八年级初二数学下学期勾股定理单元 易错题难题检测试题

八年级初二数学下学期勾股定理单元 易错题难题检测试题

一、选择题

1．如图，等边ABC ?的边长为1cm ，D ，E 分别是AB ，AC 上的两点，将ADE ?沿直线DE 折叠，点A 落在点'A 处，且点'A 在ABC ?外部，则阴影部分图形的周长为（ ）

A ．1cm

B ．1.5cm

C ．2cm

D ．3cm

2．已知三角形的三边长分别为a ，b ，c ，且a+b=10，ab=18,c=8，则该三角形的形状是

（ ） A ．等腰三角形

B ．直角三角形

C ．钝角三角形

D ．等腰直角三角形

3．如图，□ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点E ，∠AEB=45°，BD=2，将△ABC 沿AC 所在直线翻折180°到其原来所在的同一平面内，若点B 的落点记为B′，则DB′的长为（ ）

A ．1

B ．2

C ．

32

D ．3

4．圆柱形杯子的高为18cm ，底面周长为24cm ，已知蚂蚁在外壁A 处（距杯子上沿2cm ）发现一滴蜂蜜在杯子内（距杯子下沿4cm ），则蚂蚁从A 处爬到B 处的最短距离为（ ）

A ．813

B ．28

C ．20

D ．122

5．如图，正方形ABCD 和正方形CEFG 边长分别为a 和b ，正方形CEFG 绕点C 旋转，给出下列结论：①BE=DG；②BE⊥DG；③DE 2

+BG 2

=2a 2

+2b 2

，其中正确结论有（ ）

A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．3个

6．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ） A ．9，7，12

B ．2，3，4

C ．1，2，3

D ．5，11，12

7．勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”．我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽．下列图案中是“赵爽弦图”的是（ ） A ．

B ．

C ．

D ．

8．在下列以线段a 、b 、c 的长为边，能构成直角三角形的是（ ） A ．a =3，b =4，c =6 B ．a =5，b =6，c =7 C ．a =6，b =8，c =9 D ．a =7，b =24，c =25 9．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）

A ．1、2、3

B ．2、3、4

C ．1、2、3

D ．4、5、6

10．一个直角三角形的两条边的长度分别为3和4，则它的斜边长为（ ）

A ．5

B ．4

C ．7

D ．4或5

二、填空题

11．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OA 1A 2的直角边OA 1在y 轴的正半轴上，且OA 1=A 1A 2=1，以OA 2为直角边作第二个等腰直角三角形OA 2A 3，以OA 3为直角边作第三个等腰直角三角形OA 3A 4，…，依此规律，得到等腰直角三角形OA 2018A 2019，则点A 2019的坐标为________．

12．如图，RT ABC ，90ACB ∠=?，6AC =，8BC =，将边AC 沿CE 翻折，使点

A 落在A

B 上的点D 处；再将边B

C 沿CF 翻折，使点B 落在C

D 的延长线上的点B '

处，两条折痕与斜边AB 分别交于点E 、F ，则B FC '△的面积为______．

13．如图，在四边形ABCD 中，AB =AD ，BC=DC ，点E 为AD 边上一点，连接BD 、CE ，CE 与BD 交于点F ，且CE ∥AB ，若∠A =60°，AB=4，CE=3，则BC 的长为_______．

14．如图，在四边形ABCD 中，22AD =，3CD =，

45ABC ACB ADC ∠=∠=∠=?，则BD 的长为__________．

15．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OAA 1的直角边OA 在x 轴上，点A 1在第一象限，且OA=1，以点A 1为直角顶点，OA 1为一直角边作等腰直角三角形OA 1A 2，再以点A 2为直角顶点，OA 2为直角边作等腰直角三角形OA 2A 3…依此规律，则点A 2018的坐标是_____．

16．如图，在ABC △中8,4,AB AC BC AD BC ===⊥于点D ，点P 是线段AD 上一个动点，过点P 作PE AB ⊥于点E ，连接PB ，则PB PE +的最小值为________.

