人教新课标版数学高二-人教B版必修5学案 2.3.2 等比数列的前n项和(二)

2.3.2 等比数列的前n 项和(二)

1.熟练应用等比数列前n 项和公式的有关性质解题.

2.应用方程的思想方法解决与等比数列前n 项和有关问题．

上一节我们学习了等比数列的前n 项和的公式，那么该公式与相应的函数有怎样的关系？等比数列的前n 项和又有怎样的性质？如何利用这些性质解题？

1．等比数列的前n 项和的变式

(1)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，当公比q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1(q n －1)q －1＝a 1－a n q 1－q ＝

a 1q n q －1－a 1

q －1

； 当q ＝1时，S n ＝na 1.

(2)当公比q ≠1时，等比数列的前n 项和公式是S n ＝a 1(1－q n )1－q ，它可以变形为S n ＝－a 11－q ·q

n

＋

a 11－q ，设A ＝a 1

1－q

，上式可写成S n ＝－Aq n ＋A .由此可见，非常数列的等比数列的前n 项和S n 是由关于n 的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数．当公比q ＝1时，因为a 1≠0，所以S n ＝na 1的相应函数是正比例函数(常数项为0的一次函数)．

2．等比数列前n 项和的性质

(1)连续m 项的和(如S m 、S 2m －S m 、S 3m －S 2m )，仍构成等比数列(注意：q ≠－1或m 为奇数)． (2)S m ＋n ＝S m ＋q m S n (q 为数列{a n }的公比)．

(3)若{a n }是项数为偶数、公比为q 的等比数列，则S 偶

S 奇

＝ q .

要点一 等比数列前n 项和S n 的函数特征

例1 设f (n )＝2＋24＋27＋…＋23n ＋

1 (n ∈N ＋)，则f (n )等于( ) A.2

7

(8n －1) B.27

(8n ＋

1－1)

C.27(8n ＋

2－1) D.27

(8n ＋

3－1) 答案 B

解析 f (n )＝2＋24＋27＋…＋23n ＋1 ＝2(1－8n ＋1)1－8

＝27(8n ＋1－1)．

规律方法 数列是一个特殊的函数，数列的通项公式和数列前n 项和公式都是关于n 的函数．所以利用函数的思想解题，是解决数列问题的基本方法．

跟踪演练1 若{a n }是等比数列，且前n 项和为S n ＝3n －

1＋t ，则t ＝________. 答案 －1

3

解析 显然q ≠1，此时应有S n ＝A (q n －1)，又S n ＝13·3n ＋t ，∴t ＝－1

3.

要点二 等比数列前n 项和性质的应用

例2 已知等比数列前n 项，前2n 项，前3n 项的和分别为S n ，S 2n ，S 3n ，求证：S 2n ＋S 2

2n ＝

S n (S 2n ＋S 3n )．

证明 方法一 设此等比数列的公比为q ，首项为a 1， 当q ＝1时，S n ＝na 1，S 2n ＝2na 1，S 3n ＝3na 1，

∴S 2n ＋S 22n ＝n 2a 21＋4n 2a 21＝5n 2a 21，

S n (S 2n ＋S 3n )＝na 1(2na 1＋3na 1)＝5n 2a 21，

∴S 2n ＋S 22n ＝S n (S 2n ＋S 3n )．

当q ≠1时，S n ＝a 11－q (1－q n )，

S 2n ＝a 1

1－q (1－q 2n )，

S 3n ＝a 1

1－q (1－q 3n )，

∴S 2n ＋S 2

2n ＝(

a 11－q

)2

· ＝(a 11－q

)2·(1－q n )2·(2＋2q n ＋q 2n )． 又S n (S 2n ＋S 3n )＝(a 11－q

)2

·(1－q n )2·(2＋2q n ＋q 2n )，

∴S 2n ＋S 2

2n ＝S n (S 2n ＋S 3n )．

方法二 根据等比数列性质，有S 2n ＝S n ＋q n S n ＝S n (1＋q n )，S 3n ＝S n ＋q n S n ＋q 2n S n ，

∴S 2n ＋S 22n ＝S 2n ＋2＝S 2n (2＋2q n ＋q 2n )， S n (S 2n ＋S 3n )＝S 2n (2＋2q n ＋q 2n )． ∴S 2n ＋S 22n ＝S n (S 2n ＋S 3n )．

规律方法 运用等比数列的前n 项和公式要注意公比q ＝1和q ≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元．

跟踪演练2 在等比数列{a n }中，已知S n ＝48，S 2n ＝60，求S 3n . 解 因为S 2n ≠2S n ，所以q ≠1，

由已知得?????

a 1(1－q n )

1－q

＝48， ①a 1

(1－q 2n

)

1－q ＝60，

②

②÷①得1＋q n ＝54，即q n ＝1

4，

③

将③代入①得a 1

1－q

＝64，

所以S 3n ＝a 1(1－q 3n )1－q ＝64×(1－1

43)＝63.

