完全平方公式的综合应用
完全平方公式的综合
应用
Revised on November 25, 2020
“完全平方公式变形的应用”培优题 姓名：
完全平方式常见的变形有:
（1）ab b a b a 2)(222-+=+ （2） ab b a b a 2)(222+-=+
（3）
ab b a b a 4)(22=--+）（（4）bc ac ab c b a c b a 222)(2222---++=++ 1、已知m 2+n 2-6m+10n+34=0，求m+n 的值
2、已知0136422=+-++y x y x ，y x 、都是有理数，求y x 的值。
练一练 A 组：
1．已知()5,3a b ab -==求2()a b +与223()a b +的值。
2．已知6,4a b a b +=-=求ab 与22a b +的值。
3、已知224,4a b a b +=+=求22a b 与2()a b -的值。
4、已知(a +b)2=60，(a -b)2=80，求a 2+b 2及a b 的值
B 组：
5．已知6,4a b ab +==，求22223a b a b ab ++的值。
6．已知222450x y x y +--+=，求21(1)2
x xy --的值。 7．已知16x x -=，求221x x
+的值。 8、0132=++x x ，求（1）221x x +（2）441x
x + C 组:
10、已知三角形 ABC 的三边长分别为a,b,c 且a,b,c 满足等式
22223()()a b c a b c ++=++，请说明该三角形是什么三角形
整式的乘法、平方差公式、完全平方公式、整式的除法(B 卷)
综合运用题 姓名：
一、请准确填空
1、若a 2+b 2－2a +2b +2=0,则a 2004+b 2005=________.
2、一个长方形的长为(2a +3b ),宽为(2a －3b ),则长方形的面积为________.
3、5－(a －b )2的最大值是________，当5－(a －b )2取最大值时，a 与b 的关系是________.
4.要使式子+4
1y 2成为一个完全平方式，则应加上________. 5.(4a m+1－6a m )÷2a m －1=________.
×31×(302+1)=________.
7.已知x 2－5x +1=0,则x 2+21x
=________. 8.已知(2005－a )(2003－a )=1000,请你猜想(2005－a )2+(2003－a )2=________.
二、相信你的选择
9.若x 2－x －m =(x －m )(x +1)且x ≠0,则m 等于
A.－1
10.(x +a)与(x +5
1)的积不含x 的一次项，猜测a 应是 B.5
1 C.－5
1 D.－5 11.下列四个算式:①4x 2y 4÷4
1xy =xy 3;②16a 6b 4c ÷8a 3b 2=2a 2b 2c ;③9x 8y 2÷3x 3y =3x 5y ; ④(12m 3+8m 2－4m )÷(－2m )=－6m 2+4m +2，其中正确的有 个 个 个 个
12.设(x m －1y n +2)·(x 5m y －2)=x 5y 3,则m n 的值为
B.－1
D.－3
13.计算［(a 2－b 2)(a 2+b 2)］2等于
－2a 2b 2+b 4 +2a 4b 4+b 6 －2a 4b 4+b 6 －2a 4b 4+b 8
14.已知(a +b )2=11,ab =2,则(a －b )2的值是
15.若x 2－7xy +M 是一个完全平方式，那么M 是
27 249
4
49
16.若x ,y 互为不等于0的相反数，n 为正整数,你认为正确的是
、y n 一定是互为相反数 B.(x
1)n 、(y 1)n 一定是互为相反数 、y 2n 一定是互为相反数 －1、－y 2n －1一定相等
三、考查你的基本功
17.计算
(1)(a －2b +3c )2－(a +2b －3c )2;
(2)［ab (3－b )－2a (b －2
1b 2)］(－3a 2b 3); (3)－2100××(－1)2005÷(－1)－5;
(4)［(x +2y )(x －2y )+4(x －y )2－6x ］÷6x .
18.(6分)解方程
x (9x －5)－(3x －1)(3x +1)=5.
“整体思想”在整式运算中的运用
“整体思想”是中学数学中的一种重要思想，贯穿于中学数学的全过程，有些问题局部求解各个击破，无法解决，而从全局着眼，整体思考，会使问题化繁为简，化难为易，思路清淅，演算简单，复杂问题迎刃而解，现就“整体思想”在整式运算中的运用，略举几例解析如下，供同学们参考：
1、当代数式532++x x 的值为7时,求代数式2932-+x x 的值.
2、已知2083-=x a ，1883-=x b ，168
3-=x c ，求：代数式bc ac ab c b a ---++222的值。
3、已知4=+y x ，1=xy ，求代数式)1)(1(22++y x 的值
4、已知2=x 时，代数式10835=-++cx bx ax ，求当2-=x 时，代数式
835-++cx bx ax 的值
5、若123456786123456789?=M ，123456787123456788?=N
试比较M 与N 的大小
6、已知012=-+a a ，求2007223++a a 的值.
