解三角形的应用举例

第2讲 解三角形应用举例

★ 知 识 梳理 ★

1.已知两角和一边（如A 、B 、C ），由A +B +C = π求C ，由正弦定理求a 、b ．

2.已知两边和夹角（如a 、b 、c ），应用余弦定理求c 边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A +B +C = π，求另一角．

3.已知两边和其中一边的对角（如a 、b 、A ），应用正弦定理求B ，由A +B +C = π求C ，再由正弦定理或余弦定理求c 边，要注意解可能有多种情况．

4.已知三边a 、b 、c ，应用余弦定理求A 、B ，再由A +B +C = π，求角C ．

5.方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目 标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成.正北或正南，北偏东××度， 北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度.

6.俯角和仰角的概念：在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上

方的角叫仰角,视线在水平线下方的角叫俯角.如图中OD 、OE 是视线，DOC ∠ 是仰角，

EOC ∠ 是俯角.

7.关于三角形面积问题

①ABC S ?=

21ah a ＝21bh b ＝21

ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）； ②ABC S ?＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝2

1

ac sin B ；

③ABC S ?＝2R 2sin A sin B sin C .（R 为外接圆半径） ④ABC S ?＝

R

abc

4； ⑤ABC S ?＝))()((c s b s a s s ---,??

? ?

?++=

)(21c b a s ； ⑥ABC S ?＝r ·s ,( r 为△ABC 内切圆的半径)

★ 重 难 点 突 破 ★

1.重点：熟练掌握正弦定理、余弦定理和面积公式，结合几何性质建模解决生活中的应用问题

2.难点：实际问题向数学问题转化思路的确定

3.重难点：熟练掌握解斜三角形的方法.，熟悉实际问题向数学问题的转化的方法；

（1）解三角函数应用题要通过审题领会其中的数的本质，将问题中的边角关系与三角

形联系起来，确定以什么样的三角形为模型，需要哪些定理或边角关系列出等量或不等量关系的解题思路,然后寻求变量之间的关系，也即抽象出数学问题，

问题1. 如图，为了计算北江岸边两景点B 与C 的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取

A 和D 两个测量点，现测得AD CD ⊥，10AD km =，14A

B km =，60BDA ?∠= ，135BCD ?∠=，求两景点B 与

C 的距离（假设,,,A B C

D 在同一平面内，测量结果保留整

数；参考数据：2 1.414,3 1.732,5 2.236===）

解：在△ABD 中，设BD=x ，

则BDA AD BD AD BD BA ∠??-+=cos 2222，

即 60cos 1021014222??-+=x x 整理得：096102=--x x 解之：161=x ，62-=x （舍去），

由正弦定理，得：BCD BD

CDB BC ∠=

∠sin sin , ∴2830sin 135

sin 16

=?=

BC ≈11(km). 答：两景点B 与C 的距离约为11.km.

（2）解三角函数应用题要要充分运用数形结合的思想、图形语言和符号语言等方式来思考解决问题；再次，讨论对数学模型的性质对照讨论变量的性质，从而得到的是数学参数值；最后，按题目要求作出相应的部分问题的结论.

问题2. 用同样高度的两个测角仪AB 和CD 同时望见气球E 在它们的正西方向的上空，分别测得气球的仰角是α和β,已知B 、D 间的距离为a ，测角仪的高度是b ，求气球的高度.

分析：在Rt △EGA 中求解EG ，只有角α一个条件，需要再有一边长被确定，而△EAC 中有较多已知条件，故可在△EAC 中考虑EA 边长的求解，而在△EAC 中有角β，∠EAC ＝180°－α两角与BD ＝a 一边，故可以利用正弦定理求解EA .

解：在△ACE 中，AC ＝BD ＝a ，∠ACE ＝β，∠AEC ＝α－β，

根据正弦定理，得AE ＝a sin β

sin （α－β）

在Rt △AEG 中，EG ＝AE sin α＝a sin αsin β

sin （α－β）

∴EF ＝EG ＋b ＝a sin αsin β

sin （α－β） ＋b ，

答：气球的高度是a sin αsin β

sin （α－β）

＋b .

