2018年七宝中学高一年级上学期期中考试数学试卷

2017-2018学年上海市闵行区七宝中学高一年级上学期期中考试数学试卷 一. 填空题

1. 设全集{1,3,5,7}U =，集合{1,|5|}M a =-，M U ?，{5,7}U C M =，则a = 【答案】2或8

【解析】Θ全集}{

}{7,5,,7,5,3,1=∈=M C U M U U }{3,1=∴M

35=-∴a 35±=-∴a

82或=∴a

2.

函数1

()2f x x

=

-的定义域是 【答案】[1,2)(2,)-+∞U

【解析】要使x

x x f -+

+=21

1)(有意义，需{

010

2≥+≠-x x 解得21≠-≥x x 且，所以函数

x

x x f -+

+=21

1)(的定义域是[1,2)(2,)-+∞U

3. 设函数2

()3x f x x -=

-

，()g x =，则函数()()f x g x ?= 【答案】2-x ，)(()∞+∈,33,2U x 【解析】由 ()32

--=

x x x f 得3≠x ，由()23--=x x x g 得2>x ， ()()22

3

32-=--?--=?∴x x x x x x g x f ，其中32≠>x x 且

4. “存在x ∈R ，使得3210x x -+<”的否定形式为 【答案】对于任意R x ∈，0123

≥+-x x 恒成立

【解析】Θ命题为半称命题，∴命题的否定为全称命题

故命题“存在x ∈R ，使得3210x x -+<”的否定形式”为对于任意R x ∈，0123

≥+-x x ”恒成立

5. 已知()f x 是R 上的奇函数，且当(0,)x ∈+∞

时，()(1f x x =，则()f x 的解析式为

【答案】(1[0,)

()(1(,0)

x x f x x x ?+∈+∞?=?-∈-∞??

【解析】 ()0,∞-∈x ，则)(∞+∈-,0x

()()()

3311x x x x x f --=-+-=-∴ ()x f Θ是R 上的奇函数 ，

()()()31x x x f x f --=-=-∴，即()()

31x x x f -=而()00=f 综上所述()x f 的解析式为

(1[0,)

()(1(,0)

x x f x x x ?+∈+∞?=?-∈-∞??

6. 设x 、y 、z 为正实数，满足230x y z -+=，则2

y xz

的最小值是

【答案】3 【解析】

032=+-z y x Θ2

3z

x y +=

∴，3466469222=+≥++=∴xz xz xz xz xz z x xz y 当且仅当z x 3=，等号成立

7. 已知函数2

2

4,0()4,0

x x x f x x x x ?+≥?=?-

(2)()f m f m ->，则实数m 的取值范围为 【答案】)(1,2-

【解析】()()42402

2

-+=+=≥x x x x f x 时，Θ，在)[∞+,0上单调递增；0

()()4242

2+--=-=x x x x f 在)(0,∞-上单调递增，

又040,0402

2<-<≥+≥x x x x x x 时，

时，Θ (){

上单调递增，在函数R 0

4422≥<+-=

∴x x x

x x x x f

()

()m f m f >-22Θ

m m >-∴22

022

<-+∴m m 12<<-∴m 则实数m 的取值范围是)(1,2-

8. 对于任意的x ∈R ，不等式2|2||1|2x x a a -++≥-恒成立，则实数a 的取值范围是 【答案】][3,1- 【解析】

Θ对于R x ∈，不等式a a x x 2122-≥++-恒成立，

x x ++-∴12的最小值大于或等于a a 22-

由于x x ++-12表示数轴上的x 对应点到2和1-对应点的距离之和，它的最小值为3， 故有a a 232

-≥，即0322

≤--a a ，解得31≤≤-a 故实数a 的取值范围是][3,1-

9. 已知2()f x x ax b =-++(,)a b ∈R 的值域为(,0]-∞，若关于x 的不等式()1f x c >- 的解集为(4,1)m m -+，则实数c 的值为 【答案】4

21-

【解析】Θ函数()()R b a b ax x x f ∈++-=,2

的值域为](0,∞-，0=?∴，即042

=+b a ，4

2

a b -=∴

Θ关于x 的不等式()1->c x f 的解集为(4,1)m m -+， ∴方程()1-=c x f 的两根分别为1,4+-m m

解方程1422

-=-+-c a ax x 得c a

x -±=12

()

()4112--+=-∴m m c 解得4

21

-=c

10. 在△ABC 中，3AC =，4AB =，5BC =，P 为角平分线AT 上一点，且在△ABC 内 部，则P 到三边距离倒数之和的最小值为

【答案】

12

70

219+

【解析】显然ABC ?为直角三角形，以A 为原点，以直角边AC 为x 轴，直角边AB 为y 轴建立平面直角坐标系，得())(0,3,4,0C B ，角A 平分线AT 的方程为x y =，

由截距式知BC 所在直线的方程为14

3=+y

x 即01243=-+y x ，联立AT 、BC 方程易知交点坐标为

??

?

