解三角形知识点及题型归纳总结
解三角形知识点及题型归纳总结
知识点精讲
在ABC ?中，角,,A B C 所对边依次为,,.a b c 1.角的关系
180,sin sin()A B C A B C ++==+o cos cos(),tan tan(),A B C A B C =-+=-+
sin
cos ,cos sin .2222
A B C A B C ++== 2.正弦定理
2(2sin sin sin a b c R R A B C
===为ABC ?的外接圆的直径）. 正弦定理的应用：
①已知两角及一边求解三角形.
②已知两边及其中一边的对角，求另一对角：
若a
?
===??
?
若a 〉b,已知角Ａ求角Ｂ，一解（锐角）.
3.余弦定理
2222cos c a b ab C =+-（已知两边a,b 及夹角Ｃ求第三边c ） 222
cos 2a b c C ab
+-=
（已知三边求角）. 余弦定理的应用：
①已知两边及夹角求解第三边；②已知三边求角；③已知两边及一边对角不熟第三边. 4.三角形面积公式
1111
sin sin sin .2222
ABC S ah ab C bc A ac B ?=
=== 题型归纳及思路提示
题型1 正弦定理的应用
思路提示
（1）已知两角及一边求解三角形； （2）已知两边一对角；.
sin 1sin sin 1A A A ??
??
=??
??
>??
大角求小角一解（锐）两解－（一锐角、一钝角）小角求大角－一解－1（直角）无解－ （3）两边一对角，求第三边.
一、利用正弦定理解三角形
例4.39 已知ABC ?中，53
cos ,sin ,1135
A B a =
==求cos C 及边长c 分析 已知两角及一边用正弦定理.
解析 因为,,A B C 为ABC ?的内角，所以有
cos cos[()]cos()C A B A B π=-+=-+cos cos sin sin .A B A B =-+因为(0,),A π∈且5
cos 0,13
A =
>所以(0,
),2
A π
∈12sin 13A =
.由此知sin sin 0,A B >>据正弦定理得a b >所以,A B >因此(0,),2
B π∈且3sin ,5B =得4
cos ,5
B =
故5412316cos .13513565C =-?+?=
因此63
sin .65
C = 由正弦定理得,sin sin c a C A
=得
631sin 2165.12sin 2013
a C c A ?
=== 评注 本题已知两角及一边，用正弦定理：在ABC ?中，
sin sin .A B a b A B >?>?>
变式1 在ABC ?中，角,,A B C 所对边依次为,,,2,2,a b c a b =
=
sin cos 2,B B +=则角Ａ的大小为 .
例 4.40 在ABC ?中，角,,A B C 所对边依次为,,,30,6,a b c B c ∠==o
记().b f a =若函数
()()(g a f a k k =-是常数）只有一个零点，则实数k 的取值范围是（ ）.
.{03A k k <≤或6}k = .{36}B k k ≤≤ .{6}C k k ≥ .{6D k k ≥或3}k =
分析 三角形问题首先根据题意画出三角形，ＡＣ的最小值为ＢＣ边的垂线段，再根据零点的意义及函数
求解.
解析 由()()0,g a f a k =-=且().b f a =，得(),k f a b ==如图4－34所示，由30,6,B c ∠==o
知Ａ
Ｃ边和的最小值为sin 3,c B =唯一的()a BC =符合()f a k =即若3,k =则()3,f a b ==此时存在函数
()g a 有唯一零点，若36k <<时，则()(3,6),f a b =∈此时以点Ａ为圆心，b 边为半径的圆与ＢＣ边及
延长线有两个交点12,C C ，如图4－34所示，则存在两个a 值1122(,),a BC a BC ==使得()()g a f a k =-有两个零点.若6k ≥时，则()6,f a b =≥则以点Ａ为圆心，b 边为半径的圆与ＢＣ边及延长线（除点Ｂ外）只有一个交点3C ，使得3a BC =，故函数()g a 有唯一零点.综上，实数k 的取值范围为3k =或 6.k ≥故选Ｄ.
评注 三角形问题一般先根据题意作出图 形，抓住已知量，充分想到三角形的边角关系及正弦定理，并尽可能转化和构造 直角三角形.
变式1 （1）在ABC ?中，已知角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 且2,b a == 如果三角形有解，则
角A 的取值范围是 ;
(2) 在ABC ?中，已知角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 且1,2,b a ==如果三角形有解，则角B 的取值范
围是 ;
（3）在ABC ?中，已知角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 且3,a c ==如果三角形有解，则角C 的取值范围是 .
二、利用正弦定理进行边角转化 例4.41 在ABC ?中，若A=2B ，则
a
b
的取值范围为（ ）.
A.(1,2) B 2)
分析 题中有边与角的关系及角的范围，可考虑用正弦定理转化为角的关系，再由角的范围来定边的范围.
解析 由正弦定理知
sin sin 22cosB,sin sinB a A B b B ===且()(0,),A B π+∈即03B π<<得03
B π
<<，因此1cos (,1),2B ∈所以(1,2).a
b
∈ 故选A.
评注 在ABC ?中，利用正弦定理
2sin sin sin a b c
R A B C
===，进行边与角的转化，在条件中有边也有角时，一般考虑统一成边或角的形式，再由两角和与差的公式来求解. 变式1 （1）若在锐角ABC ?中，若A=2B ，则a
b
的取值范围为 ; （2）若在直角ABC ?中，若A=2B ，则
a
b 的取值集合为 ; （3）若在钝角ABC ?中，若A=2B ，则a
b
的取值集合为 .