初二数学利用公式法(完全平方公式)因式分解课堂
设计思路： 教师是学习活动的引导者和组织者，学生是课堂的主人。教师在教学中要充分体现教师的导向作用，尊重学生的个体差异，选择适合自己的学习方式，鼓励学生自主探索与合作交流，让学生经历数学知识的形成与应用过程，鼓励学生的直觉并且运用基本方法进行相关的验证，指导学生注重数学知识之间的联系，不断提高解决问题的能力。 教学过程： 师生问好，组织上课。 师：我们在初一第二学期就已经学习了乘法完全平方公式,请一位同学用文字语言来描述一下这个公式的内容？ 生1：（答略） 师：你能用符号语言来表示这个公式吗？ 生1：（a＋b）2=a2＋2ab＋b2（a－b）2=a2－2ab＋b2 师：不错，请坐。由此我们可以看出完全平方公式其实包含几个公式？ 生齐答：两个。 师：接下来有两道填空题，我们该怎么进行填空？ a2＋＋1=(a＋1)24a2－4ab＋=(2a－b)2 生2：（答略） 师：你能否告诉大家，你是根据什么来进行填空的吗？ 生2：根据完全平方公式，将等号右边的展开。 师：很好。（将四个式子分别标上○1○2○3○4） 问题：○1、○2两个式子由左往右是什么变形？ ○3、○4两个式子由左往右是什么变形？ 生3：（答略） 师：刚才的○1和○2是我们以前学过的完全平方公式，那么将这两个公式反过来就有：
a2＋2ab＋b2=（a＋b）2a2－2ab＋b2=（a－b）2（板书） 问题：这两个式子由左到右的变形又是什么呢？ 生齐答：因式分解。 师：可以看出，我们已将左边多项式写成完全平方的形式，即将左边的多项式分解因式了。 这两个公式我们也将它们称之为完全平方公式，也是我们今天来共同学习的知识（板书课题） 师：既然这两个是公式，那么我们以后遇到形如这种类型的多项式可以直接运用这个公式进行分解。这个公式到底有哪些特征呢？请同学们仔细观察思考一下，同座的或前后的同学可以讨论一下。 （经过讨论之后） 生4：左边是三项，右边是完全平方的形式。 生5：左边有两项能够写成平方和的形式。 师：说得很好，其他同学有没有补充的？ 生6：还有一项是两个数的乘积的2倍。 师：这“两个数的乘积”中“两个数”是不是任意的？ 生6：不是，而是刚才两项的底数。 师：刚才三位同学都回答得不错，每人都找出了一些特征。再请一位同学来综合一下。 生7：左边的多项式要有三项，有两项是平方和的形式，还有一项是这两个数的积的2倍。右边是两个数的和或差的平方。 教师在学生回答的基础上总结： 1)多项式是三项式 2)有两项都为正且能够写成平方的形式 3)另一项是刚才写成平方项两底数乘积的2倍，但这一项可以是正，也可以是负 4)等号右边为两平方项底数和或差的平方。
完全平方公式 典型应用
完全平方公式的典型应用 题型一、完全平方公式的应用 例1、计算（1）（－ 21ab 2－3 2c ）2； （2）（x －3y －2）（x ＋3y －2）； 练习1、(1)（x －2y ）（x 2－4y 2）（x ＋2y ）； （2）、（a －2b ＋3c －1）（a ＋2b －3c －1）； 题型二、配完全平方式 1、若k x x ++22是完全平方式，则k = 2、.若x 2－7xy +M 是一个完全平方式，那么M 是 3、如果4a 2－N ·ab ＋81b 2是一个完全平方式，则N = 4、如果224925y kxy x +-是一个完全平方式，那么k = 题型三、公式的逆用 1．（2x －______）2＝____－4xy ＋y 2． 2．（3m 2＋_______）2＝_______＋12m 2n ＋________． 3．x 2－xy ＋________＝（x －______）2． 4．49a 2－________＋81b 2＝（________＋9b ）2． 5．代数式xy －x 2－ 41y 2等于－（ ）2 题型四、配方思想 1、若a 2+b 2－2a +2b +2=0,则a 2004+b 2005=_____. 2、已知0136422=+-++y x y x ，求y x =_______. 3、已知222450x y x y +--+=，求 21(1)2x xy --=_______. 4、已知x 、y 满足x 2十y 2十45＝2x 十y ，求代数式y x xy +=_______. 5．已知014642222=+-+-++z y x z y x ，则z y x ++= ． 6、已知三角形ABC 的三边长分别为a,b,c 且a,b,c 满足等式22223()()a b c a b c ++=++，请说明该三角
完全平方公式的综合应用(习题及答案)
完全平方公式的综合应用（习题） 例题示范 例1：已知12x x - =，求221x x +，441x x +的值． 【思路分析】 ① 观察题目特征（已知两数之差和两数之积11x x ? =，所求为两数的平方和），判断此类题目为“知二求二”问题； ② “x ”即为公式中的a ，“ 1x ”即为公式中的b ，根据他们之间的关系可得：2221112x x x x x x ??+=-+? ???； ③ 将12x x -=，11x x ?=代入求解即可； ④ 同理，24224221112x x x x x x ??+=+-? ???，将所求的221x x +的值及2211x x ?=代入即可求解． 【过程书写】 例2：若2226100x x y y -+++=，则x =_______，y =________． 【思路分析】 此题考查完全平方公式的结构，“首平方，尾平方，二倍乘积放中央”． 观察等式左边，22x x -以及26y y +均符合完全平方式结构，只需补全即可，根据“由两边定中间，由中间凑两边”可配成完全平方式，得到22(1)(3)0x y -++=． 根据平方的非负性可知：2(1)0x -=且2(3)0y +=，从而得到1x =，3y =-． 巩固练习 1. 若2(2)5a b -=，1ab =，则224a b +=____，2(2)a b +=____． 2. 已知3x y +=，2xy =，求22x y +，44x y +的值．
3. 已知2310a a -+=，求221a a +，44 1a a +的值. 4. （1）若229x mxy y ++是完全平方式，则m =________． （2）若22916x kxy y -+是完全平方式，则k =_______． 5. 多项式244x +加上一个单项式后，能使它成为一个整式的平方，则可以加上 的单项式共有_______个，分别是__________ ______________________________． 6. 若22464100a b a b +--+=，则a b -=______． 7. 当a 为何值时，2814a a -+取得最小值，最小值为多少？ 8. 求224448x y x y +-++的最值． 思考小结 1. 两个整数a ，b （a ≠b ）的“平均数的平方”与他们“平方数的平均数”相等 吗？若不相等，相差多少？ 2. 阅读理解题：
