17年高考真题—文科数学5：解析几何

2017高考真题分类汇编：解析几何

1.【2017浙江 2】椭圆22

194

x y +=的离心率是（ ）

（A 133 （B 53 （C ）23 （D ）5

2.【2017课标I 5】已知F 是双曲线C ：13

2

2

=-y x 的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，

点A 的坐标是()1,3，则APF ?的面积为（ ）

（A ）13 （B ）12 （C ）2 （D ）32

3.【2017课标II 5】若1a >，则双曲线2

221x y a

-=的离心率的取值范围是（ ）

（A ）

)

2,+∞ （B ）

)2,2 （C ）(2 （D ）()1,2

4.【2017天津 5】已知双曲线()22

2210,0x y a b a b

-=>>的左焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，

OAF ?是边长为2的等边三角形（O 为原点）

，则双曲线的方程为（ ） （A ）

221412x y -= （B ）221124x y -= （C ）2213x y -= （D ）22

13

y x -= 5.【2017课标III 11】已知椭圆C ：()222210x y a b a b

+=>>的左、右顶点分别为12,A A ，且以线段12

A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（ ）

A 6

B 3

C ．

23

D ．13

6.【2017课标II 12】过抛物线2:4C y x =的焦点F 3的直线交C 于点M （M 在x 轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上且MN l ⊥，则M 到直线NF 的距离为（ ） （A 5 （B ）22 （C ）3 （D ）33

7.【2017课标I 12】设,A B 是椭圆C ：22

13x y m

+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足

0120AMB ∠=，则m 的取值范围是（ ）

（A ）(][)0,19,+∞U （B ）(

[)39,+∞U （C ）(][)0,14,+∞U （D ）(

[)34,+∞U

8.【2017江苏 8】 在平面直角坐标系xOy 中,双曲线2

213

x y -=的右准线与它的两条渐近线分别交

于点,P Q ，其焦点是12,F F ，则四边形12F PF Q 的面积是__________。

9.【2017北京 10】若双曲线2

2

1y x m

-=的离心率为3，则实数m =__________。

10.【2017天津 12】设抛物线2

4y x =的焦点为F ，准线为l 。已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A ，若0

120FAC ∠=，则圆的方程为____________________。

11.【2017江苏 13】在平面直角坐标系xOy 中，()12,0A -，()0,6B ，点P 在圆O ：2250x y +=上，若20PA PB ?≤u u u r u u u r

，则点P 的横坐标的取值范围是_____________。

12.【2017课标III 14】双曲线()22

2109x y a a -

=>的一条渐近线方程为35

y x =，则a = 。 13.【2017山东 15】在平面直角坐标系xOy 中，双曲线()22

2210,0x y a b a b

-=>>的右支与焦点为F

的抛物线()2

20x py p =>交于,A B 两点，若||||4||AF BF OF +=，

则该双曲线的渐近线方程为 。

14.【2017江苏 17】 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：

()22

22

10x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，离心率为1

2

，两准线之间的距离为8。点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点1F 作直线

1PF 的垂线1l ，过点2F 作直线2PF 的垂线2l 。⑴求椭圆E 的标准方程；⑵若直线1l 与2l 的交点Q 在椭圆E 上，

求点P 的坐标。

15.【2017北京 19】已知椭圆C 的两个顶点分别为()2,0A -，()2,0B ，焦点在x 轴上，离心率为

3

。 ⑴求椭圆C 的方程；⑵点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点,M N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E ，求证：BDE ?与BDN ?的面积之比为4:5。

16.【2017课标I 20】设,A B 为曲线C ：2

4

x y =上两点，A 与B 的横坐标之和为4。⑴求直线AB 的

斜率；⑵设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM BM ⊥，求直线AB 的方程。

y

x

O

F 2

F 1

17.【2017课标II 20】设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2

212x y +=上，过M 作x 轴的垂线，

垂足为N ，点P 满足2NP NM =u u u r u u u u r

。⑴求点P 的轨迹方程；⑵设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ?=u u u r u u u r ，

证明过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F 。

18.【2017课标III 20】在直角坐标系xOy 中，曲线2

2y x mx =+-与x 轴交于,A B 两点，点C 的坐标为()0,1。当m 变化时，解答下列问题：⑴能否出现AC BC ⊥的情况？说明理由；⑵证明过,,A B C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值。

19.【2017天津 20】已知椭圆()22

2210x y a b a b

+=>>的左焦点为(),0F c -，右顶点为A ，点E 的坐

标为()0,c ，EFA ?的面积为22b 。⑴求椭圆的离心率；⑵设点Q 在线段AE 上，3

||2

FQ c =，延长线段FQ

与椭圆交于点P ，点,M N 在x 轴上，//PM QN ，且直线PM 与直线QN 间的距离为c ，四边形PQNM 的面积为3c 。①求直线FP 的斜率；②求椭圆的方程。