变式2 在ABC ?中，60,B AC ==o ，则AB+2BC 的最大值为 .
变式3已知,,,a b c 分别为ABC ?三个内角,,A B C 的对边，cos sin 0a C c b c --=，
（1）求A ；（2）若2a =，ABC ?，求,b c .
变式 4 （2012江西理17）在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 已知4
A π
=
，
sin()sin(),44
b C
c B a ππ
+-+=
（1）求证：;2
B C π
-=
（2）若a =ABC ?的面积.
题型2 余弦定理的应用 思路提示
(1)已知两边一夹角或两边及一对角，求第三边.
(2)已知三边求角或已知三边判断三角形的形状，先求最大角的余弦值，
若余弦值0,ABC 0,ABC .0,ABC >???
=???
则为锐角三角形则为直角三角形则为钝角三角形
一、利用余弦定理解三角形
例4.42 在 ABC ?中，
21,3
b c C π
==∠=
，则①a= .② ______.B ∠= 分析 已知两边一对角，求第三边用余弦定理，求另一对角用正弦定理.
解析①由余弦定理得，2222cos c a b ab C =+-，得2
1312()2
a a =+-?- ，即
220a a +-=，且 0a >，故 1.a =
②由正弦定理得，sin sin b c B C =，即
1
sin B =
1
sin 2
B =，又 b c B
C
变式1在 ABC ?中，
3,2,a b B A ==∠=∠， (1)求cos A 的值；（2）求 c 的值. 变式2在 ABC ?中，若1
2,7,cos 4,
a b c B =+==-
，则______.b = 变式3已知ABC ?
的等比数列，则其最大角的余弦值为 .
例 4.43 在ABC ?中，角,,A B C 所对边的长分别为,,,a b c 若2
222a b c +=，则cos C 的最小值为
（ ）
.
.2A
2
B 1.2
C 1.2
D - 解析 因为2
222222221cos 2222
a b c c c c C ab ab c a b +-==≥==+当且仅当a b =时取“=”，所以cos C 的最小值为1
.2
故选C.
变式1 在ABC ?中，角,,A B C 所对边分别为,,,a b c 若 1.30a c B +=∠=o ，求b 的取值范围. 变式2在ABC ?中，角,,A B C 所对边分别为,,,a b c 若 4.60,b B =∠=o
，求ABC S ?的最大值. 二、利用余弦定理进行边角转化
例 4.44在ABC ?中，角,,A B C 所对边分别为,,,a b c
若222()tan ,a c b B +-=则角B 的值为（ ）.
.
6
A π
.
3
B π
.
6
C π
或
56π .3D π或23
π
解析 （边化角）已知等式可变化为222tan 22a c b B ac +-=则sin cos ,cos 2B B B ?
=得
sin (0,),2
B B π=
∈所以3B π=或
23π.故选D. 变式1在ABC ?中，角,,A B C 所对边分别为,,,a b c 且2sin (2)sin (2)sin .a A b c B c b C =+++ （1）求A 的值；（2）求sin +sin B C 的最大值.
变式2 在锐角三角形中，角,,A B C 所对边分别为,,,a b c 若+=6cos b a C a b ，则tan tan +=______.tan tan C C
A B
变式3在ABC ?中，角,,A B C 所对边分别为,,,a b c 且
22-=2,sin cos =3cos sin a c b A C A C ，求.b
题型3 判断三角形的形状
思路提示
（1）求最大角的余弦，判断ABC ?是锐角、直角还是钝角三角形.
（2）用正弦定理或余弦定理把条件的边和角都统一成边或角，判断是等腰、等边还是直角三角形. 例4.45 在ABC ?中，若sin =2cos sin C A B ，则此三角形必为（ ）. A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 分析 角化边或sin =sin(+)C A B .
解析 解法一：角化边. 2222222+=2222c b c a b
c b c a R bc R
-???=+-b a ?=，则三角形为等腰三角形，
故选A.
解法二：因为sin =sin(+)C A B ，
所以sin cos cos sin 2cos sin A B A B A B +=sin cos cos sin 0A B A B ?-=，
sin()0,(),,(0,)A B A B k k Z A B ππ-=-=∈∈0k A B ?=?=，则三角形为等腰三角形，故选A.
变式1设ABC ?的内角为,,A B C 所对边分别为,,,a b c 若cos cos sin ,b C c B a A += 则ABC ?的形状为（ ）.
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.不确定
变式2（2012上海理16）在ABC ?中，若222sin sin sin A B C +<，则ABC ?的形状为（ ）. A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.不确定 变式3已知ABC ?中，2
cos
22A b c c
+=，则ABC ?的形状为（ ）. A.直角三角形 B.等腰三角形或直角三角形 C.正三角形 D. 等腰直角三角形
变式4（1）已知函数22()cos cos sin .f x x x x x =+- 求()f x 的最小正周期和值域；
（2）在ABC ?中，角,,A B C 所对边分别为,,,a b c 若()22
A f =且2a bc =，试判断ABC ?的形状. 题型3 正、余弦定理与的综合 思路提示
先利用平面向量的有关知识如向量数量积将向量问题转化为三角函数形式，再利用三角函数转化求解.
例4.46在ABC ?中，角,,A B C 所对边分别为,,,a b c 且 1.AB AC BA BC ?=?=u u u r u u u r u u u r u u u r
（1）求证：;A B = （2）求边长c 的值；
（3）若6AB AC +=u u u r u u u r
，求ABC ?的面积.