完全平方公式练习题一
完全平方公式为： 注：1.完全平方公式和平方差公式不同： 形式不同． 结果不同：完全平方公式的结果是三项，即 （a ?b ）2＝a 2 ?2ab+b 2 ; 平方差公式的结果是两项， 即（a+b ）（a?b ）＝a 2?b 2. 2. 解题过程中要准确确定a 和b ，对照公式原形的两边, 做到不丢项、 不弄错符号、2ab 时不少乘2。 3. 口诀：首平方，尾平方，两倍乘积放中央，加减看前方，同加异减。 例1 用完全平方公式计算： （1）(2x ?3)2 ； (2) (4x +5y )2 ; (3) (mn ?a )2 练习： 1、计算：2 )221 (y x - (n +1)2－n 2 (2x 2－3y 2)2 2、下列各式中哪些可以运用完全平方公式计算 （1）()()x y y x +-+ （2）()()a b b a -- （3）()()ab x x ab +--33 （4）()()n m n m +-- 例2.计算： （1）(-1-2x )2 （2）()()n m n m +--22 （3）)432)(432(-++-y x y x （4）22)32 1()321(b a b a +-
练习： (1)()2c b a -+ (2) (-2x +1) 2 （3))4)(2)(2(22y x y x y x --+ （4）??? ??+-??? ??-b a b a 32132 1 拓展：1.已知31=+ x x ，则=+221x x ________________ 2. 已知131-=x y ，那么2323122-+-y xy x 的值是________________ 3、已知2216)1(2y xy m x +-+是完全平方公式，则m = 4、若22()12,()16,x y x y xy -=+=则=
初中数学完全平方公式的变形与应用
完全平方公式的变形与应用 提高培优完全平方公式 222222()2,()2a b a a b b a b a a b b 在使用时常作如下变形： (1) 222222()2,()2a b a b a b a b a b a b (2) 2222()()4,()()4a b a b a b a b a b a b (3) 2222 ()()2()a b a b a b (4) 2222 1 [()()]2a b a b a b (5) 22 1 [()()]2a b a b a b (6) 222222 1 [()()()]2a b c a b b c ca a b b c c a 例1 已知长方形的周长为 40，面积为75，求分别以长方形的长和宽为边长的正方形面积之和是多少？ 解设长方形的长为α，宽为b ，则α+b=20，αb=75. 由公式(1)，有： α2+b 2=(α+b)2-2αb=202-2×75=250. (答略，下同) 例2 已知长方形两边之差 为4，面积为12，求以长方形的长与宽之和为边长的正方形面积. 解设长方形长为 α，宽为b ，则α-b=4，αb=12.由公式(2)，有：(α+b)2=(α-b)2+4αb=42+4×12=64. 例3 若一个整数可以表示为两个整数的平方和， 证明：这个整数的2倍也可以表示为两个整数的平方和 . 证明设整数为x ，则x=α2+b 2(α、b 都是整数).
由公式(3)，有2x=2(α2+b 2)=(α+b)2+(α-b)2.得证 例4 将长为64cm 的绳分为两段，各自围成一个小正方形，怎样分法使得两个正方形面积之和最小？ 解设绳被分成的两部分为x 、y ，则x+y=64. 设两正方形的面积之和为 S ，则由公式(4)，有：S=(x 4)2+(y 4)2=116 (x 2+y 2) =132 [(x+y)2+(x-y)2] =132 [642+(x-y)2]. ∵(x-y)2 ≥０，∴当x=y 即(x-y)2=0时，S 最小，其最小值为 64232=128(cm 2). 例5 已知两数的和为 10，平方和为52，求这两数的积. 解设这两数分别为α、b ，则α+b =10，α2+b 2 =52. 由公式(5)，有： αb=12 [(α+b)2-(α2+b 2)] =12 (102-52)=24. 例6 已知α=x+1,b=x+2,c=x+3. 求：α2+b 2+c 2-αｂ-bc-c α的值. 解由公式(6)有： α2+b 2+c 2-αｂ-bc-αｃ =12 [(α-b)2+(b-c )2+(c-α）2] =12 [(-1)2+(-1)2+22] =12×(1+1+4)=3.
平方差公式和完全平方公式基础拔高练习(含答案)汇编
学习-----好资料 1. _______________________ ( a 2+b 2) (a 2- b 2) = ( ) 2-( ) 2= . 2. ________________________________________ (-2x 2-3y 2) (2x 2-3y 2) = (__))-( ) 2= . 3. ________________ 20X 19= (20+ ______ ) (20- __ ) = ___ - = . 4. 9.3 X 10.7= ( ____ — ____ ) ( ____ + ___ ) = ____ — ___ . 5. 20062 — 2005X 2007 的计算结果为( )A . 1 B . - 1 C . 2 D . - 2 6. 在下列各式中，运算结果是 b 2- 16a 2的是()A. (-4a+b ) (-4a -b ) B . (-4a+b ) (4a - b ) 7. 运用平方差公式计算. (8) (a -1) (a -2) (a+1) (a+2) (1) 102X 98 3 1 (2) 2-X 3 4 4 (3)— 2.7 X 3.3 1007X 993 (5) 121 X 112 3 3 (6)— 19- X 201 5 5 C. (b+2a ) (b -8a ) .(—4a - b ) (4a - b )
学习-----好资料 (9) (a+b ) (a — b ) + (a+2b ) (a — 2b ) (10) (x+2y ) (x — 2y ) — ( 2x+5y ) (2x — 5y ) (12) (a+b ) (a — b ) — ( a — 3b ) (a+3b ) + (— 2a+3b ) (— 2a — 3b ) 8. _____________ ( 3a+b ) ( ) =b 2— 9a 2; (a+b — m )( 1 9. 先化简，再求值：(3a+1) (3a —1) — ( 2a — 3) (3a+2)，其中 a=—-. (11) (2m- 5) (5+2m ) + ( — 4m — 3) (4m — 3) )=b 2—( a — m ) 2.