★ 热 点 考 点 题 型 探 析★

考点1:测量问题

题型:运用正、余弦定理解决测量问题

[例1] (2007·山东) 如图4-4-12

，甲船以每小时定方向匀速直线航行，当甲船位于1A 处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的1B 处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达2A 处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的

2B

处，此时两船相距

【解题思路】解决测量问题的过程先要正确作出图形，把实际问题中的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角.本题应先利用S vt =求出边长,再进行进一步分析. [解析]如图，连结11A B

，由已知22A B =

1220

60A A ==，

1221A A A B ∴=，

又12218012060A A B =-=∠，

122A A B ∴△是等边三角形，

1212A B A A ∴==，

由已知，1120A B =，1121056045B A B =-=∠，

在121A B B △中，由余弦定理，222

12111212122cos 45B B A B A B A B A B =+-

2220220=+-??200=

．12B B ∴=

60=（海里/小时）．

答：乙船每小时航行海里．

【名师指引】解三角形时，通常会遇到两种情况：①已知量与未知量全部集中在一个三角形中，此时应直接利用正弦定理或余弦定理;②已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解. 【新题导练】

1．甲船在A 处、乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B 处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A 处向南偏西

o 多少小时后，甲、乙两船相距最近？

1A

2

A

120 105

图4-4-12

解析：、解: 两点甲船和乙船分别到达

小时后设经过D C x ,, x BD AB AD x AC 1020,8-=-==则

,,

61

70

.,61

4800

)6170(2444005602442

1)1020(82)1020()8(60cos 222222222取得最小值时当取得最小值取得最小值时当CD x CD CD x x x x x x x AD AC AD AC CD =

∴+-=+-=?-??--+=???-+=∴

此时,甲、乙两船相距最近

2．在奥运会垒球比赛前，C 国教练布置战术时，要求击球手以与连结本垒及游击手的直线成15°的方向把球击出，根据经验及测速仪的显示，通常情况下球速为游击手最大跑速的4倍，问按这样的布置，游击手能不能接着球？（如图所示）

解： 设游击手能接着球，接球点为B ，而游击手从点A 跑出，本垒为O 点（如图所示）.设从击出球到接着球的时间为t ，球速为v ，则∠AOB＝15°，OB ＝vt ，4

v

AB t ≤?。 在△AOB 中，由正弦定理，得

sin sin15

OB AB

OAB =

∠， ∴62

sin sin1562/4OB vt OAB AB vt -∠=

≥=而2

62)84384 1.741=->-?>，即sin∠OAB>1,

∴这样的∠OAB 不存在，因此，游击手不能接着球.

考点2 运用正、余弦定理解决与几何计算有关的实际问题 题型:利用解三角形知识研究几何图形的性质

[例2] （08上海高考）如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC ．小区的两个出入口设置在

A

B

D

C

点A 及点C 处，小区里有两条笔直的小路AD DC ，，且拐弯处的转角为120．已知某人从

C 沿C

D 走到D 用了10分钟，从D 沿DA 走到A 用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA 的长（精确到1米）．

【解题思路】转化条件,分析图形建模.

【解法一】设该扇形的半径为r 米. 由题意，得

CD =500（米），DA =300（米），∠CDO=0

60……………………………4分 在CDO ?中，2

2

2

2cos 60,CD OD CD OD OC +-???=……………6分 即()()22

21

5003002500300,2

r r r +--??-?

=…………………….9分 解得4900

44511

r =

≈（米）. …………………………………………….13分 【解法二】连接AC ，作OH ⊥AC ，交A C 于H …………………..2分 由题意，得CD =500（米），AD =300（米），0

120CDA ∠=………….4分

2220

222,2cos1201

5003002500300700,2

ACD AC CD AD CD AD ?=+-???=++???

=在中 ∴ AC =700（米）

…………………………..6分

22211

cos .214

AC AD CD CAD AC AD +-∠==??………….…….9分

在直角11

,350,cos 0,14

HAO AH HA ?=∠=中（米） ∴ 4900

445cos 11

AH OA HAO =

=≈∠（米）. ………………………13分

【名师指引】解斜三角形应用题的一般步骤：

（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图;

（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型;

（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解; （4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.

