六年级奥数一至十讲教师版
小学六年级奥数教案—01比较分数的大小
同学们从一开始接触数学，就有比较数的大小问题。比较整数、小数的大小的方法比较简单，而比较分数的大小就不那么简单了,因此也就产生了多种多样的方法。
对于两个不同的分数,有分母相同,分子相同以及分子、分母都不相同三种情况，其中前两种情况判别大小的方法是:
分母相同的两个分数，分子大的那个分数比较大;
分子相同的两个分数，分母大的那个分数比较小。
第三种情况,即分子、分母都不同的两个分数,通常是采用通分的方法,使它们的分母相同,化为第一种情况,再比较大小。
由于要比较的分数千差万别，所以通分的方法不一定是最简捷的。下面我们介绍另外几种方法。
１.“通分子”。
当两个已知分数的分母的最小公倍数比较大，而分子的最小公倍数比较小时，可以把它们化成同分子的分数，再比较大小,这种方法比通分的方法简便。
如果我们把课本里的通分称为“通分母”，那么这里讲的方法可以称为“通分子”。
2.化为小数。
这种方法对任意的分数都适用,因此也叫万能方法。但在比较大小时是否简便，就要看具体情况了。
3．先约分，后比较。
有时已知分数不是最简分数，可以先约分。
4.根据倒数比较大小。
5.若两个真分数的分母与分子的差相等、则分母（子)大的分数较大；若两个假分数的分子与分母的差相等,则分母（子)小的分数较大。也就是说,
6．借助第三个数进行比较。有以下几种情况：
（1）对于分数m和n，若m＞k，k＞ｎ，则m>n。
(２)对于分数m和ｎ,若m-k＞ｎ－k，则m>n。
前一个差比较小，所以ｍ＜n。
(3）对于分数m和n,若k-m＜k-n，则m＞ｎ。
注意，（２）与（３）的差别在于,(2)中借助的数k小于原来的两个分数m和ｎ;(3)中借助的数ｋ大于原来的两个分数m和n。
(4）把两个已知分数的分母、分子分别相加,得到一个新分数。新分数一定介于两个已知分数之间,即比其中一个分数大，比另一个分数小。
利用这一点，当两个已知分数不容易比较大小,新分数与其中一个已知分数容易比较大小时,就可以借助于这个新分数。
比较分数大小的方法还有很多,同学们可以在学习中不断发现总结,但无论哪种方法,均来源于:“分母相同，分子大的分数大;分子相同,分母小的分数大”这一基本方法。
练习１
1.比较下列各组分数的大小:
答案与提示练习1
小学六年级奥数教案—０２巧求分数
我们经常会遇到一些分数的分子、分母发生变化的题目，例如分子或分母加、减某数,或分子与分母同时加、减某数,或分子、分母分别加、减不同的数,得到一个新分数，求加、减的数，或求原来的分数。这类题目变化很多，因此解法也不尽相同。
数。
分析：若把这个分数的分子、分母调换位置,原题中的分母加、减1就变成分子加、减1，这样就可以用例１求平均数的方法求出分子、分母调换位置后的分数，再求倒数即可。
个分数。
分析与解:因为加上和减去的数不同,所以不能用求平均数的方法求解。
，这个分数是多少?
分析与解:如果把这个分数的分子与分母调换位置,问题就变为：
这个分数是多少?
于是与例3类似，可以求出
在例1~例４中,两次改变的都是分子,或都是分母,如果分子、分母同时变化,那么会怎样呢?
数a。
分析与解：分子减去a，分母加上ａ,(约分前)分子与分母之和不变,等于2９+43＝72。约分后的分子与分母之和变为3＋5=8,所以分子、分母约掉
４５－４3=２。
求这个自然数。
同一个自然数,得到的新分数如果不约分，那么差还是45,新分数约分后变
例７一个分数的分子与分母之和是2３，分母增加19后得到一个新分
数,
分子与分母的和是１+５=6,是由新分数的分子、分母同时除以42÷6=7得到
分析与解：分子加10，等于分子增加了10÷5=２(倍),为保持分数的大小不变,分母也应增加相同的倍数，所以分母应加
8×２=1６。
在例８中，分母应加的数是
在例９中，分子应加的数是
由此，我们得到解答例8、例９这类分数问题的公式:
分子应加（减）的数=分母所加(减）的数×原分数;
分母应加（减)的数=分子所加（减)的数÷原分数。
分析与解：这道题的分子、分母分别加、减不同的数,可以说是这类题中最难的，我们用设未知数列方程的方法解答。
(2x+2)×3=（x+5)×4，
6x+6=4ｘ+20，
2x＝1４,
x＝7。
练习2
是多少?