数学教案的运用完全平方公式法
数学教案的运用完全平方公式法 1。使学生会分析和判断一个多项式是否为完全平方式，初步掌握运用完全平方式把多项式分解因式的方法； 2。理解完全平方式的意义和特点，培养学生的判断能力。 3．进一步培养学生全面地观察问题、分析问题和逆向思维的能力． 4．通过运用公式法分解因式的教学，使学生进一步体会“把一个代数式看作一个字母”的换元思想。 1。问：什么叫把一个多项式因式分解?我们已经学习了哪些因式分解的方法? 答：把一个多项式化成几个整式乘积形式，叫做把这个多项式因式分解。我们学过的因式分解的方法有提取公因式法及运用平方差公式法。 2。把下列各式分解因式： (1)ax4－ax2 (2)16m4－n4。 解 (1) ax4－ax2=ax2(x2－1)=ax2(x+1)(x－1) (2) 16m4－n4=(4m2)2－(n2)2 =(4m2+n2)(4m2－n2) =(4m2+n2)(2m+n)(2m－n)。 问：我们学过的乘法公式除了平方差公式之外，还有哪些公式?
答：有完全平方公式。 请写出完全平方公式。 完全平方公式是： (a+b)2=a2+2ab+b2， (a－b)2=a2－2ab+b2。 这节课我们就来讨论如何运用完全平方公式把多项式因式分解。 和讨论运用平方差公式把多项式因式分解的思路一样，把完全平方公式反过来，就得到 a2+2ab+b2=(a+b)2； a2－2ab+b2=(a－b)2。 这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方。式子 a2+2ab+b2及a2－2ab+b2叫做完全平方式，上面的两个公式就是完全平方公式。运用这两个式子，可以把形式是完全平方式的多项式分解因式。 问：具备什么特征的多项是完全平方式? 答：一个多项式如果是由三部分组成，其中的两部分是两个式子(或数)的平方，并且这两部分的符号都是正号，第三部分是上面两个式子(或数)的乘积的二倍，符号可正可负，像这样的式子就是完全平方式。 问：下列多项式是否为完全平方式?为什么? (1)x2+6x+9； (2)x2+xy+y2； (3)25x4－10x2+1； (4)16a2+1。
完全平方公式(完整知识点)
完全平方公式 完全平方公式即(a±b)2=a2±2ab+b2 该公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础，是因式分解中常用到的公式。该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用。难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解）。 必须注意的： ①漏下了一次项 ②混淆公式（与平方差公式） ③运算结果中符号错误 ④变式应用难于掌握。 学会用文字概述公式的含义: 两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。叫做完全平方公式．为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。
这两个公式的结构特征： 1、左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方 和，加上或减去这两项乘积的2倍； 2、左边两项符号相同时，右边各项全用“+”号连接；左边两项符号相反时，右 边平方项用“+”号连接后再“-”两项乘积的2倍（注：这里说项时未包括其符号在内）. 完全平方公式口诀 前平方，后平方，二倍乘积在中央。 同号加、异号减，符号添在异号前。（可以背下来） 即 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2（注意：后面一定是加号） 公式变形（习题） 变形的方法 （一）、变符号： 例1：运用完全平方公式计算： （1）(-4x+3y)2（2）(-a-b)2 分析：本例改变了公式中a、b的符号，以第二小题为例，处理该问题最简单的方法是将这个式子中的(-a)看成原来公式中的a，将(-b)看成原来公式中的b，即可直接套用公式计算。 解答： (1)原式=16x2-24xy+9y2 (2)原式=a2+2ab+b2 （二）、变项数：
完全平方公式综合应用.doc
精品文档“完全平方公式变形的应用”培优题姓名： 完全平方式常见的变形有: （ 1）a2 b2 (a b)2 2ab （ 2）a2 b2 (a b)2 2ab （ 3）a b 2 ( a b) 2 4ab （ 4）a 2 b 2 c 2 (a b c) 2 2ab 2ac 2bc （） 2 2 1、已知 m+n -6m+10n+34=0，求 m+n的值 2、已知x2y 24x 6 y 130 ，x、y都是有理数，求 x y的值。 练一练 A 组： 1 ．已知(a b) 5, ab 3 求 (a b)2与 3(a2b 2 ) 的值。 2 ．已知a b 6, a b 4 求ab与 a2b2的值。 3、已知a b 4, a2b2 4 求 a2b2与 (a b) 2的值。 4、已知 ( a+b)2 =60，( a-b) 2 =80，求 a2 +b2及 ab 的值
精品文档B组： 5．已知a b 6, ab 4 ，求 a2b 3a2b2ab 2的值。 6．已知x2 y2 2x 4y 5 0 ，求1 (x 1)2 xy 的值。2 7．已知x 1 6 ，求 x2 1 2的值。 x x 8、 x 2 3 x 1 0 ，求（） x 21 （） x 41 1 x 2 2 x 4 C 组: 10、已知三角形ABC 的三边长分别为a,b,c且a,b,c满足等式 3(a2b2c2 ) (a b c)2，请说明该三角形是什么三角形？
整式的乘法、平方差公式、完全平方公式、整式的除法 (B 卷) 综合运用题 姓名： 一、请准确填空 则 a 2004 b 2005 、若 a 2 b 2 － a b 1 + 2 +2 +2=0, + =________. 、一个长方形的长为 (2 a b 宽为 (2 a － b ), 则长方形的面积为 ________. 2 a －b +3 ), 3 3、5－( 2 的最大值是 － a － b 2 取最大值时， a 与 b 的关系 ) ________，当 5 ( ) 是________. 4. 要使式子 0.36 x 2 + 1 y 2 成为一个完全平方式，则应加上 ________. 4 5.(4 a m+1 －6a m ) ÷ 2a m － 1 =________. 2 6.29 × 31×(30 +1)=________. 7. 已知 x 2－5x+1=0, 则 x 2+ 1 =________. x 2 8. 已知 (2005 －a)(2003 －a)=1000, 请你猜想 (2005 －a) 2+(2003－a) 2 =________. 二、相信你的选择 － m x 且 x ≠ 则 m 等于 9. 若 x 2－x －m x +1) 0, =( )( A. －1 B.0 C.1 D.2 10.