17．如图，BAC 90∠=度，AB AC =，AE AD ⊥，且AE AD =，AF 平分DAE ∠交BC 于F ，若BD 6=，CF 8=，则线段AD 的长为______．

18．如图，P 是等边三角形ABC 内的一点，且PA=3，PB=4，PC=5，以BC 为边在△ABC 外作△BQC ≌△BPA ，连接PQ ，则以下结论中正确有_____________ (填序号) ①△BPQ 是等边三角形 ②△PCQ 是直角三角形 ③∠APB=150° ④∠APC=135°

19．在ABC 中，12AB AC ==，30A ∠=?，点E 是AB 中点，点D 在AC 上，

32DE =，将ADE 沿着DE 翻折，点A 的对应点是点F ，直线EF 与AC 交于点G ，那么DGF △的面积=__________．

20．如图，把平面内一条数轴x 绕点O 逆时针旋转角θ（0°＜θ＜90°）得到另一条数轴y ，x 轴和y 轴构成一个平面斜坐标系．规定：已知点P 是平面斜坐标系中任意一点，过点P 作y 轴的平行线交x 轴于点A ，过点P 作x 轴的平行线交y 轴于点B ，若点A 在x 轴上对应的实数为a ，点B 在y 轴上对应的实数为b ，则称有序实数对（a ，b ）为点P 的斜坐标．在平面斜坐标系中，若θ＝45°，点P 的斜坐标为（1，2），点G 的斜坐标为（7，﹣2），连接PG ，则线段PG 的长度是_____．

三、解答题

21．在等边ABC 中，点D 是线段BC 的中点，120,EDF DE ∠=?与线段AB 相交于点

,E DF 与射线AC 相交于点F ．

()1如图1，若DF AC ⊥，垂足为,4,F AB =求BE 的长；

()2如图2，将()1中的EDF ∠绕点D 顺时针旋转一定的角度，DF 仍与线段AC 相交于

点F ．求证：1

2

BE CF AB +=

．

()3如图3，将()2中的EDF ∠继续绕点D 顺时针旋转一定的角度，使DF 与线段AC 的

延长线交于点,F 作DN AC ⊥于点N ，若,DN FN =设,BE x CF y ==，写出y 关于x 的函数关系式．

22．如图，△ABC 和△ADE 都是等腰三角形，其中AB ＝AC ，AD ＝AE ，且∠BAC ＝∠DAE ．

（1）如图①，连接BE 、CD ，求证：BE ＝CD ；

（2）如图②，连接BE 、CD ，若∠BAC ＝∠DAE ＝60°，CD ⊥AE ，AD ＝3，CD ＝4，求BD 的长；

（3）如图③，若∠BAC ＝∠DAE ＝90°，且C 点恰好落在DE 上，试探究CD 2、CE 2和BC 2之间的数量关系，并加以说明．

23．定义：有一组邻边均和一条对角线相等的四边形叫做邻和四边形．（1）如图1，四边形ABCD 中，∠ABC =70°，∠BAC =40°，∠ACD =∠ADC =80°，求证：四边形ABCD 是邻和四边形．

（2）如图2，是由50个小正三角形组成的网格，每个小正三角形的顶点称为格点，已知A 、B 、C 三点的位置如图，请在网格图中标出所有的格点．．．．．．．D ．，使得以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形为邻和四边形．

（3）如图3，△ABC 中，∠ABC =90°，AB =2，BC =23，若存在一点D ，使四边形ABCD 是邻和四边形，求邻和四边形ABCD 的面积．

24．如图，在矩形ABCD 中，AB=8，BC=10，E 为CD 边上一点，将△ADE 沿AE 折叠，使点D 落在BC 边上的点F 处． （1）求BF 的长； （2）求CE 的长．

25．（1）如图1，在Rt ABC ?中，90ACB ∠=?，60A ∠=?，CD 平分ACB ∠. 求证：CA AD BC +=.