要点三 等差、等比数列前n 项和的综合问题

例3 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －2(n ∈N ＋)，在数列{b n }中，b 1＝1，点P (b n ，b n ＋1)在直线x －y ＋2＝0上． (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)记T n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ，求T n .

解 (1)由S n ＝2a n －2，得S n －1＝2a n －1－2(n ≥2)，两式相减得a n ＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －

1(n ≥2)，

又a 1＝2a 1－2，∴a 1＝2，

∴{a n }是以2为首项，以2为公比的等比数列，∴a n ＝2n . ∵点P (b n ，b n ＋1)在直线x －y ＋2＝0上，

∴b n －b n ＋1＋2＝0，即b n ＋1－b n ＝2， ∴{b n }是等差数列，∵b 1＝1，∴b n ＝2n －1.

(2)∵T n ＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n －3)2n －1＋(2n －1)2n ， ① ∴2T n ＝1×22＋3×23＋5×24＋…＋(2n －3)2n ＋(2n －1)·2n ＋1， ②

①－②得：

－T n ＝1×2＋2(22＋23＋…＋2n )－(2n －1)·2n ＋1 ＝2＋2·22－2n ·2

1－2－(2n －1)2n ＋1

＝2＋4·2n －8－(2n －1)2n ＋1 ＝(3－2n )·2n ＋1－6， ∴T n ＝(2n －3)·2n ＋1＋6.

规律方法 等差数列与等比数列既有类似的部分，又有区别，要在应用中加强记忆．同时，用好性质也会降低解题的运算量，从而减少差错．

跟踪演练3 在等比数列{a n }中，a n >0 (n ∈N ＋)，公比q ∈(0,1)，且a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，又a 3与a 5的一个等比中项为2. (1)求数列{a n }的通项公式；

(2)设b n ＝log 2a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，当S 11＋S 22＋…＋S n

n

最大时，求n 的值．

解 (1)∵a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，∴a 23＋2a 3a 5＋a 2

5＝25，

又a n >0，∴a 3＋a 5＝5.又a 3与a 5的一个等比中项为2， ∴a 3a 5＝4，而q ∈(0,1)，∴a 3>a 5，∴a 3＝4，a 5＝1. ∴q ＝12，a 1＝16，∴a n ＝16×(1

2)n －1＝25－n .

(2)b n ＝log 2a n ＝5－n ，∴b n ＋1－b n ＝－1，

∴{b n }是以b 1＝4为首项，－1为公差的等差数列，∴b n ＝－n ＋5. ∴S n ＝n (9－n )2，∴S n n ＝9－n 2，

∴当n ≤8时，S n

n

>0；

当n ＝9时，S n n ＝0；当n >9时，S n

n <0.

∴当n ＝8或9时，S 11＋S 22＋S 33＋…＋S n

n

最大．

1．在等比数列中，已知a 1＋a 2＋a 3＝6，a 2＋a 3＋a 4＝－3，则a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7等于( ) A.118 B.1916 C.98 D.3

4 答案 A

解析 由a 2＋a 3＋a 4a 1＋a 2＋a 3＝a 2(1＋q ＋q 2)a 1(1＋q ＋q 2)＝a 2a 1＝q ＝－12，

又由a 1＋a 2＋a 3＝6，且q ＝－1

2，

∴a 1＝8，可得a 2＝a 1q ＝8×(－1

2

)＝－4，

∴a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝S 7－a 1－a 2＝a 1(1－q 7)1－q

－8－(－4)＝11

8.

2．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝a n －1(a 是不为零且a ≠1的常数)，则数列{a n }( ) A ．一定是等差数列 B ．一定是等比数列

C ．或者是等差数列，或者是等比数列

D ．既非等差数列，也非等比数列 答案 B

解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(a －1)·a n －1； 当n ＝1时，a 1＝a －1，∴a n ＝(a －1)·a n －1，n ∈N ＋. ∴a n ＋1

a n

＝a . 3．一个等比数列的前7项和为48，前14项和为60，则前21项和为( ) A ．180 B ．108 C ．75 D ．63

答案 D

解析 由题意得S 7，S 14－S 7，S 21－S 14组成等比数列48,12,3，即S 21－S 14＝3，∴S 21＝63.