答案与提示练习2
5.5。解:(53+７９)÷(４+7）=１2， a=53-４×１2=５。
6.13。解:(67-22)÷（16-7）=５，7×5-2２＝１3。
解:设分子为ｘ,根据分母可列方程
小学六年级奥数教案—03分数运算技巧
对于分数的混合运算,除了掌握常规的四则运算法则外,还应该掌握一些特殊的运算技巧,才能提高运算速度，解答较难的问题。
１.凑整法
与整数运算中的“凑整法”相同，在分数运算中，充分利用四则运算法则和运算律(如交换律、结合律、分配律),使部分的和、差、积、商成为整数、整十数……从而使运算得到简化。
2.约分法
3.裂项法
若能将每个分数都分解成两个分数之差,并且使中间的分数相互抵消，则能大大简化运算。
例7在自然数1～１00中找出10个不同的数,使这１０个数的倒数的和等于１。
分析与解:这道题看上去比较复杂，要求１0个分子为１,而分母不同的
就非常简单了。
括号。此题要求的是１0个数的倒数和为1,于是做成：
所求的1０个数是2,6，12,2０，30,42，５6,7２,90，1０。
的10和３０，仍是符合题意的解。
4．代数法
5.分组法
分析与解:利用加法交换律和结合律,先将同分母的分数相加。分母为n的分数之和为
原式中分母为2～20的分数之和依次为
六年级奥数工程问题教师版
工程问题 一：基本类型 工程问题中的某项工程一般不给出具体的数量，首先，在解题时关键要把“一项工程”看作单位“1”，工作效率就用完成单位“1”所需的工作时间的倒数来表示；其次，在解答时要抓住三个基本数量：工作效率、工作时间和工作总量，并结合有关工程问题的三个基本数量关系式来列式解答。 模型一：工作效率（和）×工作时间=工作总量 模型二：工作总量÷工作效率（和）=工作时间 模型三：工作总量÷工作时间=工作效率（和） （一）先合作，后独作 例1、一条公路，甲队独修需24天完成，乙队独修需30天完成。甲、乙两队合修若干天后，乙队停工休息，甲队继续修了6天完成，乙队修了多少天？（A） 例2、修一条公路，甲队单独修20天可以修完，乙队单独修30天可以修完。现两队合修，中途甲队休息2.5天，乙队休息若干天，这样一共14天才修完。乙队休息了几天？（B级）
（二）丙先帮甲，再帮乙 例3、搬运一个仓库的货物，甲需10小时，乙需12小时，丙需15小时。有同样的仓库A和B，甲在A仓库，乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又去帮助乙搬运，最后同时搬完两个仓库的货物。丙帮助甲搬运了几小时？（B级） （三）甲乙合作，中途有人休息 例4、一项工程，如果单独做，甲需10天完成，乙需15天完成，丙需20天完成。现在三人合作，中途甲先休息1天，乙再休息3天，而丙一直工作到完工为止。这样一共用了几天时间？（B级）
（四）独做化合做 例5、甲乙合做一项工程，24天完成。如果甲队做6天，乙队做4天，只能完成工程的1/5，两队单独做完成任务各需多少天？（B级） （五）合做变独做 例6、一项工程，甲先独做2天，然后与乙合做7天，这样才完成全工程的一半。已知甲、乙工作效率的比是2：3。如果由乙单独做，需要多少天才能完成？（B）
六年级奥数一至十讲教师版
小学六年级奥数教案—01比较分数的大小 同学们从一开始接触数学，就有比较数的大小问题。比较整数、小数的大小的方法比较简单，而比较分数的大小就不那么简单了，因此也就产生了多种多样的方法。 对于两个不同的分数，有分母相同，分子相同以及分子、分母都不相同三种情况，其中前两种情况判别大小的方法是： 分母相同的两个分数，分子大的那个分数比较大； 分子相同的两个分数，分母大的那个分数比较小。 第三种情况，即分子、分母都不同的两个分数，通常是采用通分的方法，使它们的分母相同，化为第一种情况，再比较大小。 由于要比较的分数千差万别，所以通分的方法不一定是最简捷的。下面我们介绍另外几种方法。 1.“通分子”。 当两个已知分数的分母的最小公倍数比较大，而分子的最小公倍数比较小时，可以把它们化成同分子的分数，再比较大小，这种方法比通分的方法简便。 如果我们把课本里的通分称为“通分母”，那么这里讲的方法可以称为“通分子”。 2.化为小数。 这种方法对任意的分数都适用，因此也叫万能方法。但在比较大小时是否简便，就要看具体情况了。 3.先约分，后比较。 有时已知分数不是最简分数，可以先约分。 4.根据倒数比较大小。 5.若两个真分数的分母与分子的差相等、则分母（子）大的分数较大；若两个假分数的分子与分母的差相等，则分母（子）小的分数较大。也就是说，
6.借助第三个数进行比较。有以下几种情况： （1）对于分数m和n，若m＞k，k＞n，则m＞n。 （2）对于分数m和n，若m-k＞n-k，则m＞n。 前一个差比较小，所以m＜n。 （3）对于分数m和n，若k-m＜k-n，则m＞n。 注意，（2）与（3）的差别在于，（2）中借助的数k小于原来的两个分数m和n；（3）中借助的数k大于原来的两个分数m和n。 （4）把两个已知分数的分母、分子分别相加，得到一个新分数。新分数一定介于两个已知分数之间，即比其中一个分数大，比另一个分数小。 利用这一点，当两个已知分数不容易比较大小，新分数与其中一个已知分数容易比较大小时，就可以借助于这个新分数。
六年级奥数-等积变形(教师版)
第三讲 等积变形 1.等积模型 ①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如图12::S S a b = ③夹在一组平行线之间的等积变形，如图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ． ④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； ⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． 2.鸟头定理 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比． 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)，
则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =??△△ 3.蝶形定理 任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)： ①1243::S S S S =或者1324S S S S ?=?②()()1243::AO OC S S S S =++ 蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系． 梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”)： ①2213::S S a b = ②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2 a b +． 4.相似模型 (一)金字塔模型 (二) 沙漏模型 S 4 S 3 S 2 S 1O D C B A
六年级奥数分数百分数应用题教师版定稿版
六年级奥数分数百分数 应用题教师版精编 W O R D版 IBM system office room 【A0816H-A0912AAAHH-GX8Q8-GNTHHJ8】
第六讲：分数百分数应用题 教学目标 1.分析题目确定单位“1” 2.准确找到量所对应的率，利用量÷对应率＝单位“1”解题 3.抓住不变量，统一单位“1” BJ03-Y0355 知识点拨： 一、知识点概述 分数应用题是研究数量之间份数关系的典型应用题，一方面它是在整数应用题上的延续和深化，另一方面，它有其自身的特点和解题规律．在解这类问题时，分析中数量之间的关系，准确找出“量”与“率”之间的对应是解题的关键． 关键：分数应用题经常要涉及到两个或两个以上的量，我们往往把其中的一个量看作是标准量．也称为：单位“1”，进行对比分析。在几个量中，关键也是要找准单位“1”和对应的百分率，以及对应量三者的关系 例如：（1）a是b的几分之几，就把数b看作单位“1”． （2）甲比乙多1 8 ，乙比甲少几分之几？ 方法一：可设乙为单位“1”，则甲为 19 1 88 +=，因此乙比甲少 191 889 ÷=.