20.【2017山东 21】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：

()

2222

10x y a b a b +=>>的离心率为2

2，椭圆C 截直线1y =所得线段的长度为22。⑴求椭圆C 的方程；⑵动直线

():0l y kx m m =+≠交椭圆C 于,A B 两点，交y 轴于点M ，点N 是M 关于O 的对称点，圆N 的半径为||NO 。设D 为AB 的

中点，,DE DF 与圆N 分别相切于点,E F ，求EDF ∠的最小值。

21.【2017浙江 21】如图，已知抛物线2

x y =，点1124A ,??

-

??

?，3924B ?? ???，，抛物线上的点()1

3,2

2P x y x ??-<< ???。过点B 作直线AP

的垂线，垂足为Q 。⑴求直线AP 斜率的取值范围；⑵求||||PQ PA ?的最大值。

l

O

y x

F E

M

D

B A N

附答案

BDCDA CA 8

．9．2；10．(

)(2

2

11x y ++=；11

．??-??；12．5；13

．2

y x =±；

14．解：⑴设椭圆的半焦距为c ，则12c a =且2

28a c =，解得2a =，1c =。

故b =从而椭圆E 的方程为22

143

x y +=； ⑵由⑴知()11

,0F -，()21,0F 。设()()0000,0,0P x y x y >>，当01x =时，2l 与1l 相交于1F ，与题设不符。当01x ≠时，因1001PF y k x =

+，2001PF y k x =-，故1001l x k y +=-，200

1

l x k y -=-，从而直线1l 的方程为()0011x y x y +=-+，直线2l 的方程为()0011x y x y -=--。联立两方程解得0x x =-，2

01x y y -=，因此20001,x Q x y ??-- ???。因Q 点在椭圆上，故

20001x y y -=±，即22001x y -=或22

001x y +=。又因为2200143x y +=，由220022001143x y x y ?-=??+=??

，解得00x y ==22

002

2001

14

3x y x y ?+=??+=??

，无解。因此77P ? ??。 15．解：⑴设椭圆C 的方程为()222210,0x y a b a b +=>>

，由题得2a c a =???=??

，解得c =

2

2

2

1b a c =-=，所以椭圆C 的方程为2

214

x y +=；

⑵设(),M m n ，则(),0D m ，(),N m n -。由题知2m ≠±且0n ≠，故2AM n k m =

+，2

DE m k n

+=-。因此DE ：()2m y x m n +=--，BN ：()22n

y x m =--。联立两方程解得()222

44E n m y m n -=

-+为点E 的纵坐标。由点M 在椭圆C 上，得22

44m n -=，故45E y n =-

。又12

||||||||25

BDE E S BD y BD n =?=?△， 1

||||2

BDN S BD n =

?△，所以BDE △与BDN △的面积之比为4:5。 16．解：⑴设()()()112212,,,A x y B x y x x ≠，则211y x =，2

224y x =，124x x +=，故直线AB 的

斜率()()()

12121241k y y x x x x =--=+=；

⑵由2

4y x =得2y x '=，设()33,M x y ，则321x =即32x =，故()2,1M 。设AB ：y x m =+，

则线段AB 的中点为()2,2N m +，|||1|MN m =+。将y x m =+代入2

4y x =得2

440x x m --=。当

()

1610m ?=+>即1m >-时，1,22x =±12|||AB x x =-=。由题设可知

||2||AB MN =，故()21m =+，解得7m =。所以直线AB 的方程为7y x =+。

17．解：⑴设(),P x y ，()00,M x y ，则()0,0N x ，()0,NP x x y =-u u u r ，()00,NM y =-u u u u r

，故0x x =，

0y =。又22

00

12

x y +=，故222x y +=，此即为点P 的轨迹方程； ⑵由题知()1,0F -，设()3,Q t -，(),P m n ，则()3,OQ t =-u u u r ，()1,PF m n =---u u u r

，故

33OQ PF m tn ?=+-u u u r u u u r 。又(),OP m n =u u u r ，()3,PQ m t n =---u u u r ，故2213OP PQ m m tn n =?=--+-u u u r u u u r

。又

由⑴知2

2

2m n +=，故330m tn +-=，所以0OQ PF ?=u u u r u u u r ，即OQ PF ⊥u u u r u u u r

。又过点P 存在唯一直线垂直

于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F 。

18．解：⑴设()()12,0,,0A x B x ，则12,x x 是方程2

20x mx +-=的两根，故12x x m +=-，122x x =-。

因此()()1212,1,1110AC BC x x x x ?=-?-=+=-≠u u u r u u u r

，从而不会出现AC BC ⊥的情况；

⑵法一：过,,A B C 三点的圆的圆心必在AB 的中垂线上，设圆心()00,E x y ，则12022

x x m

x +=

=-。由||||EA EC =得()2

2

22

1212100122x x x x x y y ++????-+=+- ? ?????