小明为解决上面的问题作了如下思考：

作ADC ?关于直线CD 的对称图形A DC '?，∵CD 平分ACB ∠，∴A '点落在CB 上，且

CA CA '=，A D AD '=.因此，要证的问题转化为只要证出A D A B ''=即可. 请根据小明的思考，写出该问题完整的证明过程.

（2）参照（1）中小明的思考方法，解答下列问题：

如图3，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，10BC CD ==，17AC =，9AD =，求AB 的长.

26．我国古代数学家赵爽曾用图1证明了勾股定理，这个图形被称为“弦图”.2002年在北京召开的国际数学家大会(ICM 2002)的会标(图2)，其图案正是由“弦图”演变而来.“弦图”是由4个全等的直角三角形与一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形请你根据图1解答下列问题:

(1)叙述勾股定理(用文字及符号语言叙述); (2)证明勾股定理;

(3)若大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,求()2

a b +的值.

27．如图，在四边形ABCD 中，=AB AD ，=BC DC ，=60A ∠?，点E 为AD 边上一点，连接CE ，BD . CE 与BD 交于点F ，且CE ∥AB .

（1）求证:CED ADB ∠=∠； （2）若=8AB ，=6CE . 求BC 的长 .

28．如图1，△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，且BD : AD : CD ＝2 : 3 : 4， （1）试说明△ABC 是等腰三角形；

（2）已知S △ABC ＝40cm 2，如图2，动点M 从点B 出发以每秒2cm 的速度沿线段BA 向点A 运动，同时动点N 从点A 出发以每秒1cm 速度沿线段AC 向点C 运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止. 设点M 运动的时间为t （秒）， ①若△DMN 的边与BC 平行，求t 的值；

②若点E 是边AC 的中点，问在点M 运动的过程中，△MDE 能否成为等腰三角形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由．

图1 图2 备用图

29．（1）如图1，在Rt △ABC 和Rt △ADE 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，且点D 在BC 边上滑动（点D 不与点B ，C 重合），连接EC ，

①则线段BC ，DC ，EC 之间满足的等量关系式为 ； ②求证：BD 2+CD 2＝2AD 2；

（2）如图2，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝∠ACB ＝∠ADC ＝45°．若BD ＝9，CD ＝3，求AD 的长．

30．已知：四边形ABCD 是菱形，AB ＝4，∠ABC ＝60°，有一足够大的含60°角的直角三角尺的60°角的顶点与菱形ABCD 的顶点A 重合，两边分别射线CB 、DC 相交于点E 、F ，且∠EAP ＝60°．

（1）如图1，当点E 是线段CB 的中点时，请直接判断△AEF 的形状是 ．

（2）如图2，当点E 是线段CB 上任意一点时（点E 不与B 、C 重合），求证：BE ＝CF ； （3）如图3，当点E 在线段CB 的延长线上，且∠EAB ＝15°时，求点F 到BC 的距离．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．D 解析：D 【分析】

根据折叠的性质可得AD=A'D ，AE=A'E ，易得阴影部分图形的周长为=AB+BC+AC ，则可求得答案． 【详解】

解：因为等边三角形ABC 的边长为1cm ，所以AB=BC=AC=1cm ， 因为△ADE 沿直线DE 折叠，点A 落在点A'处，所以AD=A'D ，AE=A'E ，

所以阴影部分图形的周长=BD+A'D+BC+A'E+EC=BD+AD+BC+AE+EC=AB+BC+AC =1+1+1=3（cm ）． 故选：D ． 【点睛】

此题考查了折叠的性质与等边三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用以及折叠前后图形的对应关系．

2．B

解析：B 【解析】 【分析】

根据完全平方公式利用a+b=10，ab=18求出22a b +，即可得到三角形的形状. 【详解】

∵a+b=10，ab=18，

∴22a b +=（a+b ）2-2ab=100-36=64， ∵,c=8，

∴2c =64， ∴22a b +=2c ，

∴该三角形是直角三角形， 故选：B. 【点睛】

此题考查勾股定理的逆定理，完全平方公式，能够利用完全平方公式由已知条件求出

22a b +是解题的关键.

