数学实验(概率论)

数学实验四（概率论）

一．用MATLAB 计算随机变量的分布

1．用MA TLAB 计算二项分布 当随变量(),X

B n p 时，在MATLAB 中用命令函数

(,,)Px binopdf X n p =

计算某事件发生的概率为p 的n 重贝努利试验中，该事件发生的次数为X 的概率。 例1 在一级品率为0.2的大批产品中，随机地抽取20个产品，求其中有2个一级品的概率。

解 在MATLAB 中，输入 >>clear

>> Px=binopdf(2,20,0.2) Px =

0.1369

即所求概率为0.1369。

2．用MA TLAB 计算泊松分布 当随变量()X

P λ时，在MATLAB 中用命令函数

(,)P poisspdf x lambda =

计算服从参数为lambda 的泊松分布的随机变量取值x 的概率。用命令函数

(,)P poisscdf x lambda =

计算服从参数为lambda 的泊松分布的随机变量在[]0,x 取值的概率。

例2 用MATLAB 计算：保险公司售出某种寿险保单2500份.已知此项寿险每单需交保费120元,当被保人一年内死亡时,其家属可以从保险公司获得2万元的赔偿(即保额为2万元).若此类被保人一年内死亡的概率0.002,试求:

(1)保险公司的此项寿险亏损的概率;

(2)保险公司从此项寿险获利不少于10万元的概率; (3)获利不少于20万元的概率.

利用泊松分布计算. 25000.0025np λ==?= (1) P(保险公司亏本)=

()()

15

250025000(3020)1(15)10.0020.998k

k

k k P X P X C -=-<=-≤=-?∑

=15

5

051!

k k e k -=-∑

在MATLAB 中，输入 >> clear

>> P1=poisscdf(15,5) P1 =

0． 9999

即 15

5

05!

k k e k -=∑= P1 =0．9999

故 P(保险公司亏本)=1-0.9999=0.0001 (2) P(获利不少于10万元)=

()()

10

10

25002500

25000

(30210)(10)0.0020.998k k

k k

k k P X P X C

C -==-≥=≤=?≈∑∑ =10

5

05!

k k e k -=∑ 在MATLAB 中，输入 >>P=poisscdf(10,5) P =

0.9863

即 10

5

05!

k k e k -=∑=0.9863

（3） P(获利不少于20万元)=

()()

5

25002500

(30220)(5)0.0020.998k k

k k P X P X C

-=-≥=≤=?∑ =5

5

05!

k k e k -=∑ 在MATLAB 中，输入 >>P=poisscdf(5,5) P =

0.6160

即 5

5

05!

k k e k -=∑= 0.6160

3．用MA TLAB 计算均匀分布 当随机变量(),X

U a b 时，在MATLAB 中用命令函数 (),,P unifpdf x a b =

计算在区间[],a b 服从均匀分布的随机变量的概率密度在x 处的值。用命令函数

(),,P unifcdf X a b =

计算在区间[],a b 服从均匀分布的随机变量的分布函数在X 处的值。

例3乘客到车站候车时间ξ

()0,6U ，计算()13P ξ<≤。

解 ()13P ξ<≤()()31P P ξξ=≤-≤ 在MATLAB 中，输入 >>p1=unifcdf(3,0,6) p1 =

0.5000

>>p2=unifcdf(1,0,6) p2= 0.1667 >>p1-p2 ans = 0. 3333

即 ()13P ξ<≤=0.3333

4．用MA TLAB 计算指数分布 当随变量()X

E λ时，在MATLAB 中用命令函数 ()exp ,P pdf x lamda =

计算服从参数为λ的指数分布的随机变量的概率密度。用命令函数

()exp ,P cdf x lamda =

计算服从参数为1

λ-的指数分布的随机变量在区间[]0,x 取值的概率。

例4 用MATLAB 计算：某元件寿命ξ服从参数为λ（λ=1

1000-）的指数分布.3个这样的元件使用1000小时后，都没有损坏的概率是多少?

