余姚中学2021年自主招生
浙江省余姚中学2021年自主招生数学模拟试卷
题号 一
二
三
总分
得分
一、选择题（共7题，每题5分，共35分）
1．二次函数2
y ax bx c =++的图像如右图所示，则化简二次根式
22()()a c b c ++-的结果是（ ）
A ．a+b
B ．-a-b
C ．a-b+2c
D ．-a+b-2c
2.有4支队伍进行4项比赛，每项比赛的第一、第二、第三、第四名分别得到5、3、2、1分。
每队的4项比赛得分之和算作总分，如果已知各队的总分不相同，并且其中一队获得了三项比赛的第一名，问总分最少的队伍最多得多少分？（ ）
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
3．已知a 是方程3310x x +-=的一个实数根，则直线1y ax a =+-不经过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4．有一种长方体集装箱，其内空长为5米，高4.5米，宽3.4米，用这样的集装箱运长为 5米，横截面的外圆直径为0.8米的圆柱形钢管，最多能运（ ）根。 A ．20根 B ．21根 C ．24根 D ．25根 5．将5个相同的球放入位于一排的8个格子中，每格至多放一个球，则3个空格相连的概 率是（ ） A ．
328 B ． 528 C ． 356 D ． 556
6．用[x]表示不大于x 的最大整数，则方程[]2
230x x --=的解的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 7.对每个x ，y 是x y 21=,122
3
,232+-=+=x y x y 三个值中的最小值，则当x 变化时，函数y 的最大值是（ ）
A ． 4
B ． 6
C ． 8
D ． 487
二、填空题（共7题，每题5分，共35分） 8. 已知
()
2
1()()4
b c a b c a -=--，且a ≠0,则b c a += 。 9．G 是△ABC 的重心，过G 的直线交AB 于M ，交AC 于N ， 则
BM CN
AM AN
+
= 。
10. 已知a 、b 、c 都是实数，且满足a>b>c,a+b+c=0.那么，
c
a
的取值范围是 。 11.在△ABC 中，AB=AC ，且过△ABC 某一顶点的直线可将△ABC 分成两个等腰三角形， 则各内角的度数为 。 12．对于一切不小于2的自然数n ，关于x 的一元二次方程2
2
(2)20x n x n -+-=的两个根记 作
,n n
a b (n ≥2),则
223311
(2)(2)(2)(2)
a b a b ++
----…
200720071
(2)(2)
a b +
--= 。
13. 设抛物线25
(21)2(4
y x a x a a =++++为常数）
的图象与x 轴只有一个交点，
则186323a a -+= 。
14.如图，E ，F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE=DF ．连接CF 交BD 于
点G ，连接BE 交AG 于点H ．若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是 ．
三、解答题（本题有4小题，共60分）
15. （10分）试求实数k （ k ≠±1），使得方程 2
2
(1)6(31)720k x k x ---+=
的两根都是正整数。
16.（12分）如图1, 矩形铁片ABCD 的长为a 2, 宽为a ; 为了要让铁片能穿过直径为
a 10
89
的圆孔, 需对铁片进行处理 (规定铁片与圆孔有接触时铁片不能穿过圆孔);
(1)如图2, M 、N 、P 、Q 分别是AD 、AB 、BC 、CD 的中点, 若将矩形铁片的四个角去掉,
只余下四边形MNPQ, 则此时铁片的形状是_______________, 给出证明, 并通过计 算说明此时铁片都能穿过圆孔;
(2)如图3, 过矩形铁片ABCD 的中心作一条直线分别交边BC 、AD 于点E 、F(不与端点重合),
沿着这条直线将矩形铁片切割成两个全等的直角梯形铁片;
①当BE=DF=
a 5 1
时, 判断直角梯形铁片EBAF能否穿过圆孔, 并说明理由;
②为了能使直角梯形铁片EBAF顺利穿过圆孔, 请直接写出线段BE的长度的取值范围
17.（14分）喜欢钻研的小亮对75°角的三角函数发生了兴趣，他想：75度虽然不是特殊角，
