信号与系统实验五

第五章 离散时间傅里叶变换实验报告

5.1计算DTFT 的样本

(a)

由题意可得X (jω)=∑x [n ]e ?jωn +∞n=?∞=∑(u [n ]?u[n ?10])e ?jωn +∞n=?∞=∑e

?jωn

9n=0=1?e ?10jω1?e 。包含x[n]非零样本的向量x 为x=[ones(1,10)]。

(b)

x=[ones(1,10)]; k=[0:99]; w=2*pi*k/100;

X=(1-exp(-j*10*2*pi*k/100))./(1-exp(-j*2*pi*k/100)); subplot(2,1,1); plot(w,abs(X)); xlabel('频率'); ylabel('幅值'); subplot(2,1,2); plot(w,angle(X)); xlabel('幅值'); ylabel('相位');

(c)

X1=fftshift(fft(x,100)); w=w-pi;

subplot(2,1,1); plot(w,abs(X1)); xlabel('频率'); ylabel('幅值');

subplot(2,1,2); plot(w,angle(X1)); xlabel('幅值'); ylabel('相位');

图与(b)中的结果相比较，是将(b)中的图k ≥N

2的样本从π≤ω<2π移动到?π≤ω<0的区间上构成的(原理是离散时间傅里叶变换以2π为周期)

(d)

由于x[n]=u[n]-u[n-10]，因此x[n+5]=u[n+5]-u[n-5]；则Xr (jω)=∑x [n ]e

?jωn

+∞n=?∞=∑(u [n +5]?u[n ?5])e ?jωn +∞n=?∞=∑e

?jωn 4n=?5=e 5jω?e ?5jω1?e ?jω

；显然Xr (jω)=X(jω)e 5jω。

Xr=exp(j*w*5).*X; plot(w,real(Xr)); xlabel('w');

ylabel('Xr(jw)');

验证：

Xr=(exp(j*5*w)-exp(-j*5*w))./(1-exp(-j*w)); plot(w,real(Xr));

xlabel('w');

ylabel('Xr(jw)');

(e)

z=[1 2 3 4 5 4 3 2 1];

k=[0:99];

w=2*pi*k/100;

w=w-pi;

Z=fftshift(fft(z,100));

plot(w,real(Z));

xlabel('w');

ylabel('Z(jw)');

5.2电话拨号音

(a)

n=[0:999];

d0=sin(0.7217*n)+sin(1.0247*n); d1=sin(0.5346*n)+sin(0.9273*n); d2=sin(0.5346*n)+sin(1.0247*n); d3=sin(0.5346*n)+sin(1.1328*n); d4=sin(0.5906*n)+sin(0.9273*n); d5=sin(0.5906*n)+sin(1.0247*n); d6=sin(0.5906*n)+sin(1.1328*n); d7=sin(0.6535*n)+sin(0.9273*n); d8=sin(0.6535*n)+sin(1.0247*n); d9=sin(0.6535*n)+sin(1.1328*n); sound(d0,8192);

sound(d1,8192); sound(d2,8192); sound(d3,8192); sound(d4,8192); sound(d5,8192); sound(d6,8192); sound(d7,8192); sound(d8,8192); sound(d9,8192);

(b)

D2=fft(d2,2048);

D9=fft(d9,2048);

k=[0:2047];

w=2*pi*k/2048; subplot(2,1,1);

plot(w,D2);

title('D2(exp(jw))'); subplot(2,1,2);

plot(w,D9);

title('D9(exp(jw))');

subplot(2,1,1);

plot(w,D2);

xlim([0.5 1.25]);

title('D2(exp(jw))');

text(0.5346,-400,'o','color','R');

text(1.0247,-400,'o','color','R');

subplot(2,1,2);

plot(w,D9);

xlim([0.5 1.25]);

title('D9(exp(jw))');

text(0.6535,-400,'o','color','R');

text(1.1328,-400,'o','color','R');

