RS码编码算法
RS 码编码算法
一．RS 编码
对于能够纠正t 个错误的RS （n,k,d ）码，具有如下特征：
1）码长：12n m -=符号或)12(m m -比特
2）信息码元数：t 2n k -=或mk 比特；
3）监督码元数：t 2k n =-符号或)k n (m -比特；
4）最小距离：1k n 1t 2d +-=+=符号或)1k n (m +-比特；
最小距离为d 的本原RS 码的生成多项式为
)x ()x )(x )(x ()x (g 2d 32-α-α-α-α-=
式中的m 是一个任意整数。
令信息元多项式为：
1k 1k 2210x m x m m m )x (m --++++=
二．RS 编码器的类型
1．基于乘法形式的RS 编码器
公式：)x (g )x (m )x (c =
结构图如下：
由上面结构的乘法编码器输出的码字是非系统码。
2．基于除法形式的RS 编码器
（1） 根据生成多项式)x (g 构造的除法编码器。
令
)x (g )
x (r )x (b )x (g )
x (a x k n +=-
剩余多项式)x (r 至少比)x (g 低一次。
1222t 22t 21t 21t 2r x r x r x r x r )x (r +++++=----
则编程的码多项式为
01222n 2n 1n 1n k n c x c x c x c x
c )
x (r )x (a x )x (c +++++=+=-----
具体实现如下图：
（2） 根据校验码多项式)x (h 构造的除法编码器
设校验多项式为：
011k 1k k k h x h x
h x h )x (h ++++=--
系统码的多项式为： 011k n 1k n k n k n 2n 2n 1n 1n c x c x c x c x c x c )x (C +++++++=---------- 它的前k 位系数：k n 2n 1n c ,,c ,c --- 是已知的信息位，而后k n -位系数：012k n 1k n c ,c ,,c ,c ----是需求的校验位。码多项式必是生成多项式)x (g 的背式，所以
)x (g )x (q )x (C = 1k )x (q ,k n )x (g ,1n )x (C -≤?-=?-≤? 而
)x (q x )x (q )1x )(x (q )x (h )x (g )x (q )x (C )x (h n n -=-==
由于
1k )x (q ,k n )x (g ,k n )x (g ,1n )x (C -≤?-=?-=?-≤?
所以n
x )x (q 的最低位次数至少为n 次，而在)x (C )x (h 的乘积中k 2n 1n x ,,x ,x --的次数为0。
1n x -的系数：
k k 1n 111n 001n h c h c h c ------+++
2n x -的系数：
k k 2n 112n 002n h c h c h c ------+++
而
k n ,,2,1,0i 0
h c k 0j j j i n -=∑==--
由于)x (h 为首一多项式，1h k =，故上式可写为
k n ,,2,1i h c c 1k 0j j j i n i k n -=∑-=-=----
上式展开为：
)
h c h c h c (c c )
h c h c h c (c )
h c h c h c (c 1k 111k 0k 0)k n (k n 1k 1k n 13n 02n 2k n 1k k n 12n 01n 1k n ------------------+++-==+++-=+++-=
由上式看出码字C 的第一个码元1k n c --可由k 个信息元k n 2n 1n c ,,c ,c --- 与)x (h 的系数相乘得到，而由1k n k n 3n 2n c ,c ,,c ,c ----- 可得到第二个校验元2k n c --，再由k n 3n c ,,c -- 信息元和第一、第二校验元2k n 1k n c ,c ----可得到第三校验元3k n c --。按这样的线性关系递推，一直可求得所有的k n -个校验元012k n 1k n c ,c ,,c ,c ----。
具体实现如下图：
（3） RS 的时域编码实际例子
RS 码是非二进制码，它是在)q (GF 上的，这里2q ≠。这里我们选用)16(GF 域来进行，域中16个元素可用4bits 符号表示。
例 构造一个能纠正3个错误符号，码长为15，m=4的RS 码。求生成多项式和编码电路。
解：当3t =时，最小码距7D min =，信息元长度9k =。该码为（15，9）RS 码，其生成多项式为：
69263441451066
5432a x a x a x a x a x a x a x )(a x )(a x )(a x )(a x )(a x ()x (g ++++++=++++++=