但和特殊角有着密切的关系，能否通过特殊角的三角函数值求75°的正弦值呢？经研究，他发现：sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°,于是他大胆
猜想：sin(+)=sin cos+cos sin
αβαβαβ（αβ
和为锐角）。将图1（a）等积变形为图1（b）可用于勾股定理的证明，现将这两幅图分别“压扁”成图2（a）和图2（b）。
如图,锐角为α的直角三角形斜边为m，锐角为β的直角三角形斜边为n，请你借助图2（a）和图2（b）证明上述结论能成立。
图2
图1
图3
D
C
B
A
Q
P
N
M D
C
B
A
F
E
Q
D
C
B
A
18.（14分）已知菱形ABCD 的边长为1．∠ADC=60°，等边△AEF 两边分别交边DC 、CB 于点E 、F ．
（1）特殊发现：如图1，若点E 、F 分别是边DC 、CB 的中点．求证：菱形ABCD 对角线AC 、BD 交点O 即为等边△AEF 的外心；
（2）若点E 、F 始终分别在边DC 、CB 上移动．记等边△AEF 的外心为点P ． ①猜想验证：如图2．猜想△AEF 的外心P 落在哪一直线上，并加以证明；
②拓展运用：如图3，当△AEF 面积最小时，过点P 任作一直线分别交边DA 于点M ，交边
DC 的延长线于点N ，试判断DN DM 11
是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请
说明理由．
模拟答卷
班级 姓名 学号
一、选择题（每小题5分，共35分）
二、填空题（每小题6分，共35分）
8． 9． 10．
11． 12． 13．
14．
三、解答题（第15题10分，第16题12分，第17、18每题14分，共50分）
15． 16．
D
C
B A
Q
N
M
D C
B
A
17．
18．
参考答案
一、选择题
1. C
2. B
3. D
4.B
5. A
6. C
7. B
二、填空题
8. 2 ；9. 1；10.
1
-2<<-
2
c
a
；11. （45°、45°、90°）（36°、36°、108°）
（36°、72°、72°）（
180
7
、
540
7
、
540
7
）；12.
1003
4016
-；13.
5796 14.1
5-
三、解答题
15.Ｋ＝２，３，
7
5
16.解：（1）是菱形，
如图，过点M作MG⊥NP于点G，
∵M、N、P、Q分别是AD、AB、BC、CD的中点，
∴△AMN≌△BPN≌△CPQ≌△DMQ，
∴MN=NP=PQ=QM，
∴四边形MNPQ是菱形，
a
a
MN
S
MG
a
a
a
MN
a
S
S MNPQ
ABCD
MNPQ10
89
5
5
2
,
2
5
)
2
1
(
,
2
1
2
2
2<
=
=
∴
=
+
=
=
=
∴能穿过圆孔
（2）①如图，过点A作AH⊥EF于点H，过点E作EK⊥AD于点K
显然AB=a＞a
10
89
，故沿着与AB垂直的方向无法穿过圆孔，
过点A作EF的平行线RS，故只需计算直线RS与EF之间的距离即可，
a
a
a
EF
a
AK
AF
KF
a
DF
AD
AF
a
AB
EK
a
AK
BE
5
89
)
5
8
(
,
5
8
,
5
9
,
,
5
1
2
2=
+
=
=
-
=
∴
=
-
=
=
=
=
=
∵∠AHF=∠EKF=90°，∠AFH=∠EFK，
∴△AHF∽△EKF，a
a
AH
EF
AF
EK
AH
10
89
89
89
9
,>
=
=
∴，∴该直角
梯形铁片不能穿过圆孔；
②a
BE
a
a
BE2
64
89
3
39
64
89
3
39
0<
<
+
-
<
<或
17.
如图2(a)，原来内部的正方形变成了一个平行四边形，m，n为相邻两边，其夹角为α＋β，得它的面积是mnsin(α＋β)（其中m 、n 分别是相邻两个直角三角形斜边的长度）．如图2(b)，原来的两个小正方形变成了两个矩形，其面积之和是msinα·ncosβ＋mcosα·nsinβ．与上面一样，图2(a)与图2(b)中空白部分的面积相等，所以有mnsin(α＋β)＝msinα·ncosβ＋mcosα·nsinβ，化简得sin(α＋β)＝sinαcosβ＋sinαcosβ。
①猜想：外心P一定落在直线DB上．理由如下：
如图2，分别连接PE、PA，过点P分别作PI⊥CD于I，PJ⊥AD于J，
∴∠PIE=∠PJD=90°，
∵∠ADC=60°，
∴∠IPJ=360°-∠PIE-∠PJD-∠JDI=120°，
∵点P是等边△AEF的外心，
∴∠EPA=120°，PE=PA，
∴∠IPJ=∠EPA，
∴∠IPE=∠JPA，
∴△PIE≌△PJA，
∴PI=PJ，
∴点P在∠ADC的平分线上，即点P落在直线DB上；