3．B

解析：B 【解析】 【分析】

如图，连接BB′．根据折叠的性质知△BB′E 是等腰直角三角形，则BB′=2BE ．又B′E 是BD 的中垂线，则DB′=BB′． 【详解】

∵四边形ABCD 是平行四边形，BD=2， ∴BE=

1

2

BD=1． 如图2，连接BB′．

根据折叠的性质知，∠AEB=∠AEB′=45°，BE=B′E ． ∴∠BEB′=90°，

∴△BB′E 是等腰直角三角形，则BB′=2BE=2, 又∵BE=DE ，B′E ⊥BD ， ∴DB′=BB′=2．

故选B ． 【点睛】

考查了平行四边形的性质以及等腰直角三角形性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．

4．C

解析：C 【解析】

分析：将杯子侧面展开，建立A 关于EF 的对称点A ′，根据两点之间线段最短可知A ′B 的长度即为所求.

详解：如图所示，将杯子侧面展开,作A关于EF的对称点A′，

连接A′B,则A′B即为最短距离，

A′B=2222

A D BD

'++ (cm)

=1216=20

故选C.

点睛：本题考查了勾股定理、最短路径等知识.将圆柱侧面展开，化曲面为平面并作出A关于EF的对称点A′是解题的关键.

5．D

解析：D

【解析】

分析：由四边形ABCD与四边形EFGC都为正方形,得到四条边相等,四个角为直角,利用SAS 得到三角形BCE与三角形DCG全等,利用全等三角形对应边相等即可得到BE=DG,利用全等三角形对应角相等得到∠CBM=∠MDO,利用等角的余角相等及直角的定义得到∠BOD为直角,利用勾股定理求出所求式子的值即可.

详解：①∵四边形ABCD和EFGC都为正方形，

∴CB=CD，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°，

∴∠BCD+∠DCE=∠ECG+∠DCE，即∠BCE=∠DCG.

在△BCE和△DCG中，CB＝CD，∠BCE＝∠DCG，CE＝CG，

∴△BCE≌△DCG，

∴BE=DG，

故结论①正确.

②如图所示，设BE交DC于点M，交DG于点O.

由①可知，△BCE≌△DCG，

∴∠CBE=∠CDG，即∠CBM=∠MDO.

又∵∠BMC=∠DMO，∠MCB=180°-∠CBM-∠BMC，∠DOM=180°-∠CDG-∠MDO，

∴∠DOM=∠MCB=90°，

∴BE⊥DG.

故②结论正确.

③如图所示，连接BD、EG，

由②知，BE⊥DG，

则在Rt△ODE中，DE2=OD2+OE2，

在Rt△BOG中，BG2=OG2+OB2，

在Rt△OBD中，BD2=OD2+OB2，

在Rt△OEG中，EG2=OE2+OG2，

∴DE2+BG2=(OD2+OE2)+(OB2+OG2)=(OD2+OB2)+(OE2+OG2)=BD2+EG2.

在Rt△BCD中，BD2=BC2+CD2=2a2，

在Rt△CEG中，EG2=CG2+CE2=2b2，

∴BG2+DE2=2a2+2b2.

故③结论正确.

故选：D.

点睛：本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质.