分析（3）中AB AC +u u u r u u u r
为ABCD Y 对角线AD 长，由平行四边形对角线性质可求出AC=BC ，设AB 中点为M ，1
2
ABC S AB CM ?=
? 解析 （1）利用数量积定义，
cos cos 1bc A ac B ==cos sin cos sin b B B a A A
?
==tan tan A B ?=.A B ?= （2）如图4-35所示，取等腰三角形AB 边上的中线（即高线CM ，则
cos 2c AM b A ==.cos 12c AB AC cb A c ?==?=u u u r u u u r ，故 2.c =或2
c
AM =
是AC u u u r 在AB u u u r
方向上的投影，由向量数量积的几何意义可知 2
1 1.2
AB AC AB AM c ?===u u u r u u u r u u u r u u u u r 故 2.c =
(3)如图4-35所示，ABCD Y 中， 6,AB AC AD +==u u u r u u u r u u u r
在ABD ?中，
222,2cos(),BD a b AD c a a A π===+--在ABC ?中，2222cos .BC b c bc A =+-
22
22262cos 2cos c a ac A a b c bc A
?=++??=+-??①②
由①+②得22222622622,2,a c a a c a +=+?=-==
即2a b c ===，在等边ABC ?中，
1133sin 2222ABC S ab C ?=
=???=或233
.ABC S a ?==
评注 ①+②得平行四边形公式：平行四边形两条对角线的平方和等于四边的平方和，即在ABCD Y 中，
222222AD BC AB AC +=+.
变式1（2012湖南理7）在ABC ?中，2,3,1AB AC AB BC ==?=u u u r u u u r
，则BC=（ ）．
.3A .7B .22C .23D
变式2在ABC ?中，角,,A B C 所对边分别为,,,a b c ,(13)2.6
A c b π
=+=
(1)求C ； （2）若13CB CA ?=+u u u r u u u r
，求,,.a b c
变式3在ABC ?中，角,,A B C 所对边分别为,,,a b c 且25
cos , 3.2A AB AC =?=u u u r u u u r
（1）求ABC ?的面积； （2）6b c +=，求a 的值.
变式4在ABC ?中，角,,A B C 所对边分别为,,,a b c 且cos 3cos cos .b C a B c B =-
（1）求cos B 的值；（2）若2,BA BC ?=u u u r u u u r
且22b =，求a 和c 的值.
题型4 解三角形的实际应用 思路提示
根据题意画出图形，将题设已知、未知显示在图形中，建立已知、未知关系，利用三角知识求解. 例4.47 如图4-36所示，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径.一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C ，现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50m/min ，在甲出发2min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1min 后，再从B 处匀速步行到 C.假设缆车匀速直线运动的速度为了130m/min ，山路AC 长为1260m ，经测量，
123cos ,cos .135
A C =
= （1）求索道AB 的长；
（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离 最短？ （3）为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什
么范围内？
分析 （1）cos ,cos A C 的值可求得sin B 的值，然后在ABC ?中利用正弦定理可得AB 的长度；（2）利用余弦定理将乙与甲之间的距离表示为出发时间的函数，然后求得函数的最小值，即得最短距离；（3）利用正弦定理求出BC 的长，再根据题意列不等式求解.
解析 （1）在ABC ?中，因为123cos ,cos .135A C =
=所以54
sin ,sin .135
A C ==从而 sin sin[()]sin()sin cos cos sin
B A
C A C A C A C π=-+=+=+5312463
.13513565
=?+?=
由正弦定理sin sin AB AC C B
=，得12604
sin 1040().
63sin 565
AC AB C m B =?=?= 所以索道AB 的长为1040m.
(2)假设乙出发tmin 后，甲、乙两游客距离为d ，此时甲行走了（100+50t ）m ，乙距离A 处130tm ，所以由余弦定理得
22212(10050)(130)2130(10050)13
d t t t t =++-??+? 2200(377050).t t =-+由于10400130t ≤≤
，即08t ≤≤，故当35
(min)37
t =
时，甲、乙两游客距离最短. (3)由正弦定理sin sin BC AC A B
=，得12605
sin 500().
63sin 1365
AC BC A m B =?=?=
乙从B 出发时，甲已走了50(281)550(),m ?++=还需走710 m 才能到达C.
设乙步行的速度为v m/min ，由题意得50071033,50v -≤
-≤解得1260625
.4314
v ≤≤ 所以为使两游客在C 处互相等待的时间不超过3 min ，乙步行的速度应控制在1250625
[
,]4314
（单位：m/min ）范围内.
评注 解三角形应用题问题，关键是能根据实际问题的背景建立三角形的模型，再正弦定理和余弦定理求解三角形，最后要特别注意结果要符合题意，并带上单位.
变式1 为了测量正在海面匀速行驶的某航船的位置，如图4-37所示，在海岸上选取距离1km 的两个观测点C ，D ，在某天10：00观察到该航船在A 处，此时测得30,ADC ∠=o 2分钟后，该船行驶到B 处，此时测得
60,45ACB BCD ∠=∠=o o 60,ADB ∠=o 则船速为 .(km/min).
最有效训练题
1.在ABC ?中，角,,A B C 所对边分别为,,,a b c 若角,,A B C 依次成等差数列，且1,3,a b ==则
().ABC S =V
.2A 3
.
2
B .3
C .2
D 2.ABC ?的三个内角,,A B C 所对边分别为,,,a b c 2sin sin cos 2,a A B b A a +=
则
().b a
=
.23A .22B .3C .2D
3.已知ABC ?的三边长分别为,,,a b c 且面积22
21(),4
ABC S b c a ?=
+-则().A ∠=
.15A o .30B o .45C o .120D o
4 .若ABC ?的内角,,A B C 所对边分别为,,a b c 满足2
2
()4a b c +-=且60C =o ，则ab 的值为（ ）.