方法二：可设乙为8份，则甲为9份，因此乙比甲少 1 19 9÷=. 二、怎样找准分数应用题中单位“1” （一）、部分数和总数 在同一整体中，部分数和总数作比较关系时，部分数通常作为比较量，而总数则作为标准量，那么总数就是单位“1”。 例如： 我国人口约占世界人口的几分之几？——世界人口是总数，我国人口是部分数，世界人口就是单位“1”。 解答题关键：只要找准总数和部分数，确定单位“1”就很容易了。 （二）、两种数量比较 分数应用题中，两种数量相比的关键句非常多。有的是“比”字句，有的则没有“比”字，而是带有指向性特征的“占”、“是”、“相当于”。在含有“比”字的关键句中，比后面的那个数量通常就作为标准量，也就是单位“1”。 例如：六（2）班男生比女生多——就是以女生人数为标准（单位“1”）， 解题关键：在另外一种没有比字的两种量相比的时候，我们通常找到分率，看“占”谁的，“相当于”谁的，“是”谁的几分之几。这个“占”，“相当于”，“是”后面的数量——谁就是单位“！”。 （三）、原数量与现数量
六年级奥数试题-排列组合(教师版)
第十九讲排列组合 一、排列问题 在实际生活中经常会遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法，就是排列问题．在排的过程中，不仅与参与排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关． 一般地，从n个不同的元素中取出m(m n ≤)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． 根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同．如果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列． 排列的基本问题是计算排列的总个数． 从n个不同的元素中取出m(m n ≤)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同的元素 P． 的排列中取出m个元素的排列数，我们把它记做m n 根据排列的定义，做一个m元素的排列由m个步骤完成： 步骤1：从n个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有n种方法； 步骤2：从剩下的(1 n-)种方法； n-)个元素中任取一个元素排在第二位，有(1
…… 步骤m ：从剩下的[(1)]n m --个元素中任取一个元素排在第m 个位置，有 11n m n m --=-+（）(种)方法； 由乘法原理，从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数是 121n n n n m ?-?-??-+L （）（）（） ，即121m n P n n n n m =---+L （）（）（），这里，m n ≤，且等号右边从n 开始，后面每个因数比前一个因数小1，共有m 个因数相乘． 二、排列数 一般地，对于m n =的情况，排列数公式变为12321n n P n n n =?-?-????L （ ）（）． 表示从n 个不同元素中取n 个元素排成一列所构成排列的排列数．这种n 个排列全部取出的排列，叫做n 个不同元素的全排列．式子右边是从n 开始，后面每一个因数比前一个因数小1，一直乘到1的乘积，记为!n ，读做n 的阶乘，则n n P 还可以写为：!n n P n =，其中!12321n n n n =?-?-????L L （）（） ． 在排列问题中，有时候会要求某些物体或元素必须相邻；求某些物体必须相邻的方法数量，可以将这些物体当作一个整体捆绑在一起进行计算． 三、组合问题 日常生活中有很多“分组”问题．如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某项活动等等．这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的问题． 一般地，从n 个不同元素中取出m 个(m n ≤)元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合． 从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合． 从n 个不同元素中取出m 个元素(m n ≤)的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取 出m 个不同元素的组合数．记作m n C ． 一般地，求从n 个不同元素中取出的m 个元素的排列数m n P 可分成以下两步： 第一步：从n 个不同元素中取出m 个元素组成一组，共有m n C 种方法； 第二步：将每一个组合中的m 个元素进行全排列，共有m m P 种排法． 根据乘法原理，得到m m m n n m P C P =?．
六年级奥数 分数百分数应用题教师版
一、解答题（共25小题，满分0分） 1．（2011?成都）甲、乙两种商品，成本共2200元，甲商品按20%的利润定价，乙商品按15%的利润定价，后来都按定价的90%打折出售，结果仍获利131元，甲商品的成本是多少元？ 2．（2006?泉山区校级自主招生）100千克刚采下的鲜蘑菇含水量为99%，稍微晾晒后，含水量下降到98%，这100千克的蘑菇现在还有千克． 3．有两桶水：一桶8升，一桶13升，往两个桶中加进同样多的水后，两桶中水量之比是5：7，那麽往每个桶中加进去的水量是多少升？ 4．（2012?哈尔滨校级自主招生）有甲、乙两堆煤，如果从甲堆运12吨给乙堆，那么两堆煤就一样重．如果从乙堆运12吨给甲堆，那么甲堆煤就是乙堆煤的2倍．这两堆煤共重多少吨？
5．一堆围棋子黑白两种颜色，拿走15枚白棋子后，黑子与白子的个数之比为2：1；再拿走45枚黑棋子后，黑子与白子的个数比为1：5，求开始时黑棋子、白棋子各有多少枚？ 6．某班有学生48人，女生占全班的%，后来又转来女生若干人，这时人数恰好是占全班人数的40%，问转来几名女生？ 7．（2010?北京校级自主招生）把一个正方形的一边减少20%，另一边增加2米，得到一个长方形．它与原来的正方形面积相等．问正方形的面积是多少？ 8．学校男生人数占45%，会游泳的学生占54%．男生中会游泳的占72%，问在全体学生中不会游泳的女生占百分之几？
