必修一上函数性质单调性奇偶性题型

第3讲 函数性质

一、函数的单调性

1．增函数、减函数定义

设函数()y f x =的定义域为集合I ：

增函数定义 如果对于属于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值1x 、2x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说在()f x 这个区间D 上是增函数；

减函数定义 如果对于属于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值1x 、2x ，当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么就说()f x 在这个区间D 上是减函数．

2．单调函数、单调区间定义

如果函数()y f x =在区间D 是增函数或减函数，那么就说函数()y f x =这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做()y f x =的单调区间．

3．增函数、减函数的等价定义 任取12,[,]x x a b ∈，则 『等价定义1』

1212()()

0f x f x x x ->-()f x ?在[,]a b 上是增函数；

1212

()()

0f x f x x x -<-()f x ?在[,]a b 上是减函数．

『等价定义2』1212()[()()]0x x f x f x -->()f x ?在[,]a b 上是增函数；

1212()[()()]0x x f x f x --<()f x ?在[,]a b 上是减函数．

4．对单调性概念的理解：

（1）函数的单调性只能在定义域内讨论，可以是整个定义域，也可以是定义域的某个区间． （2）有些函数在其定义域内不具有单调性，如1y x -=，2y x =； 有些函数在其整个定义域内都具有单调性，如y x =，3y x =；

（3）当函数在闭区间上单调时，区间包不包括端点都可以，但习惯上写成闭区间的形式；因为对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以区间端点处不具有单调性；

（4）函数单调性定义中的1x 、2x 应取自同一单调区间且具有任意性； （5）在单调区间上，增函数的图像是上升的，减函数的图像是下降的； 5．定义法证明函数单调性的步骤

①任取…，②作差、变形（一般是因式分解、配方、分子或分母有理化），③判断符号，④结论． 6.复合函数分析法

设?Skip Record If...?，?Skip Record If...??Skip Record If...?，?Skip Record If...?都是单调函数，则?Skip Record If...?在?Skip Record If...?上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数的增减性相反，复合函数为减函数。如下表：

题型一：求函数的单调区间，常用以下四种方法。

1.定义法

【例1】 试用函数单调性的定义判断函数2()1

x

f x x =

-在区间(0,1)上的单调性．

【例2】 证明函数3y x =在定义域上是增函数．

【例3】 根据函数单调性的定义，证明函数3()1f x x =-+在(,)-∞+∞上是减函数．

【例4】 证明函数()f x =

【例5】 讨论函数2

()1

x

f x x =

-(11)x -<<的单调性．

【例6】 求函数f (x)=x+1

x

的单调区间。

【例7】 求证:函数()(0)a

f x x a x =+>在)+∞上是增函数

【例8】 已知f (x )是定义在R 上的增函数，对x ∈R 有f (x )>0，且f (5)=1，设F (x )= f (x )+

)

(1

x f ，讨论F (x )的单调性，并证明你的结论。

【例9】 已知函数()f x 对任意实数x ，y 均有()()()f x y f x f y +=+．且当x ＞0时，()0f x >，试判断()f x 的单

调性，并说明理由．

【例10】 已知给定函数()f x 对于任意正数x ，y 都有()f xy ＝()f x ·()f y ，且()f x ≠0，当1x >时，()1f x <．试

判断()f x 在(0,)+∞上的单调性，并说明理由． 2.图象法

【例11】 如图是定义在区间[5,5]-上的函数()y f x =，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它

是增函数还是减函数？

【例12】 求函数122y x x =++-的单调减区间

【例13】 求下列函数的单调区间：

⑴ |1|y x =-；⑵ 1

y x x

=+

（0x >）．

【例14】 求下列函数的单调区间：

⑴|1||24|y x x =-++；⑵ 22||3y x x =-++

【例15】 作出函数2||y x x =-的图象，并结合图象写出它的单调区间．

【例16】 画出下列函数图象并写出函数的单调区间

（1）2

2||1y x x =-++ （2）2

|23|y x x =-++

3.求复合函数的单调区间 【例17】 求函数2

1

2

y x x =++的单调区间．

【例18】 讨论函数y =的单调性．

题型二：利用单调性求函数中参数的取值范围

【例19】 设函数()(21)f x a x b =-+是R 上的减函数，则a 的范围为( )

A ．1

2

a ≥

B ．12a ≤

C ．1

2

a >-

D ．1

2

a <

【例20】 函数2([0,)y x bx c x =++∈+∞)是单调函数的充要条件是( )

A ．0b ≥

B ．0b ≤

C ．0b >

D ．0b <

【例21】 已知2

()()2x x a

f x a a a -=

?--（0a >且1a ≠）是R 上的增函数．则实数a 的取值范围是（ ）． A ．(01)，

B ．(

)(01)2+∞，，

C ．)

+∞

D ．)(01)

2?

+∞?