??712,712。令()m m P ,，依题知7120<

5712m -，则P 到三边的距离的倒数和为m

m m m m 7125

2712511-+

=-++，12

70

2197125270219514219712757)712(14514)7127)(7125714(+≥-+∴

+=?+≥-?+-++=-+-+m m m

m m m m m m m

()1270

2192170456min +=???

? ??-=∴f m f

11. 已知函数11

()||||f x x x x x

=+

+-，若方程2()()0f x a f x b +?+=有6个不同的根， 则a 的取值范围是 【答案】4-

【解析】函数()????

?????<<<<<≥=-++=-12x x -0x 1- x

2

-1

x 0 21

211x

x x x x x x x f

做出函数()x f 图像如图，

设()x f t =，则由图像可知，当2>t 时，方程()x f t =有4个不同的根，当2=t ，方程()x f t =有2个不同的根，当2

=++?=+?+=b at t b x f a x f

x F ，,若()()b x f a x f x F +?+=)(2有6个不同的零

点，则方程02

=++b at t 有两个不同的根，其中2,221>=t t ，则421>+=-t t a 4-<∴a

12. 若规定集合12{,,,}n M a a a =???()n ∈*N 的子集12{,,,}m l l l a a a ???()m ∈*N 为M 的第k 个子集，其中

12111222n l l l k ---=++???+，则M 的第211个子集是

【答案】}{87521,,,,a a a a a

【解析】由于1817151211764102222222222211-----++++=++++= }8,7,5,2,1{},,,,{54321=∴l l l l l

则M 的第211个子集是}{87521,,,,a a a a a

二. 选择题 13. “

11

32

x <<”是“不等式|1|1x -<成立”的（ ）条件 【A 】 充分不必要 【B 】必要不充分 【C 】 充要 【D 】既不充分也不必要 【答案】A

【解析】∵|1|1x -<,∴0＜x ＜2，∵

11

32

x <<在0＜x ＜2范围内，所以是充分不必要条件。

14. 已知命题A 成立可推出命题B 不成立，那么下列说法一定正确的是（ ）

【A 】命题A 成立可推出命题B 成立 【B 】 命题A 不成立可推出命题B 不成立 【C 】命题B 不成立可推出命题A 成立 【D 】命题B 成立可推出命题A 不成立 【答案】D

【解析】互为逆否命题真假性相同。

15. 若()f x 是R 上的奇函数，且在(0,)+∞上是增函数，若(1)0f -=，那么

[()()]0x f x f x --<的解集是（ ）

【A 】 (1,0)(1,)-+∞U 【B 】 (,1)(0,1)-∞-U 【C 】 (,1)(1,)-∞-+∞U 【D 】 (1,0)(0,1)-U 【答案】D

【解析】∵)(f x 为R 上的奇函数，∴()0)1(1=--=f f ，∵)(f x 在(0,)+∞上是增函数

∴()x f 在()0-，

∞上也是增函数 ∴[])(2)(2)()(x xf x f x x f x f x =?=--＜0， 如果x ＜0，()x f ＞0，如果x ＞0，()x f ＜0， 故解集为(1,0)(0,1)-U

16. 在实数集R 上定义一种运算“*”，对于任意实数a 、b ，a b *为唯一确定的实数，且具 有性质：（1）,,a b a b b a ?∈*=*R ；（2）,0a a a ?∈*=R ； （3）,,,()()()()2a b c a b c c ab a c c b c ?∈**=*+*+*-R . 关于函数1()(2)()2f x x x

=* 的性质，下列说法正确的为（ ）

【A 】 函数()f x 的最大值为1- 【B 】 函数()f x 的最小值为3

【C 】 函数()f x 为奇函数 【D 】 函数()f x 的单调递增区间为1(,)2-∞-，1(,)2

+∞ 【答案】D 【解析】

)

,3[]1,()(21

210)21

0()02()212(00))21

(

)2(()21()2()(+∞?--∞∈+

+=-*+*+?*=**=*=x f x

x x x x x x x x

x x f

∴)(x f 无最值，不为奇函数，单调增区间),2

1(],1,+∞-∞-（ 所以D 正确

三. 解答题

17. 设集合{|||2}A x x a =-<，21

{|1}2

x B x x -=<+，若A B ?，求实数a 的取值范围. 【答案】]1,0[

【解析】解：∵a x -＜2，则-2＜a x -＜2，即2-a ＜x ＜2+a 故{|||2}A x x a =-<={2-a x ＜x ＜2+a }

∵

212+-x x ＜1，即2

3

+-x x ＜0

即-2＜x ＜3

{2

1

2+-=x x x

B ＜1}={x

2-＜x ＜3

}

∵A B A =I ，即B A ? ∴??

?-≥-≤+2

23

2a a

解得10≤≤a

故实数a 的取值范围为[]1,0

18. 有一批材料可以建成长为200米的围墙，如果用材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（如图），则围成的矩形的最大面积是多少？

【答案】2500

【解析】设每个小矩形长为x ，宽为y ，则20034=+y x

()2500

25420044x)

-x(200xy 32

2

+--=+-===x x x S

∴25=x 时，2500max =S (2

m ) 答：围成的矩形的最大面积是2500(2

m )

19. 设二次函数2()f x ax bx c =++在区间[2,2]-上的最大值、最小值分别为M 、m ，集合

{|()}A x f x x ==.