4.3A .843B - .1C 2.3
D 5. .在ABC ?中，222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则A 的取值范围是（ ）.
.(0,]6A π .[,)6B ππ .(0,]3C π .[,)3
D π
π 6.在锐角ABC ?中，已知A B C >>，则cos B 的取值范围为（ ）.
2.(0,
)2A 12.[,)22B .(0,1)C 2.(,1)2
D 7.在ABC ?中，若120,5,A c ∠==o
ABC ?的面积为53，则______.a = 8.在ABC ?中，角,,A B C 所对边分别为,,a b c 如果3,30,c a B =
=o 那么角C 等于 .
9.已知ABC ?的一个内角为120o ，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC ? 的面积为 . 10.在ABC ?中，角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若sin a c A =，则
a b
c
+的最大值为 . 11.在ABC ?中，已知2, 2.ABC AB AC S ??==u u u r u u u r
（1）求tan A 的值；（2）若sin 2cos sin B A C =，求BC 的长.
12.为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，三角形支架如图4-38所示，要求60,ACB BC ∠=o
的长度大于1米，且AC 比AB 长0.5米，为了广告牌稳固，要求AC 的长度越短越好，求AC 的最短长度，并求出此时BC 的长度.
解三角形知识点归纳总结
第一章 解三角形 一.正弦定理： 1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外 接圆的直径，即 R C c B b A a 2sin sin sin ===（其中R 是三角形外接圆的半径） 2.变形：1）sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++=== A + B +A B ． 2）化边为角： C B A c b a sin :sin :sin ::=； ;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a = 3）化边为角：C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2=== 4）化角为边： ;sin sin b a B A = ;sin sin c b C B =;sin sin c a C A = 5）化角为边： R c C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin = == 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： 4. ①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角； 例：已知角B,C,a ， 解法：由A+B+C=180o ，求角A,由正弦定理 ;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a =求出b 与c ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。 例：已知边a,b,A, 解法：由正弦定理B A b a sin sin =求出角B,由A+B+C=180o 求出角C ，再使用正弦定理C A c a sin sin =求出c 边 4.△ABC 中，已知锐角A ，边b ，则 ①A b a sin <时，B 无解； ②A b a sin =或b a ≥时，B 有一个解； ③b a A b < 第一章解三角形 .正弦定理: 2）化边为角： a : b: c sin A : sin B : sin C ? 7 a si nA b sin B a sin A b sin B ' c sin C J c sin C ' 3 ）化边为角： a 2Rsin A, b 2Rsin B, c 2Rsin C 4 ）化角为边: sin A sin B a ； sin B J b sin C b sin A a c' sin C c ' a b 5 ）化角为边：si nA , si nB , si nC 2R 2R 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ① 已知两个角及任意一边，求其他两边和另一角； 例：已知角B,C,a ， 解法：由 A+B+C=180,求角A,由正弦定理a 竺A, 竺B b sin B c sin C b 与c ②已知两边和其中一边 的对角，求其他两个角及另一边。 例：已知边a,b,A, 解法：由正弦定理旦 血 求出角B,由A+B+C=180求出角C,再使用正 b sin B 弦定理a 泄求出c 边 c sin C 4. △ ABC 中，已知锐角A ,边b ,贝U ① a bsin A 时，B 无解； ② a bsinA 或a b 时，B 有一个解; ③ bsinA a b 时，B 有两个解。 如：①已知A 60 ,a 2,b 2 3,求B （有一个解） ②已知A 60 ,b 2,a 2.3,求B （有两个解） 注意：由正弦定理求角时，注意解的个数 .三角形面积 各边和它所对角的正弦的比相等, 并且都等于外 接圆的直径， 即 a b c sin A sin B sinC 2.变形：1） a b c a sin sin si sin 2R （其中R 是三角形外接圆的半径） b c sin sinC c 2R 沁；求出 sin C 1.正弦定理：在一个三角形中, bsin A 《解三角形》知识点、题型与方法归纳 一、知识点归纳（★☆注重细节，熟记考点☆★） 1．正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径） 变式：12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（）(边化角公式） 2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===（）(角化边公式） 3::sin :sin :sin a b c A B C =（） sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C === 2．正弦定理适用情况： （1）已知两角及任一边； （2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）. 3．余弦定理及其推论 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+- 222 222 222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab +-= +-=+-= 4．余弦定理适用情况： （1）已知两边及夹角； （2）已知三边. 注．解三角形或判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用)，统一成边的形式或角的形式. 5．常用的三角形面积公式 （1）高底??= ?2 1ABC S ； （2）()111=sin sin sin 2224abc S ab C ac B bc A R ABC R ===?为外接圆半径 （两边夹一角）； 6．三角形中常用结论 （1）,,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边） （2）sin sin (ABC A B a b A B ?