2021届全国天一大联考新高考原创预测试卷(二十九)数学

2021届全国天一大联考新高考原创预测试卷（二十九）

数学

★祝考试顺利★

注意事项：

1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。 9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知集合{|lg(1)}A x y x ==+，{

}

|2,x

B y y x ==-∈R ，则A B =（ ）

A. (1,0)-

B. (1,)-+∞

C. R

D. (,0)-∞

【答案】C 【解析】 【分析】

求出对数型复合函数的定义域得集合A ，结合指数函数的值域求得集合B ，再根据并集概念求得交集．

【详解】由题意{|10}{|1}(1,)A x x x x =+>=>-=-+∞，{|0}(,0)B y y =<=-∞，

∴A B R =．

故选：C ．

【点睛】本题考查集合的并集运算，掌握对数函数和指数函数的性质是解题关键． 2.已知i 是虚数单位，1i -是关于x 的方程20(,)x px q p q ++=∈R 的一个根，则p q +=（ ） A. 4 B. 4-

C. 2

D. 2-

【答案】A 【解析】 【分析】

根据实系数方程的虚数根成对出现得出另一个根，然后由韦达定理求出,p q ，

【详解】∵1i -是关于x 的方程2

0(,)x px q p q ++=∈R 的一个根，∴方程的另一根为

1i --，

∴1(1)i i p -++--=-，2p =，(1)(1)2q i i =-+--=，∴4p q +=． 故选：A ．

【点睛】本题考查实系数方程的复数根问题，需掌握下列性质：实系数方程的虚数根成对出现，它们是共轭复数．

3.“cos 0θ<”是“θ为第二或第三象限角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B 【解析】 【分析】

求出cos 0θ<时θ的范围后，再根据充分必要条件的概念判断．

【详解】cos 0θ<时，θ是第二或第三象限角或终边在x 轴负半轴，因此题中就是必要不充分条件． 故选：B ．

【点睛】本题考查充分必要条件，掌握充要条件和必要条件的定义是解题基础．

4.2013年5月，华人数学家张益唐的论文《素数间的有界距离》在《数学年刊》上发表，破解了困扰数学界长达一个多世纪的难题，证明了孪生素数猜想的弱化形式，即发现存在无穷多

差小于7000万的素数对．这是第一次有人证明存在无穷多组间距小于定值的素数对．孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题中的第8个，可以这样描述：存在无穷多个素数

p ，使得2p +是素数，素数对(,2)p p +称为孪生素数．在不超过16的素数中任意取出不同

的两个，则可组成孪生素数的概率为（ ） A.

110

B.

421

C.

415

D.

15

【答案】D 【解析】 【分析】

用列举法写出所有基本事件即可得概率．

【详解】不超过16的素数有2,3，5,7，11,13共6个，任取2个的基本事件有：

(2,3),(2,5),(2,7),(2,11),(2,13),(3,5),(3,7),(3,11),(3,13),(5,7),(5,11),(5,13),(7,11),(7,13),(11,13)

，共15个，其中可组成孪生素数的

有(3,5),(5,7),(11,13)共3个，∴所求概率为31155

P ==． 故选：D ．

【点睛】本题考查古典概型，解题关键是写出所有的基本事件． 5.已知函数()sin 23f x x π??

=-

??

?

，则下列结论正确的是（ ） A. ()f x 的最小正周期为2π

B. ()f x 的图象关于点,03π??

???

对称 C. ()f x 在11,212ππ??

??

?

上单调递增 D.

512

π

是()f x 的一个极值点 【答案】D 【解析】 【分析】

结合正弦函数性质判断． 【详解】∵()sin 23f x x π??

=- ??

?

， ∴最小正周期为22

T π

π=

=，A 错；

ππ3

()sin(2)333f π=?-=

，∴(,0)3π不是函数()f x 图象的对称中心．B 错； 11(,)212x ππ∈时，232(,)332x πππ

-∈，()f x 递减，C 错；

55()sin(2)112123f πππ=?-=是函数的最大值，∴512

π是()f x 的一个极值点，D 正确． 故选：D ．

【点睛】本题考查正弦型复合函数的性质，掌握正弦函数的性质是解题关键． 6.已知0a b >>，若5log log 2a b b a +=，b a a b =，则a

