线性空间练习题

线性空间练习题

一、单项选择题

R 3中下列子集（ ）不是R 3的子空间．

A ．}1|),,{(233211=∈=x R x x x w

B ．}0|),,{(333212=∈=x R x x x w

C ．}|),,{(32133213x x x R x x x w ==∈=

D ．}|),,{(32133214x x x R x x x w -=∈= 二、判断题

1.设n n P V ?=则{,0}n n

W A A P A ?=∈=是V 的子空间.

2、已知{(,),,,}V a bi c di a b c d R =++∈为R 上的线性空间，则维(V ）＝2.

3、设线性空间V 的子空间W 中每个向量可由W 中的线性无关的向量组

12,,,s αααL 线性表出，则维(W)＝s

4、设W 是线性空间V 的子空间，如果

,V W W αβαβ?∈??，，且则必有

.W αβ+?

三、1．已知},|00{1R b a b a W ∈?

??

?

??=,},,|00{11112R c a c a W ∈???

? ??=是22

R ?的两个子空间，求2121,W W W W +?的一个基和维数．

2．已知α关于基},,{321βββ的坐标为（1，0，2），由基},,{321ααα到基}

,,{321βββ的过渡矩阵为???

?

?

??012001423，求α关于基},,{321ααα的坐标．

四、设n P 是数域P 上的n 维列向量空间，2,n n A P A A ?∈=且

记n W AX X P W X X P AX n 12{},{,0},=∈=∈= 1.证明：21,W W 都是n P 的子空间； 2. 证明：21W W P n ⊕=.

线性变换练习题

一、填空题

1．设123,,εεε是线性空间V 的一组基，V 的一个线性变换σ在这组基下的矩阵是

33112233(),,ij A a x x x V αεεε?==++∈则σ在基321,,εεε下的矩阵B ＝_________，而可逆矩阵T ＝

_________满足1

,B T

AT -=σα在基123,,εεε下的坐标为_________ .

2．设A 为数域P 上秩为r 的n 阶矩阵，定义n 维列向量空间n P 的线性变换σ： (),n A P σξξξ=∈,

则1

(0)σ-＝_______，()1dim (0)σ-＝______，()

dim ()n P σ＝_____ .

3．复矩阵()ij n n A a ?=的全体特征值的和等于________ ，而全体特征值的积等于_______ .

4．设σ是n 维线性空间V 的线性变换，且σ在任一基下的矩阵都相同，则σ为________变换 . 5．数域P 上n 维线性空间V 的全体线性变换所成的线性空间()L V 为_______维线性空间，它与________同构.

6．设n 阶矩阵A 的全体特征值为12,,,n λλλL ，()f x 为任一多项式，则()f A 的全体特征值为________ .

二、判断题

1．设σ是线性空间V 的一个线性变换，12,,,s V ααα∈L 线性无关，则向量组12(),(),,()s σασασαL 也线性无关. （ ）

2．设σ为n 维线性空间V 的一个线性变换，则由σ的秩＋σ的零度＝n ，有1

()(0).V V σσ-=⊕ （ ）

3．在线性空间2R 中定义变换σ：(,)(1,)x y x y σ=+，则σ是2

R 的一个线性变换. （ ） 4．若σ为n 维线性空间V 的一个线性变换，则σ是可逆的当且仅当1

(0)σ-＝｛0｝. （ ） 5．设σ为线性空间V 的一个线性变换，W 为V 的一个子集，若()W σ是V 的一个子空间，则W 必为V 的子空间. （ ）

三、计算与证明

1．设00111100A a ?? ?

= ?

???，问a 为何值时，矩阵A 可对角化? 并求一个可逆矩阵X,，使-1X AX=.Λ.

2．在线性空间n P 中定义变换σ：122(,,,)(0,,,)n n x x x x x σ= （1）证明：σ是n P 的线性变换. （2）求()n

P σ与1

(0).σ

-

（3）1

()(0).n

n

P P σσ-⊕=

3．若A 是一个n 阶矩阵，且2A A =，则A 的特征值只能是0和1.

欧氏空间练习题

一、填空题

1．设V 是一个欧氏空间， V ξ∈，若对任意V η∈都有(,)0ξη=，则ξ＝_________．

2．在欧氏空间3R 中，向量(1,0,1)α=-，(0,1,0)β=，那么(,)αβ＝_________，α＝_________． 3．在n 维欧氏空间V 中，向量ξ在标准正交基12,,,n ηηηL 下的坐标是12(,,,)n x x x L ，那么(,)i ξη＝_________，ξ＝_________．

4．两个有限维欧氏空间同构的充要条件是__________________． 5．已知A 是一个正交矩阵，那么1

A -＝_________，2

A ＝_________．

二、判断题

1．在实线性空间2R 中，对于向量1212(,),(,)x x y y αβ==，定义1122(,)(1)x y x y αβ=++，那么2

R 构成

欧氏空间。( )

2．在n 维实线性空间n R 中，对于向量1212(,,,),(,,,)n n a a a b b b αβ==L L ，定义11(,)a b αβ=，则n

R 构成

欧氏空间。 ( )

3．12,,,n εεεL 是n 维欧氏空间V 的一组基，1212(,,,),(,,,)n n x x x y y y L L 与分别是V 中的向量,αβ在这组基下的坐标，则1122(,)n n x y x y x y αβ=+++L 。( ) 4．对于欧氏空间V 中任意向量η，