>?>?>在中，即大边对大角，大角对大边） （3）在ABC ?中，A B C π++=，所以 ①()sin sin A B C +=；②()cos cos A B C +=-； ③()tan tan A B C +=-；④sin cos ,22A B C +=⑤cos sin 22 A B C += 7．实际问题中的常用角 （1）仰角和俯角 高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳 1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)； 2、三角形三边关系：a+b>c; a-b 基础强化（8）——解三角形 1、①三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°-(A+B)； ②. 三角形三边关系：a+b>c; a-b 解三角形题型总结 ABC ?中的常见结论和定理： 一、 内角和定理及诱导公式： 1．因为A B C π++=， 所以sin()sin ,cos()cos , tan()tan A B C A B C A B C +=+=-+=-； sin()sin ,cos()cos ,tan()tan A C B A C B A C B +=+=-+=-； sin()sin ,cos()cos ,tan()tan B C A B C A B C A +=+=-+=- 因为,22A B C π++= 所以sin cos 22A B C +=，cos sin 22 A B C +=，………… 2．大边对大角 3.在△ABC 中，熟记并会证明tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC; (2)A 、B 、C 成等差数列的充要条件是B=60°； (3)△ABC 是正三角形的充要条件是A 、B 、C 成等差数列且a 、b 、c 成等比数列. 四、面积公式： （1）12a S ah = （2）1()2 S r a b c =++（其中r 为三角形内切圆半径） （3）111sin sin sin 222 S ab C bc A ac B === 五、 常见三角形的基本类型及解法： （1）已知两角和一边（如已知,,A B 边c ） 解法：根据内角和求出角)(B A C +-=π； 根据正弦定理 R C c B b A a 2sin sin sin ===求出其余两边,a b （2）已知两边和夹角（如已知C b a ,,） 解法：根据余弦定理2 2 2 2cos c a b ab C =+-求出边c ； 根据余弦定理的变形bc a c b A 2cos 2 22-+=求A ； 根据内角和定理求角)(C A B +-=π. （3）已知三边（如：c b a ,,） 解法：根据余弦定理的变形bc a c b A 2cos 2 22-+=求A ； 根据余弦定理的变形ac b c a B 2cos 2 22-+=求角B ； 根据内角和定理求角)(B A C +-=π （4）已知两边和其中一边对角（如：A b a ,,）（注意讨论解的情况） 解法1：若只求第三边，用余弦定理：222 2cos c a b ab C =+-； 解法2：若不是只求第三边，先用正弦定理R C c B b A a 2sin sin sin ===求B （可能出现一解，两解或无解的情况，见题型一）； 再根据内角和定理求角)(B A C +-=π；. 先看一道例题： 例：在ABC ?中，已知0 30,32,6===B c b ，求角C 。（答案：045=C 或0135） 解三角形专题题型归纳 《解三角形》知识点、题型与方法归纳 一、知识点归纳（★☆注重细节，熟记考点☆★） 1．正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径） 变式：12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（）(边化角公式） 2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===（）(角化边公式） 3::sin :sin :sin a b c A B C =（） sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C === 2．正弦定理适用情况： （1）已知两角及任一边； （2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）. 3．余弦定理及其推论 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+- 222 222222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab +-=+-=+-= 4．余弦定理适用情况： （1）已知两边及夹角； （2）已知三边. 注．解三角形或判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用)，统一成边的形式或角的形式. 5．常用的三角形面积公式 （1）高底??=?2 1ABC S ； （2）()111=sin sin sin 2224abc S ab C ac B bc A R ABC R ===?为外接圆半径 （两边夹一角）； 6．三角形中常用结论 （1）,,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边） （2）sin sin (ABC A B a b A B ?>?>?>在中，即大边对大角，大角对大边） （3）在ABC ?中，A B C π++=，所以 ①()sin sin A B C +=；②()cos cos A B C +=-； ③()tan tan A B C +=-；④sin cos ,22A B C +=⑤cos sin 22 A B C += 7．实际问题中的常用角 （1）仰角和俯角 实用标准 —tanC。 例 1 ? (1 )在 ABC 中，已知 A 32.00 , B 81.80 因为 00 v B v 1800，所以 B 640，或 B 1160. c as nC 空啤 30(cm). sin A s in400 ②当B 1160时, 点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形; 对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 题型2 :三角形面积 2 , AC 2 , AB 3，求tan A 的值和 ABC 的面积。 2 (2 )在 ABC 中，已知 a 20 cm ， b 28 cm ， 40°，解三角形（角度精确到 10，边长精确 到 1cm ) o 解：（1 ）根据三角形内角和定理, C 1800 (A B) 1800 (32.00 81.80) 66.20 ； 根据正弦定理，b asinB 42.9sin81.80 si nA 眾厂 80.1(cm)； 根据正弦定理，c 聲C 丝9也彰 74.1(cm). sin 32.0 （2 ）根据正弦定理, s"B 舸 A 28sin4°0 a 20 0.8999. ,a 42.9 cm ，解三角形; ①当 B 640 时， C 1800 (A B) 1800 (40° 640) 760, C 1800 (A B) 1800 (400 116。)240 , c asinC si nA 呼 13(cm). sin 40 (2) 解法一：先解三角方程，求出角 A 的值。 例2 ?在ABC 中， sin A cos A si nA cos A j2cos(A 45 )-—, 2 1 cos(A 45 )-. 又 0 A 180 , A 45o 60o , A 105.