9．某校四年级原有2个班，现在要重新编为3个班，将原一班的与原二班的组成新一班，将原一班的与原二班的组成新二班，余下的30人组成新三班．如果新一班的人数比新二班的人数多10%，那么原一班有多少人？ 10.（2012?中山校级模拟）一个长方形长与宽的比是14：5，如果长减少13厘米，宽增加13厘米，则面积增加182平方厘米，那么原长方形面积是多少平方厘米？ 11．有正方形和长方形两种不同的纸板，正方形纸板总数与长方形纸板总数之比为2：5．现在将这些纸板全部用来拼成横式和竖式两种无盖纸盒，其中竖式盒由一块正方形纸板做底面，四块长方形纸板做侧面（图1），横式盒由一块长方形纸板做底面，两块长方形和两块正方形纸板做侧面（图2），那么做成的竖式纸盒与横式纸盒个数之比是多少？
六年级的的奥数.数论综合.教师版.docx
数论综合（二） 教学目标： 1、掌握质数合数、完全平方数、位值原理、进制问题的常见题型； 2、重点理解和掌握余数部分的相关问题，理解“将不熟悉转化成熟悉”的数学思想 例题精讲： 板块一质数合数 【例 1 】有三张卡片，它们上面各写着数字1， 2，3，从中抽出一张、二张、三张，按任意次序排列出来，可以得到不同的一位数、二位数、三位数，请你将其中的质数都写出来． 【解析】抽一张卡片，可写出一位数1， 2，3；抽两张卡片，可写出两位数12， 13，21， 23， 31， 32；抽三张卡片，可写出三位数123， 132， 213， 231， 312， 321，其中三位数的数字和均为6，都能被 3 整除，所以都是合数．这些数中，是质数的有：2，3， 13，23， 31． 【例 2 】三个质数的乘积恰好等于它们和的11 倍，求这三个质数． 【解析】设这三个质数分别是 a 、b、 c ，满足 abc11( a b c) ，则可知 a 、b、 c 中必有一个为11，不妨记为 a ，那么bc11b c ，整理得( b 1)( c1)12，又 12 112 2 6 3 4 ，对应的 b 2 、 c 13或 b 3 、 c7 或 b 4 、 c 5 (舍去)，所以这三个质数可能是2， 11，13或 3，7， 11． 【例 3 】用 1，2， 3， 4，5，6，7，8，9 这 9 个数字组成质数，如果每个数字都要用到并且只能用一次，那么这 9 个数字最多能组成多少个质数 【解析】要使质数个数最多，我们尽量组成一位的质数，有2、3、5、7 均为一位质数，这样还剩下1、4、6、 8、 9 这 5 个不是质数的数字未用．有1、4、 8、 9 可以组成质数 41、 89，而 6 可以与 7 组合成质数 67．所以这 9 个数字最多可以组成 6 个质数． 【例 4 】有两个整数，它们的和恰好是两个数字相同的两位数，它们的乘积恰好是三个数字相同的三位数．求这两个整数分别是多少 【解析】两位数中，数字相同的两位数有11、22、 33、 44、 55、 66、77、88、99 共九个，它们中的每个数都可以表示成两个整数相加的形式，例如33 1 32 2 31330 L L16 17 ，共有16种形式，如果把每个数都这样分解，再相乘，看哪两个数的乘积是三个数字相同的三位数，显然太繁琐了．可以从乘积入手，因为三个数字相同的三位数有111、 222、 333、 444、555、 666、 777、 888、999，每个数都是 111 的倍数，而11137 3 ，因此把这九个数表示成一个两位数与一个一位数或两个两 位数相乘时，必有一个因数是37 或 37的倍数，但只能是37 的 2 倍 ( 想想为什么 )3 倍就不是两位数了． 把九个三位数分解： 111373、22237674 3、333379 、 444371274 6 、555 37 15 、 6663718749、 7773721、 88837247412、 9993727． 把两个因数相加，只有( 74 3 )77 和( 3718)55 的两位数字相同．所以满足题意的答案是74和3， 37 和 18． 板块二余数问题 【例 5 】 (年全国小学数学奥林匹克试题) 有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、2003 商与余数之和为 2113，则被除数是多少 【解析】被除数除数商余数被除数除数+17+13=2113，所以被除数除数=2083，由于被除数是除数的17 倍还多13，则由“和倍问题”可得：除数=(2083-13)÷(17+1)=115 ，所以被除数 =2083-115=1968 ． 【例 6 】已知 2008 被一些自然数去除，所得的余数都是10，那么这样的自然数共有多少个 【解析】本题为一道余数与约数个数计算公式的小综合性题目．由题意所求的自然数一定是2008-10 即 1998的约数，同时还要满足大于10 这个条件．这样题目就转化为1998 有多少个大于 10的约数，1998 2 33 37 ，共有(1+1)×(3+1)×(1+1)=16个约数，其中1，2， 3， 6，9 是比 10小的约数，所以符合题目条件的自然数共有11 个． 【例 7 】有一个整数，除39， 51， 147 所得的余数都是3，求这个数．
六年级奥数第七讲1行程问题一教师版
第七讲行程问题（一） 知识点拨： 发车问题 （1）、一般间隔发车问题。用3个公式迅速作答； 汽车间距=（汽车速度+行人速度）×相遇事件时间间隔 汽车间距=（汽车速度-行人速度）×追及事件时间间隔 汽车间距=汽车速度×汽车发车时间间隔 （2）、求到达目的地后相遇和追及的公共汽车的辆数。 标准方法是：画图——尽可能多的列3个好使公式——结合s全程＝v×t-结合植树问题数数。 （3）当出现多次相遇和追及问题——柳卡 火车过桥 火车过桥问题常用方法 ⑴火车过桥时间是指从车头上桥起到车尾离桥所用的时间，因此火车的路程是桥长与车身长度之和. ⑵火车与人错身时，忽略人本身的长度，两者路程和为火车本身长度；火车与火车错身时，两者路程和则为两车身长度之和. ⑶火车与火车上的人错身时，只要认为人具备所在火车的速度，而忽略本身的长度，那么他所看到的错车的相应路程仍只是对面火车的长度. 对于火车过桥、火车和人相遇、火车追及人、以及火车和火车之间的相遇、追及等等这几种类型的题目，在分析题目的时候一定得结合着图来进行. 接送问题 根据校车速度（来回不同）、班级速度（不同班不同速）、班数是否变化分类为四种常见题型： （1）车速不变-班速不变-班数2个（最常见） （2）车速不变-班速不变-班数多个 （3）车速不变-班速变-班数2个
