2015年江苏高考数学试卷(含附加题)

2015年高考·江苏卷·数学

注意事项：

1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．

2．答题前，请务必将自己的姓名、班级写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答．题纸．．

上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．

参考公式：锥体的体积公式为V ＝1

3

Sh ，其中S 是锥体的底面面积，h 是高．

一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题．．卡．相应位置上．．．．．． 1．设集合A ＝{1，2，3 }，B ＝{2，4，5 }，则A ∪B 中元素的个数 ． 【答案】 【解析】

2．已知一组数据4、6、5、8、7、6，那么这组数的平均数为 ． 【答案】 【解析】

3．若复数 z 满足z 2

=3+4i (i 是虚数单位)，则复数z 的模_________________

【答案】 【解析】

4．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为___________

s ←1 I ←1

While I<8

s ←s ＋2 I ←I+3 End While Print s

【答案】 【解析】

5．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随 机摸出2只球，则这两只球颜色不同的概率是 ▲ ． 【答案】 【解析】

6．已知向量a =(2,1)，b =(1,-2)，若m a +n b =(9,-8)，（ m ，n ∈R ），则m -n 的值为 ▲ 【答案】

【解析】 7．不等式422<-x

x 的解集为

【答案】 【解析】

8．已知7

1

)tan(,2tan =+-=βαα ，则tan β 的值 . 【答案】

【解析】

9．现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为 。 【答案】

【解析】

10．在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切

的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 。 【答案】 【解析】

11．数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数列}1

{

n

a 的前10项和为 。 【答案】 【解析】

12．在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线12

2

=-y x 右支上的一个动点。若点P 到直线

01=+-y x 的距离对c 恒成立，则是实数c 的最大值为 。

【答案】 【解析】

13．已知函数|ln |)(x x f =，?

??>--≤<=1,2|4|1

0,0)(2

x x x x g ，则方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数为 。

【答案】 【解析】

14．设向量)12,,2,1,0)(6

cos 6sin ,6(cos =+=k k k k a k πππ，则∑=+?12

1)(k k k

a a

的值

为 。

【答案】. 【解析】

二．解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．

作答，解答时应写出文字

说明．证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）

在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为AB=2，AC=3，A=60o

（1）求边BC 的值； （2）求sin2C ． 【答案】（1）7；（2）

7

3

4 【解析】（1）根据题意可知c=2,b=3,A=60o ，由余弦定理可知BC 2=a 2=b 2+c 2-2abcosA=7 故BC=7

（2）由余弦定理可知cosC=ab c a b 2222-+=7

2,又C ?

??

? ??∈

ππ,2,sinC=73

sin2C=2 sinCcosC=

7

3

4 16．（本小题满分14分）

如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知1,AC BC BC CC ⊥=.设1AB 的中点为D ，

11.B C BC E ?=

求证：（1）11//DE AACC 平面 (2)11BC AB ⊥ 【答案】 【解析】

17．（本小题满分14分）

某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为12l l ，，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l ，如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到12l l ，的距离

分别为5千米和40千米，点N 到12l l ，的距离分别为20千米和2.5千米，以12l l ，所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，假设曲线C 符合函数2

a

y x b

=+（其中a ，b 为常数）模型.

（I ）求a ，b 的值；

（II ）设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t.

①请写出公路l 长度的函数解析式()f t ，并写出其定义域； ②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度. 【答案】 【解析】

18．（本小题满分16分）

如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为2

2

，

且右焦点F 到左准线l 的距离为3.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC=2AB ，求直线AB 的方程. 【答案】 【解析】

19．（本小题满分16分）

已知函数),()(2

3

R b a b ax x x f ∈++=。 （1）试讨论)(x f 的单调性；

（2）若a c b -=（实数c 是a 与无关的常数），当函数)(x f 有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是),2

3()23

,1()3,(+∞--∞ ，求c 的值。

【答案】 【解析】

20．（本小题满分14分）

设1234,,,a a a a 是各项为正数且公差为d (0)d ≠的等差数列 （1）证明：31242,2,2,2a

a

a

a

依次成等比数列

（2）是否存在1,a d ，使得2341234,,,a a a a 依次成等比数列，并说明理由

（3）是否存在1,a d 及正整数,n k ，使得351234,,,n n k n k n k a a a a +++依次成等比数列，并说明理由 【答案】 【解析】

数学附加题

21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每题10分，共计20分.请在答题．．纸指定区域内．．．．．．作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A ．（几何证明选讲选做题） A 、 （本小题满分10分）

如图，在ABC ?中，AC AB =，ABC ?的外接圆圆O 的弦AE 交BC 于点D 求证：ABD ?≈AEB ?

【答案】

【解析】

B ．（矩阵与变换选做题）（本小题满分10分） 已知R y x ∈,，向量???

?

??-=11α是矩阵?????

?=01y x A 的属性特征值2-的一个特征向量，矩阵A 以及它的另一个特征值。

【答案】 【解析】

C ．（坐标系与参数方程选做题）

已知圆C 的极坐标方程为2

22sin()404

π

ρρθ+-

-=，求圆C 的半径.

【答案】 【解析】

D ．（不等式选做题） 解不等式|23|3x x ++≥

【答案】 【解析】

22．【必做题】 如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为

直

角

梯

形

，

2

ABC BAD π∠=∠=

,2,1

PA AD AB BC ===

=

(1)求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值；

（2）点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成角最小时，求线段BQ 的长

【答案】 【解析】

23．【必做题】已知集合*{1,2,3},{1,2,3,,}()n X Y n n N ==∈，设

{(,)|,,}n n S a b a a a X b Y =∈∈整除b 或除，令()f n 表示集合n S 所含元素个数. （1）写出(6)f 的值；

（2）当6n ≥时，写出()f n 的表达式，并用数学归纳法证明。

【答案】． 【解析】