( x+a) 与( x+ 1 ) 的积不含 x 的一次项，猜测 a 应是 5 A.5 B. 1 C. － 1 D.－5 5 5 11. 下列四个算式 x 2y 4 ÷ 1 xy xy 3 ② a 6 b 4 c ÷ a 3b 2 a 2b 2c ③ x 8 y 2÷ : ① 4 4 = ; 16 8 =2; 9 3 y 5 3 2 m m 2 m － ÷ － － ，其中正确的有 x x y ; ④(12 m m ( m 3 =3 +8 4 ) 2 )= 6 +4 +2 A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 12. 设( x m －1 n+2 5m －2 5 3 , n y ) ·( x y )= x y 则 m 的值为 A.1 B. －1 C.3 D. －3 13. 计算［ ( a 2－b 2)( a 2+b 2) ］2 等于 A. a 4－2a 2b 2+b 4 B. a 6+2a 4b 4+b 6 C.a 6－2a 4 b 4+b 6 D.a 8－2a 4b 4+b 8 14. 已知 ( a+b) 2 =11, ab=2, 则( a － b) 2 的值是 A.11 B.3 M 是 C.5 D.19 15. 若 x 2－ xy M 是一个完全平方式，那么 7 + A. 7 y 2 B. 49 y 2 C. 49 y 2 D.49y 2 2 2 4 16. 若 x, y 互为不等于 0 的相反数， n 为正整数 , 你认为正确的是 A. x n 、y n 一定是互为相反数 B.( 1 ) n 、( 1 ) n 一定是互为相反数 x y
运用公式法
运用公式法 教学设计示例――完全平方公式(1) 教学目标1.使学生会分析和判断一个多项式是否为完全平方式，初步掌握运用完全平方式把多项式分解因式的方法；2.理解完全平方式的意义和特点，培养学生的判断能力.3．进一步培养学生全面地观察问题、分析问题和逆向思维的能力．4．通过分解因式的教学，使学生进一步体会“把一个代数式看作一个字母”的换元思想。教学重点和难点重点：运用完全平方式分解因式. 难点：灵活运用完全平方公式公解因式.教学过程设计一、复习1.问：什么叫把一个多项式因式分解?我们已经学习了哪些因式分解的方法? 答：把一个多项式化成几个整式乘积形式，叫做把这个多项式因式分解.我们学过的因式分解的方法有提取公因式法及运用平方差公式法. 2.把下列各式分解因式：(1)ax4－ax2 (2)16m4－n4. 解(1) ax4－ax2=ax2(x2－1)=ax2(x+1)(x－1)(2) 16m4－n4=(4m2)2－(n2)2=(4m2+n2)(4m2－n2)=(4m2+n2)(2m+n)(2m－n).问：我们学过的乘法公式除了平方差公式之外，还有哪些公式? 答：有完全平方公式.请写出完全平方公式. 完全平方公式是：(a+b)2=a2+2ab+b2, (a－b)2=a2－2ab+b2. 这节1 ————来源网络整理，仅供供参考
课我们就来讨论如何运用完全平方公式把多项式因式分解. 二、新课和讨论运用平方差公式把多项式因式分解的思路一样，把完全平方公式反过来，就得到a2+2ab+b2=(a+b)2；a2－2ab+b2=(a－b)2. 这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方.式子a2+2ab+b2及a2－2ab+b2叫做完全平方式，上面的两个公式就是完全平方公式.运用这两个式子，可以把形式是完全平方式的多项式分解因式. 问：具备什么特征的多项是完全平方式? 答：一个多项式如果是由三部分组成，其中的两部分是两个式子(或数)的平方，并且这两部分的符号都是正号，第三部分是上面两个式子(或数)的乘积的二倍，符号可正可负，像这样的式子就是完全平方式. 问：下列多项式是否为完全平方式?为什么? (1)x2+6x+9；(2)x2+xy+y2；(3)25x4－10x2+1；(4)16a2+1. 答：(1)式是完全平方式.因为x2与9分别是x的平方与3的平方，6x=2·x·3，所以x2+6x+9=(x+3) . (2)不是完全平方式.因为第三部分必须是2xy. (3)是完全平方式.25x =(5x ) ，1=1 ，10x =2·5x ·1，所以25x －10x +1=(5x－1) . (4)不是完全平方式.因为缺第三部分. 请同学们用箭头表示完全平方公式中的a，b与多项式9x2+6xy+y2中的对应项，其中a=?b=?2ab=? 答：完全平方公式为：其中a=3x，b=y，2ab=2·(3x)·y. ————来源网络整理，仅供供参考 2
41完全平方公式(基础)知识讲解
完全平方公式（基础） 【学习目标】 1. 能运用完全平方公式把简单的多项式进行因式分解. 2. 会综合运用提公因式法和公式法把多项式分解因式； 3．发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯. 【要点梳理】 要点一、公式法——完全平方公式 两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． 即()2222a ab b a b ++=+，()2 222a ab b a b -+=-. 形如222a ab b ++，222a ab b -+的式子叫做完全平方式. 要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式； （2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或 减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方. （3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件. （4）套用公式时要注意字母a 和b 的广泛意义，a 、b 可以是字母，也可以 是单项式或多项式. 要点二、因式分解步骤 （1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法； （3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）． 要点三、因式分解注意事项 （1）因式分解的对象是多项式； （2）最终把多项式化成乘积形式； （3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止． 【典型例题】 类型一、公式法——完全平方公式 1、（2016?普宁市模拟）下列各式中，能利用完全平方公式分解因式的是（ ）． A ．221x x -++ B ．221x x -+- C ．221x x -- D ．2 24x x -+ 【思路点拨】根据完全平方公式的结构特点：必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍，对各项分析判断后利用排除法求解. 【答案】B ； 【解析】A 、221x x -++其中有两项-x 2、12不能写成平方和的形式，不符合完全平方公式特点，故本选项错误； B 、2221(1)x x x -+-=--，符合完全平方公式特点，故本选项正确； C 、221x x --其中有两项x 2、-12不能写成平方和的形式，不符合完全平方公式特点，故本选项错误；