° o o 1 \/3 L tan A tan(45 60 ) 一字 2 J3, 1 73 42 si nA sin105 sing5 60) sin4 5 co$60 cos45 si n60 ——-—. 1 1 /2 洽 n S ABC AC AB si nA 2 3 近 46)。 2 2 4 4 解法二：由sin A cos A 计算它的对偶关系式 si nA cos A 的值。 v 2 — si nA cos A —— ① 2 2 1 (si nA cos A)2 2 1 2sin Acos A — 2 Q0o A 180o , si nA 0,cos A 0. 1 另解(si n2A —) 2 2 3 (s in A cos A) 1 2 sin Acos A —, *'6 _ si nA cos A — ② 2 $2 J6 ①+②得sin A --------------- 。 4 ①-②得 cosA <6 。 4 u 而丄 A si nA J 2 J 6 4 c 匚 从而 tan A l l 2 ~3。 cosA 4 v2 v 6 解三角形知识点归纳 1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)； 2、三角形三边关系：a+b>c; a-b 高中数学解三角形题型目录一．正弦定理 1.角角边 2.边边角 3.与三角公式结合 4.正弦定理与三角形增解的应对措施 5.边化角 6.正弦角化边 二．余弦定理 1.边边边 2.边角边 3.边边角 4.与三角公式结合 5.比例问题 6.余弦角化边 7.边化余弦角 三．三角形的面积公式 1.面积公式的选用 2.面积的计算 3.正、余弦定理与三角形面积的综合应用 四．射影定理 五．正弦定理与余弦定理综合应用 1.边角互化与三角公式结合 2.与平面向量结合 3.利用正弦或余弦定理判断三角形形状 4.三角形中的最值问题 (1)最大(小)角 (2)最长(短)边 (3)边长或周长的最值 (4)面积的最值 (5)有关正弦或余弦或正切角等的最值 (6)基本不等式与余弦定理交汇 (7)与二次函数交汇 六．图形问题 1.三角形内角之和和外角问题 2.三角形角平分线问题 3.三角形中线问题 4.三角形中多次使用正、余弦定理 5.四边形对角互补与余弦定理的多次使用 6.四边形与正、余弦定理 六．解三角形的实际应用 1.利用正弦定理求解实际应用问题 2.利用余弦定理求解实际应用问题 3.利用正弦和余弦定理求解实际应用问题 一．正弦定理 1.角角边 ?=?=?= 例.在中,解三角形 ABC A B a 30,45,2,. ?=?=?== 练习1.在中则 ABC A B a c ,30,45, . 练习2.在中,已知45,,求 ?=?=?= 30. ABC C A a b 2.边边角 例中，解这个三角形?===? ABC a .45,. 练习1中,则 ?==+== . 1,2,sin ABC a b A C B C 练习2.中则 ?===?= ,3,60,_____ ABC c b C A 《解三角形》知识点、题型与方法归纳 1．正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径） 变式：12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（）(边化角公式） 2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===（）(角化边公式） 3::sin :sin :sin a b c A B C =（） sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C === 2．正弦定理适用情况： （1）已知两角及任一边； （2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）. 3．余弦定理及其推论 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+- 222 222 222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab +-= +-=+-= 4．余弦定理适用情况： （1）已知两边及夹角； （2）已知三边. 注．解三角形或判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用)，统一成边的形式或角的形式. 5．常用的三角形面积公式 （1）高底??= ?2 1ABC S ； （2）()111=sin sin sin 2224abc S ab C ac B bc A R ABC R ===?为外接圆半径 （两边夹一角）； 6．三角形中常用结论 （1）,,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边） （2）sin sin (ABC A B a b A B ?>?>?>在中，即大边对大角，大角对大边） （3）在ABC ?中，A B C π++=，所以 ①()sin sin A B C +=；②()cos cos A B C +=-； ③()tan tan A B C +=-；④sin cos ,22A B C +=⑤cos sin 22A B C += 解三角形有用的结论 1. 任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异 于原点），它与原点的距离是 0r =>，那么 sin ,cos y x r r αα= =， () tan ,0y x x α=≠ 三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。 2.三角函数在各象限的符号： （一全二正弦，三切四余弦） ＋ ＋ － ＋ － ＋ － － － ＋ ＋ － sin α cos α tan α 3. 同角三角函数的基本关系式： （1）平方关系： 22221sin cos 1,1tan cos αααα+=+= （2）商数关系： sin tan cos α αα= （用于切化弦） ※平方关系一般为隐含条件，直接运用。注意“1”的代换 4.三角函数的诱导公式 诱导公式（把角写成α π±2k 形式，利用口诀：奇变偶不变，符号看象限） Ⅰ）?????=+=+=+x x k x x k x x k tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(πππ Ⅱ）?????-=-=--=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin( Ⅲ） ?????=+-=+-=+x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅳ）?????-=--=-=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅴ）???????=-=-ααπααπsin )2cos(cos )2sin( Ⅵ）???????-=+=+ααπααπsin )2cos(cos )2sin( 1 《解三角形》题型归纳 【题型归纳】 题型一正弦定理、余弦定理的直接应用 例1ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin()8sin 2B A C +=． (1)求cos B (2)若6a c +=，ABC ?面积为2，求b ． 【答案】（1）15 cos 17B =（2）2b =． 【解析】由题设及A B C π++=得2sin 8sin 2B B =，故sin 4(1cos )B B =-． 上式两边平方，整理得217cos 32cos 150B B -+=， 解得cos 1B =（舍去），15 cos 17B =. （2）由15cos 17B =得8sin 17B =，故1 4 sin 217ABC S ac B ac ?