，，

题型三：函数的单调性与方程、不等式

【例22】 已知()f x 在区间(,)-∞+∞上是减函数，,a b R ∈且0a b +≤，则下列表达正确的是（ ）

A ．()()[()()]f a f b f a f b +≤-+

B ．()()()()f a f b f a f b +≤-+-

C ．()()[()()]f a f b f a f b +≥-+

D ．()()()()f a f b f a f b +≥-+-

【例23】 若()f x 是R 上的减函数，且()f x 的图象经过点(03)A ，和点(31)B -，，

则不等式|(1)1|2f x +-<的解集为（ ）． A ．(3)-∞，

B ．(2)-∞，

C ．(03)，

D ．(12)-，

【例24】 设()f x 是定义在R 上的函数，对m 、n R ∈恒有()()()f m n f m f n +=?，且当0x >时，0()1f x <<。

（1）求证：(0)1f =； （2）证明：x R ∈时恒有()0f x >； （3）求证：()f x 在R 上是减函数； （4）若()(2)1f x f x ?->，求x 的范围。

【例25】 设()f x 是定义在(0,)+∞上的单调增函数，满足()()(),(3)1f xy f x f y f =+=

求：（1）f （1）；（2）当()(8)2f x f x +-≤时x 的取值范围.

【例26】 已知()f x 是定义在+R 上的增函数，且()()()x f f x f y y

=-．

⑴求证：(1)0f =，()()()f xy f x f y =+； ⑵若(2)1f =，解不等式1

()(

)23

f x f x -≤-．

【例27】 设1n >，()f x 是定义在有限集合{}1,2,3,

,A n =上的单调递增函数，且对任何,x y A ∈，有

()

()()()

f x f x f y f y =．那么，

（ ） A ．2n = B ．3n = C ．4n = D ．5n ≥

题型四：函数的最值 【例28】 求函数1

()f x x x

=+，0x >的最小值．

【例29】 求函数y =

【例30】 求函数y =

二、函数的奇偶性

1．奇函数定义

如果对于函数定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么函数()f x 就叫奇函数． 2．偶函数定义

如果对于函数定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么函数()f x 就叫偶函数． 3．函数的奇偶性定义

如果一个函数是奇函数或偶函数，则称这个函数在其定义域内具有奇偶性． 注：（1）函数可分为奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数． （2）奇函数、偶函数定义域关于原点对称．

（3）定义域关于原点对称是函数()f x 为奇函数或偶函数的必要不充分条件． 4．判断函数奇偶性的步骤

先看函数的定义域是否关于原点对称；在定义域关于原点对称的条件下，再根据()f x -与()f x 的关系做出判断，为了便于判断，有时需要将函数进行化简．

5．判断函数奇偶性的方法

（1）奇偶性定义是判断函数奇偶性的主要方法．

（2）为了便于判断，有时将函数解析式化简后利用奇偶性定义的等价形式： ()()0f x f x -+=?函数为奇函数；

()

1()

f x f x -=-?函数为奇函数（()0f x ≠）；()()0f x f x --=?函数为偶函数；()

1()

f x f x -=?函数为偶函数（()0f x ≠）． （3）根据函数图像的对称性判断奇偶性：

图像关于原点对称的函数是奇函数，图像关于y 轴对称的函数是偶函数． （4）利用基本函数的奇偶性结论判断（具体内容见后面附录二）． （5）由任意一个定义域关于原点对称的函数()f x ，均可构造出 一个奇函数()[()()]2g x f x f x =--、一个偶函数()[()()]h x f x f x =+-． （6）利用以下结论判断奇偶性：

奇函数±奇函数=奇函数，偶函数±偶函数=偶函数，奇函数×奇函数=偶函数，奇函数×偶函数=奇，偶函数×

偶函数=偶函数等．

5．有关函数奇偶性的结论

（1）奇函数在关于原点对称的区间内具有相同的单调性（如果具有单调性） （2）偶函数在关于原点对称的区间内具有相反的单调性（如果具有单调性） （3）若奇函数()f x 在0x =处有定义，则(0)0f =．

（4）若()0f x =，且()f x 定义域关于原点对称，则函数()f x 既是奇函数，又是偶函数．

题型一：判断函数奇偶性

1.判断函数奇偶性可以直接用定义，而在某些情况下判断f (x)±f (-x)是否为0是判断函数奇偶性的一个重要技巧，比较便于判断．

【例1】 判断下列函数的奇偶性：

⑴ 1

y x

=

； ⑵ 422y x x =++； ⑶ 3y x x =+； ⑷ 31y x =-．

【例2】 判断下列函数的奇偶性：

典例分析

⑴4()f x x =； ⑵5()f x x =； ⑶1

()f x x x

=+； ⑷21()f x x =．

【例3】 判断下列根式函数的奇偶性并说明理由：

（1）()(f x x =-（2） ()f x =

（3）

【例4】 判别下列函数的奇偶性：

（1）2()5||f x x x =+； （2）()|1||1|f x x x =-++；（3）23()f x x x =-.