因式分解(公式法之完全平方公式与平方差公式)
因式分解基础习题 （公式法） 专题训练一：利用平方差公式分解因式 题型(一)：把下列各式分解因式 1.24x - 2.2 9y - 3.21a - 4.224x y - 5.2125b - 6.222 x y z - 7.2240.019m b - 8.2219 a x - 9.2236m n - 10.2249x y - 11.220.8116a b - 12.222549p q - 13.2422a x b y - 14.41x - 15. 44411681 a b m - 题型(二)：把下列各式分解因式 1.22()()x p x q +-+ 2. 22 (32)()m n m n +-- 3.2216()9()a b a b --+ 4.22 9()4()x y x y --+ 5.22()()a b c a b c ++-+- 6.22 4()a b c -+ 题型(三)：把下列各式分解因式 1.53x x - 2.22 4ax ay - 3.322ab ab -
4.316x x - 5.2433ax ay - 6.2 (25)4(52)x x x -+- 7.324x xy - 8.343 322x y x - 9.4416ma mb - 10.238(1)2a a a -++ 11.416ax a -+ 12.2216()9()mx a b mx a b --+ 题型(四)：利用因式分解解答下列各题 1.证明：两个连续奇数的平方差是8的倍数。 2.计算 ⑴22758258- ⑵22429171- ⑶223.59 2.54?-? ⑷222221 1111(1)(1)(1)(1)(1) 234910---???-- 专题训练二：利用完全平方公式分解因式 题型(一)：把下列各式分解因式 1.221x x ++ 2.2441a a ++ 3. 2169y y -+ 4.2 14m m ++ 5. 221x x -+ 6.2816a a -+
初中数学 完全平方公式的五种常见应用举例
完全平方公式的五种常见应用举例 完全平方公式是整式乘法中最重要的公式之一在运用完全平方公式时，必须掌握一些使用技巧，才能灵活应用公式，其中包括“顺用”、“逆用”、“顺逆联用”，以及“特例应用”和“变形应用”等.下面举例说明. 一、正用 根据算式的结构特征，由左向右套用. 例1 计算22 (23)m m -- 分析 本题是一个三项式的平方，可考虑将三项式中任意两项组合成一个整体，使其转化为一个二项式的平方，然后再运用完全平方公式便可以顺利求解.解 22(23)m m --22 [(2)3]m m =--222(2)6(2)9 m m m m =---+4322446129 m m m m m =-+-++43242129 m m m m =--++ 思考 本题中三项式转化为二项式的根据是什么?还有其它的方法吗? 二、逆用 将公式逆向使用，即由右向左套用. 例2 己知，，，则多项式20172018a x =+20172019b x =+20172020c x =+的值为( ) 222a b c ab bc ac ++--- (A) 0 (B)1 (C)2 (D)3 分析观察本题已知条件，直接代入求值困难.但换个角度仔细观察多项式的结构就不难发现，该多项式的2倍恰好是3个完全平方公式的右端，于是逆用完全平方公式，就可以得到，而，，的值可求，故本题巧妙得解.222()()()a b b c c a -+-+-a b -b c -c a -解 ∵20172018a x =+20172019 b x =+20172020 c x =+∴，，1a b -=-1b c -=-2 c a -=∴222 a b c ab bc ac ++---2221(222222)2 a b c ab bc ac = ++---2222221(222)2 a a b b b b c c c ac a =-++-++-+2221[()()()]2 a b b c c a =-+-+-2221[(1)(1)2]2=-+-+
苏教版七年级下册数学[完全平方公式(基础)知识点整理及重点题型梳理]
苏教版七年级下册数学 重难点突破 知识点梳理及重点题型巩固练习 完全平方公式（基础） 【学习目标】 1. 能运用完全平方公式把简单的多项式进行因式分解. 2. 会综合运用提公因式法和公式法把多项式分解因式； 3．发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯. 【要点梳理】 要点一、公式法——完全平方公式 两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． 即()2222a ab b a b ++=+，()2 222a ab b a b -+=-. 形如222a ab b ++，222a ab b -+的式子叫做完全平方式. 要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式； （2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或 减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方. （3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件. （4）套用公式时要注意字母a 和b 的广泛意义，a 、b 可以是字母，也可以 是单项式或多项式. 【400108 因式分解之公式法 知识要点】 要点二、因式分解步骤 （1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法； （3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）． 要点三、因式分解注意事项 （1）因式分解的对象是多项式； （2）最终把多项式化成乘积形式； （3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止． 【典型例题】 类型一、公式法——完全平方公式 1、（2016?普宁市模拟）下列各式中，能利用完全平方公式分解因式的是（ ）． A ．221x x -++ B ．221x x -+- C ．221x x -- D ．2 24x x -+ 【思路点拨】根据完全平方公式的结构特点：必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍，对各项分析判断后利用排除法求解.
