解析几何专题汇编3椭圆内接图形(三角形、四边形)面积计算
第三部分、圆锥曲线内接图形(三角形、四边形)面积计算 1.(07浙江)如图,直线y kx b =+与椭圆2 214 x y +=交于A B ,两点,记AOB △的 面积为S . (I )求在0k =,01b <<的条件下,S 的最大值; (II )当2AB =,1S =时,求直线AB 的方程. (I )解:设点A 的坐标为1()x b ,,点B 的坐标为2()x b ,. 由2 214 x y += ,解得1,2x =± 所以22121 ||2112 S b x x b b = -=+-= 当且仅当b = .S 取到最大值1. (Ⅱ)解:由22 14 y kx b x y =+?? ?+=??得 222(41)8440k x kbx b +++-= 2216(41)k b ?=-+ ① |AB 12|2x x -== ② 又因为O 到AB 的距离21|| S d AB = = = 所以221b k =+ ③ ③代入②并整理,得4 2 4410k k -+= 解得,2 213 ,22 k b = =,代入①式检验,△>0 故直线AB 的方程是 y x = + 或y x = 或y x = 或y x =-. 2.(07全国1)已知椭圆22 132 x y +=的左、右焦点分别为1F ,2F .过1F 的直线交椭圆于B D ,两点,过2F 的直线交椭圆于A C ,两点,且AC BD ⊥,垂足为P .
(Ⅰ)设P 点的坐标为00()x y ,,证明:2200 132 x y +<; (Ⅱ)求四边形ABCD 的面积的最小值. 解: (Ⅰ)椭圆的半焦距1c ==, 由AC BD ⊥知点P 在以线段12F F 为直径的圆上,故22 001x y +=, 所以,2222 00021132222 y x y x ++=<≤. (Ⅱ)(ⅰ)当BD 的斜率k 存在且0k ≠时,BD 的方程为(1)y k x =+,代入椭圆方程22 132 x y +=,并化简得2222(32)6360k x k x k +++-=. 设11()B x y ,,22()D x y ,,则 2122632k x x k +=-+,2122 36 32 k x x k -=+ 2 2 12221(1)()4BD x x k x x x x ?= -=++-=?; 因为AC 与BC 相交于点P ,且AC 的斜率为1 k - , 所以,221132k AC k ?+? ??==?+. 四边形ABCD 的面积 222222222124(1)(1)962(32)(23)25 (32)(23)2k k S BD AC k k k k +24+===++??+++???? ≥. 当2 1k =时,上式取等号. (ⅱ)当BD 的斜率0k =或斜率不存在时,四边形ABCD 的面积4S =. 综上,四边形ABCD 的面积的最小值为 9625 . 3.设椭圆中心在坐标原点,(20)(01)A B ,, ,是它的两个顶点,直线)0(>=k kx y 与AB 相交于点D ,与椭圆相交于E 、F 两点. (Ⅰ)若6ED DF =,求k 的值;
解析几何范围最值问题(教师)详解
第十一讲 解析几何范围最值问题 解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数和建立不等关系,根据目标函数和不等式求最值、范围,因此这类问题的难点,就是如何建立目标函数和不等关系.建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适变量,其原则是这个变量能够表达要解决的问题,这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等,要根据问题的实际情况灵活处理. 一、几何法求最值 【例1】 抛物线的顶点O 在坐标原点,焦点在y 轴负半轴上,过点M (0,-2)作直线l 与抛物线相交于A ,B 两点,且满足+=(-4,-12). (1)求直线l 和抛物线的方程; (2)当抛物线上一动点P 从点A 运动到点B 时,求△ABP 面积的最大值. [满分解答] (1)根据题意可设直线l 的方程为y =kx -2,抛物线方程为x 2=-2py (p >0). 由????? y =kx -2,x 2=-2py , 得x 2+2pkx -4p =0 设点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=-2pk ,y 1+y 2=k (x 1+x 2)-4=-2pk 2-4. 所以+=(-4,-12),所以??? ? ? -2pk =-4,-2pk 2 -4=-12, 解得? ???? p =1,k =2.故直线l 的方程为y =2x -2,抛物线方程为x 2=-2y . (2)设P (x 0,y 0),依题意,知当抛物线过点P 的切线与l 平行时,△ABP 的面积最大. 对y =-12x 2求导,得y ′=-x ,所以-x 0=2,即x 0=-2,y 0=-12x 20=-2,即P (-2,-2). 