2018年高考理科数学(陕西卷)

2018年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答案卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}|10A x x =-≥，{}012B =，，，则A B =I A ．{}0 B ．{}1

C ．{}12，

D ．{}012，

， 2．()()1i 2i +-= A ．3i --

B ．3i -+

C ．3i -

D ．3i +

3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫棒头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是棒头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是

4．若1

sin 3α=，则cos2α=

A ．89

B ．79

C ．79-

D ．89

-

5．5

22x x ?

?+ ??

?的展开式中4x 的系数为

A ．10

B ．20

C ．40

D ．80

6．直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2

222x y -+=上，则ABP ?面积的取值范围是 A ．[]26， B ．[]48，

C ．232????，

D ．2232????

，

7．函数422y x x =-++的图像大致为

8．某群体中的每位成品使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， 2.4DX =，()()46P X P X =<=，则p =

A ．0．7

B ．0．6

C ．0．4

D ．0．3

9．ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC ?的面积为

222

4

a b c +-，则C = A ．π2 B ．π3 C ．π4 D ．π6

10．设A B C D ，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC ?为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D ABC -体积的最大值为

A ．123

B ．183

C ．243

D ．543

11．设12F F ，是双曲线22

221x y C a b

-=：（00a b >>，）的左，右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂

线，垂足为P ．若16PF OP =，则C 的离心率为 A ．5

B ．2

C ．3

D ．2

12．设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则

A ．0a b ab +<<

B ．0ab a b <+<

C ．0a b ab +<<

D ．0ab a b <<+ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a +b ，则λ=________．

14．曲线()1x y ax e =+在点()01，

处的切线的斜率为2-，则a =________． 15．函数()πcos 36f x x ?

?=+ ??

?在[]0π，的零点个数为________．

16．已知点()11M -，

和抛物线24C y x =：，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若90AMB =?∠，则k =________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须

作答。第22、23为选考题。考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17．（12分）

等比数列{}n a 中，15314a a a ==，． （1）求{}n a 的通项公式；

（2）记n S 为{}n a 的前n 项和．若63m S =，求m ． 18．（12分）

某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min ）绘制了如下茎叶图：

（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；

（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m ，并将完成生产任务所需时间超过m 和不超过m 的工人数填入下面的列联表：

超过m

不超过m

第一种生产方式

第二种生产方式

（3）根据（2）中的列表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？

附：()

()()()()

2

2n ad bc K a b c d a c b d -=++++，()2

0.0500.0100.0013.8416.63510.828P K k k ≥．

19．（12分）

如图，边长为2的正方形ABCD 所在平面与半圆弧?CD 所在平面垂直，M 是

?CD

上异于C ，D 的点． （1）证明：平面AMD ⊥平面BMC ；

（2）当三棱锥M ABC -体积最大时，求面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦

值． 20．（12分）

已知斜率为k 的直线l 与椭圆22

143

x y C +=：交于A ，B 两点．线段AB 的中点为()()10M m m >，．

（1）证明：1

2

k <-；

（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且0FP FA FB ++=u u u r u u u r u u u r

．证明：FA u u u r ，FP u u u r ，FB u u u r 成等差数列，并求

该数列的公差． 21．（12分）

已知函数()()

()22ln 12f x x ax x x =+++-．

（1）若0a =，证明：当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >；

（2）若0x =是()f x 的极大值点，求a ．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）

在平面直角坐标系xOy 中，O ⊙的参数方程为cos sin x y θθ=??=?

，

（θ为参数），过点()

02-，且倾斜角为α的直线l 与

O ⊙交于A B ，两点．

（1）求α的取值范围；

（2）求AB 中点P 的轨迹的参数方程． 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）

设函数()211f x x x =++-． （1）画出()y f x =的图像；

（2）当[)0x +∞∈，， ()f x ax b +≤，求a b +的最小值．

绝密★启用前

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理科数学试题参考答案

一、选择题

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C

D

A

B

C

A

D

B

C

B

C

B

二、填空题

13．1

2

14．3-15．316．2

17．解：

（1）设{}n a 的公比为q ，由题设得1

n n a q -=．

由已知得42

4q q =，解得0q =（舍去），2q =-或2q =． 故1

(2)

n n a -=-或1

2

n n a -=．

（2）若1

(2)n n a -=-，则1(2)3

n n S --=．由63m S =得(2)188m

-=-，此方程没有正整数解．

若1

2

n n a -=，则21n

n S =-．由63m S =得264m

=，解得6m =．

综上，6m =． 18．解：

（1）第二种生产方式的效率更高． 理由如下：

（i ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟．因此第二种生产方式的效率更高．

（ii ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85．5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73．5分钟．因此第二种生产方式的效率更高．

（iii ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高．

（iv ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈

对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时

间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高．

以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分． （2）由茎叶图知7981

802

m +=

=． 列联表如下：

超过m 不超过m

第一种生产方式 15 5 第二种生产方式

5

15

（3）由于2

2

40(151555)10 6.63520202020

K ?-?=

=>???，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异． 19．解：

（1）由题设知，平面CMD ⊥平面ABCD ，交线为CD ．因为BC ⊥CD ，BC ?平面ABCD ，所以BC ⊥平面CMD ，故BC ⊥DM ．

因为M 为?CD

上异于C ，D 的点，且DC 为直径，所以 DM ⊥CM ． 又 BC I CM =C ，所以DM ⊥平面BMC ． 而DM ?平面AMD ，故平面AMD ⊥平面BMC ．

（2）以D 为坐标原点，DA u u u r

的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D ?xyz ．

当三棱锥M ?ABC 体积最大时，M 为?CD

的中点． 由题设得(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,1,1)D A B C M ，

(2,1,1),(0,2,0),(2,0,0)AM AB DA =-==u u u u r u u u r u u u r

设(,,)x y z =n 是平面MAB 的法向量，则

0,0.