【新题导练】

1.如图，货轮在海上以35公里/小时的速度沿方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为152o 的方向航行．为了确定船位，在B 点处观测到灯塔A 的方位角为122o ．半

小时后，货轮到达C 点处，观测到灯塔A 的方位角为32o ．求此时货轮与灯塔之间的距离．

2. （汕头市金山中学2009届高三数学期中考试）为了立一块广告牌，要制造一个三角形的支架 三角形支架形状如图，要求0

60=∠ACB ，BC 的长度大于1米，且AC 比AB 长0.5

米 为了广告牌稳固，要求AC 的长度越短越好，求AC 最短为多少米？且当AC 最短时，

BC 长度为多少米？

解：如图，设BC 的长度为x 米，AC 的长度为y 米，则AB 的长度

为（y －0.5）米 在△ABC 中，依余弦定理得：

ACB BC AC BC AC AB ∠?-+=cos 2222

即

21

2)5.0(222?

-+=-yx x y y 化简，得

41

)1(2-

=-x x y ∵1>x ，∴01>-x

A

C

A

B

C A B

因此

1412--

=

x x y 方法一：2

32)1(43)1(141

2+≥+-+-=--

=x x x x y

当且仅当

)1(431-=

-x x 时，取“=”号，即23

1+

=x 时，y 有最小值32+

★ 抢 分 频 道 ★

基础巩固训练

1. 台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区内的时间为（ ）

A ．0.5小时

B ．1小时

C ．1.5小时

D ．2小时

解析:设A 地东北方向上点P 到B 的距离为30千米，AP ＝x ，在△ABP 中

PB 2＝AP 2＋AB 2

－2AP·AB·cosA，

即302＝x 2＋402－2x·40cos450

化简得2

4027000x x -+=

｜x 1－x 2｜2

＝（x 1＋x 2）2

-4x 1x 2=400,|x 1－x 2｜＝20，即CD ＝20

故20

120

CD t v ===] 2．在ABC ?中，:1:2A B =，C 的平分线CD 把三角形面积分成3:2两部分，则cos A =

（ ）

A

13 B 12 C 3

4

D 0 解析：∵ C 的平分线CD 把三角形面积分成3:2两部分,

∴:3:2AC BC =,,sin sin sin 2BC AC AC A B A ==∴ 23

,sin 2sin cos A A B

=∴

3

cos 4

A =]

3．如图，在斜度一定的山坡上的一点A 测得山顶上一建筑物顶端C 对于山坡的斜度为15?，向山顶前进100m 后，又从点B 测得斜度为45?，假设建筑物高50m ，设山对于地平面的斜度θ，则cos θ= .

40 km

30 km

D 450

B

A

C

东

西

北

A

[解析] 在△ABC 中，AB = 100m , ∠CAB = 15?, ∠ACB = 45?-15? = 30? 由正弦定理：

15

sin 30sin 100BC

= ∴BC = 200sin15?

在△DBC 中，CD = 50m , ∠CBD = 45?, ∠CDB = 90? + θ

由正弦定理：)

90sin(15sin 20045sin 50θ+=

?c os θ =13- .

4．如右图，在半径为R 的圆桌的正中央上空挂一盏电灯，桌子边缘一点处的照度和灯光射到桌子边缘的光线与桌面的夹角θ的正弦成正比，角和这一点到光源的距离 r 的平方成反

比，即I =k ·2sin r θ

，其中 k 是一个和灯光强度有关的常数，那么电灯

悬挂的高度h= ，才能使桌子边缘处最亮. 解 R =r cos θ，由此得

2

0,cos 1π<θ<θ=R r ， 22222

sin sin cos (sin cos )k

I k k r R R

θθθθ

θ?=?

=?=??

22222

2322222(

)2sin (1sin )(1sin )()()3

sin ,tan 32k k I R R k I h R R

R θθθθθ=??--≤?≤===由此得等号在此时

5.（

08年韶关市二模） 某市电力部门在今年的抗雪救灾的某项重建工程中，需要在A 、B

两地之间架设高压电线，因地理条件限制，不能直接测量A 、B 两地距离. 现测量人员在相距

km 的C 、D 两地（假设A 、B 、C 、D 在同一平面上），测得∠75ACB =，

45BCD ∠=，30ADC ∠=，45ADB ∠=（如图），假如考虑到电线的自然下垂和施工

损耗等原因，实际所须电线长度大约应该是A 、B 距离的4

3

倍，问施工单位至少应该准备多长的电线？

解：在ACD ?中，由已知可得，30CAD ∠=

所以，AC =

………

在BCD ?中，由已知可得，60CBD ∠=

6sin 75sin(4530)