，

化简得1201122x x y +==-，所以所求圆E 的方程为2222

1112222m m x y ?

???????+++=-+-- ? ? ? ??

???????。令0x =得11y =，22y =-，所以过,,A B C 三点

的圆在y 轴上截得的弦长为()123--=，所以过,,A B C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值。

法二：设过,,A B C 三点的圆与y 轴的另一个交点为D ，由122x x =-可知原点O 在圆内，由相交弦定理可得12||||||||||||2OD OC OA OB x x ?=?=?=，又||1OC =，所以||2OD =，所以过,,A B C 三点的圆在

y 轴上截得的弦长为||||3OC OD +=，为定值。

19．解：⑴设椭圆的离心率为e ，由题()2122b c a c +=，又222b a c =-，可得22

20c ac a +-=，即

2210e e +-=。因为01e <<，解得12e =

。所以，椭圆的离心率为12

； ⑵①由题可设FP ：()0x my c m =->，由⑴知2a c =，可得AE ：12x y

c c

+=，即220x y c +-=。

由220x my c x y c =-??+-=?可解得()222m c x m -=+，32c y m =+，因此()223,22m c c Q m m -?? ?

++??

。由题3||2c

FQ =，故()2

2

2

2233222m c c c c m m -??????++=?? ? ?

++?

?????，整理得2

340m m -=，故43m =，从而直线FP 的斜率为34； ②由2a c =

可得b =，故椭圆方程可表示为22

22143x y c c

+=。由①知FP ：3430x y c -+=，代入

椭圆方程并整理得2

2

76130x cx c +-=，解得137x c =-（舍）或x c =，故(),32P c c ，从而可得

||52FP c =

=，因此||||||PQ FP FQ c =-=。由题知||PQ 即为PM 与QN 这两条平

行直线间的距离，故直线PM 与QN 都垂直于直线FP ，因此339||||tan 248

c c

QN FQ QFN ==

?=，所以2127||||232FQN

c S FQ QN ?=?=。同理可得27532FPM c S ?=，因此22752733232

PQNM c c c S ==-，解得2c =，故椭圆的方程为

22

11612

x y +=。 20．解：⑴由题22222

12c a b a a -==，即22

2a b =。又当1y =时，2222b x a a =-，故2222b a a =-。所以2

4a =，2

2b =，从而椭圆的方程为22

142

x y +

=； ⑵设()11,A x y ，()

22,B x y ，由22

24

y kx m x y =+??+=?得()222214240k x kmx m +++-=，由0?>得2242m k <+，且122421km x x k +=

+，故122

221m y y k +=+，所以222,2121km

m D k k ??- ?++??

。又()0,N m -，故()()22422222224132||212121m k k km m ND m k k k ++????=-++= ? ?++????+，所以()()

422222431||||21k k ND NF k ++=+。令 2

833t k =+≥，则2

1214t k ++=，从而()222||1616111||12ND t NF t t t

=+=++++。令1y t t =+，则2

1

1y t '=-，当3t ≥时0y '>，故1y t t =+在[)3,+∞单调递增，从而110

3

t t +≥

，当且仅当3t =即0k =时取等号，此

时2

2m <

即m <。所以22||134||ND NF ≤+=。设2EDF θ∠=，则||1

sin ||2

NF ND θ=≥，所以θ的

最小值为

6π，从而EDF ∠的最小值为3

π

，此时直线l 的斜率时0

。综上所述：当(

)(m ∈U ，且0k =时，EDF ∠取得最小值为3

π

。

21．解：⑴设直线AP 的斜率为k ，则111422k y x x ????=-

+=- ? ??

???，而13

22

x -<<，故()1,1k ∈-； ⑵易知直线AP ：44210kx y k -++=，直线BQ ：44960x ky k +--=。由2

44210

kx y k y x

-++=??=?得244210x kx k ---=，故12x x k +=即12P x k -

+=，因此1

2P x k =+。由4421044960

kx y k x ky k -++=??+--=?可 解得点Q 的横坐标是()224321Q k k x k -++=+

，所以)

2

11||Q P k k PQ x x -+=

-=

)1||12PA x k ?=+=+??，故()()3||||11PA PQ k k ?=--+。令()()()311f k k k =--+，

则()()()2

421f k k k '=--+，因此()f k 在区间11,2?

?- ???上单调递增，1,12??

?

??

上单调递减，因此当12k =时，||||PQ PA ?取得最大值

27

16

。