解 由于元件寿命ξ服从参数为λ（λ=1

1000-）的指数分布， )1000(1)1000(≤-=>ξξP P 在MATLAB 中，输入 >>p=expcdf(1000,1000)

p =

0． 6321 >>1-p ans =

0.3679

即 )1000(1)1000(≤-=>ξξP P = 0.3679 再输入

>>p2=binopdf(3,3,0.3679) p2 = 0.0498

即3个这样的元件使用1000小时都未损坏的概率为0.0498。

5。用MATLAB 计算正态分布 当随变量()2,X

N μσ时，在MATLAB 中用命令函数

(),,P normpdf K mu sigma =

计算服从参数为,μσ的正态分布的随机变量的概率密度。用命令函数

(),,P normcdf K mu sigma =

计算服从参数为,μσ的正态分布的随机变量的分布函数在K 处的值。

例5 用MA TLAB 计算：某厂生产一种设备，其平均寿命为10年，标准差为2年.如该设备的寿命服从正态分布，求寿命不低于9年的设备占整批设备的比例？。

解 设随机变量ξ为设备寿命，由题意)2,10(~2

N ξ )9(1)9(<-=≥ξξP P 在MATLAB 中，输入 >>clear

>> p1=normcdf(9,10,2) p1 =

0. 3085 >>1-p1

ans = 0.6915

二．利用MATLAB 计算随机变量的期望和方差

1． 用MATLAB 计算数学期望

（1）用MATLAB 计算离散型随机变量的期望

通常，对取值较少的离散型随机变量，可用如下程序进行计算：

1212[,,

,];[,,

,];*n n X x x x P p p p EX X P '===

对于有无穷多个取值的随机变量，其期望的计算公式为：

0()i i i E X x p ∞

==∑

可用如下程序进行计算：

(,0,inf)i i EX symsum x p =

例6 一批产品中有一、二、三等品、等外品及废品5种，相应的概率分别为0.7、0.1、0.1、0.06及0.04,若其产值分别为6元、5.4元、5元、4元及0元.求产值的平均值

解 将产品产值用随机变量ξ表示，则ξ的分布为：

产值ξ 6 5.4 5 4 0 概率p 0.7 0.1 0.1 0.06 0.04

产值的平均值为ξ的数学期望。在MA TLAB 中，输入

[]654540.ξ=； []0701*******

4p .....=； '*p E ξξ= =ξE

54800.

即产品产值的平均值为5.48.

例7 已知随机变量X 的分布列如下：

{}k

k X p 21

== ,,2,1n k = 计算.EX

解

112k

k EX k

∞

==∑ 在MA TLAB 中，输入

k syms ；

inf),1,,)^2/1(*(k k k symsum

=ans

2

即 2=EX

值得注意的是，对案例3.15中简单随机变量，直接用公式计算即可，不一定使用软件计算。

（2）用MATLAB 计算连续型随机变量的数学期望

若X 是连续型随机变量，数学期望的计算公式为：

()EX xf x dx +∞-∞

=?

程序如下：

int(*(),inf,inf)EX x f x =-

例8 用MATLAB 计算：假定国际市场上对我国某种商品的年需求量是一个随机变量ξ

（单位：吨），服从区间[],a b 上的均匀分布，其概率密度为： 1

()0a x b

x b a

??≤≤?

=-???其它

计算我国该种商品在国际市场上年销售量的期望.ξE .

解 ()1

b

a

E xf x dx x

dx b a

ξ∞-∞

==-?

? 在MA TLAB 中，输入

;;b a x syms clear

ξE =int (b a x a b x ,,),/(-) ξE =1/2/(b-a)*(b^2-a^2)

即 ξE =()/2a b +

（3）用MATLAB 计算随机变量函数的数学期望

若()g X 是随机变量X 的函数，则当X 为离散型随机变量且有分布律

k k p x X P ==}{n k ,2,1(=或 21

，=k ）时，随机变量()g X 的数学期望为： 0[()]()k k k E g X g x p ∞

==∑

其MA TLAB 计算程序为：

[()](()*,0,inf)k k E g X symsum g x p =

当X 为连续型随机变量且有概率密度)(x ?时，随机变量()g X 的数学期望为：

?∞

+∞

-=dx x x g x g E )()()]([?