b

=（ ） A. 2 B. 2

C. 22

D. 4

【答案】B 【解析】 【分析】

利用对数换底公式求出log a b ，然后结合b a a b =可求得,a b ，从而得

a

b

． 【详解】∵5log log 2a b b a +=，∴15log log 2a

a b b +=，解得log 2a b =或1log 2

a b =， 若log 2a b =，则2b a =，代入b a a b =得2

22()a a a a a a ==，22a a =，又0a >，∴2a =，则224b ==，不合题意； 若1log 2

a b =

，则12b a =，即2a b =，代入b a a b =得2

22()b b b b b b ==，∴22b b =，又0b >，∴2b =，则24a b ==， 综上4,2a b ==，∴2a

b

=． 故选：B ．

【点睛】本题考查对数的换底公式，对数的运算和指数的运算．本题解题时注意分类讨论． 7.函数6cos ()2sin x f x x x

=

-图象大致为（ ）

A. B. C. D.

【答案】A 【解析】 【分析】

确定函数的奇偶性，然后研究函数值的正负，得出正确选项． 【详解】由已知6cos()6cos ()()2sin()2sin x x

f x f x x x x x

--=

=-=-----，函数的定义域关于原点对

称，∴()f x 是奇函数，可排除C ；

设()2sin g x x x =-，则()2cos 0g x x '=->，()g x 单调递增，(0)0g =，∴0x >时，

()0>g x ，当(0,)2

x π

∈时，cos 0x >，()0f x >，排除D ； 由上分析，0x <时，()(0)0g x g <=，∴()f x 与cos x 的符号相反，有正有负，排除B ； 故选：A ．

【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，解题方法一般是用排除法，通过研究函数的性质如奇偶性、单调性等，研究函数图象的特殊点，特殊的函数值，函数值的正负以及函数值的变化趋势等，排除错误的选项，得出正确选项．

8.已知点(,)P m n 是函数22y x x =--图象上的动点，则|4321|m n +-的最小值是（ ） A. 25 B. 21

C. 20

D. 4

【答案】C 【解析】 【分析】

函数22y x x =--图象是半圆，|4321|m n +-可表示为(,)P m n 到直线43210x y +-=的距离的5倍，利用圆心到直线的距离求出P 到直线距离的最小值后可得结论．

【详解】函数22y x x =--图象是半圆，圆心为(1,0)C -，半径为1r =，如图，作直线

43210x y +-=，C 到直线43210x y +-=的距离为2

2

4021543

d -+-=

=+，∴(,)P m n 到

直线43210x y +-=的距离为4321

5

m n d +-'=，其最小值为514-=，∴4321m n +-的

最小值为5420?=． 故选：C ．

【点睛】本题考查最值问题，解题方法是利用绝对值的几何意义求解，函数图象是半圆，

|4321|m n +-与点到直线的距离联系，是点(,)P m n 到直线43210x y +-=的距离的5倍，

这样把代数问题转化为几何问题求解．

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．

9.2019年4月23日，国家统计局统计了2019年第一季度居民人均消费支出的情况，并绘制了饼图（如图），则下列说法正确的是（ ）

A. 第一季度居民人均每月消费支出约为1633元

B. 第一季度居民人均收入为4900元

C. 第一季度居民在食品烟酒项目的人均消费支出最多

D. 第一季度居民在居住项目的人均消费支出为1029元 【答案】ACD 【解析】 【分析】

根据饼图提供的数据计算．

【详解】第一季度由饼图中知衣着消费441元，占总体的9%，∴总支出为441

49009%

=，那么每月消费支出为

4900

16333

≈元，A 正确； 第一季度居民人均消费为4900元，不是收入，B 错； 烟酒项目占31%，最多，C 正确；

第一季度居民在居住项目的人均消费支出为490021%1029?=元，D 正确． 故选：ACD ．

【点睛】本题考查统计图表（饼图）的认识，正确认识饼图，读懂它表示的数据是解题关键． 10.如图，透明塑料制成的长方体容器1111ABCD A B C D -内灌进一些水，固定容器一边AB 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面几个结论，其中正确的命题有（ ）