此时点P 到直线l 的距离d = |2·(-2)-(-2)-2|22+(-1)2 =45=4 5 5. 由? ???? y =2x -2, x 2=-2y ,得x 2+4x -4=0,则x 1+x 2=-4,x 1x 2=-4, |AB |= 1+k 2· (x 1+x 2)2-4x 1x 2= 1+22·(-4)2-4·(-4)=4 10. 于是,△ABP 面积的最大值为12×4 10×4 55=8 2. 二、函数法求最值 【示例】在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C :x 2a 2+y 2 b 2=1(a >b >0)的离心率e = 2 3 ,且椭圆C 上的点到点Q (0,2)的距离的最大值为3. (1)求椭圆C 的方程; (2)在椭圆C 上,是否存在点M (m ,n ),使得直线l :mx +ny =1与圆O :x 2+y 2=1相交于不同的两点A 、B ,且△OAB 的面积最大?若存在,求出点M 的坐标及对应的△OAB 的面积;若不存在,请说明理由. (1)由e =c a = a 2- b 2 a 2= 23,得a =3 b ,椭圆C :x 23b 2+y 2 b 2=1,即x 2+3y 2=3b 2,
平面解析几何初步测试题
平面解析几何初步测试题 一、选择题:(包括12个小题,每题5分,共60分) 1.已知直线l 过(1,2),(1,3),则直线l 的斜率() A. 等于0 B . 等于1 C . 等于21 D. 不存在 2. 若)0,(),4,9(),2,3(x C B A --三点共线,则x 的值是( ) A.1 B .-1 C .0 D.7 3. 已知A (x 1,y 1)、B(x2,y 2)两点的连线平行y 轴,则|AB |=( ) A、|x 1-x 2|B 、|y 1-y 2|C、 x 2-x1D 、 y 2-y 1 4. 若0ac >,且0bc <,直线0ax by c ++=不通过( ) A.第三象限B.第一象限 C.第四象限D.第二象限 5. 经过两点(3,9)、(-1,1)的直线在x轴上的截距为() A.23- B .32- C .32 D .2 6.直线2x -y=7与直线3x+2y-7=0的交点是( ) A (3,-1) B (-1,3) C (-3,-1) D (3,1) 7.满足下列条件的1l 与2l ,其中12l l //的是( ) (1)1l 的斜率为2,2l 过点(12)A ,,(48)B ,; (2)1l 经过点(33)P ,,(53)Q -,,2l 平行于x 轴,但不经过P ,Q 两点; (3)1l 经过点(10)M -,,(52)N --,,2l 经过点(43)R -,,(05)S ,. A.(1)(2)B .(2)(3) C.(1)(3)D.(1)(2)(3) 8.已知直线01:1=++ay x l 与直线22 1:2+=x y l 垂直,则a 的值是( ) A 2 B -2 C.21 D .2 1- 9. 下列直线中,与直线10x y +-=的相交的是 A 、226x y += B 、0x y += C 、3y x =-- D 、1y x =-
2010-2019高考真题分类训练文数专题九 解析几何第二十五讲 椭圆
专题九 解析几何 第二十五讲 椭圆 2019年 1.(2019全国1文12)已知椭圆C 的焦点为12(1,0),(1,0)F F -,过F 2的直线与C 交于A ,B 两点.若22||2||AF F B =,1||||AB BF =,则C 的方程为 A .2212x y += B .22132 x y += C .22 143x y += D .22 154 x y += 2.(2019全国II 文9)若抛物线y 2 =2px (p >0)的焦点是椭圆 22 13x y p p +=的一个焦点,则p = A .2 B .3 C .4 D .8 3.(2019北京文19)已知椭圆22 22:1x y C a b +=的右焦点为(1,0),且经过点(0,1)A . (Ⅰ)求椭圆C 的方程; (Ⅱ)设O 为原点,直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ,Q ,直线AP 与x 轴交于点M ,直线AQ 与x 轴交于点N ,若|OM |·|ON |=2,求证:直线l 经过定点. 4.(2019江苏16)如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C :22 221(0)x y a b a b +=>>的焦点 为F 1(–1、0),F 2(1,0).过F 2作x 轴的垂线l ,在x 轴的上方,l 与圆F 2:2 2 2 (1)4x y a -+=交于点A ,与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ,连结BF 2交椭圆C 于点E ,连结DF 1.已知DF 1= 5 2 . (1)求椭圆C 的标准方程; (2)求点E 的坐标.