4．在数列{a n }中，a n ＋1＝ca n (c 为非零常数)，且前n 项和为S n ＝3n ＋k ，则实数k ＝________. 答案 －1

解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋k ，

当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋k )－(3n －1＋k ) ＝3n －3n －1＝2·3n －1.

由题意知{a n }为等比数列，所以a 1＝3＋k ＝2，∴k ＝－1.

1．在利用等比数列前n 项和公式时，一定要对公比q ＝1或q ≠1作出判断；若{a n }是等比数列，且a n >0，则{lg a n }构成等差数列. 2．等比数列中用到的数学思想

(1)分类讨论的思想：①利用等比数列前n 项和公式时要分公比q ＝1和q ≠1两种情况讨论； ②研究等比数列的单调性时应进行讨论：当a 1>0，q >1或a 1<0,01或a 1>0，0

q ·q n (q >0且q ≠1)常和指数函数相联系；等比

数列的S n ＝a 1q －1·(q n －1) (q ≠1)．设A ＝a 1

q －1，则S n ＝A (q n －1) 也与指数函数相联系．

(3)整体思想：应用等比数列前n 项和时，常把q n ，a 1

1－q

当成整体求解．

一、基础达标

1．在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n 等于( ) A ．2n ＋

1－2 B ．3n C ．2n D ．3n －1 答案 C

解析 ∵数列{a n }为等比数列，∴a n ＝2q n －1， 又∵数列{a n ＋1}也是等比数列，

则(a n ＋1＋1)2＝(a n ＋1)(a n ＋2＋1)?a 2n ＋1＋2a n ＋1＝a n a n ＋2＋a n ＋a n ＋2?a n ＋a n ＋2＝2a n ＋1?a n (1＋

q 2－2q )＝0?q ＝1.

即a n ＝2，所以S n ＝2n .故选C.

2．设{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和，若{S n }是等差数列，则q 等于( ) A ．1 B ．0 C ．1或0 D ．－1 答案 A

解析 ∵S n －S n －1＝a n ，又{S n }是等差数列， ∴a n 为定值，即数列{a n }为常数列，∴q ＝a n

a n －1

＝1.

3．记等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝2，S 6＝18，则S 10

S 5等于( )

A ．－3

B ．5

C ．－31

D ．33 答案 D

解析 由题意知公比q ≠1，S 6

S 3＝a 1(1－q 6)

1－q a 1(1－q 3)

1－q

＝1＋q 3＝9，

∴q ＝2，S 10

S 5＝a 1(1－q 10)

1－q a 1(1－q 5)

1－q

＝1＋q 5＝1＋25＝33.

4．命题1：若数列{a n }的前n 项和S n ＝a n ＋b (a ≠1)，则数列{a n }是等比数列；命题2：若数列{a n }的前n 项和S n ＝an 2＋bn ＋c (a ≠0)，则数列{a n }是等差数列；命题3：若数列{a n }的前n 项和S n ＝na －n ，则数列{a n }既是等差数列，又是等比数列．上述三个命题中，真命题有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 答案 A

解析 命题1：a 1＝a ＋b ，当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝(a －1)·a n －1.

若{a n }是等比数列，则a 2

a 1＝a ，即a (a －1)a ＋b

＝a ，

所以只有当b ＝－1且a ≠0时，此数列才是等比数列； 命题2：a 1＝a ＋b ＋c ，

当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2na ＋b －a ，

若{a n }是等差数列，则a 2－a 1＝2a ，即2a －c ＝2a ， 所以只有当c ＝0时，数列{a n }才是等差数列； 命题3：a 1＝a －1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝a －1， 显然{a n }是一个常数列，即公差为0的等差数列， 因此只有当a －1≠0，即a ≠1时数列{a n }是等比数列．

5．等比数列{a n }共2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________. 答案 2

解析 根据题意得?????

S 奇＋S 偶＝－240，

S 奇－S 偶＝80，

∴?

????

S 奇＝－80，

S 偶＝－160.∴q ＝S 偶S 奇＝－160－80＝2.

6．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝1

4，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝________.