A. 没有水的部分始终呈棱柱形

B. 水面EFGH 所在四边形的面积为定值

C. 随着容器倾斜度的不同，11A C 始终与水面所在平面平行

D. 当容器倾斜如图（3）所示时，AE AH ?为定值 【答案】AD 【解析】 【分析】

想象容器倾斜过程中，水面形状（注意AB 始终在桌面上），可得结论．

【详解】由于AB 始终在桌面上，因此倾斜过程中，没有水的部分，是以左右两侧的面为底面的棱柱，A 正确；

图（2）中水面面积比（1）中水面面积大，B 错； 图（3）中11A C 与水面就不平行，C 错；

图（3）中，水体积不变，因此AEH △面积不变，从而AE AH ?为定值，D 正确． 故选：AD ．

【点睛】本题考查空间线面的位置关系，考查棱柱的概念，考查学生的空间想象能力，属于中档题．

11.已知P 为双曲线22:13

x C y -=上的动点，过P 作两渐近线的垂线，垂足分别为A ，B ，

记线段PA ，PB 的长分别为m ，n ，则（ ）

A. 若PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则123k k =-

B. 1

2

mn >

C. 4m n +

D. ||AB 的最小值为

32

【答案】ABD 【解析】 【分析】

写出渐近线方程，设00(,)P x y ，直接计算12,,,k k m n ，然后判断各选项．

【详解】由题意双曲线的渐近线为y x =±

，即0x ±=， 设00(,)P x y ，不妨设P 在第一象限，A

在渐近线0x -=上，

则1k =

2k =123k k =-，A 正确；

P 在双曲线上，则22

0013

x y -=，220033x y -=，

m =

n =

，∴2200

334

4x y mn -=

=

12

>，B 正确；

4m n +≥=4m n =时等号成立，即4m n +

的最小值为C 错

误；

渐近线y x =

的斜率为k ==，倾斜角为6π，两渐近线夹角为3π，∴23APB ∠=π，

2

222229

2cos

334

AB m n mn m n mn mn π=+-=++≥=，当且仅当m n =时等号成立，∴32AB ≥，即AB 最小值为3

2，D 正确．

故选：ABD ．

【点睛】本题考查双曲线的标准方程，考查渐近线方程，考查基本不等式求最值，这类题把许多知识点集中在一起同，对学生推理论证能力，分析求解能力要求较高，属于难题． 12.对x ?∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数．十八世纪，[]y x =被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，则下列命题中的真命题是（ ） A. ,[]1x x x ?∈+R

B. ,,[][][]x y x y x y ?∈++R

C. 函数[]()y x x x =-∈R 的值域为[0,1)

D. 若t ?∈R ，使得3451,2,3,

,2n

t t t t n ????????====-????????同时成立，则正整数n 的最大

值是5 【答案】BCD 【解析】 【分析】

由取整函数的定义判断，由定义得[][]1x x x ≤<+，利用不等式性质可得结论． 【详解】[]x 是整数， 若[]1x x ≥+，[]1x +是整数，∴[][]1x x ≥+，矛盾，∴A 错误；

,x y ?∈R ，[],[]x x y y ≤≤，∴[][]x y x y +≤+，∴[][][]x y x y +≤+，B 正确；

由定义[]1x x x -<≤，∴0[]1x x ≤-<，∴函数()[]f x x x =-的值域是[0,1)，C 正确；

若t ?∈R ，使得345

1,2,3,,2n t t t t n ????????====-????????同时成立，则1t ≤<，

t ≤

=

6n ≥，则不存在t 同时满足1t ≤

在t ∈满足题意， 故选：BCD ．

【点睛】本题考查函数新定义，正确理解新定义是解题基础．由新定义把问题转化不等关系是解题关键，本题属于难题．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13.6

x

?

- ?

