≤??+≥

??

故所求实数a 的取值范围是14,23??

-???

?.