武汉一中等部分重点中学2014-2015学年度下学期期中联考高一数学理科试卷(word含答案)

武汉市部分重点中学2014-2015学年度下学期期中联考

高一数学试卷（理科）

命题学校：武汉一中 命题教师： 审题教师：

考试时间：2015年4月27日下午3：50-5：50 试卷满分：150分 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求。) 1.

21+与21-的等比中项是（ ）

A. 2

B.1

C.-1

D. 1± 2.计算sin 77cos 47sin13cos 43-的值等于（ ）

A.

12 B. 33 C. 22

D. 32 3.符合下列条件的三角形ABC ?有且只有一个的是（ ）

A. 1,2,30a b A ===

B. 1,2,3a b c ===

C. 1,45b c B ===

D.1,2,100a b A ===

4.已知2cos 23

θ=

，则44

sin cos θθ-的值为（ ） A.

2

3

B. 23-

C. 1118

D. 29-

5.若等差数列{}n a 满足7897200,0a a a a a ++>+<，则当{}n a 的前n 项和最大时n 的值为（ ）

A. 7

B. 8

C. 9

D. 10

6. 已知21tan(),tan()544παββ+=

-=，那么tan()4π

α+等于（ ） A. 13

18

B. 1322

C. 322

D. 16

7.已知等比数列{}n a 前n 项和为n S ，且201520142014201332015,32015a S a S =+=+，则公比q 等于（ ） A. 3 B.

13 C.4 D. 14

8.如图，D 、C 、B 三点在地面同一直线上，DC=a ，从C 、D 两点测得A 点的仰角分别是β，

α（α＜β），则A 点离地面的高度等于（ ）

A.

sin sin sin()a αββα- B. sin sin cos()a αβ

αβ-

C.

sin cos sin()a αββα- D. cos sin cos()

a αβ

αβ-

9. 已知等比数列{}n a 中251

2,4

a a ==

，则1223341...n n a a a a a a a a +?+?+?++?等于（ ） A. 16(14)n -- B. 16(12)n - C. 32(14)3n -- D. 32(12)3

n -- 10．在△A B C 中，,,A B C ∠∠∠所对的边长分别是,,a b c ，若s i n s i n (

)s i n 2C B A A +-=，

则△A B C 的形状为（ ）

A. 等腰三角形

B. 直角三角形

C. 等腰直角三角形

D. 等腰三角形或直角三角形 11.将正奇数1，3，5，7，…按右表的方式进行排列，记a ij 表示第i 行第j 列的数，若a ij =2015则i+j 的值为（ ） A. 505 B. 506

C. 254

D. 253 12.给出以下命题： ①存在两个不等实数,αβ，使得等式sin()sin sin αβαβ+=+成立；

②若数列{}n a 是等差数列，且(*)m n s t a a a a m n s t N +=+∈、、、，则m n s t +=+； ③若n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，则61261812S ,,S S S S --成等比数列；

④若n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，且;(B n n S Aq B =+∈*其中A 、是非零常数,n N )，则A+B 为零；

⑤已知ABC ?的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2

2

2

a b c +>，则ABC ?一定是锐角三角形。其中正确的命题的个数是（ ）

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分。不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题纸相应位置上。) 13. 已知

2

π

θπ<<，且22

sin 3

θ=

，则tan 2θ=__________.

14. 已知ABC ?中，设三个内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，且

1,3,30

a b A ===，则边长c=__________. 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列

第1行 1 3 5 7 第2行 15 13 11 9 第3行 17 19 21 23 第4行 31 29 27 25 第5行 39 37 35 33 …

…

…

…

…

…

15.已知数列{}n a ，{}n b 都是等差数列，S n ，T n 分别是它们的前n 项和，并且

73

3

n n S n T n +=

+，则

251924

8101418

b +b +b +b a a a a +++=__________.（用最简分数做答）

16. 数列{}n a 的首项为11a =，数列{}n b 为等比数列且1

n n n

a b a +=，若1

1010112015b b =，则

21a =__________.

三、解答题(本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.（本小题满分10分）

（1）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若321n n S n =++，求n a

（2）等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，已知102030,50,242n a a S ===，求n.

18.（本小题满分12分） 已知1cos(

)cos(),,63432π

πππααα??

+?-=-∈ ???

，求： （1）sin 2α； （2）1

tan tan αα

-。

19.（本小题满分12分）

在△A B C 中，三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，10cos ,10

A =-

25

sin sin sin sin 5

a A

b B

c C a B +-=

。 （1）求B 的值；

（2）设b=10，求△A B C 的面积S.

20. （本小题满分12分）

已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，且12342,32,a a a a == （1）数列{}n a 的通项公式； （2）设数列{}n b 满足3

121...1(*)13521

n n b b b b a n N n +++++=-∈-，求该数列{}n b 的前n 项和n T .

21. （本小题满分12分）

如图，经过村庄A 有两条夹角为60°的公路AB,AC,根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P,分别在两条公路边上建两个仓库M 、N (异于村庄A),要求PM ＝PN ＝MN ＝2(单位:千米).如何设计, 可以使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)．

22 （本小题满分12分）

数列{}n a 的首项为(0)a a ≠，前n 项和为n S ，且1(0)n n S t S a t +=?+≠。设1n n b S =+， c n =k+b 1+b 2+…+b n （k ∈R +

）． （1）求数列{a n }的通项公式；

（2）当t=1时，若对任意n ∈N *

，|b n |≥|b 3|恒成立，求a 的取值范围；

（3）当t ≠1时，试求三个正数a ，t ，k 的一组值，使得{c n }为等比数列，且a ，t ，k 成等差数列．

高一理科数学试卷参考答案及评分标准

一、选择题：

题号 1

2 3 4 5 6

7 8 9 10 11 12

（第21题图）

答案 D A C B B C C A C D D B

二、填空题：

13．2 14.1或2 15．

19

3

16．2015 三、解答题

17．解：(1) 当1n =时，116a s ==；

当2n ≥时，111(321)[32(1)1]232n n n n n n a s s n n ---=-=++-+-+=?+ 由于1a 不适合此式，

所以1

6,1

232,2n n n a n -=?=??+≥?