5.(2019浙江15)已知椭圆22 195 x y +=的左焦点为F ,点P 在椭圆上且在x 轴的上方,若线段PF 的中点在以原点O 为圆心,OF 为半径的圆上,则直线PF 的斜率是_______. 6.(2019全国II 文20)已知12,F F 是椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>>的两个焦点,P 为C 上 一点,O 为坐标原点. (1)若2POF △为等边三角形,求C 的离心率; (2)如果存在点P ,使得12PF PF ⊥,且12F PF △的面积等于16,求b 的值和a 的取值范围. 7.(2019天津文19)设椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ,左顶点为A ,顶点为 B .3|2||OA OB =(O 为原点). (Ⅰ)求椭圆的离心率; (Ⅱ)设经过点F 且斜率为 3 4 的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ,圆C 同时与x 轴和直线l 相切,圆心C 在直线4x =上,且OC AP ∥,求椭圆的方程. 8.(2019全国III 文15)设12F F ,为椭圆C : 22 +13620 x y =的两个焦点,M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形,则M 的坐标为___________. 9.(2019北京文19)已知椭圆22 22:1x y C a b +=的右焦点为(1,0),且经过点(0,1)A . (Ⅰ)求椭圆C 的方程;
解析几何最值问题
解析几何最值问题的赏析 丹阳市珥陵高级中学数学组:李维春 教学目标:1.掌握解析几何中图形的处理方法和解析几何中变量的选择; 2.掌握利用基本不等式和函数的思想处理最值问题. 重点难点:图形的处理和变量的选择及最值的处理. 问题提出: 已知椭圆方程:14 32 2=+y x ,A ,B 分别为椭圆的上顶点和右顶点。过原点作一直线与线段AB 交于点G ,并和椭圆交于E 、F 两点,求四边形AEBF 面积的最大值。 问题分析: 1、 图形的处理: 不规则图形转化为规则图形(割补法) ABF ABE AENF S S S ??+= BEF AEF AENF S S S ??+= 2、 变量的选择: (1) 设点:设点),(00y x E 则),(00y x F --,可得到二元表达式; (2) 设动直线的斜率k (可设AF,BF,EF,AE,BE 中任意一条直线的斜率),可得 一元表达式。 3,最值的处理方法: (1) 一元表达式可用基本不等式或函数法处理; (2) 二元表达式可用基本不等式或消元转化为一元表达式。 X
问题解决: 解法一: 由基本不等式得62 24)34(2322 02000==+≤+=y x y x S 时取“=” 当且仅当0032 y x = 解法二: 00000 0(,),(,),(0,0)x y F x y x y -->>设E ,四边形的面积为S (0,2),A B 因为,12 y += 20x +-=即1d =点E 到直线的距离:00( ,)x y 因为E 在直线AB 的上方,0020x ->所以1d =所以2d =点F 到直线的距离:00(,)x y --因为F 在直线的下方2d =所以)(21)(212121d d AB d AB d AB S +=+=002S x =+所以AB =因为00(,)F x y 又因为22134 x y +=在椭圆上22004312x y +=所以max S =所以
《平面解析几何》复习试卷及答案解析
2021年新高考数学总复习第九章《平面解析几何》 复习试卷及答案解析 一、选择题 1.已知椭圆C :16x 2+4y 2=1,则下列结论正确的是( ) A .长轴长为12 B .焦距为34 C .短轴长为14 D .离心率为 32 答案 D 解析 由椭圆方程16x 2+4y 2=1化为标准方程可得 x 2116+y 214 =1,所以a =12,b =14,c =34 , 长轴2a =1,焦距2c =32,短轴2b =12, 离心率e =c a =32 .故选D. 2.双曲线x 23-y 2 9 =1的渐近线方程是( ) A .y =±3x B .y =±13x C .y =±3x D .y =±33 x 答案 C 解析 因为x 23-y 2 9 =1, 所以a =3,b =3,渐近线方程为y =±b a x , 即为y =±3x ,故选C. 3.已知双曲线my 2-x 2=1(m ∈R )与抛物线x 2=8y 有相同的焦点,则该双曲线的渐近线方程为( ) A .y =±3x B .y =±3x C .y =±13 x D .y =±33x 答案 A