(c)

space=[zeros(1,1000)];

phone=[d8 space d5 space d7 space d6 space d4 space d0 space d2 space d8]; sound(phone,8192);

5.3离散时间全通系统

(a)

a1=[1];

b1=[0 0 0 1];

freqz(b1,a1,1000);

(b)

a2=[1 -3/4];

b2=[-3/4 1];

freqz(b2,a2,1000);

显然H 1(e jω)和H 2(e jω)的相位不同，当两个系统的输入相同时，显然输出不同。因为系统一相位为线性的，即系统对输入信号仅做了一个时移；而系统二的相位不是线性的，显然得到的输出不同。

5.4频率采样：基于DTFT 的滤波器设计

(a)在0≤ω≤2π范围内该期望频率响应为H (jω)={1, 0≤ω≤π

2||3π

2≤ω≤2π

0, π2<ω<3π

2。 (b)

k=[0:8]; w=2*pi*k/9;

Hm=[1 1 1 0 0 0 0 1 1]; plot(w,Hm); xlabel('w');

ylabel('Hm(exp(jw))');

我画出的图不太像一个理想低通滤波器。 (c)

因果滤波器h[n]的相位是?N?12

ω。它与零相位滤波器的关系就是延迟

N?12

个样本。

5.5系统辨识

(a)

n=[0:63]; x=(-3/4).^n;

y=(2/5)*((1/2).^n)+(3/5)*((-3/4).^n); (b)

w=2*pi*n/64; X=fft(x,64); Y=fft(y,64); subplot(2,1,1); plot(w,abs(X)); xlabel('频率'); ylabel('X 幅值'); subplot(2,1,2); plot(w,abs(Y)); xlabel('频率'); ylabel('Y 幅值'); (c) H=Y./X;

h=ifft(H,64); stem(n,h); title('h[n]');

(d)

由题意可得x [n ]=(?3

4)n u[n]的傅里叶变换为X(e jω)=

1

1+3

4

e ?jω

；y [n ]=25(1

2)n u [n ]+

3

5

(?34)n u[n]的傅里叶变换为Y(e jω)=2511?12

e

?jω

+3511+34

e ?jω

；因此H(e jω)=Y(e jω)

X(e jω)=

2511?12e ?jω+

351

1+34

e ?jω

11+3

4e ?jω

=

1

1?1

2

e ?jω

，h [n ]=(1

2)n u [n ]。

h1=(1/2).^n;

subplot(2,1,1);

stem(n,h);

xlim([0,60]);

ylim([0,1]);

title('代数计算得到');

subplot(2,1,2);

stem(n,h1);

xlim([0,60]);

ylim([0,1]);

title('解析得到');

通过两种方法得到的系统单位脉冲响应图

像可以验证在(c)中计算出的单位脉冲响应

是正确的。

5.6离散时间系统的部分分式展开

(a)

a=[1 -5 6];

b=[-1 1];

(b)

对差分方程6y[n]?5y[n?1]+y[n?2]=x[n]?x[n?1]两边同时进行傅里叶变换得6Y(e jω)?5Y(e jω)e?jω+Y(e jω)e?2jω=X(e jω)?X(e jω)e?jω，化简可得H(e jω)=

Y(e jω) X(e jω)=1?e?jω

6?5e?jω+e?2jω

=2

3

1

1?1

3

e?jω

?1

2

1

1?1

2

e?jω

。由解析式声明变量num=[1 -1];den=[6 -5 1];

(c)

num=[-1 1];

den=[1 -5 6];

[r p k]=residue(num,den);

频率响应的部分分式展开式为H(e jω)=?2

e?jω?3+1

e?jω?2

=2

3

1

1?1

3

e?jω

?1

2

1

1?1

2

e?jω

，由此易得单

位脉冲响应为h[n]=2

3(1

3

)n u[n]?1

2

(1

2

)

n

u[n]。

(d)

n=[0:10];

x=[1 zeros(1,10)];