标准解法：画图＋列3个式子 1、总时间=一个队伍坐车的时间+这个队伍步行的时间； 2、班车走的总路程； 3、一个队伍步行的时间=班车同时出发后回来接它的时间。 时钟问题： 时钟问题可以看做是一个特殊的圆形轨道上2人追及问题，不过这里的两个“人”分别是时钟的分 针和时针。 时钟问题有别于其他行程问题是因为它的速度和总路程的度量方式不再是常规的米每秒或者千米每小时，而是2个指针“每分钟走多少角度”或者“每分钟走多少小格”。 流水行船问题中的相遇与追及 ①两只船在河流中相遇问题，当甲、乙两船（甲在上游、乙在下游）在江河里相向开出： 甲船顺水速度+乙船逆水速度=（甲船速+水速）＋（乙船速-水速）=甲船船速+乙船船速 ②同样道理，如果两只船，同向运动，一只船追上另一只船所用的时间，与水速无关. 甲船顺水速度-乙船顺水速度=（甲船速+水速）-（乙船速+水速）=甲船速-乙船速 也有：甲船逆水速度-乙船逆水速度=（甲船速-水速）-（乙船速-水速）=甲船速-乙船速. 说明：两船在水中的相遇与追及问题同静水中的及两车在陆地上的相遇与追及问题一样，与水速没有关系. 例题精讲： 模块一发车问题 【例 1】某停车场有10辆出租汽车，第一辆出租汽车出发后，每隔4分钟，有一辆出租汽车开出.在第一辆出租汽车开出2分钟后，有一辆出租汽车进场.以后每隔6分钟有一辆出租汽车回场.回场的出 租汽车，在原有的10辆出租汽车之后又依次每隔4分钟开出一辆，问：从第一辆出租汽车开出后，经过多少时间，停车场就没有出租汽车了？ 【例 2】某人沿着电车道旁的便道以每小时4.5千米的速度步行，每7.2分钟有一辆电车迎面开过，每12分钟有一辆电车从后面追过，如果电车按相等的时间间隔以同一速度不停地往返运行．问：电车的 速度是多少？电车之间的时间间隔是多少？
六年级奥数-第六讲.分数百分数指导应用题.教师版
第六讲：分数百分数应用题 教学目标 1.分析题目确定单位“1” 2.准确找到量所对应的率，利用量÷对应率＝单位“1”解题 3.抓住不变量，统一单位“1” BJ03-Y0355 知识点拨： 一、知识点概述 分数应用题是研究数量之间份数关系的典型应用题，一方面它是在整数应用题上的延续和深化，另一方面，它有其自身的特点和解题规律．在解这类问题时，分析中数量之间的关系，准确找出“量”与“率”之间的对应是解题的关键． 关键：分数应用题经常要涉及到两个或两个以上的量，我们往往把其中的一个量看作是标准量．也称为：单位“1”，进行对比分析。在几个量中，关键也是要找准单位“1”和对应的百分率，以及对应量三者的关系例如：（1）a是b的几分之几，就把数b看作单位“1”． （2）甲比乙多1 8 ，乙比甲少几分之几？ 方法一：可设乙为单位“1”，则甲为 19 1 88 +=，因此乙比甲少 191 889 ÷=. 方法二：可设乙为8份，则甲为9份，因此乙比甲少 1 19 9÷=. 二、怎样找准分数应用题中单位“1” （一）、部分数和总数 在同一整体中，部分数和总数作比较关系时，部分数通常作为比较量，而总数则作为标准量，那么 总数就是单位“1”。 例如： 我国人口约占世界人口的几分之几？——世界人口是总数，我国人口是部分数，世界人口就是单位“1”。 解答题关键：只要找准总数和部分数，确定单位“1”就很容易了。 （二）、两种数量比较 分数应用题中，两种数量相比的关键句非常多。有的是“比”字句，有的则没有“比”字，而是带 有指向性特征的“占”、“是”、“相当于”。在含有“比”字的关键句中，比后面的那个数量通常就 作为标准量，也就是单位“1”。 例如：六（2）班男生比女生多——就是以女生人数为标准（单位“1”）， 解题关键：在另外一种没有比字的两种量相比的时候，我们通常找到分率，看“占”谁的，“相当于” 谁的，“是”谁的几分之几。这个“占”，“相当于”，“是”后面的数量——谁就是单位“！”。（三）、原数量与现数量 有的关键句中不是很明显地带有一些指向性特征的词语，也不是部分数和总数的关系。这类分数应 用题的单位“1”比较难找。需要将题目文字完善成我们熟悉的类似带“比”的文字，然后在分析。 例如：水结成冰后体积增加了，冰融化成水后，体积减少了。 完善后：水结成冰后体积增加了→“水结成冰后体积比原来增加了”→原来的水是单位“1” 冰融化成水后，体积减少了→“冰融化成水后，体积比原来减少了”→原来的冰是单位“1” 解题关键：要结合语文知识将题目简化的文字丰富后在分析 例题精讲 【例 1】 (小数报数学竞赛初赛)甲、乙两人星期天一起上街买东西，两人身上所带的钱共计是86元.在人 民市场，甲买一双运动鞋花去了所带钱的4 9 ，乙买一件衬衫花去了人民币16元．这样两人身上所 剩的钱正好一样多．问甲、乙两人原先各带了多少钱?
六年级奥数期末考试试卷教师版
第十五讲 期末考试 姓名： 成绩： 学生注意：本次测试分为两试，第一试满分100分，第二试为附加题满分50分，本次考试总分150分，考试时间为90分钟。 第一试 基础题（共100分） 宝贝，加油，耐心细致完成第一试，保证不失分，笑一笑哦！ 第一题：解方程与应用题（每题5分，共100分） 1. 解方程（每题5分） ⑴204322x x +=-； 解：423220x x +=- 612x = 2x = ⑵ ．153194x x -=- 解：431915x x -=- 4x = 六年级的学习很快就结束了！怎么样，宝贝们？准备好了，让我们来一个期末大比拼吧！ 自信！细心！你是最棒的！