……………………………5分 (2) 解 由11020(1),30,50n a a n d a a =+-==，

得程组11

9301950a d a d +=??+=?解得1122a d =??=?

所以210n a n =+．

1(1)

,2422n n n n s na d s -=+=

得(1)

1222422

n n n -+

?= 解得11n =或22n =-(舍去)．……………………………10分

18．（1）cos()cos()63ππαα+?-=11

cos()sin()sin(2),66234

πππααα+?+=+=-

……………2分 即1sin(2)32π

α+

=-，注意到(,)32ππα∈，故23πα+4(,)3

ππ∈，

从而23

)3

2cos(-

=+

π

α，………………5分 2

1

3sin

)32cos(3cos

)32sin(2sin =

+

-+

=∴π

παππαα …………………… 7分

（2）22

31sin cos sin cos 2cos 22tan 2231tan cos sin sin cos sin 22

ααααα

ααααααα

----=-===-?=．

……………………12分 19．解：（Ⅰ）

25

sin sin sinC sin 5

a A

b B

c a B +-=， ∴22225

5

a b c ab +-=

.

∴2225

cos 25

a b c C ab +-=

=.

又

A B C 、、是ABC ?的内角，

∴31025

sin ,sin 105

A C =

=

. …………………2分

()105310252

cos cos cos sin sin 1051052

A C A C A C +=-=

?-?=-

，……4分

又

A B C 、、是ABC ?的内角，

∴0A C π<+<，

∴34

A C π+=. ∴()4

B A

C π

π=-+=. ………………6分

（Ⅱ）sin sin c b

C B =， ∴sin 410sin b

c C B

=

?=. ∴ABC ?的面积11310

sin 10410602210

S bc A ==???

=. ………12分 20．解：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，由已知得2

12512

32

a q a q ?=??=?? ．．．．．．．．．．．．2分

又

10,0a q >>，解得11

2a q =??=?

．．．．．．．．．．．．3分 12n n a -∴=； ．．．．．．．．．．．．5分 （2）由

3

12...21()13521

n n b b b b n N n *++++=-∈-可得 当2n ≥时，有

13

112 (2113523)

n n b b b b n --++++=--， 1212121

n n n

b n -∴-+

=--，整理得1(21)2,(2)n n b n n -=-≥．．．．．．．．．．．．7分 当11,1n b ==符合上式

∴1(21)2n n b n -=- ．

．．．．．．．．．．．8分 设12113252(21)2n n T n -=+?+?+???+-?，

2312123252(23)2(21)2n n n T n n -=?+?+?+???+-?+-?．

．．．．．．．．．．．10分

两式相减得2112(222)(21)2(23)23n n n n T n n --=+++???+--?=--?- (23)23n n T n ∴=-+ ．．．．．．．．．．．．12分 21．设AMN θ∠=，在AMN 中，

sin 60sin(120)

MN AM

θ=-．

因为2MN =，所以43

sin(120)3

AM θ=

-．………………2分 在APM 中，cos cos(60)AMP θ∠=+．…………………5分

2222cos AP AM MP AM MP AMP =+-?∠

20001643sin (120)422sin(120)cos(60)33θθθ=

-+-??-+ ……………7分 200016163sin (60)sin(60)cos(60)433

θθθ=

+-+++ 0883[1cos(2120)sin(2120)433

θθ=-+-++ 0820[3sin(2120)cos(2120)]33θθ=-++++

02016sin(2150),(0,120)33

θθ=-+∈ …………………10分 当且仅当2150270θ+=，即60θ=时，2

AP 取得最大值12，即AP 取得最大值23． 答：设AMN ∠为60时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．…………………12分 22．（1）因为a S t S n n +?=+1 ① 当2≥n 时，a S t S n n +?=-1 ②，

①—②得，n n a t a ?=+1（2≥n ）， 又由a S t S +?=12，得12a t a ?=，

所以，}{n a 是首项为a ，公比为t 的等比数列，所以1-?=n n t a a （*

N ∈n ）．…………2分 （2）当1=t 时，a a n =，na S n =，1+=na b n ， 由||||3b b n ≥，得|13||1|+≥+a na ，0]2)3[()3(≥++-a n a n （*）

当0>a 时，3

当0

3=n 时，（**）成立．

4≥n 时，有02)3(≤++a n ，即3

2

+-

≤n a 恒成立，所以72-≤a ．

1=n 时，有024≥+a ，21-

≥a ．2=n 时，有025≥+a ，5

2

-≥a ． 综上，a 的取值范围是??????--

72,5

2

． ………………………6分 （3）当1≠t 时，t

t a S n n --=1)1(，t at t a t t a b n

n n ---+=+--=11111)1(，

2)1()1(1t t at t an n k c n n ----++=2

221)1()1(11)1(t at

t k n t t a t at n ---+?--++-=+， ………8分 所以，当????

???=---=--+0)

1()1(,0112

2

t at t k t t

a 时，数列}{n c 是等比数列，所以?????-=-=,1,1t t k t a 又因为a ，t ，k 成等差数列，所以k a t +=2，即1

12-+

-=t t

t t ， 解得2

1

5+=

t ．………………………10分 从而，215-=

a ，2

3

5+=k ． 所以，当215-=

a ，215+=t ，2

3

5+=k 时，数列}{n c 为等比数列．………12分