==． 又2ABC S ?=，则17 2ac =． 由余弦定理及6a c +=得22222cos ()2(1cos ) b a c ac B a c ac B =+-=+-+17 15 362(14217=-??+=． 所以2b =． 【易错点】二倍角公式的应用不熟练，正余弦定理不确定何时运用 【思维点拨】利用正弦定理列出等式直接求出 例2ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若2cos cos cos b B a C c A =+,则B =.【答案】π3【解析】1 π 2sin cos sin cos sin cos sin()sin cos 23B B A C C A A C B B B =+=+=?=?= . 2【易错点】不会把边角互换，尤其三角恒等变化时，注意符号。 【思维点拨】边角互换时，一般遵循求角时，把边换成角；求边时，把角转换成边。 例3在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若b ＝1，c ＝3，C ＝23 π，则S △ABC ＝________.【答案】34 【解析】因为c ＞b ，所以B ＜C ，所以由正弦定理得b sin B ＝c sin C ，即1sin B ＝3sin 2π3＝2，即sin B ＝12，所以B ＝π6，所以A ＝π－π6－2π3＝π6.所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×3×12＝34 .【易错点】大边对大角，应注意角的取值范围 【思维点拨】求面积选取公式时注意，一般选取已知角的公式，然后再求取边长。题型二利用正弦定理、余弦定理判定三角形的形状 例1在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且,,A B C 成等差数列 (1)若2b c ==，求ABC ?的面积 (2)若sin ,sin ,sin A B C 成等比数列，试判断ABC ?的形状 【答案】(1)32(2)等边三角形 【解析】(1)由A ，B ，C 成等差数列，有2B ＝A ＋C (1) 因为A ，B ，C 为△ABC 的内角，所以A ＋B ＋C ＝π．(2) 得B ＝3π， b 2＝a 2＋ c 2－2accosB (3)所以3 cos 44)32(22πa a -+=解得4=a 或2-=a (舍去)所以323 sin 2421sin 21=??==?πB ac s ABC (2)由a ，b ，c 成等比数列，有b 2＝ac (4) 由余弦定理及(3)，可得b 2＝a 2＋c 2－2accosB ＝a 2＋c 2－ac 再由(4)，得a 2＋c 2－ac ＝ac ，即(a －c )2＝0。因此a ＝c 从而A ＝C (5) 由(2)(3)(5)，得A ＝B ＝ C ＝3 π 三角函数及解三角形知识点 总结 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII 1. 任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意 一点（异于原点），它与原点的距离是0r =>，那么 sin ,cos y x r r αα= =，()tan ,0y x x α=≠ 三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。 2.三角函数在各象限的符号： （一全二正弦，三切四余弦） ＋ ＋ － ＋ － ＋ － － － ＋ ＋ － sin α cos α tan α 3. 同角三角函数的基本关系式： （1）平方关系：22221 sin cos 1,1tan cos αααα +=+= （2）商数关系：sin tan cos α αα = （用于切化弦） ※平方关系一般为隐含条件，直接运用。注意“1”的代换 4.三角函数的诱导公式 诱导公式（把角写成 απ ±2 k 形式，利用口诀：奇变偶不变，符号看象限） Ⅰ）??? ??=+=+=+x x k x x k x x k tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(πππ Ⅱ）?????-=-=--=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin( Ⅲ） ?? ???=+-=+-=+x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅳ）?????-=--=-=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅴ）???????=-=-ααπααπsin )2cos(cos )2sin( Ⅵ）??? ????-=+=+α απααπsin )2cos(cos )2sin( 解三角形的知识总结和题型归纳 一、知识必备： 1．直角三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝b a 。 2．斜三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。 （2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 R C c B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径）（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。 3．三角形的面积公式： （1）?S ＝ 21ah a ＝21bh b ＝21 ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）；（2）?S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝2 1 ac sin B ； 4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面 【高中数学】 一. 构成三角形个数问题 1在ABC中，已知a x,b 2,B 45°，如果三角形有两解，则x的取值范围是（ ） A. 2 x 2 2 B. x 2,2 C . 2 x 2 D. 0x2 2 ?如果满足ABC 60 , AC 12 , BC k的厶ABC恰有一个，那么k的取值范围是 3.在ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（） A* CJ =S J =J = 45=B. a = 60 ；b -= 81； B = = 60°+J C” a —7 > b —5j八眇 D ?。二14 , b - 20, "4亍二. 求边长问题 4.在ABC 中，角A, B,C所对边a,b,c，若a 3,C1200,ABC的面积S 15血4 则c() A. 5 B .6 C . V39D7 5.在△ ABC 中，a1,B 450,S ABC 2，则b = 三. 求夹角冋题 6.在ABC中，ABC -,AB4V2, BC 3，则sin BAC( ) v'10V103^10<5 A. 10 B5 C . 10D5 7 .在厶ABC 中，角A , B , C 所对的边分别a,b,C,S 为表示△ ABC 的面积，若 1 2 2 2 bcosA csinC, S (b c a )，则/ B=( 4 B . 60° C . 45° D . 30° 四. 求面积问题 &已知△ ABC 中，内角A , B, C 所对的边长分别为 a,b,c .若 a ZbcosAB -， c 1 ，则 △ ABC 的面积等于 ( ) g 6 4 2 9.