的展开式中二项式系数最大的项的系数为____________．

（用数字作答） 【答案】20- 【解析】 【分析】

由二项式系数的性质可得．

【详解】二项展开式通项公式为3662

16

6((1)r r

r

r r r

r T C x

C x --+==-，其中系数奇数项为正，

偶数项为负，又6(0,1,,6)r

C r =中，3

6C 最大，因此二项式系数最大的项为第4项，系数为

3

620C -=-．

故答案为：20-．

【点睛】本题考查二项式定理，考查二项式系数的性质，解题关键是写出二项展开式通项公式1r T +，掌握二项式系数性质是解题关键．

14.在平行四边形ABCD 中，3AB =，2AD =，点M 满足2DM MC =，点N 满足

1

2

CN DA =

，则AM MN ?=_________． 【答案】0 【解析】 【分析】

把向量,AM MN 都用,AB AD 表示，再进行数量积运算即得． 【详解】∵2DM MC =，1

2

CN DA =， ∴

211122

()()()()()()332233

AM MN AD DM MC CN AD AB AB AD AD AB AB AD ?=+?+=+

?-=+?-22221414

()(32)02929

AB AD =-=??-=． 故答案为：0．

【点睛】本题考查平面向量的数量积，解题关键是选取,AB AD 为基底，其它向量都用基底表示，然后再进行运算．

15.已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，0

y -+=过点1F 且与C 在第二象限的交点为P ，若160POF ∠=?（O 为原点），则2F 的坐标为________，C 的离心率为__________．

【答案】 (1). (4,0) (2). 1

【解析】

【分析】

求出直线与x 轴的交点1F 坐标，由对称性可得2F ，利用直线的倾斜角和160POF ∠=?得

1POF 是等边三角形，从而得P 点坐标，代入椭圆方程结合c 可求得,a b ，得离心率．

0y -+=与x 轴交点为(4,0)-，即1(4,0)F -，4c =，∴2(4,0)F ，

0y -+=

，倾斜角为60?，而1POF 60=?，∴得1POF 是

等边三角形，∴(2,P -，

∴22222412116a b a b c ?+=???-==?

，解得22a b ?=+??=??

，∴离心率为1c e a ===． 故答案为：(4,0)

1．

【点睛】本题考查求椭圆的焦点坐标和离心率，由焦点关于原点对称即可得结论，求离心率就是要求得,a c ，利用1POF 是等边三角形得出P 点坐标代入椭圆方程后可解得a ，从而求得离心率．本题属于中档题．

16.三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，14AA =，ABC

是边长为形，1D 是线段11B C 的中点，点D 是线段11A D 上的动点，则三棱锥D ABC -外接球的表面积的取值集合为_____________（用区间表示）． 【答案】[25,32]ππ 【解析】 【分析】

由于棱柱底面是正三角形，设,M N 分别是正三棱柱下底面和上底面中心，则三棱锥

D ABC -的外接球球心O 在MN 上，由此设球半径为R ，引入DN x =，可把R 用x 表示出

来，从而由x 的范围得出球表面积的范围．

【详解】如图，设,M N 分别是正三棱柱下底面和上底面中心，则三棱锥D ABC -的外接球球心O 在MN 上，

由AB =2CM =，14MN AA ==，设球半径为R ，DN x =，则02x ≤≤，

由2222OD DN OC CM MN -+-=得22244R x R -+-=，解得

22

2

(12)464

x R +=+，

∵02x ≤≤， ∴0x =时，2min

254

R =

，2x =时，2

max 8R =， ∴min 25

4254

S ππ=?

=，max 4832S ππ=?=， 故答案为为[25,32]ππ．

【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积问题，解题关键是找到外接球球心，三棱锥的外接球球心在过各面外心且与此面垂直的直线上．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17.在①4S 是2a 与21a 的等差中项；②7a 是

3

3

S 与22a 的等比中项；③数列{}2n a 的前5项和为65这三个条件中任选一个，补充在横线中，并解答下面的问题．

已知{}n a 是公差为2的等差数列，其前n 项和为n S ，________________________． （1）求n a ；

（2）设34n

n n b a ??

=? ???

，是否存在*k ∈N ，使得278k b >？若存在，求出k 的值；若不存在，

说明理由．

【答案】（1）不论选哪个条件，21n a n =+（2）不存在，见解析 【解析】 【分析】

（1）如果是①或者②，用1a 和d 表示出已知数列的项和前n 项和，求出1a ，可得通项公式，如果是③，先说明数列{}2n a 是公差为4的等差数列，首期为12a +，由等差数列前n 项和公式可求得1a ，同样得通项公式；

（2）用作差法求出{}n b 中的最大项3b ，而3278b <

，得结论不存在项27

8

>． 【详解】（1）解：若选①4S 是2a 与21a 的等差中项，则42212S a a =+， 即()()1114324222022a a a ??

?

+

?=+++? ??

?

． 解得13a =．所以32(1)21n a n n =+-=+． 若选②7a 是

33S 与22a 的等比中项，则2

37223

S a a =?， 即()()2

111316222122a a a -?

?

+?=+

?+? ??

?