4

+=+=

由正弦定理，756sin 602

BC +=

=

6cos 75cos(4530)-=+=

在ABC ?中，由余弦定理 2

2

2

cos AB AC

BC AC BC BCA =+-?∠

2cos755

=+-=

所以，AB =

施工单位应该准备电线长

答：施工单位应该准备电线长km . 综合拔高训练

6. 在海岛A 上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P ，上午11时，测得一轮船在岛北30°东，俯角为30°的B 处，到11时10分又测得该船在岛北60°西、俯角为60°的C 处。

(1)求船的航行速度是每小时多少千米；

(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D 处，问此时船距岛A 有多远？

解 (1)在Rt △P AB 中，∠APB =60° P A =1，∴AB =3 (千米)

在Rt △P AC 中，∠APC =30°，∴AC =3

3

(千米) 在△ACB 中，∠CAB =30°+60°=90°

)/(3026

1

330330

)3()33(2222时千米=÷=+=+=∴AB AC BC

(2)∠DAC =90°－60°=30°

sin DCA =sin(180°－∠ACB )=sin ACB =

1010

3

3

303=

=BC

AB

sin CDA =sin(∠ACB －30°)=sin ACB ·cos30°－cos ACB ·sin30°1010

3

=

20

10

)133()10103(121232-=

-?- 在△ACD 中，据正弦定理得

CDA

AC

DCA AD sin sin =

， ∴133920

10

)133(1010333sin sin +=-?

=?=CDA DCA AC AD 答 此时船距岛A 为

13

3

9+千米

7. 在正三角形ABC 的边AB 、AC 上分别取D 、E 两点，使沿线段DE 折叠三角形时，顶点A 正好落在边BC 上，在这种情况下，若要使AD 最小，求AD ∶AB 的值

解 按题意，设折叠后A 点落在边BC 上改称P 点，显然A 、P 两点关于折线DE 对称，又设∠BAP =θ，∴∠DP A =θ，∠BDP =2θ， 再设AB =a ，AD =x ，∴DP =x 在△ABC 中， ∠APB =180°－∠ABP －∠BAP =120°－θ，

由正弦定理知APB

AB

BAP BP sin sin =

∴BP =)120sin(sin θθ-?a 在△PBD 中， ?

=-???==60sin 2sin )120sin(sin ,60sin sin ,sin sin θ

θθθx a x BP BDP BP DBP DP 从而所以,

.3

)260sin(23)120sin(2sin 60sin sin ++?=-????=

∴θθθθa

a x

∵0°≤θ≤60°，∴60°≤60°+2θ≤180°， ∴当60°+2θ=90°，即θ=15°时， sin(60°+2θ)=1，此时x 取得最小值

)332(3

23-=+a a ，即AD 最小，

∴AD ∶DB =23－3

8. 在一很大的湖岸边（可视湖岸为直线）停放着一只小船，由于缆绳突然断开，小船被风 刮跑，其方向与湖岸成15°角，速度为2.5km/h ，同时岸边有一人，从同一地点开始追赶小 船，已知他在岸上跑的速度为4km/h ，在水中游的速度为2km/h.问此人能否追上小船.若小

船速度改变，则小船能被人追上的最大速度是多少？

解析:设船速为v ，显然h km v /4≥时人是不可能追上小船，当20≤≤v km/h 时，人不必在

岸上跑，而只要立即从同一地点直接下水就可以追上小船，因此只要考虑42<

才能追上小船.设船速为v ，人追上船所用时间为t ，人在岸上跑的时间为)10(<

||4,||2(1),||,OA kt AB k t OB vt ==-=由余弦是理得

???-+=15cos ||||2||||||222OB OA OB OA AB ,

即22224(1)(4)()24k t kt vt kt vt -=+-??,

整理得04]8)26(2[1222=-+-+-v k v k , 要使上式在（0，1）范围内有实数解，

则有112

402<-

解得max 2/v v h <≤=即,

故当船速在]22,2(内时，人船运动路线可构成三角形，即人能追上小船，船能使人追上的最大速度为h km /22，由此可见当船速为2.5km /h 时人可以追上小船.

O

A

B

v t

2(1－k )t

4k t 15°