（1）若{1,2}A =，且(0)2f =，求()f x ；

（2）若{2}A =，且1a ≥，记()g a M m =+，求()g a 的最小值. 【答案】

4

63

)

2(2

2)(12+-=x x x f ）（

【解析】

解：（1）∵()20=f ，2c =

∵}{

2,1=A ,∴02)1(2

=+-+x b ax 有两根为1,2. 由韦达定理得，???????+=-?=211212

a

b a

∴???-==2b 1-a

∴()222

+-=x x x f

∵[]2,2-∈x ，∴()102-==f M ，

()11m ==f

(2）若}{2

=A ，方程()012=+-+c x b ax 有两相等实根221==x x

根据韦达定理得到：a 1-b -22=+，a

c

22=? ∴a 4c =，a 41b -=

∴()a x a ax c bx ax x f 4)41(2

2

+-+=++=，[]2,2-∈x

其对称轴方程为??

????∈-=-=

2,23212214a a a x ∴()2162-=-=a f M ，a

a f 41

2212m -=??? ?

?

-= 则()a

a M a 41-

2216m g +-=+= 又()a g 在区间[)∞+，

1上单调递增的， ∴当1=a 时，()4

63

4116g min =-=a

20.已知函数2()5b

f x ax x

=+

+（常数,a b ∈R ）满足(1)(1)14f f +-=. （1）求a 的值，并对常数b 的不同取值讨论函数()f x 奇偶性；

（2）若()f x

在区间(,-∞上单调递减，求b 的最小值； （3）若方程22

9

()26f x x x =+

+在[2,4]有解，求b 的取值范围. 【答案】（1）,1=a 当)(,0x f b =为偶函数，当,0≠b )(x f 为非奇非偶函数

（2）-2 （3）]2

13,

6[∈b 【解析】（1）由()()1411=-+f f 得

()()1455=+-+++b a b a ，∴2=a

∴()522

++

=x

b

x x f ，定义域为()()∞+?∞，，

00- 当0b =时，对于定义域内的任意x ，有()()522

+==-x x f x f ∴()x f 为偶函数，

∴当0b ≠时，()()01411≠=-+f f ∴()()11f f -≠- ∴()x f 不是奇函数；

()()0211≠-=--b f f

∴()x f 不是偶函数

∴0b =时()x f 为偶函数，0b ≠时，()x f 为非奇非偶函数。

（2）∵)(x f 在

)5.0,3-∞-（上单调递减 ∴任意的3125.0-<

2

)5.0)(5.05.0(2)(2)(20

)

())((20)52(52233321212

1212

11221212

22121-≥--+-≥∴<+<

+<-+

+-<++-++

b b b x x x x x x b x x x x x x b x x x x x b x x b x 恒成立

（3）∵69

252222

++=++

x

x x b x 在上有解]4,2[ 19

b 2+=x x x x

+=

9

b 在]3,2[上单调递增，)4,3[上单调递减 当[]4,2∈x ，??

?

???∈213,

6b

21. 已知,,a b c ∈R ，满足a b c >>.

（1）求证：1110a b b c c a

++>---； （2）现推广：把1c a -的分子改为另一个大于1的正整数p ，使110p

a b b c c a

++>---

对任意a b c >>恒成立，试写出一个p ，并证明之；

（3）现换个角度推广：正整数m 、n 、p 满足什么条件时，不等式0m n p

a b b c c a

++>---

对任意a b c >>恒成立，试写出条件并证明之.

【答案】见解析 【解析】

（1）证明：∵a ＞b ＞c ,∴b -a ＞0,c -b ＞0,c -a ＞0. 要证

a

-c 1

c -b 1b -a 1+

+＞0， 只需证明()??

?

??++a -c 1c -b 1b -a 1c -a ＞0 左边=()()[]311c -b 1b -a 1c -b b -a ≥--+--+

=??

?

??-+++c b b a b a c b a c ＞0 （2）要使

a

c p

c b -+

-+1b -a 1＞0 只需()??

?

??-++a c p c -b 1b -a 1c -a ＞0 左边=()()[]p c b b a b a c b p a c -≥--+--+-=?

?

?

??-+++42p c -b 1b -a 1

c -b b -a ∴只需p -4＞0即可，即p ＜4, ∴p 取2或3. （3）要使

a c p

c b n b a m -+

-+-＞0， 只需()??

?

??-+-+-a c c b n b a m p c -a ＞0 左边=()()[]p mn n m c b b a n b a c b m p n m a c p c b n b a -++≥--+--+-+=??

?

??-+-+-+2)()(m

c -b b -a 只需p mn n -++2m ＞0，即n +m ＞p ()

+

∈Z p n ,,m