解析 ∵抛物线x 2=8y 的焦点为(0,2), ∴双曲线的一个焦点为(0,2),∴1m +1=4,∴m =13 , ∴双曲线的渐近线方程为y =±3x ,故选A. 4.(2019·河北衡水中学模拟)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)和直线l :x 4+y 3 =1,若过C 的左焦点和下顶点的直线与l 平行,则椭圆C 的离心率为( ) A.45 B.35 C.34 D.15 答案 A 解析 直线l 的斜率为-34,过C 的左焦点和下顶点的直线与l 平行,所以b c =34 , 又b 2+c 2=a 2?????34c 2+c 2=a 2?2516c 2=a 2, 所以e =c a =45 ,故选A. 5.(2019·洛阳、许昌质检)若双曲线x 2-y 2 b 2=1(b >0)的一条渐近线与圆x 2+(y -2)2=1至多有一个交点,则双曲线离心率的取值范围是( ) A .(1,2] B .[2,+∞) C .(1,3] D .[3,+∞) 答案 A 解析 双曲线x 2-y 2 b 2=1(b >0)的一条渐近线方程是bx -y =0,由题意圆x 2+(y -2)2=1的圆心(0,2)到bx -y =0的距离不小于1,即 2b 2+1≥1,则b 2≤3,那么离心率e ∈(1,2],故选A. 6.(2019·河北武邑中学调研)已知直线l :y =k (x +2)(k >0)与抛物线C :y 2=8x 相交于A ,B 两点,F 为C 的焦点,若|F A |=2|FB |,则k 等于( ) A.13 B.23 C.23 D.223 答案 D 解析 由????? y =k (x +2),y 2=8x ,消去y 得 k 2x 2+(4k 2-8)x +4k 2=0, Δ=(4k 2-8)2-16k 4>0,又k >0,解得0高中数学解析几何专题之椭圆汇总解析版
圆锥曲线第1讲 椭圆 【知识要点】 一、椭圆的定义 1. 椭圆的第一定义: 平面内到两个定点1F 、2F 的距离之和等于定长a 2( 2 12F F a >)的点的轨迹叫椭圆,这两 个定点叫做椭圆的焦点,两个焦点之间的距离叫做焦距。 注1:在椭圆的定义中,必须强调:到两个定点的距离之和(记作a 2)大于这两个定点之间的距离 2 1F F (记作c 2),否则点的轨迹就不是一个椭圆。具体情形如下: (ⅰ)当c a 22>时,点的轨迹是椭圆; (ⅱ)当c a 22=时,点的轨迹是线段21F F ; (ⅲ)当c a 22<时,点的轨迹不存在。 注2:若用M 表示动点,则椭圆轨迹的几何描述法为 a MF MF 221=+(c a 22>, c F F 221=),即 2 121F F MF MF >+. 注3:凡是有关椭圆上的点与焦点的距离问题,通常可利用椭圆的第一定义求解,即隐含条件: a MF MF 221=+千万不可忘记。 2. 椭圆的第二定义: 平面内到某一定点的距离与它到定直线的距离之比等于常数e (10<>b a ); (2)焦点在y 轴、中心在坐标原点的椭圆的标准方程是122 22=+b x a y (0>>b a ).
注1:若题目已给出椭圆的标准方程,那其焦点究竟是在x 轴还是在y 轴,主要看长半轴跟谁走。长半轴跟x 走,椭圆的焦点在x 轴;长半轴跟y 走,椭圆的焦点在y 轴。 (1)注2:求椭圆的方程通常采用待定系数法。若题目已指明椭圆的焦点的位置,则可设 其方程为12222=+b y a x (0>>b a )或122 22=+b x a y (0>>b a );若题目未指明椭圆的焦 点究竟是在x 轴上还是y 轴上,则中心在坐标原点的椭圆的方程可设为 12 2=+ny mx (0>m ,0>n ,且n m ≠). 三、椭圆的性质 以标准方程122 22=+b y a x (0>>b a )为例,其他形式的方程可用同样的方法得到相关结论。 (1)范围:a x a ≤≤-,b y b ≤≤-; (2)对称性:关于x 轴、y 轴轴对称,关于坐标原点中心对称; (3)顶点:左右顶点分别为)0,(1a A -,)0,(2a A ;上下顶点分别为),0(1b B ,),0(2b B -; (4)长轴长为a 2,短轴长为b 2,焦距为c 2; (5)长半轴a 、短半轴b 、半焦距c 之间的关系为2 2 2 c b a +=; (6)准线方程:c a x 2 ± =; (7)焦准距:c b 2 ; (8)离心率: a c e = 且10<平面解析几何直线练习题含答案