【例5】 判断函数

的奇偶性．

2.由函数奇偶性的定义，有下面的结论： 在公共定义域内 （1）两个偶函数之和（积）为偶函数；

（2）两个奇函数之和为奇函数；两个奇函数之积为偶函数； （3）一个奇函数和偶函数之积为奇函数．

【例6】 若函数f(x)= 3

(x x)+g(x)是偶函数，且f (x)不恒为零，判断函数g(x)的奇偶性．

【例7】 函数()y f x =与()y g x =有相同的定义域，对定义域中任何x ，有()()0f x f x +-=，()()1g x g x -=，则

2()

()()()1

f x F x f x

g x =

+-是（ ）

A ．奇函数

B ．偶函数

C ．既是奇函数又是偶函数

D ．非奇非偶函数

题型二：求解析式与函数值

1.利用函数奇偶性可求函数解析式．

【例8】 设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时，()(1f x x =，那么当(,0)x ∈-∞时，()f x =_________．

【例9】 已知偶函数f (x)的定义域为R ，当x ≥0时，f (x)=2x 3x-1+，求f (x)的解析式．

设x ＜0，则－x ＞0

【例10】 已知函数()f x 为R 上的奇函数，且当0x >时()(1)f x x x =-．求函数()f x 的解析式．

【例11】 已知函数22()(1)(1)2f x m x m x n =-+-++，当,m n 为何值时，()f x 是奇函数？

【例12】 已知()f x 是偶函数，0x ≥时，2()24f x x x =-+，求0x <时()f x 的解析式.

【例13】 已知()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x <时，2()2f x x x =+-，求()f x 的解析式.

【例14】 ()y f x =图象关于1x =对称，当1x ≤时，2()1f x x =+，求当1x >时()f x 的表达式．

【例15】 已知函数21

()(,,)ax f x a b c Z bx c

+=

∈+是奇函数,且(1)2,(2)3f f =<,求,,a b c 的值.

2.对于函数奇偶性有如下结论：定义域关于原点对称的任意一个函数f (x)都可表示成一个偶函数和一个奇函数之和． 即 f (x)=

1

2

[F (x)+G(x)] 其中F (x) =f (x)+f (-x),G(x) =f (x)－f (-x) 利用这一结论，可以简捷的解决一些问题．

【例16】 定义在R 上的函数f (x)=22x x

x 1

++，可表示成一个偶函数g(x)和一个奇函数h(x)之和,求g(x)，h(x)．

【例17】 已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数并且()()1f x g x x +=+，则求()f x 与()g x 的表达式．

【例18】 已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且1

()()1

f x

g x x -=

+，求()f x 、()g x ．

3.利用函数奇偶性求函数值

【例19】 已知f （x ）,.10)2(83

2

=-+++=f bx ax x 且求f (2).

【例20】 ⑴ 若()f x 是定义在R 上的奇函数，则(0)f =__________；

⑵若()f x 是定义在R 上的奇函数，(3)2f =，且对一切实数x 都有(4)()f x f x +=，则(25)f =__________； ⑶设函数()y f x =(R x ∈且0x ≠）对任意非零实数12,x x 满足1212()()()f x x f x f x ?=+，则函数()y f x =是___________（指明函数的奇偶性）

【例21】 已知函数3()2f x x x =--．若1x 、2x 、3x ∈R 且120x x +>，230x x +>，310x x +>．则123()()()

f x f x f x ++（ ）．

A ．大于零

B ．小于零

C ．等于零

D ．大于零或小于零

【例22】 设函数322||2()2||

x x x x f x x x +++=+的最大值为M ，最小值为m ，则M 与m 满足（ ）．

A ．2M m +=

B ．4M m +=

C ．2M m -=

D ．4M m -=

【例23】 函数()f x 在R 上有定义，且满足①()f x 是偶函数；②(0)2005f =；③()(1)g x f x =-是奇函数；求(2005)

f 的值．

题型三：奇偶性与对称性的其他应用 1.奇偶性与单调性

【例24】 已知函数()f x 是偶函数，而且在(0,)+∞上是减函数，判断()f x 在(,0)-∞上是增函数还是减函数并证明你

的判断．对奇函数有没有相应的结论．

【例25】 已设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且在区间(,0)-∞上是减函数，实数a 满足不等式

22(33)(32)f a a f a a +-<-，求实数a 的取值范围.

【例26】 已知()y f x =为()-∞+∞，上的奇函数，且在(0)+∞，上是增函数． 求证：()y f x =在(0)-∞，上也是增函数；

【例27】 已知函数()f x ，当,R x y ∈时恒有 ()()()f x y f x f y +=+ ．

①求证：函数()f x 是奇函数； ②若(3)f a -=，试用a 表示(24)f ． ③如果R x +∈时()0f x <，且(1)0.5f =-．

试判断()f x 的单调性，并求它在区间[2,6]-上的最大值与最小值．

【例28】 设函数()y f x =（x ∈R 且0)x ≠对任意非零实数12,x x ，恒有1212()()()f x x f x f x =+，

⑴求证：(1)(1)0f f =-=； ⑵求证：()y f x =是偶函数；

⑶已知()y f x =为(0，)+∞上的增函数，求适合1

()()02

f x f x +-≤的x 的取值范围．

【例29】 知(),()f x g x 都是奇函数，()0f x >的解集是2

(,)a b ，()0g x >的解集是2,22a b ?? ???

，22b

a >，那么求

f x

g x 的解集．()()0