12.5.3因式分解完全平方公式法
12.5.3因式分解 （完全平方公式法） 教学目标： 1、能熟练运用公式将多项式进行因式分解. 2、能找到适当的方法将多项式因式分解并分解彻底. 3、提高对因式分解的认识和将多项式因式分解的能力. 重点： 掌握公式法进行因式分解. 难点： 找到适当的方法将多项式因式分解并分解彻底. 学习过程: 一、课前导入： 1、分解因式学了哪些方法? ⑴提取公因式法：ma +mb +mc =m (a +b +c ) ⑵运用公式法： ①a 2－b 2=(a +b )(a －b ) 练习 把下列各式分解因式 ① ② x 4－16 2．除了平方差公式外，还学过了哪些公式？ 完全平方式: 用公式法正确分解因式关键是什么？ 仔细观察，试着发现以上式子所具有的特征： 从每一项看：都有两项可化为两个数(或整式)的平方,另一项为这两个数 (或整式)的乘积的2倍. 从符号看：平方项符号相同（即：两平方项的符号同号，首尾2倍中间项） 二、讨论探究： 填一填 四、巩固提高 练习填空： （1）a 2+ +b 2=(a +b )2 （2）a 2－2ab + =(a －b ) 2 （3）m 2+2m + =( ) 2 （4）n 2－2n + =( ) 2 （5）x 2－x +0.25=( ) 2 （6）4x 2+4xy +( ) 2=( ) 2 例题（先观察再因式分解） ① x 2＋14x ＋49 ② ③ 3ax 2＋6axy ＋3ay 2 ④ －x 2－4y 2＋4xy ⑤ ⑥ 16x 4－8x 2＋1 判断因式分解正误，并写出正确过程 (1） －x 2－2xy －y 2= －(x －y )2 （2）a 2+2ab －b 2 2 4ax ax -9)(6)(2 ++-+n m n m 229124b ab a ++2)(b a -=
完全平方公式的综合应用(讲义及答案)
完全平方公式的综合应用（讲义） ? 课前预习 1. 请利用完全平方公式计算下列各式： （1）(a +b )2-(a -b )2=_________； （2）(a +b )2-(a 2+b 2)=_________； （3）a 2+b 2-(a -b )2=__________． 2. 如图1是一个长为2m 、宽为2n 的长方形，沿图中的虚线剪开均分成四个小 长方形，然后拼成一个如图2所示的正方形． 图1 图2 m n n m m n n m （1）请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积； （2）观察图2，你能写出三个代数式2()m n +，2()m n -，mn 之间的等量关系吗？ ? 知识点睛 1. 知二求二：
2()a b +，2()a b -，22a b +，ab 有如下关系： )2 ( 因此，已知其中两个量的值，可根据他们之间的关系求解其余两个量的值． 2. 公式逆用： （1）观察是否符合公式的结构． （2）两边已知，中间未知，____________；两边未知，中间已知，______________． 3. 最值问题： 若关于x 的二次多项式可以写成_____________的形式，则由__________，可知__________，因此此多项式有最小值____；若关于x 的二次多项式可以写成_____________的形式，则由__________，可知___________，因此此多项式有最大值____． ? 精讲精练 1. 若2()3a b -=，2()19a b +=，则ab =______，22a b +=______． 2. 若24x y +=，1xy =，则224x y +=______，2(2)x y -=______． 3. 若a +b =4，228a b -=，则22a b +的值是__________． 4. 已知常数a ，b 满足2()1a b +=，2()25a b -=，求22a b ab ++的值． 5. 已知a +b =3，ab =1，求22a b +，44a b +的值．
公式法第二课时教案
14.3.2公式法教案（第2课时） 教学目标：1．理解并掌握完全平方公式法分解因式的意义，灵活用完全平方公式进行因式分解。 2．了解运用完全平方公式因式分解的一般步骤。 3．在导出完全平方公式及对其特点进行辨析的过程中，培养学生观察、归纳和逆向思维的能力,通过综合运用提公因式法、完全平方公式法分解因式，进一步培养学生的观察和联想能力。 教学重点：运用完全平方公式法分解因式。 教学难点：完全平方式的特点、识别及运用完全平方公式法分解因式。 教学方法：采用“情境——探究”教学方法，让学生掌握完全平方公式法因式分解。 教学过程： 一、创设情境导入新课 上节课我们利用整式的乘法与因式分解互逆的关系得到了因式分解的平方差公式， 即 x2–y 2 =(x+y)(x-y)。 利用平方差公式分解因式要注意多项式是否符合平方差公式的特点（即：多项式一定是两项，并且是 两个数的平方的差的形式）。 1、【做一做】把下列各式分解因式： （1）x2－9 （2）x3－x （3）9a－ab2（4）(a+b)3－4(a+b) 请同学们独立完成上面两题，完成后互相校对你们的结果。在上面的因式分解中，你都用了哪些 因式分解的方法？并且你认为还要注意什么？ 