直线测试题 一.选择题(每小题5分共40分) 1. 下列四个命题中的真命题是( ) A.经过定点P 0(x 0,y 0)的直线都可以用方程y -y 0=k (x -x 0)表示; B.经过任意两个不同的点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)的直线都可以用方程 (y -y 1)·(x 2-x 1)=(x -x 1)(y 2-y 1)表示; C.不经过原点的直线都可以用方程 1=+b y a x 表示; D.经过定点A (0, b )的直线都可以用方程y =kx +b 表示。 【答案】B 【解析】A 中过点P 0(x 0,y 0)与x 轴垂直的直线x =x 0不能用y -y 0=k (x -x 0)表示,因为其斜率k 不存在;C 中不过原点但在x 轴或y 轴无截距的直线y =b (b ≠0)或x =a (a ≠0)不能用方程b y a x +=1表示;D 中过A (0, b )的直线x =0不能用方程y =kx +b 表示. 评述:本题考查直线方程的知识,应熟练掌握直线方程的各种形式的适用范围. 2. 图1中的直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3,则( ) A.k 1<k 2<k 3 B.k 3<k 1<k 2 C.k 3<k 2<k 1 D.k 1<k 3<k 2 【答案】D 【解析】直线l 1的倾斜角α1是钝角,故k 1<0,直线l 2与l 3的倾斜角α2、α3 均为锐角, 且α2>α3,所以k 2>k 3>0,因此k 2>k 3>k 1,故应选D. 3. 两条直线A 1x +B 1y +C 1=0,A 2x +B 2y +C 2=0垂直的充要条件是( ) A. A 1A 2+B 1B 2=0 B.A 1A 2-B 1B 2=0 C.12121-=B B A A D.2 121A A B B =1 【答案】A 【解析】法一:当两直线的斜率都存在时,- 11B A ·(2 2B A -)=-1,A 1A 2+B 1B 2=0. 当一直线的斜率不存在,一直线的斜率为0时,???==???==0 001221B A B A 或,
浙江高考解析几何大题
浙江高考历年真题之解析几何大题 1、(2005年)如图,已知椭圆的中心在坐标原点,焦点12,F F 在x 轴上,长轴12A A 的长为4,左准线l 与x 轴的交点为M ,|MA 1|∶|A 1F 1|=2∶1. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)若直线1l :x =m (|m |>1),P 为1l 上的动点,使12F PF ∠ 最大的点P 记为Q ,求点Q 的坐标(用m 表示). 解析:(Ⅰ)设椭圆方程为()22 2210x y a b a b +=>>,半焦距为c , 则2111,a MA a A F a c c =-=- ,()2 222 224 a a a c c a a b c ?-=-??? =??=+??? 由题意,得 2,3,1a b c ∴=== ,22 1.43 x y +=故椭圆方程为 (Ⅱ) 设()0,,||1P m y m >,当00y >时,120F PF ∠=; 当00y ≠时,22102 F PF PF M π <∠<∠<,∴只需求22tan F PF ∠的最大值即可设直线1PF 的斜率011y k m = +,直线2PF 的斜率0 21 y k m =-, 002122222212002||tan 1121||1 y k k F PF k k m y m y m -∴∠= =≤= +-+-?- 2 01||m y -=时,12F PF ∠最大,(2,1,||1Q m m m ∴±->
2、(2006年)如图,椭圆b y a x 2 22+=1(a >b >0)与过点A (2,0)、B(0,1)的直线有且只有一个公共点T ,且椭圆的 离心率e= 2 3 。 (Ⅰ)求椭圆方程; (Ⅱ)设F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点,M 为线段AF 2的中点,求证:∠ATM=∠AF 1T 。 解析:(Ⅰ)过 A 、B 的直线方程为 12 x y += 因为由题意得??? ????+-==+1211 2222x y b y a x 有惟一解, 即0)4 1(22222 22 =-+-+ b a a x a x a b 有惟一解, 所以22 2 2 (44)0(0),a b a b ab ?=+-=≠故442 2 -+b a =0; 又因为e 3 c =即 22234 a b a -= , 所以2 2 4a b = ;从而得22 1 2,,2 a b == 故所求的椭圆方程为22212x y += (Ⅱ)由(Ⅰ)得6c = , 所以 1266((F F ,从而M (1+4 6 ,0) 由 ?? ???+-==+1 211222 2x y y x ,解得 121,x x == 因此1(1,)2T = 因为126tan 1-= ∠T AF ,又21 tan =∠TAM ,6 2tan =∠2TMF ,得 12 6 6 1 121 62 tan -= + -= ∠ATM ,因此,T AF ATM 1∠=∠ 3、(2007年)如图,直线y kx b =+与椭圆2 214 x y +=交于A B ,两点,记AOB △的面积为S .
解析几何中的最值问题.