（3）。12(3)7x x +-=+ 解： 1627x x +-=+ 30x = 0x = （4）12432x x -=- 12234x x +=+ 147x = 2x = 2. 一个三角形的面积是18平方厘米，底是9厘米，三角形的高是_________厘米. 【解析】 解：设三角形的高是x 厘米，则有 9218 9364 x x x ?÷=?== 答：三角形的高是4厘米． 3. 一次考试，共15道题目，做对一题得分，做错一题倒扣4分。小明共得72分，问他做对了____道题. 【解析】 设他做对了x 道题，那么就做错了( )15x -道题，根据题意可得： 84(15)72 x x -?-= 11x = 所以小明做对了11道题。 4. 小新、小志、小刚三人拥有的藏书数量之比为3:4:6，三人一共藏书52本，小新的藏书数量________、 小志的藏书数量________、小刚的藏书数量________. 【解析】 根据题意可知，他们三人各自的藏书数量分别占三人藏书总量的 3346++、4346++、6 346 ++， 所以小新拥有的藏书数量为35212346?=++本，小志拥有的藏书数量为4 5216346?=++本， 小刚拥有的藏书数量为6 5224346 ?=++本. 5. 一容器内有浓度为25％的糖水，若再加入20千克水，则糖水的浓度变为15％，问这个容器内原来含 有糖_________千克. 【解析】 容器内原含糖7.5千克。 6. 现有浓度为10％的盐水20千克，在该溶液中再加入_________千克浓度为30％的盐水，可以得到浓 度为22％的盐水. 【解析】 10%与30%的盐水重量之比为（30%-22%）：（22%-10%）=2：3，因此需要30%的盐水20÷2× 3=30克。 7. 买来8角邮票与5角邮票共100张，总值68元．8角邮票和5角邮票各买了_________张. 【解析】 设角的邮票共x 张，则5角的邮票有()100x -张，
六年级奥数最详细全面-数论教师版
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数论 数论问题本身范围很广，我们考察小学奥数的内容，完全平方数等知识点跟基础课内容结合很紧密，但又是小奥的重难点，我们有必要加以重视．本讲需要学生掌握的知识点有：平方数性质、平方差公式、约数个数定理、约数和定理、辗转相除法等. 本讲内容中，平方数部分是数论中最基本的部分，学生应当学会熟练运用平方差公式，对于约数和倍数部分，老师应当更注重其中的逻辑过程，可以适当用一些代数的方法将题目讲的更明白和透彻. 专题回顾 【例 1】一个5位数，它的各位数字和为43，且能被11整除，求所有满足条件的5位数． 【分析】现在我们有两个入手的选择，可以选择数字和，也可以选择被11整除，但我们发现被11整除性质的运用要有具体的数字，而现在没有，所以我们选择先从数字和入手． 5位数数字和最大的为9×5=45，这样43的可 能性只有9，9，9，9，7或9，9，9，8，8．这
样我们接着用11的整除特征，发现符合条件的有99979，97999，98989． 【例 2】 已知ABCA 是一个四位数，若两位数AB 是一个质数，BC 是一个完全平方数，CA 是一个质数与一个不为1的完全平方数之积，则满足条件的所有四位数是_____________. 【分析】 本题综合利用数论知识，因为AB 是一个质数，所以 B 不能为偶数，且同时B C 是一个完全平方数，则符合条件的数仅为16、36，当1B =时，满足AB 是一个质数的数有11，31，41，61，71，时，此时同时保证CA 是一个质数与一个不为1的完全平方数之积，只有3163符合； 当3B =，满足AB 是一个质数的数有13，23，43，53， 73，83，此时同时保证CA 是一个质数与一个不为 1的完全平方数之积，只有8368符合． 【例 1】 2001个连续的自然数之和为a b c d ???，若a 、b 、c 、d 都分解质因数 专题精讲
六年级奥数-.数论综合.教师版
数论综合（二） 教学目标： 1、 掌握质数合数、完全平方数、位值原理、进制问题的常见题型； 2、 重点理解和掌握余数部分的相关问题，理解“将不熟悉转化成熟悉”的数学思想 例题精讲： 板块一 质数合数 【例 1】 有三张卡片，它们上面各写着数字1，2，3，从中抽出一张、二张、三张，按任意次序排列出来， 可以得到不同的一位数、二位数、三位数，请你将其中的质数都写出来． 【解析】 抽一张卡片，可写出一位数1，2，3；抽两张卡片，可写出两位数12，13，21，23，31，32；抽三 张卡片，可写出三位数123，132，213，231，312，321，其中三位数的数字和均为6，都能被3整除，所以都是合数．这些数中，是质数的有：2，3，13，23，31． 【例 2】 三个质数的乘积恰好等于它们和的11倍，求这三个质数． 【解析】 设这三个质数分别是a 、b 、c ，满足11abc a b c =++()，则可知a 、b 、c 中必有一个为11，不妨 记为a ，那么11bc b c =++，整理得(1b -)(1c -)12=，又121122634=?=?=?，对应的2b =、13c =或3b =、7c =或4b =、5c = (舍去)，所以这三个质数可能是2，11，13或3，7，11． 【例 3】 用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字组成质数，如果每个数字都要用到并且只能用一次， 那么这9个数字最多能组成多少个质数？ 【解析】 要使质数个数最多，我们尽量组成一位的质数，有2、3、5、7均为一位质数，这样还剩下1、4、6、 8、9这5个不是质数的数字未用．有1、4、8、9可以组成质数41、89，而6可以与7组合成质数 67．所以这9个数字最多可以组成6个质数． 【例 4】 有两个整数，它们的和恰好是两个数字相同的两位数，它们的乘积恰好是三个数字相同的三位 数．求这两个整数分别是多少？ 【解析】 两位数中，数字相同的两位数有11、22、33、44、55、66、77、88、99共九个，它们中的每个数都 可以表示成两个整数相加的形式，例如331322313301617=+=+=+==+L L ，共有16种形式，如果把每个数都这样分解，再相乘，看哪两个数的乘积是三个数字相同的三位数，显然太繁琐了．可以从乘积入手，因为三个数字相同的三位数有111、222、333、444、555、666、777、888、999，每个数都是111的倍数，而111373=?，因此把这九个数表示成一个两位数与一个一位数或两个两位数相乘时，必有一个因数是37或37的倍数，但只能是37的2倍(想想为什么？)3倍就不是两位数了． 把九个三位数分解：111373=?、222376743=?=?、333379=?、4443712746=?=?、5553715=?、6663718749=?=?、7773721=?、88837247412=?=?、9993727=?． 把两个因数相加，只有(743+)77=和(3718+)55=的两位数字相同．所以满足题意的答案是74和3，37和18． 