由分圆多项式多项式：
)1x x )(1x x ()x (g 4
2++++= )16(GF a ∈是本原域元素，它是多项式1x x 4++的根，则
01a a 4=++
或 1a a 4
+=
以1x x 4++为模的)2(GF 4的元素如下表：
)2(GF 4中每个元素都可表示成它的自然基地32a ,a ,a ,1（在域)2(GF 上）的线性组合，如下形式：
012
233a a a a a a a +++
因此在)2(GF 4上的42进制RS 码，它的编码电路可用k 或k n -级42进制寄存器实现。本例是用6k n =-级乘法器电路实现，如下图。图中的移位积存器必须是由能积存16进制的元件组成，这可用4级触发器组成的移存器完成。9641410a ,a ,a ,a ,a 常乘器可用模2
加法器构成。
在域)2(GF 4上的系数9
641410a ,a ,a ,a ,a 可用自然基地表示为如下形式： )a a (a )a a a (a )a a a a (a )a a a ()1a a (a )a a a (a )1a a a (a )1a a (a a a a a a a a a )a a a a a a a (a 020122012331232023123223310
011112213301223310+++++++++++=++++++++++++=+++=+++
)
a a (a a a a a a a a a a a a a )a a a a a a a (a 012233014
15116217301223314++++=+++=+++
)
a a (a )a a a (a )a a (a )a a ()
1a (a )a a (a )a a (a )1a a (a a a a a a a a a )a a a a a a a a (a 03013212323021232334
051627300122334++++++++=++++++++=+++=+++
)a a (a )a a a (a )a a (a )a a a ()
a a (a )1a a (a )1a (a )a a (a a a a a a a a a )a a a a a a a (a 1201320230132303122336
07182930122336+++++++++=++++++++=+++=+++
)a a (a )a a a a (a )a a a (a )a a a ()a a (a )1a a (a )a a a (a )1a a a (a a a a a a a a a )a a a a a a a (a 1301232123302330212322339
01011121230122339+++++++++++=+++++++++++=+++=+++
)2(GF 4中乘10a 的转换电路如下表示：
)a a (a )a a a (a )a a a a (a )a a a ()
a a a a a a a (a 0201220123312301223310+++++++++++=+++
式中：1233a a a 'a ++= 01232a a a a 'a +++= 0121a a a 'a ++= 020a a 'a +=
电路中乘1014a )2(GF
)2(GF 4中乘14a 的转换电路如下表示：
233a a 'a += 122a a 'a +=
0131a a a 'a ++= 010a a 'a +=
电路
中乘1414a )2(GF
)2(GF 4中乘4a 的转换电路如下表示：
03a 'a = 32a 'a =
21a 'a = 030a a 'a +=
电路中乘1414a )2(GF
)2(GF 4中乘6a 的转换电路如下表示：
0133a a a 'a ++= 022a a 'a +=
0131a a a 'a ++= 120a a 'a +=
电路中乘614a )2(GF
)2(GF 4中乘9a 的转换电路如下表示：
0233a a a 'a ++= 1232a a a 'a ++=
01231a a a a 'a ++=+ 130a a 'a +=
电路中乘914a )2(GF
]7,9,15[RS 编码器具体实现电路如下图所示：
工作过程如下：
（1） 门打开，开关拨到符号输入端，所有移存器清0。然后将6个16进制信息符号，一边送入移存器，一边送入信道。注意每一节拍移动一个16进制符号。
（2） 6个16进制符号送入移存器后，完成除法运算，移存器中的就是余式。此时，门关闭，开关拨到下面。再经过6个节拍的移动，得到所有6个校验元，并且跟随信息元送入信道，完成一个码字的编码过程。
（3） 清洗积存器，打开门，开始第二组信息元的编码。
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