锐角 ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、 1 c ,已知 cos2C - 4 ([)求 sinC 的值； (□)当 a 2, 2si nA si nC 时，求 b 的长及 ABC 的面积. 10?如图，在四边形 ABCD 中，AB 3,BC 7.3,CD 14, BD 7, BAD 120 a cosB A. 90° (1 )求AD 边的长； (2)求ABC 的面积. 欢迎阅读 第一章 解三角形 一.正弦定理： 1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即 R C c B b A a 2sin sin sin ===（其中R 是三角形外接圆的半径） 2.变形：1）sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++===A +B +A B ． 2）化边为角：C B A c b a sin :sin :sin ::=； ;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a = 3）化边为角：C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2=== 4）化角为边： ;sin sin b a B A = ;sin sin c b C B =;sin sin c a C A = 5）化角为边： R c C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin === 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： 4. ①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角； 例：已知角B,C,a ， 解法：由A+B+C=180o ，求角A,由正弦定理;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a =求出b 与c ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。 例：已知边a,b,A, 解法：由正弦定理B A b a sin sin =求出角B,由A+B+C=180o 求出角C ，再使用正弦定理C A c a sin sin =求出c 边 4.△ABC 中，已知锐角A ，边b ，则 ①A b a sin <时，B 无解； ②A b a sin =或b a ≥时，B 有一个解； ③b a A b < 《解三角形》常见题型总结 1、1正弦定理和余弦定理 1、1、1正弦定理 【典型题剖析】 考察点1：利用正弦定理解三角形例1 在ABC中，已知 A:B:C=1:2:3,求a :b :c、 【点拨】 本题考查利用正弦定理实现三角形中边与角的互化，利用三角形内角和定理及正弦定理的变形形式 a :b :c=sinA: sinB: sinC 求解。解： 【解题策略】 要牢记正弦定理极其变形形式，要做到灵活应用。例2在ABC 中，已知c=+，C=30，求a+b的取值范围。 【点拨】 此题可先运用正弦定理将a+b表示为某个角的三角函数，然后再求解。解：∵C=30，c=+，∴由正弦定理得：∴ a=2(+)sinA,b=2(+)sinB=2(+)sin（150-A）、 ∴a+b=2(+)[sinA+sin(150-A)]=2(+)2sin75cos(75-A)= cos(75-A)① 当75-A=0，即A=75时，a+b取得最大值=8+4；② ∵A=180-(C+B)=150-B,∴A＜150，∴0＜A＜150,∴-75＜75-A＜75， ∴cos75＜cos(75-A)≤1，∴＞ cos75==+、综合①②可得a+b的 取值范围为(+,8+4>考察点2：利用正弦定理判断三角形形状例3在△ABC中，tanB=tanA，判断三角形ABC的形状。 【点拨】 通过正弦定理把边的关系转化为角的关系，利用角的关系判断△ABC的形状。解：由正弦定理变式a=2RsinA,b=2RsinB得：,即，，、∴为等腰三角形或直角三角形。 【解题策略】 “在△ABC中，由得∠A=∠B”是常犯的错误，应认真体会上述解答过程中“∠A=∠B或∠A+∠B=”的导出过程。例4在△ABC 中，如果，并且B为锐角，试判断此三角形的形状。 【点拨】 通过正弦定理把边的形式转化为角的形式，利用两角差的正弦公式来判断△ABC的形状。解：、又∵B为锐角，∴B= 45、由由正弦定理，得,∵代入上式得：考察点3：利用正弦定理证明三角恒等式例5在△ABC中，求证、 【点拨】 观察等式的特点，有边有角要把边角统一，为此利用正弦定理将转化为、证明：由正弦定理的变式得：同理 【解题策略】 在三角形中，解决含边角关系的问题时，常运用正弦定理进行边角互化，然后利用三角知识去解决，要注意体会其中的转化 解三角形常见题型归纳 正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具，其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系。 题型之一：求解斜三角形中的基本元素 指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题． 1. 在ABC ?中，AB=3，AC=2，BC=10，则AB AC ?=u u u r u u u r ( ) A ．23- B ．32- C ．32 D ．2 3 【答案】D 2．（1）在?ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9=a cm ，解三角形； （2）在?ABC 中，已知20=a cm ，28=b cm ，040=A ，解三角形（角度精确到01，边长精确到1cm ）。 3．（1）在?ABC 中，已知=a c 060=B ，求b 及A ； （2）在?ABC 中，已知134.6=a cm ，87.8=b cm ，161.7=c cm ，解三角形 4(2005年全国高考江苏卷) ABC ?中，3 π = A ，BC ＝3，则ABC ?的周长为（ ） A ．33sin 34+??? ? ? + πB B ．36sin 34+??? ? ? +πB C ．33sin 6+??? ? ? + πB D ．36sin 6+??? ? ? +πB 分析：由正弦定理，求出b 及c ，或整体求出b ＋c ，则周长为3＋b ＋c 而得到结果．选(D)． 5 （2005年全国高考湖北卷) 在ΔABC 中，已知6 6 cos ,364== B AB ，A C 边上的中线B D =5，求sin A 的值． 分析：本题关键是利用余弦定理，求出AC 及BC ，再由正弦定理，即得sin A ． 解：设E 为BC 的中点，连接DE ，则DE //AB ，且3 6221== AB DE ，设BE ＝x 在ΔBDE 中利用余弦定理可得：BED ED BE ED BE BD cos 22 2 2 ?-+=， x x 6636223852??++ =，解得1=x ，3 7 -=x （舍去） 故BC =2，从而3 28 cos 2222= ?-+=B BC AB BC AB AC ，即3212=AC 又630sin =B ，解三角形知识点归纳总结
(完整版)解三角形专题题型归纳
最新解三角形知识点归纳(附三角函数公式)
(完整版)解三角形知识点及题型总结
解三角形题型总结原创
解三角形专题题型归纳
高中数学-解三角形知识点汇总情况及典型例题1
解三角形知识点归纳
高中数学解三角形题型完整归纳
解三角形专题题型归纳
三角函数与解三角形知识点总结
高考中《解三角形》题型归纳
三角函数及解三角形知识点总结
【高中数学】解三角形的知识总结和题型归纳
必修五解三角形题型归纳
解三角形知识点归纳总结归纳
《解三角形》常见题型总结
解三角形常见题型归纳