6．C

解析：C

【分析】

利用勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．最长边所对的角为直角．由此判定即可．

【详解】

解：A、因为92+72≠122，所以三条线段不能组成直角三角形；

B、因为22+32≠42，所以三条线段不能组成直角三角形；

C、因为12+32= 22，所以三条线段能组成直角三角形；

D、因为52+112≠122，所以三条线段不能组成直角三角形．

故选C．

【点睛】

此题考查勾股定理逆定理的运用，注意数据的计算．

7．B

解析：B

【分析】

“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．

【详解】

“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如图所示：

故选B.

【点睛】

本题主要考查了勾股定理的证明，证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．8．D

解析：D

【解析】

A选项：32+42≠62，故不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；

B选项：52+62≠72，故不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；

C选项：62+82≠92，故不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；

D选项：72+242=252，故符合勾股定理的逆定理，能组成直角三角形，故正确．

故选D．

9．A

解析：A

【分析】

求出两小边的平方和、最长边的平方,看看是否相等即可.

【详解】

A、12+）2=2

∴以1,故本选项正确;

B、22+32≠42

∴以2、3、4为边组成的三角形不是直角三角形,故本选项错误;

C、12+22≠32

∴以1、2、3为边组成的三角形不是直角三角形,故本选项错误;

D、42+52≠62

∴以4、5、6为边组成的三角形不是直角三角形,故本选项错误;

故选A..

【点睛】

本题考查了勾股定理的逆定理应用，掌握勾股定理逆定理的内容就解答本题的关键. 10．D

解析：D

【分析】

根据题意，可分为已知的两条边的长度为两直角边，或一直角边一斜边两种情况，根据勾股定理求斜边即可．

【详解】

当3和4为两直角边时，由勾股定理，得：

=；

5

当3和4为一直角边和一斜边时，可知4为斜边．

∴斜边长为4或5．

故选：D ． 【点睛】

本题考查了勾股定理，关键是根据题目条件进行分类讨论，利用勾股定理求解．

二、填空题

11．(21009，0)． 【分析】

根据等腰直角三角形的性质得到OA 1=1，OA 2=1

，OA 3=

2

，

OA 4=

3

，…OA 2019=

2018

，再利用1A 、2A 、3A …，每8个一循环，再回到y 轴的

正半轴的特点可得到点A 2019在x 轴的正半轴上，即可确定点A 2019的坐标． 【详解】

∵等腰直角三角形OA 1A 2的直角边OA 1在y 轴的正半轴上，且OA 1=A 1A 2=1，以OA 2为直角边作第二个等腰直角三角形OA 2A 3，以OA 3为直角边作第三个等腰直角三角形OA 3A 4，…，

∴OA 1=1，OA 2，OA 3=）2，…，OA 2019=）2018， ∵A 1、A 2、A 3、…，每8个一循环，再回到y 轴的正半轴， ∴2019÷8=252…3， ∴点A 2019在x 轴正半轴上．

∵OA 2019=）2018，

∴点A 2019的坐标为（

2018

,0）即(21009，0)．

故答案为：(21009，0)． 【点睛】

本题考查了规律型：点的坐标，等腰直角三角形的性质：等腰直角三角形的两底角都等于45°；斜边等于直角边的2倍．也考查了直角坐标系中各象限内点的坐标特征．

12．

9625

【分析】

将△B′

CF 的面积转化为求△BCF 的面积，由折叠的性质可得CD ＝AC ＝6，∠ACE ＝∠DCE ，∠BCF ＝∠B′

CF ，CE ⊥AB ，可证得△ECF 是等腰直角三角形，EF ＝CE ，∠EFC ＝45°，由等面积法可求CE 的长，由勾股定理可求AE 的长，进而求得BF 的长，即可求解． 【详解】

根据折叠的性质可知，CD ＝AC ＝6，∠ACE ＝∠DCE ，∠BCF ＝∠B′CF ，CE ⊥AB ， ∴∠DCE ＋∠B′CF ＝∠ACE ＋∠BCF ， ∵∠ACB ＝90°，

∴∠ECF ＝45°，且CE ⊥AB ， ∴△ECF 是等腰直角三角形， ∴EF ＝CE ，∠EFC ＝45°，

∵S△ABC＝1

2

AC?BC＝

1

2

AB?CE，

∴AC?BC＝AB?CE，

∵根据勾股定理求得AB＝10，

∴CE＝24

5

，

∴EF＝24

5

，

∵AE＝22

AC CE

-＝

2

2

2418

6-=

55

??