板块二 余数问题 【例 5】 (2003年全国小学数学奥林匹克试题)有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、 商与余数之和为2113，则被除数是多少？ 【解析】 被除数+除数+商+余数=被除数+除数+17+13=2113，所以被除数+除数=2083，由于被除数是除 数的17倍还多13，则由“和倍问题”可得：除数=(2083-13)÷(17+1)=115，所以被除数=2083-115=1968． 【例 6】 已知2008被一些自然数去除，所得的余数都是10，那么这样的自然数共有多少个？ 【解析】 本题为一道余数与约数个数计算公式的小综合性题目．由题意所求的自然数一定是2008-10即1998 的约数，同时还要满足大于10这个条件．这样题目就转化为1998有多少个大于10的约数，319982337=??，共有(1+1)×(3+1)×(1+1)=16个约数，其中1，2，3，6，9是比10小的约数，所以符合题目条件的自然数共有11个． 【例 7】 有一个整数，除39，51，147所得的余数都是3，求这个数．
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行程问题（一） 知识点拨： 发车问题 （1）、一般间隔发车问题。用3个公式迅速作答； 汽车间距=（汽车速度+行人速度）×相遇事件时间间隔 汽车间距=（汽车速度-行人速度）×追及事件时间间隔 汽车间距=汽车速度×汽车发车时间间隔 （2）、求到达目的地后相遇和追及的公共汽车的辆数。 标准方法是：画图——尽可能多的列3个好使公式——结合s全程＝v×t-结合植树问题数数。 （3）当出现多次相遇和追及问题——柳卡 火车过桥 火车过桥问题常用方法 ⑴火车过桥时间是指从车头上桥起到车尾离桥所用的时间，因此火车的路程是桥长与车身长度之和. ⑵火车与人错身时，忽略人本身的长度，两者路程和为火车本身长度；火车与火车错身时，两者路程和则为两车身长度之和. ⑶火车与火车上的人错身时，只要认为人具备所在火车的速度，而忽略本身的长度，那么他所看到的错车的相应路程仍只是对面火车的长度. 对于火车过桥、火车和人相遇、火车追及人、以及火车和火车之间的相遇、追及等等这几种类型的题目，在分析题目的时候一定得结合着图来进行. 接送问题 根据校车速度（来回不同）、班级速度（不同班不同速）、班数是否变化分类为四种常见题型： （1）车速不变-班速不变-班数2个（最常见） （2）车速不变-班速不变-班数多个 （3）车速不变-班速变-班数2个
（4）车速变-班速不变-班数2个 标准解法：画图＋列3个式子 1、总时间=一个队伍坐车的时间+这个队伍步行的时间； 2、班车走的总路程； 3、一个队伍步行的时间=班车同时出发后回来接它的时间。 时钟问题： 时钟问题可以看做是一个特殊的圆形轨道上2人追及问题，不过这里的两个“人”分别是时钟的分 针和时针。 时钟问题有别于其他行程问题是因为它的速度和总路程的度量方式不再是常规的米每秒或者千米每小时，而是2个指针“每分钟走多少角度”或者“每分钟走多少小格”。 流水行船问题中的相遇与追及 ①两只船在河流中相遇问题，当甲、乙两船（甲在上游、乙在下游）在江河里相向开出： 甲船顺水速度+乙船逆水速度=（甲船速+水速）＋（乙船速-水速）=甲船船速+乙船船速 ②同样道理，如果两只船，同向运动，一只船追上另一只船所用的时间，与水速无关. 甲船顺水速度-乙船顺水速度=（甲船速+水速）-（乙船速+水速）=甲船速-乙船速 也有：甲船逆水速度-乙船逆水速度=（甲船速-水速）-（乙船速-水速）=甲船速-乙船速. 说明：两船在水中的相遇与追及问题同静水中的及两车在陆地上的相遇与追及问题一样，与水速没有关系. 例题精讲： 模块一发车问题 【例 1】某停车场有10辆出租汽车，第一辆出租汽车出发后，每隔4分钟，有一辆出租汽车开出.在第一辆出租汽车开出2分钟后，有一辆出租汽车进场.以后每隔6分钟有一辆出租汽车回场.回场的出 租汽车，在原有的10辆出租汽车之后又依次每隔4分钟开出一辆，问：从第一辆出租汽车开出后，经过多少时间，停车场就没有出租汽车了？ 【解析】这个题可以简单的找规律求解 时间车辆 4分钟9辆 6分钟10辆 8分钟9辆 12分钟9辆
六年级奥数-数列与数表(教师版)
第二讲数列与数表 1.等差数列： 若干个数排成一列,称为数列。数列中的每一个数称为一项,其中第一项称为首项,最后一项称为末项,数列中数的个数称为项数。从第二项开始,后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列,后项与前项的差称为公差。 例如:等差数列:3、6、9、…、96,这是一个首项为3,末项为96,项数为32,公差为3的数列。 计算等差数列的相关公式: 通项公式:第几项=首项+(项数-1)×公差 项数公式:项数=(末项-首项)÷公差+1 求和公式:总和=(首项+末项)×项数÷2 在等差数列中,如果已知首项、末项、公差,求总和时,应先求出项数,然后再利用等差数列求和公式求和。 某些问题以转化为求若干个数的和解决这些问题时先要判断这些数是否成为等差数列，如果是等差数列才可以运用它的一些公式。 在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考虑将题中的数适当分组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利解决。 2.斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34…这个以1，1分别为第1项、第2项，以后各项都等于前两项之和的无穷数列，就是斐波那契数列。 3.周期数列与周期：从某一项开始，重复出现同一段数的数列称为周期数列，其重复出现的这一段数的个数则称为此数列的周期。 例如： 8，1，2，3，8，4，5，7，6，3，8，4，5，7，6，3，8，4，5，7，6……