1

η

是V 中一个单位向量。( ) 5．12,,,n εεεL 是n 维欧氏空间的一组基，矩阵()

ij

n n

A a ?=，其中(,)ij i j a εε=，则A 是正定矩阵。( )

6．设V 是一个欧氏空间，,V αβ∈，并且αβ=

，则αβ+与αβ-正交。( )

7．设V 是一个欧氏空间，,V αβ∈,并且(,)0αβ=，则,αβ线性无关。( )

8．若,στ都是欧氏空间V 的对称变换，则στ也是对称变换。( )

三、计算题

1．把向量组1(2,1,0)α=-，2(2,0,1)α=扩充成3R 中的一组标准正交基. 2．求正交矩阵T ，使T AT '成对解角形。

220212020A -?? ?=-- ? ?-??

四、证明题

1．设A ，B 为同级正交矩阵，且A B =-，证明：0A B +=． 2．设A 为半正定矩阵，且0A ≠，证明：0A E +>．

3．证明：n 维欧氏空间V 与T

V 同构的充要条件是，存在双射:V V σ'→，并且,V αβ?∈ 有

小 测 验 九

一、填空题

1、已知三维欧式空间V 中有一组基123,,ααα，其度量矩阵为110120003A --??

?

=- ? ???

，则向量

12323βααα=+-的长度为 。

2、设???

?

?????? ?????? ??='=10212112,),(2

，，A A R 则中的内积为βαβα在此内积之下的度量矩阵为 。

3、在n 维欧几里德空间中，一组标准正交基的度量矩阵为 。

4、在欧氏空间4

R 中，已知(2,1,3,2),(1,2,2,1)αβ==-，则||α= ，α与β的夹角为 （内积按通常的定义）。

5、设n

R 为欧氏空间，则有柯西-施瓦茨不等式： 。 二、已知二次型

222

123123121323(,,)()222f x x x t x x x x x x x x x =++++-

（1）t 为何值时二次型f 是正定的？

（2）取1t =，用正交线性替换化二次型f 为标准形

三、设123,,ααα是3维欧氏空间V 的一组基，这组基的度量矩阵为

112121216-?? ?-- ? ?-??

（1）令12γαα=+，证明γ是一个单位向量； （2）若123k βααα=++与γ正交，求k

四、设β为n 维欧氏空间V 中一个单位向量，定义V 的线性变换A 如下： 2(,),.A V ααβαβα=-?∈

证明：

（1）A 为第二类的正交变换（称为镜面反射）。

（2）V 的正交变换B 是镜面反射的充要条件为1是B 的特征值，且对应的特征子空间的维数为n-1. 五、已知σ是对称变换，证明：σ的不变子空间W 的正交补W ⊥

也是σ的不变子空间．

小测验(六)

一、填空题

1、已知000,,00A V a b

c a b c R c b ????

??

?

=+∈?? ??? ?+?

???

是33R ?的一个子空间，则维（V ）

＝ ， V 的一组基是 .

2、在P 4中，若1234(1,2,0,1),(1,1,1,1),(1,,1,1),(0,1,,1)k k αααα===-=线性无关，则k 的取值范围是 .

3、已知a 是数域P 中的一个固定的数，而

1{(,,,),1,2,,}n i W a x x x P i n =∈=L L

是P n+1的一个子空间，则a ＝ ，而维(W)＝ .

4、设P n 是数域P 上的n 维列向量空间，2,n n A P A A ?∈=且记

12{},{,0},n W AX X P W X X P AX =∈=∈=

则W 1、W 2都是P n 的子空间，且W 1＋W 2＝ ，12W W I ＝ .

5、设123,,εεε是线性空间V 的一组基，112233x x x αεεε=++，则由基123,,εεε到基231,,εεε的过渡矩阵T ＝ ，而α在基321,,εεε下的坐标是 .

二、计算与证明

1、

在线性空间P 2×2中，

121212112111,,,10110137A A B B ---????????==== ? ? ? ?????????

1）求1212(,)(,)L A A L B B I 的维数与一组基. 2）求1212(,)(,)L A A L B B +的维数与一组基.

2、在线性空间P 4中，求由基1234,,,αααα到基1234,,,ββββ的过渡矩阵，并求(1,4,2,3)α=在基1234,,,αααα下的坐标，其中

1234(1,0,0,0),(4,1,0,0),(3,2,1,0),(2,3,2,1)αααα===-=- 1234(1,1,8,3),(0,3,7,2),(1,1,6,2),(1,4,1,1).ββββ====--- 3、设13,02?? ???

1) 证明：在P n n ?与A 可交换的矩阵的全体W 是一个子空间； 2) 求W 的维数和一组基；

3) 写出W 中矩阵的一般表达式。

4、证明：22,,1x x x x x +-+是3P[x]的一组基，并求2273x x ++在此基下的坐标。

5、V 为定义在实数域上的函数构成的线性空间，令

12{()(),()()},{()(),()()}

W f x f x V f x f x W f x f x V f x f x =∈=-=∈=--

证明：W 1、W 2皆为V 的子空间，且12.V W W =⊕

6、设12,V V 是V 的任意两个非平凡子空间，证明：12V V V ≠U