解析几何中的最值问题 解析几何中的最值问题是很有代表性的一类问题,具有题形多样,涉及知识面广等特点。解决这类问题,需要扎实的基础知识和灵活的解决方法,对培养学生综合解题能力和联想思维能力颇有益处。本文通过实例,就这类问题的解法归纳如下: 一、 转化法 例1、 点Q 在椭圆 22 147 x y +=上,则点Q 到直线32160x y --=的距 离的最大值为 ( ) A B C D 分析:可转化为求已知椭圆平行于已知直线的切线,其中距离已知直线较远的一条切线到该直线的距离即为所求的最大值。 解:设椭圆的切线方程为 3 2 y x b =+,与 22 147 x y +=消去y 得 224370x bx b ++-=由?=01272=+-b 可得4(4)b b ==-舍去,与 32160x y --=平行且距离远的切线方程为3280x y -+= 所以所求最大值为d = = ,故选C 二 、配方法 例2、 在椭圆 22 221x y a b +=的所有内接矩形中,何种矩形面积最大? 分析:可根据题意建立关系式,然后根据配方法求函数的最值。 解:设椭圆内接矩形在第一象限的顶点坐标为A (),x y ,则由椭圆对称性,矩形的长为2x ,宽为2y ,面积为4xy ,与 22 221x y a b +=消去 y 得: 22b S x a =?=
可知当x a = 时,max 2S ab = 三、 基本不等式法 例3、 设21,F F 是椭圆14 22 =+y x 的两个焦点,P 是这个椭圆上任一点,则21PF PF ?的最大值是 解: 124PF PF += 由12PF PF +≥得 44 )(2 2121=+≤ ?PF PF PF PF 即21PF PF ?的最大值是4 。 四、 利用圆锥曲线的统一定义 例4 、设点A (-,P 为椭圆22 11612 x y +=的右焦点,点 M 在椭 圆上,当取2AM PM +最小值时,点M 的坐标为 ( ) A (- B (- C D 解:由已知得椭圆的离心率为1 2 e = , 过M 作右准线L 的垂线,垂足为N ,由圆锥曲线的统一定义得 2MN PM = 2AM PM AM MN ∴+=+ 当点M 运动到过A 垂直于L 的直线上时, AM MN +的值最小,此时点M 的坐标为,故选 C 五、 利用平面几何知识 例5 、平面上有两点(1,0),(1,0)A B -,在圆22 (3)(4)4x y -+-=上取一点 P ,求使22 AP BP +取最小值时点P 的坐标。
平面解析几何初步测试题
平面解析几何初步测试题 一、选择题:(包括12个小题,每题5分,共60分) 1.已知直线l 过(1,2),(1,3),则直线l 的斜率( ) A. 等于0 B. 等于1 C. 等于21 D. 不存在 2. 若)0,(),4,9(),2,3(x C B A --三点共线,则x 的值是( ) A .1 B .-1 C .0 D .7 3. 已知A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)两点的连线平行y 轴,则|AB|=( ) A 、|x 1-x 2| B 、|y 1-y 2| C 、 x 2-x 1 D 、 y 2-y 1 4. 若0ac >,且0bc <,直线0ax by c ++=不通过( ) A.第三象限 B.第一象限 C.第四象限 D.第二象限 5. 经过两点(3,9)、(-1,1)的直线在x 轴上的截距为( ) A .23 - B .32- C .32 D .2 6.直线2x-y=7与直线3x+2y-7=0的交点是( ) A (3,-1) B (-1,3) C (-3,-1) D (3,1) 7.满足下列条件的1l 与2l ,其中12l l //的是( ) (1)1l 的斜率为2,2l 过点(12)A ,,(48)B ,; (2)1l 经过点(33)P ,,(53)Q -,,2l 平行于x 轴,但不经过P ,Q 两点; (3)1l 经过点(10)M -,,(52)N --,,2l 经过点(43)R -,,(05)S ,. A.(1)(2) B.(2)(3) C.(1)(3) D.(1)(2)(3) 8.已知直线01:1=++ay x l 与直线221 :2+=x y l 垂直,则a 的值是( ) A 2 B -2 C .21 D .21 - 9. 下列直线中,与直线10x y +-=的相交的是 A 、226x y += B 、0x y += C 、3y x =-- D 、1 y x =-
解析几何大题带规范标准答案