这是一个周期数列，周期为6。 4.寻找数列的规律，通常有以下几种办法： 1寻找各项与项数间的关系。 2考虑此项与它前一项之间的关系。 3考虑此项与它前两项之间的关系。 4数列本身要与其他数列对比才能发现其规律，这类情形稍微复杂些。 5有时可以将数列的项恰当分组以寻求规律。（“分组”是难点） 6常常需要根据题中的已知条件求出数列的若干项之后，找到周期，探求规律。 1.逐步了解首项、末项、项数、公差与和之间的关系。 2.在解题中应用数列相关知识。 例1：有一个数列：4、7、10、13、…、25，这个数列共有多少项? 分析：仔细观察可以发现，后项与其相邻的前项之差都是3，所以这是一个以4为首项，以公差为3的等差数列，根据等差数列的项数公式即可解答。 解：由等差数列的项数公式:项数=(末项-首项)÷公差+1,可得,项数=(25-4)÷3+1=8,所以这个数列共有8项。 例2：有一等差数列：2，7,12,17，…，这个等差数列的第100项是多少？ 分析：仔细观察可以发现，后项与其相邻的前项之差等于5，所以这是一个以2为首项，以公差为5的等差数列，根据等差数列的通项公式即可解答 解：由等差数列的通项公式:第几项=首项+(项数-1)×公差,可得,第100项=2+(1OO-1)× 5=497,所以这个等差数列的第100项是497。 例3：计算2+4+6+8+…+1990的和。 分析：仔细观察数列中的特点，相邻两个数都相差2，所以可以用等差数列的求和公式来求。解：因为首项是2,末项是1990,公差是2,昕以,项数=(1990-2)÷2+1=995,再根据等差数列的求和公式:总和=(首项+末项)×项数÷2,解出2+4+6+8+…+1990=(2+1990)×995÷2=991020。 例4：计算（1+3+5+...+l99l)-（2+4+6+ (1990) 分析：仔细观察算式中的被减数与减数，可以发现它们都是等差数列相加，根据题意可以知道首项、末项和公差，但并没有给出项数，这需要我们求项数，按照这样的思路求得项数后，
六年级奥数-行程问题(教师版)
第二十讲行程问题 发车问题 （1）、一般间隔发车问题。用3个公式迅速作答； 汽车间距=（汽车速度+行人速度）×相遇事件时间间隔 汽车间距=（汽车速度-行人速度）×追及事件时间间隔 汽车间距=汽车速度×汽车发车时间间隔 （2）、求到达目的地后相遇和追及的公共汽车的辆数。 标准方法是：画图——尽可能多的列3个好使公式——结合s全程＝v×t-结合植树问题数数。 （3）当出现多次相遇和追及问题——柳卡 火车过桥 火车过桥问题常用方法 ⑴火车过桥时间是指从车头上桥起到车尾离桥所用的时间，因此火车的路程是桥长与车身长度之和. ⑵火车与人错身时，忽略人本身的长度，两者路程和为火车本身长度；火车与火车错身时，两者路程和则为两车身长度之和. ⑶火车与火车上的人错身时，只要认为人具备所在火车的速度，而忽略本身的长度，那么他所看到的错车的相应路程仍只是对面火车的长度.
对于火车过桥、火车和人相遇、火车追及人、以及火车和火车之间的相遇、追及等等这几种类型的题目，在分析题目的时候一定得结合着图来进行. 接送问题 根据校车速度（来回不同）、班级速度（不同班不同速）、班数是否变化分类为四种常见题型： （1）车速不变-班速不变-班数2个（最常见） （2）车速不变-班速不变-班数多个 （3）车速不变-班速变-班数2个 （4）车速变-班速不变-班数2个 标准解法：画图＋列3个式子 1、总时间=一个队伍坐车的时间+这个队伍步行的时间； 2、班车走的总路程； 3、一个队伍步行的时间=班车同时出发后回来接它的时间。 时钟问题： 时钟问题可以看做是一个特殊的圆形轨道上2人追及问题，不过这里的两个“人” 分别是时钟的分针和时针。 时钟问题有别于其他行程问题是因为它的速度和总路程的度量方式不再是常规的米每秒或者千米每小时，而是2个指针“每分钟走多少角度”或者“每分钟走多少小格”。 流水行船问题中的相遇与追及 ①两只船在河流中相遇问题，当甲、乙两船（甲在上游、乙在下游）在江河里相向开出：甲船顺水速度+乙船逆水速度=（甲船速+水速）＋（乙船速-水速）=甲船船速+乙船船速 ②同样道理，如果两只船，同向运动，一只船追上另一只船所用的时间，与水速无关. 甲船顺水速度-乙船顺水速度=（甲船速+水速）-（乙船速+水速）=甲船速-乙船速 也有：甲船逆水速度-乙船逆水速度=（甲船速-水速）-（乙船速-水速）=甲船速-乙船速. 说明：两船在水中的相遇与追及问题同静水中的及两车在陆地上的相遇与追及问题一样，与水速没有关系. 1.熟悉常见的行程问题题型，并掌握解题方法。 2.能通过具体问题分析出题目的类型。
六年级奥数_数论教师版
数论问题本身范围很广，我们考察小学奥数的内容，完全平方数等知识点跟基础课内容结合很紧密， 但又是小奥的重难点，我们有必要加以重视．本讲需要学生掌握的知识点有：平方数性质、平方差公式、约数个数定理、约数和定理、辗转相除法等. 本讲内容中，平方数部分是数论中最基本的部分，学生应当学会熟练运用平方差公式，对于约数和倍数部分，老师应当更注重其中的逻辑过程，可以适当用一些代数的方法将题目讲的更明白和透彻. 【例 1】 一个5位数，它的各位数字和为43，且能被11整除，求所有满足条件的5位数． 【分析】 现在我们有两个入手的选择，可以选择数字和，也可以选择被11整除，但我们发现被11整除性 质的运用要有具体的数字，而现在没有，所以我们选择先从数字和入手． 5位数数字和最大的为9×5=45，这样43的可能性只有9，9，9，9，7或9，9，9，8，8．这样我们接着用11的整除特征，发现符合条件的有99979，97999，98989． 【例 2】 已知ABCA 是一个四位数，若两位数AB 是一个质数，BC 是一个完全平方数，CA 是一个质数与 一个不为1的完全平方数之积，则满足条件的所有四位数是_____________. 【分析】 本题综合利用数论知识，因为AB 是一个质数，所以B 不能为偶数，且同时BC 是一个完全平方 数，则符合条件的数仅为16、36，当1B =时，满足AB 是一个质数的数有11，31，41，61，71，时，此时同时保证CA 是一个质数与一个不为1的完全平方数之积，只有3163符合； 当3B =，满足AB 是一个质数的数有13，23，43，53，73，83，此时同时保证CA 是一个质数与一个不为1的完全平方数之积，只有8368符合． 【例 1】 2001个连续的自然数之和为a b c d ???，若a 、b 、c 、d 都是质数，则a b c d +++的最小值是 多少 【分析】 遇到等量关系的表述时，先将其转化为数学语言．设这2001个连续自然数中最小的一个是A ，则 最大的一个是2000A +(遇到多个连续自然数问题，转化时一般均采用假设法，自己需要的量，题目中没有时，可以设未知数)，则它们的和是： 第 5讲 数论(一)