． 解得13a =．所以32(1)21n a n n =+-=+． 若选③数列{}2n a 的前5项和为65， 则2(1)2[2(1)2]24n n a a n n +-=+-?=．

又212a a =+，所以{}2n a 是首项为12a +，公差为4的等差数列． 由{}2n a 的前5项和为65，得()154

524652

a ?++

?=． 解得13a =．所以32(1)21n a n n =+-=+．

（2）33(21)44n n

n n b a n ????

=?=+? ? ?????．

1

133(23)(21)44n n

n n b b n n ++??

??

-=+?-+? ?

???

??

1133[3(23)4(21)](52)44

n n

n n n n n ++=+-+=-． 所以110520 2.51,2n n n n b b b b n n n ++>?->?->?

110520 2.53,4,5,

n n n n b b b b n n n ++?

=

所以123456b b b b b b <<>>>>

．

所以{}n b 中的最大项为3

33727(231)464b ???=?+?=

???

． 显然37278272764648b ??=

<=．所以*

27,8

n n b ?∈

8

k b >

． 【点睛】本题考查等差数列的通项公式与前n 项和公式，解题关键是根据已知条件求出数列的首项1a ．对于本题存在性命题，转化为求数列的最大项问题，而求数列的最大项方法可以解

不等式组11

n n n n a a a a -+≥??≥?，满足此不等式组的n ，使得n a 最大，如果是正项数列，还可能用作商

法，即由11n n a a -≥且1

1n

n a a +≥得最大项的项数． 18.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c

，且cos sin a b C B -=．

（1）求B ；

（2）若2a =，且ABC 为锐角三角形，求ABC 的面积S 的取值范围．

【答案】（1）6B π

=（2

）??

【解析】 【分析】

（1）用正弦定理化边为角，然后由诱导公式和两角和的正弦公式变形后可求得B 角； （2）由正弦定理把c 边用角C 表示，这样三角形的面积可表示为C 的函数，C 的范围是

3

2

C π

π

<<

，结合三角函数性质可得面积范围．

【详解】（1

）由题设条件及正弦定理，得sin sin cos sin A B C C B -=．

由sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+

，得cos sin sin B C C B =． 由0C π<<，得sin 0C ≠

．所以cos B B =．

又cos 0B ≠（若cos 0B =，则sin 0B =，22sin cos 0B B +=．这与22sin cos 1B B +=矛盾），

所以tan 3

B =

．又0B π<<，得6B π=．

（2）在ABC 中，由正弦定理，得sin sin c a

C A =，即2

5sin sin 6c C C π=??- ???

．

所以

2sin 5sin 6C

c C π=

??- ???

． ABC 的面积11

2sin 1sin 2522

2sin 6C S ac B C π==??

???- ??

?=?

?

2cos sin C C =+． 由ABC 为锐角三角形，得02

C <<

π

，5062

B C ππ<=

-<，所以32C ππ

<<，

从而tan C >

sin cos C C >

．所以cos 0sin 3C C <<

S << 所以S

的取值范是??

． 【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理，还考查三角形面积公式，两角差

正弦公式，

同角间的三角函数关系，正切函数性质等等．注意正弦定理在进行边角转换时等式必须是齐次，关于边,,a b c 的齐次式或关于角的正弦sin ,sin ,sin A B C 的齐次式，齐次分式也可以用正弦定理进行边角转换．求范围问题，通常是把量表示为三角形某个角的三角函数形式，利用此角的范围求得结论．

19.如图，侧棱与底面垂直的四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是平行四边形，

12AM MA =，12CN NC =．

（1）求证：AN ∥平面11MB D ；

（2）若22AB AD ==，60BAD ∠=?，13AA =，求1NB 与平面11MB D 所成角的大小． 【答案】（1）见解析（2）90°． 【解析】 【分析】 （1）取

AM 的中点E ，连接1EC 、11A C ．设1111AC B D O =，连接MO ．可证明

1////AN C E MO ，从而可证得线面平行；

（2）由余弦定理求得BD ，从而由勾股定理逆定理得DA DB ⊥．然后以D 为坐标原点，以

DA ，DB ，1DD 所在方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系D xyz -，

用空间向量法求得线面角．

【详解】（1）取AM 的中点E ，连接1EC 、11A C ．设1111AC B D O =，连接MO ．

由题意，O 是线段11A C 的中点，E 是线段MA 的中点， 所以MO 是11A C E △的中位线， 所以1MO EC ∥． 由题意，113AE AA =

，111

3

NC CC =，11AA CC =， 所以1AE NC =，又1AE NC ∥，所以四边形1AEC N 平行四边形．

所以1AN EC ∥．

又1MO EC ∥，所以AN MO ∥．

又AN?平面11

MB D，MO?平面11

MB D，

所以AN平面11

MB D．

（2）在ABD

△中，22

AB AD

==，60

BAD

∠=?，

由余弦定理，得222

12212cos603

BD=+-????=．

可见222

DA DB AB

+=，所以DA DB

⊥．

以D为坐标原点，以DA，DB，1

DD所在方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系D xyz

-，

则(1,0,2)