三、解答题 26.(江苏18)如图,在平面直角坐标系xOy 中,M 、N 分别是椭圆1 242 2=+y x 的顶点, 过坐标原点的直线交椭圆于P 、A 两点,其中P 在第一象限,过P 作x 轴的垂线,垂足为C ,连接AC ,并延长交椭圆于点B ,设直线PA 的斜率为k (1)当直线PA 平分线段MN ,求k 的值; (2)当k=2时,求点P 到直线AB 的距离d ; (3)对任意k>0,求证:PA ⊥PB 本小题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能力,满分16分. 解:(1)由题设知,),2,0(),0,2(,2,2--= =N M b a 故所以线段MN 中点的坐标为 ) 22 ,1(- -,由于直线PA 平分线段MN ,故直线PA 过线段MN 的中点,又直线PA 过 坐标 原点,所以 .22122 =-- = k (2)直线PA 的方程2221, 42x y y x =+=代入椭圆方程得 解得 ). 34 ,32(),34,32(,32--±=A P x 因此 于是), 0,32(C 直线AC 的斜率为.032,1323234 0=--=++ y x AB 的方程为故直线
. 32 21 1| 323432|,21=+--=d 因此 (3)解法一: 将直线PA 的方程kx y = 代入 221,42x y x μ+==解得记 则)0,(),,(),,(μμμμμC k A k P 于是-- 故直线AB 的斜率为 ,20k k =++μμμ 其方程为 ,0)23(2)2(),(222222=+--+-= k x k x k x k y μμμ代入椭圆方程得 解得 223 2 2 2 (32) (32)( , ) 222k k k x x B k k k μμμμ++= =-+++或因此. 于是直线PB 的斜率 .1 ) 2(23) 2(2)23(22 2232 22 3 1k k k k k k k k k k k k -=+-++-= ++-+= μμμ 因此.,11PB PA k k ⊥-=所以 解法二: 设)0,(),,(,,0,0),,(),,(11121212211x C y x A x x x x y x B y x P --≠>>则. 设直线PB ,AB 的斜率分别为21,k k 因为C 在直线AB 上,所以 . 2 2)()(0111112k x y x x y k ==---= 从而 1 ) () (212112*********+----?--? =+=+x x y y x x y y k k k k .044)2(1222 1 222122222221222122=--=-+=+--=x x x x y x x x y y
解析几何中的最值问题教案
解析几何中的最值问题 一、教学目标 解析几何中的最值问题以直线或圆锥曲线作为背景,以函数和不等式等知识作为工具,具有较强的综合性,这类问题的解决没有固定的模式,其解法一般灵活多样,且对于解题者有着相当高的能力要求,正基于此,这类问题近年来成为了数学高考中的难关。基本内容:有关距离的最值,角的最值,面积的最值。 二、教学重点 方法的灵活应用。 三、教学程序 1、基础知识 探求解析几何最值的方法有以下几种: (1)函数法(设法将一个较复杂的最值问题,通过引入适当的变量能归为某初等函数(常见)的有二次函数和三角函数)的最值问题,然后通过对该函数单调性和最值的考察使问题得以解决。 (2)不等式法:(常用的不等式法主要有基本不等式等) (3)曲线定义法:利用圆锥曲线的定义刻画了动点与动点(或定直线)距离之间的不变关系,一般来说涉及焦半径、焦点弦的最值问题可以考虑该方法 (4)平面几何法:有些最值问题具有相应的几何意义(如分式最值联想到斜率公式,求平方和最值联想到距离公式等等) (1)函数法 例1、已知P 点在圆()2241x y +-=上移动,Q 点在椭圆2 219 x y +=上移动,试求PQ 的最大值。 分析:两个都是动点,看不出究竟,P 、Q 在什么位置时|PQ|最大 故先让Q 点在椭圆上固定,显然当PQ 通过圆心O 1时|PQ|最大,因此要求|PQ| 的最大值,只要求|OQ|的最大值。 说明:函数法其我们探求解析几何最值问题的首选方法,其中所涉及到的函数最常见的有二次函数等,值得注意的是函数自变量取值范围的考察不易忽视。 例2 在平面直角坐标系xOy 中,点(),P x y 是椭圆2 213 x y +=上的一个动点,求S x y =+的最大值 (2)不等式法
解析几何范围最值问题(教师)解答