答案

32

3

(1－4-n ) 解析 ∵a 5a 2＝q 3＝18，∴q ＝1

2，a 1＝4，

∴a n ·a n ＋1＝4·(12)n －1·4·(1

2

)n ＝25－2n ，

故a 1a 2＋a 2a 3＋a 3a 4＋…＋a n a n ＋1＝23＋21＋2－1＋2－3＋…＋25－2n ＝8(1－1

4n )

1－14＝32

3(1－4-n )．

7．在等比数列{a n }中，已知S 30＝13S 10，S 10＋S 30＝140，求S 20的值． 解 ∵S 30≠3S 10，∴q ≠1.

由????? S 30＝13S 10，S 10＋S 30＝140，∴?????

S 10＝10，S 30＝130，

∴?????

a 1(1－q 10)

1－q

＝10，

a 1

(1－q 30

)1－q ＝130，

∴q 20＋q 10－12＝0.∴q 10＝3，

∴S 20＝a 1(1－q 20)

1－q ＝S 10(1＋q 10)＝10×(1＋3)＝40.

二、能力提升

8．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和，已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于( ) A.152 B.314 C.334 D.172 答案 B

解析 ∵{a n }是由正数组成的等比数列，且a 2a 4＝1， ∴设{a n }的公比为q ，则q >0，且a 23＝1，即a 3＝1. ∵S 3＝7，∴a 1＋a 2＋a 3＝1q 2＋1

q ＋1＝7，

即6q 2－q －1＝0.

故q ＝12或q ＝－13(舍去)，∴a 1＝1

q 2＝4.

∴S 5＝4(1－125)

1－12

＝8(1－125)＝31

4.

9．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a 6等于( ) A ．3×44 B ．3×44＋1 C ．45 D ．45＋1 答案 A

解析 当n ≥1时，a n ＋1＝3S n ，则a n ＋2＝3S n ＋1， ∴a n ＋2－a n ＋1＝3S n ＋1－3S n ＝3a n ＋1，即a n ＋2＝4a n ＋1， ∴该数列从第2项开始是以4为公比的等比数列．

又a 2＝3S 1＝3a 1＝3，∴a n ＝?

????

1 (n ＝1)，

3×4n －2

(n ≥2).

∴当n ＝6时，a 6＝3×46－2＝3×44.

10．在等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，S 3＝2，S 6＝6， 则a 10＋a 11＋a 12＝________. 答案 16

解析 由S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9成等比数列，此数列首项为S 3＝2， 公比q ′＝S 6－S 3S 3＝6－2

2

＝2，得S 12－S 9＝2×23＝16.

11．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 2＝6,6a 1＋a 3＝30，求a n 和S n .

解 设{a n }的公比为q ，由题设得?????

a 1q ＝6，

6a 1＋a 1q 2

＝30.

解得????? a 1＝3，q ＝2或?????

a 1＝2，

q ＝3.

当a 1＝3，q ＝2时，a n ＝3×2n －1， S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝3(1－2n )1－2＝3(2n －1)；

当a 1＝2，q ＝3时，a n ＝2×3n －1， S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝2(1－3n )1－3

＝3n －1.

12．在等比数列{a n }中，a 1＝2，a 3＋2是a 2和a 4的等差中项． (1)求数列{a n }的通项公式；

(2)记b n ＝a n log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 解 (1)设数列{a n }的公比为q ， 由题意知：2(a 3＋2)＝a 2＋a 4， 即2(a 1q 2＋2)＝a 1q ＋a 1q 3， ∴q 3－2q 2＋q －2＝0， 即(q －2)(q 2＋1)＝0.∴q ＝2， 即a n ＝2·2n －1＝2n . (2)b n ＝2n ·log 22n ＝n ·2n ，

∴S n ＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n .

① 2S n ＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1.

②

①－②得－S n ＝21＋22＋23＋24＋…＋2n －n ·2n ＋1＝－2－(n －1)·2n ＋1. ∴S n ＝2＋(n －1)·2n ＋1. 三、探究与创新

13．已知等比数列{a n }中，a 1＝13，公比q ＝13

，

(1)若S n 为数列{a n }的前n 项和，证明：S n ＝1－a n

2

.

(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列{b n }的通项公式． (1)证明 ∵a n ＝13×(13)n －1＝1

3n ，

S n ＝13(1－13n )1－

13＝1－1

3n 2.

∴S n ＝1－a n

2

.

(2)解 ∵log 3a n ＝log 33(－n )＝－n ， ∴b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－(1＋2＋3＋…＋n )＝－n (n ＋1)

2.

∴数列{b n }的通项公式为b n ＝－n (n ＋1)

2

.