M，

1

(0,3,3)

B，1(0,0,3)

D，(1,3,2)

N-．

所以

1

(1,0,1)

D M=-，

11

3,0)

D B=，

1

(1,0,1)

NB=．

设(,,)

n x y z

=为平面

11

MB D的法向量，则1

11

0,

0,

n D M

n D B

??=

?

?

?=

??

即

0,

30.

x z

-=

??

=

令1

x=，则(1,0,1)

n=．

可见，

1

NB就是平面11

MB D的一个法向量，所以

1

NB与平面

11

MB D所成的角为90°．

【点睛】本题考查证明线面平行，考查用空间向量法求直线与平面所成的角．解题关键是掌握线面平行的判定定理，寻找过同一点且两两垂直的三条直线，以它们为坐标轴建立空间直

角坐标系．

20.已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，直线1:1(0)l y kx k =+>与C 的交点为A ，

B ，且当1k =时，||||5AF BF +=．

（1）求C 的方程；

（2）直线2l 与C 相切于点P ，且2l ∥1l ，若PAB △的面积为4，求k ．

【答案】（1）2

2x y =（2）k =【解析】 【分析】

（1）设()11,A x y ，()22,B x y ．直线方程为1y x =+，代入抛物线方程应用韦达定理得12x x +，由焦点弦长公式12AF BF x x p +=++可求得p ， （2）设2001,

2P x x ?

?

??

?，由导数的几何意义求得切线斜率，由12l l ，得21,2P k k ??

???

，

由韦达定理求得弦长AB ，计算出P 到直线AB 距离后可表示PAB △的面积，从而求得k 值． 【详解】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ．

由221

x py y x ?=?=+?消去y ，得2220x px p --=． 判别式2

480p p ?=+>，122x x p +=．

因此1212||||2325AF BF y y p x x p p +=++=+++=+=，解得1p =． 所以C 的方程为2

2x y =． （2）2

2x y =即为2

12

y x =，求导得y x '=． 设2001,

2P x x ??

??

?

，当0x x =时，0y x '=，因此直线2l 的斜率为0x ． 又因为1

2l l ，所以0k x =，因此21,2P k k ??

???

．

由221

x y y kx ?=?=+?，得2220x kx --=．

2480k ?=+>，则122x x k +=，122x x =-．

因此

||AB =

=

直线1:1l y kx =+即为10kx y -+=．

因此点21,2P k k ??

???

到直线1

l

的

2

11

k +=．

所以PAB △的面积为2

11

11||22k S AB h +=?=?31

2

=． 由题意，

31

42

=，即332=2=． 又因为0k >，所以k =

【点睛】本题考查抛物线的焦点弦性质，考查直线与抛物线相交中的面积问题．直线与抛物线相交弦长需结合韦达定理计算，即12AB x =-= 21.某省2020年高考将实施新的高考改革方案．考生的高考总成绩由3门统一高考科目成绩和自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目成绩组成，总分为750分．其中，统一高考科目为语文、数学、外语，自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目是从物理、化学、生物、政治、历史、地理6科中选择3门作为选考科目，语文、数学、外语三科各占150分，选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级并以此打分得到最后得分．根据高考综合改革方案，将每门等级考试科目中考生的原始成绩从高到低分为A ，B +，B ，C +，C ，D +，D ，E 共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%，7%，16%，24%，24%，16%，7%，3%．等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将A 至E 等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到91～100，81～90，71～80，61～70，51～60，41～50，31～40，21～30八个分数区间，得到考生的等级成绩．举例说明：某同学化学学科原始分为65分，该学科C +等级的原始分分布区间为58～69，则该同学化学学科的原始成绩属C +等级．而C +等级的转换分区间为61～70，那么该同学化学学科的转换分计算方法为：设该同学化学学科的转换等级分为x ，