?

??

，

∴BF＝AB?AE?EF＝10－18

5

－

24

5

＝

8

5

，

∴S△CBF＝1

2

×BF×CE＝

1

2

×

8

5

×

24

5

＝

96

25

，

∴S△CB′F＝96 25

，

故填：96 25

．

【点睛】

此题主要考查了翻折变换，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的应用等知识，根据折叠的性质求得相等的角是解决本题的关键．

13．7

【分析】

连接AC交BD于点O，由题意可证AC垂直平分BD，△ABD是等边三角形，可得∠BAO＝∠DAO＝30°，AB＝AD＝BD，BO＝OD，通过证明△EDF是等边三角形，可得DE＝EF＝DF，由勾股定理可求OC，BC的长．

【详解】

连接AC，交BD于点O，

∵AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°，

∴AC垂直平分BD，△ABD是等边三角形，

∴∠BAO＝∠DAO＝30°，AB＝AD＝BD＝4，BO＝OD＝2，

∵CE ∥AB ，

∴∠BAO ＝∠ACE ＝30°，∠CED ＝∠BAD ＝60°， ∴∠DAO ＝∠ACE ＝30°， ∴AE ＝CE ＝3， ∴DE ＝AD?AE ＝1， ∵∠CED ＝∠ADB ＝60°， ∴△EDF 是等边三角形， ∴DE ＝EF ＝DF ＝1，

∴CF ＝CE?EF ＝2，OF ＝OD?DF ＝1，

22OC CF OF

3∴=-=， 22BC=OB +OC =7∴，

故答案为：7． 【点睛】

本题考查了等边三角形的性质和判定，勾股定理，熟练运用等边三角形的判定是本题的关键． 14．5 【分析】

作AD′⊥AD ，AD′=AD 构建等腰直角三角形，根据SAS 求证△BAD ≌△CAD′，证得BD=CD′，∠DAD′=90°，然后在Rt △AD′D 和Rt △CD′D 应用勾股定理即可求解． 【详解】

作AD′⊥AD ，AD′=AD ，连接CD′，DD′，如图：

∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD ， ∴∠BAD=∠CAD′， 在△BAD 与△CAD′中，

{BA CA

BAD CAD AD AD =∠=∠=''

， ∴△BAD ≌△CAD′（SAS ），

∴BD=CD′，∠DAD′=90°，

由勾股定理得4=，

∵∠D′DA+∠ADC=90°，

∴由勾股定理得5=， ∴BD=CD′=5 故答案为5． 【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形，正确引出辅助线构造等腰直角三角形是本题的关键． 15．（0，21009） 【解析】

【分析】本题点A 坐标变化规律要分别从旋转次数与点A 所在象限或坐标轴、点A 到原点的距离与旋转次数的对应关系．

【详解】∵∠OAA 1=90°，OA=AA 1=1，以OA 1为直角边作等腰Rt △OA 1A 2，再以OA 2为直角边作等腰Rt △OA 2A 3，…，

∴OA 1，OA 2=）2，…，OA 2018=）2018， ∵A 1、A 2、…，每8个一循环， ∵2018=252×8+2

∴点A 2018的在y 轴正半轴上，OA 2018=2018

=21009，

故答案为（0，21009）.