从上面的第（4）题我们知道公式中的a,b可以是单项式也可以是多项式。 2、请大家思考：你会分解多项式a2+2a+1吗？这就是我们这节课所要研究的内容 二、探索新知： 你能否类似上面的平方差公式写出因式分解中的完全平方公式呢？ a2+2ab+b2=（a+b）2； a2－2ab+b2=（a－b）2. 一般地形如a2+2ab+b2和a2－2ab+b2的式子称为完全平方公式因式分解，完全平方式具备什么特点呢？ 学生小组内合作交流：（代表发言） （1）这个多项式都有三项；（2）三项中都有两数的平方和，加或减这两个数的乘积的2倍。 多项式x2–4xy+4y2是完全平方式吗？ x2 - 2 x (2y) + (2y)2 a2 - 2 a b + b2 是一个完全平方式。 1、【做一做】1.下列哪些式子是完全平方式？ （1）x 2 +4xy–4y 2（2）4m2–6mn+9n 2（3）m2 +6mn+9n 2 2、在下面的空线上填上一项，使之构成一个完全平方式。 (1)4x 2–_____+9y 2 (2) x 2 +_____+4 3、（1）例5、利用完全平方公式分解因式： （1）16x2 +24x+9 （2）- x2 +4xy -4y2 分析：在（1）中，16x2=（4x）2 9=32 24x=2·4x·3所以16x2 +24x+9是一个完全平方公式，即：
完全平方公式练习题30道
1 (a-2b)2 2 (a-b)2 3 ( -2)2＝ -21 x+ 4. (3x+2y)2-(3x-2y)2 5 (3a 2-2a+1)(3a 2+2a+1) 6. (a-b)2＝a 2-ab+b 2 7. (a+3b)2 8. (x+9)(x-9)＝x 2-9 9 (a+3b)2-(3a+b) 10. (5x 2-4y 2)(-5x 2+4y 2) 11. (3y+2x)2 12. -(-21x 3n+2-32 x 2+n )2 13. (3a+2b)2-(3a-2b)2 14. (x 2+x+6)(x 2-x+6)
15． (a+b+c+d)2 16. (9-a 2)2-(3-a)(3-a)(9+a)2 . 17. (x 3+2)2-2(x+2)(x-2)(x 2+4)-(x 2-2)2，其中x=-21 . 18. 20012 19. 9992 20.证明：(m-9)2-(m+5)2是28的倍数，其中m 为整数.(提示：只要将原式化简后各项 均能被28整除) 21.解方程：(x 2-2)(-x 2+2)=(2x-x 2)(2x+x 2)+4x 22. (x ＋2)(x －3)＋(x ＋2)(x ＋4) 23. 2(a-3)(a-3)-a+3 24. (x + a)2 – (x – a)2 25. 1990×29－1991×71＋1990×71－29×1991 26. 2)2 332 (y x - 27. 2)2(n m +- 28. )1)(1)(1(2--+m m m 29. 22)()(y x y x +- 30. )2)(2(z y x z y x --++
完全平方公式(6)
完全平方公式 一、教学目标 1．理解完全平方公式的意义，准确掌握两个公式的结构特征． 2．熟练使用公式实行计算． 3．通过推导公式训练学生发现问题、探索规律的水平． 4．培养学生用数形结合的方法解决问题的数学思想． 5．渗透数学公式的结构美、和谐美． 二、学法引导 1．教学方法：尝试指导法、讲练结合法． 2．学生学法：本节学习了乘法公式中的完全平方，一个是两数和的平方，另一个是两数差的平方，两者仅一个“符号”不同．相乘的结果是两数的平方和，加上（或减去）两数的积的2倍，两者也仅差一个“符号”不同，使用完全平方公式计算时，要注意： （1）切勿把此公式与公式混淆，而随意写成．（2）切勿把“乘积项”2ab中的2丢掉． （3）计算时，要先观察题目是否符合公式的条件．若不符合，应先变形为符合公式的条件的形式，再利用公式实行计算；若不能变为符合条件的形式，则应使用乘法法则实行计算． 三、重点·难点及解决办法 （一）重点 掌握公式的结构特征和字母表示的广泛含义，准确使用公式实行计算．（二）难点 综合使用平方差公式与完全平方公式实行计算． （三）解决办法 增强对公式结构特征的深入理解，在反复练习中掌握公式的应用．
四、课时安排 一课时． 五、教具学具准备 投影仪或电脑、自制胶片． 六、师生互动活动设计 1．让学生自编几道符合平方差公式结构的计算题，目的是辨认题目的结构特征． 2．引入完全平方公式，让学生用文字概括公式的内容，培养抽象的数字思维水平． 3．举例分析如何准确使用完全平方公式，师生共练完成本课时重点内容． 4．适时练习并总结，从实践到理论再回到实践，以指导今后的解题． 七、教学步骤 （一）明确目标 本节课重点学习完全平方公式及其应用． （二）整体感知 掌握好完全平方公式的关键在于能准确识别符合公式特征的结构，同时还要注意公式中2ab中2的问题，在解题过程中应多观察、多思考、多揣摩规律． （三）教学过程 1．计算导入；求得公式 （1）叙述平方差公式的内容并用字母表示； （2）用简便方法计算 ①103×97 ②103× 103 （3）请同学们自编一个符合平方差公式结构的计算题，并算出结果． 学生活动：编题、解题，然后两至三个学生说出题目和结果．