AM AB ??=???=??u u u u r u u u

r n n 即20,

20.x y z y -++=??=? 可取(1,0,2)=n ．

DA u u u r

是平面MCD 的法向量，因此

cos ,||||DA DA DA ?=

=u u u r

u u u r u u u r n n n ，

sin ,DA =u u u r n

所以面MAB 与面MCD

20．解：

（1）设1221(,),(,)A y x y x B ，则2222

12121,14343

y x y x +=+=． 两式相减，并由

12

2

1y x y k x -=-得

1122

043

y x y k x +++?=． 由题设知

12121,22

x y x y

m ++==，于是 3

4k m

=-

．① 由题设得302m <<

，故1

2

k <-． （2）由题意得(1,0)F ，设33(,)P x y ，则

331122(1,)(1,)(1,)(0,0)y x x y x y -+-+-=．

由（1）及题设得3321213()1,()20y y x x y x m =-+==-+=-<．

又点P 在C 上，所以34m =，从而3

(1,)2P -，3||2

FP =u u u r ．

于是

1||22

x FA ===-u u u r ．

同理2||22

x FB =-u u u r ．

所以121

||||4()32

FA FB x x +=-+=u u u r u u u r ．

故2||||||FP FA FB =+u u u r u u u r u u u r ，即||,||,||FA FP FB u u u r u u u r u u u r

成等差数列．

设该数列的公差为d ，则

1212||||||||||2FB FA x x d =-=-=u u u r u u u r ．②

将3

4

m =

代入①得1k =-． 所以l 的方程为74y x =-+，代入C 的方程，并整理得2

171404

x x -+=．

故121212,28

x x x x +==

，代入②解得||28d =．

或 21．解：

（1）当0a =时，()(2)ln(1)2f x x x x =++-，()ln(1)1x f x x x

'=+-

+． 设函数()()ln(1)1x

g x f x x x

'==+-

+，则2

()(1)x g x x '=+． 当10x -<<时，()0g x '<；当0x >时，()0g x '>．故当1x >-时，()(0)0g x g ≥=，且仅当0x =时，

()0g x =，从而()0f x '≥，且仅当0x =时，()0f x '=．

所以()f x 在(1,)-+∞单调递增．

又(0)0f =，故当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >．

（2）（i ）若0a ≥，由（1）知，当0x >时，()(2)ln(1)20(0)f x x x x f ≥++->=，这与0x =是()f x 的极大值点矛盾．

（ii ）若0a <，设函数22

()2()ln(1)22f x x

h x x x ax x ax ==+-

++++．

由于当||min{x <时，220x ax ++>，故()h x 与()f x 符号相同． 又(0)(0)0h f ==，故0x =是()f x 的极大值点当且仅当0x =是()h x 的极大值点．

22222222

12(2)2(12)(461)

()1(2)(1)(2)x ax x ax x a x ax a h x x x ax x ax x ++-++++'=-=++++++．

如果610a +>，则当6104a x a +<<-

，且1

||min{1,}||

x a <时，()0h x '>，故0x =不是()h x 的极大值点． 如果610a +<，则22

4610a x ax a +++=存在根10x <，故当1(,0)x x ∈，且1

||min{1,

}||

x a <时，()0h x '<，所以0x =不是()h x 的极大值点．

如果610a +=，则322

(24)

()(1)(612)

x x h x x x x -'=+--．则当(1,0)x ∈-时，()0h x '>；当(0,1)x ∈时，()0h x '<．所以0x =是()h x 的极大值点，从而0x =是()f x 的极大值点

综上，16

a =-． 22．解：

（1）O e 的直角坐标方程为22

1x y +=．

当2

απ

=时，l 与O e 交于两点．

当2απ≠

时，记tan k α=，则l 的方程为2y kx =-．l 与O e 交于两点当且仅当22

||11k

<+，解得1k <-或1k >，即(,)42

αππ

∈或(,

)24απ3π

∈． 综上，α的取值范围是(,)44

π3π

．

（2）l 的参数方程为cos ,

(2sin x t t y t αα

=???

=-+??为参数，44απ3π<<)． 设A ，B ，P 对应的参数分别为A t ，B t ，P t ，则2

A B

P t t t +=

，且A t ，B t 满足222sin 10t t α-+=． 于是22sin A B t t α+=，2sin P t α=．又点P 的坐标(,)x y 满足cos ,

2sin .P P

x t y t αα=???

=-+?? 所以点P 的轨迹的参数方程是2

sin 2,222cos 222

x y αα

?=?

??

?=--??(α为参数，44απ3π<<)． 23．解：

（1）13,,21()2,1,23, 1.x x f x x x x x ?

-<-??

?

=+-≤

≥???

()y f x =的图像如图所示．

（2）由（1）知，()y f x =的图像与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当3a ≥且2b ≥时，()f x ax b ≤+在[0,)+∞成立，因此a b +的最小值为5．