其MA TLAB 计算程序为：

int(()*(),inf,inf)EX g x f x =-

例9 利用MATLAB 计算：假定国际市场每年对我国某种商品的需求量是随机变量X （单位：吨），服从[20,40]上的均匀分布，已知该商品每售出1吨，可获利3万美元，若销售不出去，则每吨要损失1万美元，如何组织货源，才可使收益最大？

解 设y 为组织的货源数量，R 为收益，销售量为ξ.依题意有

3()3()y R g y ξξξ?

==?

--?

y y ξξ≥< 化简得

3()4y

g y ξξ?=?-?

y y ξξ≥<

又已知销售量ξ服从[20,40]上的均匀分，即

1

2040

()20

x x ξ

??<

于是 ()[()]()()E R E g g x x dx ξ?+∞-∞

==?

40

20

1()20g x dx =

? 40

2011(4)32020y y

x y dx ydx =

-+??

在MA TLAB 命令窗口输入

>>;clear syms x y

>>EY=1/20*(int((4*x-y),x,20,y)+int(3*y,x,y,40))

结果显示

1/10*y^2-40-1/20*y*(y-20)+3/20*y*(40-y) 将其化简，输入命令

>>simplify(1/10*y^2-40-1/20*y*(y-20)+3/20*y*(40-y)) 结果显示

-1/10*y^2-40+7*y

再对y 在区间[]20,40上求最大值，在命令窗口输入 >>min ('1/10*^27*40',20,40)f bnd x x -+

结果显示

3.5000e+001

即当组织35吨货源时，收益最大。

(注： simplify （f ）是对函数f 化简；fminbnd(‘f ’,a,b)是对函数f 在区间[a,b]上求极小值。要求函数的极大值时只需将‘f ’变为 ‘-f ’)

2． 用MATLAB 计算方差

计算方差的常用公式为：22()()[()]D X E X E X =-

若离散型随机变量X 有分布律k k p x X P ==}{n k ,2,1(=或 21，=k ），

其MA TLAB 计算程序为

1212[,,

,];[,,

,];;*n n X x x x P p p p EX X P '===

2^().*

2D X X P EX '=-

若X 是连续型随机变量且密度函数为()f x ，则方差的MA TLAB 计算程序为

int(*(),inf,inf);EX x f x =-

2^()int(*(),inf,inf)2D X x f x EX

=--

例10 利用MATLAB 计算：设有甲、乙两种股票，今年的价格都是10元，一年后它们的价格及其分布分别如下表：

解 两公司的股票价格都是离散型随机变量.先计算甲公司股票的方差，在MATLAB 命令窗口输入

[8,121,15];[0.4,0.5,0.1];.*;

.^2*^2X P EX X P DX X P EX '==='=-

运行结果显示

5.7425DX =

类似的程序我们可得乙公司股票的方差为 39.09DY =

相比之下，甲公司股票方差小得多，故购买甲公司股票风险较小。

例11 用MATLAB 计算：例8中我国商品在国际市场上的销售量的方差.

解 已知销售量为[],a b 上均匀分布，即密度函数为

1()0

a x b

x b a

??≤≤?

=-???其它

在MATLAB 命令窗口输入

;;b a x syms clear

ξE =int (b a x a b x ,,),/(-)；

int(1/()^2,,,)^2D b a x x a b E ξξ=--

运行后结果显示

1/3/(b-a)*(b^3-a^3)-1/4/(b-a)^2*(b^2-a^2)^2

将其化简，在命令窗口中输入

simplify(1/3/(b-a)*(b^3-a^3)-1/4/(b-a)^2*(b^2-a^2)^2)

结果显示

1/12*a^2-1/6*b*a+1/12*b^2 即 ()2

/12b a -，这与前面的结论是一致的。

3． 常见分布的期望与方差

常见分布的期望与方差可以调用如下函数完成（表3.1）

例12 求二项分布参数100,0.2n p ==的期望方差 解 程序如下

100;0.2;

[,](,)

n p E D binostat n p ===

结果显示 E= 20 D= 16

例13 求正态分布参数100,0.2MU SIGMA ==的期望方差 解 程序如下

6;0.25;

[,](,)MU SIGMA E D normstat MU SIGMA ===

结果显示 E= 6 D=

0．062 5