讲 解析几何范围最值问题 解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数和建立不等关系,根据目标函数和不等式求最值、 范围,因此这类问题的难点,就是如何建立目标函数和不等关系.建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适 变量,其原则是这个变量能够表达要解决的问题,这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等,要根据 问题的实际情况灵活处理 一、几何法求最值 【例1】 抛物线的顶点 0在坐标原点,焦点在 y 轴负半轴上,过点 M(0,- 2)作直线I 与抛物线相交于 A , B 两点,且满足+= (— 4,— 12). (1)求直线I 和抛物线的方程; (2)当抛物线上一动点 P 从点A 运动到点B 时,求△ ABP 面积的最大值. [满分解答](1)根据题意可设直线I 的方程为y = kx —2,抛物线方程为x 2= — 2py(p > 0). y = kx — 2, 2 由 5 2 得 X + 2pkx — 4p = 0 X = — 2P y , 设点 A(X 1, y 1), B(X 2, y 2),贝 U X 1 + X 2= — 2pk ,力十 y 2= k(x 1 + X 2) — 4 =— 2p k 2— 4. 所以+= (— 4,— 12),所以—2Pk = —4, -2p k 2— 4 =— 12, 解得P = 1 , 故直线I 的方程为y = 2x — 2,抛物线方程为x 2=— 2y. k = 2. ⑵设P (X 0, y o ),依题意,知当抛物线过点 P 的切线与I 平行时,△ ABP 的面积最大. 对 y = — 1x 2 求导,得 y '=— X ,所以一X o = 2, 即卩 X o =— 2, y o = — ^x 0=— 2,即 P( — 2,— 2). 此时点P 到直线I 的距离d =書+简口峙=呼 [y = 2x — 2, 2 由 b 一 2y ,得 x + 4x -4= 0,则 x1 + x2=- 4, x1x2=- 4, |AB|=(1 + k 2 ? p (X 1 + X zf — 4X 1X 2 = 5 + 22 ?寸(—钉-4 ?(-4尸 4^10. 于是,△ ABP 面积的最大值为2x 4 锁 X 4-^5= 8返. 二、函数法求最值 2 2 【示例】在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆C :字+器=1(a >b >0)的离心率e = 点Q(0,2)的距离的最大值为 3. (1)求椭圆C 的方程; n),使得直线I : mx + ny = 1与圆0: x 2+ y 2= 1相交于不同的两点 A 、B , M 的坐标及对应的^ OAB 的面积;若不存在,请说明理由. 2 2 a={3b ,椭圆 C :和 + 器=1,即卩 X 2+ 3y 2= 3b 2, (2)在椭圆C 上,是否存在点 M(m , <△ OAB 的面积最大?若存在,求出点 a ^= (1)由 e = a = ,且椭圆C 上的点到
平面解析几何测试题带答案
1.(本小题满分12分)已知:圆C:x2+y2-8y+12=0,直线l:ax+y+2a=0. (1)当a为何值时,直线l与圆C相切; (2)当直线l与圆C相交于A、B两点,且AB=22时,求直线l的方程. 2.设椭圆ax2+by2=1与直线x+y-1=0相交于A、B两点,点C是AB的中点,若|AB|=22,OC的斜 率为 2 2 ,求椭圆的方程. 3.(本小题满分12分)(2010·南通模拟)已知动圆过定点F(0,2),且与定直线l:y=-2相切. (1)求动圆圆心的轨迹C的方程; (2)若AB是轨迹C的动弦,且AB过F(0,2),分别以A、B为切点作轨迹C的切线,设两切线交点为Q, 证明:AQ⊥BQ . 4.已知圆(x-2)2+(y-1)2=20 3 ,椭圆b2x2+a2y2=a2b2(a>b>0)的离心率为 2 2 ,若圆与椭圆相交于A、B, 且线段AB是圆的直径,求椭圆的方程.
5.已知m 是非零实数,抛物线)0(2:2 >=p px y C 的焦点F 在直线2 :02 m l x my --=上. (I )若m=2,求抛物线C 的方程 (II )设直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点,F AA 1?,F BB 1?的重心分别为G,H. 求证:对任意非零实数m,抛物线C 的准线与x 轴的焦点在以线段GH 为直径的圆外。 6. (本小题满分14分)(2010·东北四市模拟)已知O 为坐标原点,点A 、B 分别在x 轴,y 轴上运动,且|AB | =8,动点P 满足AP u u u r =35 PB u u u r ,设点P 的轨迹为曲线C ,定点为M (4,0),直线PM 交曲线C 于另外一 点Q . (1)求曲线C 的方程; (2)求△OPQ 面积的最大值. 7.(文)有一个装有进出水管的容器,每单位时间进出的水量各自都是一定的,设从某时刻开始10分钟内只进水、不出水,在随后的30分钟内既进水又出水,得到时间x(分)与水量y(升)之间的关系如图所示,若40分钟后只放水不进水,求y 与x 的函数关系.