【点睛】本题是平面直角坐标系下的规律探究题，除了研究动点变化的相关数据规律，还应该注意象限符号．

16【分析】

根据题意点B 与点C 关于AD 对称，所以过点C 作AB 的垂线，与AD 的交点即点P ，求出CE 即可得到答案 【详解】

∵8,AB AC AD BC ==⊥ ∴点B 与点C 关于AD 对称

过点C 作CE ⊥AB 于一点即为点P ，此时PB PE +最小 ∵8,4,AB AC BC AD BC ===⊥ ∴BD=2

在Rt △A BC 中， AD ==∵S △ABC=

11

22

BC AD AB CE ??=??

∴48CE ?=

得

15 CE=

故此题填15

【点睛】

此题考察最短路径，根据题意找到对称点，作直角三角形，利用勾股定理解决问题17．65

【分析】

由“SAS”可证ABD≌ACE，DAF≌EAF可得BD CE

=，4B

∠∠

=，DF EF

=，由勾股定理可求EF的长，即可求BC的长，由勾股定理可求AD的长．【详解】

解：如图，连接EF，过点A作AG BC

⊥于点G，

AE AD

⊥，

DAE DAC290

∠∠∠

∴=+=，

又BAC DAC190

∠∠∠

=+=，

12

∠∠

∴=，

在ABD 和ACE中

12

AB AC

AD AE

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

，

ABD

∴≌()

ACE SAS．

BD CE

∴=，4B

∠∠

=

BAC90

∠=，AB AC

=，

∴B345

∠∠

==

4B45

∠∠

∴==，

ECF3490

∠∠∠

∴=+=，

222CE CF EF ∴+=，

222BD FC EF ∴+=，

AF 平分DAE ∠， DAF EAF ∠∠∴=， 在DAF 和EAF 中

AD AE DAF EAF AF AF =??

∠=∠??=?

， DAF ∴≌()EAF SAS ． DF EF ∴=．

222BD FC DF ∴+=．

22222DF BD FC 68100∴=+=+=，

∴DF 10=

BC BD DF FC 610824∴=++=++=， AB AC =，AG BC ⊥，

1

BG AG BC 122

∴===，

DG BG BD 1266∴=-=-=，

∴AD =

故答案为【点睛】

考查等腰直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 18．①②③ 【解析】 【详解】

解：∵△ABC 是等边三角形，

60ABC ∴∠=，

∵△BQC ≌△BPA ，

∴∠BPA =∠BQC ，BP =BQ =4，QC =PA =3，∠ABP =∠QBC ，

60PBQ PBC CBQ PBC ABP ABC ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=，

∴△BPQ 是等边三角形，①正确. ∴PQ =BP =4，

2222224325,525PQ QC PC +=+===， 222PQ QC PC ∴+=，

90PQC ∴∠=，即△PQC 是直角三角形，②正确.

∵△BPQ 是等边三角形，

60PBQ BQP ∴∠=∠=，

∵△BQC ≌△BPA ， ∴∠APB =∠B QC ，

6090150BPA BQC ∴∠=∠=+=，

③正确. 36015060150APC QPC QPC ∴∠=---∠=-∠， 90PQC PQ QC ∠=≠，， 45QPC ∴∠≠，

即135APC ∠≠，④错误. 故答案为①②③. 19．639+或639- 【分析】

通过计算E 到AC 的距离即EH 的长度为3，所以根据DE 的长度有两种情况：①当点D 在H 点上方时，②当点D 在H 点下方时，两种情况都是过点E 作EH AC ⊥交AC 于点E ，过点G 作GQ AB ⊥交AB 于点Q ，利用含30°的直角三角形的性质和勾股定理求出AH,DH 的长度，进而可求AD 的长度，然后利用角度之间的关系证明AG GE =，再利用等腰三角形的性质求出GQ 的长度，最后利用2DGF

AED

AEG

S S

S

=-即可求解．

【详解】

①当点D 在H 点上方时，

过点E 作EH AC ⊥交AC 于点E ，过点G 作GQ AB ⊥交AB 于点Q ，

12AB = ，点E 是AB 中点，