简单证明辗转相除法的原理
简单证明辗转相除法的原理
1.解析：
8251＝6105＋2146,为了表示简单,我就用a=b+c表示这个吧
于是有c=a-b
那么如果有d|a,且d|b,就必然有d|a-b,也就是d|c,
（d|a表示：d为a的约数）
可见a和b的公约数必然也是c的约数.
现在假设d是a和b的最大公约数,那么d也必然是c的约数,于是d是b,c的公约数,现在就要证明它是最大公约数：
2.证明：
因为a=b+c,于是b,c的公约数也必然是a的约数,假设(b,c)=e, （(b,c)=e表示e为b和c的最大公约数）那么有e|b+c,即e|a 根据"d是b,c的公约数"知道d|e，,
又因为e也是a,b的公约数,e|d,综上有e=d
可见(a,b)=(b,c)=d
（这个思想一推广,就成了辗转相除法了）
托勒密定理圆的其它定理
托勒密定理 定理图 定理的内容托勒密(Ptolemy)定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等 于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质． 定理提出 定理的内容。 摘出并完善后的托勒密(Ptolemy)定理指出，圆的内接凸四边形两对对 边乘积的和等于两条对角线的乘积。 定理表述：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。 从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质． 定理内容 指圆内接两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。 证明 一、（以下是推论的证明，托勒密定理可视作特殊情况。） 在ABCD中(如右图)，作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ ACD,连接DE. 则△ABE∽△ACD 所以 BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD (1)
由△ABE∽△ACD得AD/AC=AE/AB,又∠BAC=∠EAD, 所以△ABC∽△AED. BC/ED=AC/AD,即ED·AC=BC·AD (2) (1)+(2),得 AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC 又因为BE+ED≥BD （仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”） 复数证明 用a、b、c、d分别表示四边形顶点A、B、C、D的复数，则AB、CD、AD、BC、AC、BD的长度分别是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。首先注意到： (a?b)(c?d) + (a?d)(b?c) = (a?c)(b?d) ，两边取，运用得。等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。四点不限于同一。平面上，托勒密不等式是三角不等式的形式。 二、 设ABCD是。在BC上，∠BAC = ∠BDC，而在AB上，∠ADB = ∠ACB。在AC上取一点K，使得∠ABK = ∠CBD；因为∠ABK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD，所以∠CBK = ∠ABD。因此△ABK与△DBC，同理也有△ABD ~ △KBC。因此AK/AB = CD/BD，且CK/BC = DA/BD；因此AK·BD = AB·CD，且CK·BD = BC·DA；两式相加，得(AK+CK)·BD = AB·CD + BC·DA；但AK+CK = AC，因此AC·BD = AB·CD + BC·DA。证毕。 三、 托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)．已知：圆内接四边形ABCD，求证：AC·BD=AB·CD+AD·BC．证明：如图1，过C作CP交BD于P，使∠1=∠2，又∠3=∠4， ∴△ACD∽△BCP．得AC：BC=AD：BP，AC·BP=AD·BC ①。又∠ACB=∠DCP，∠5=∠6，∴△ACB∽△DCP．得AC：CD=AB：DP，AC·DP=AB·CD ②。①+②得AC(BP+DP)=AB·CD+AD·BC．即AC·BD=AB·CD+AD·BC．
§1.2 最大公约数与辗转相除法
§2 最大公约数与辗转相除法 一、有关概念 1、定义：123,,,...,n a a a a 的公因数， ()123,,,...,n a a a a 及()123,,,...,1n a a a a = 2、说明：1公因数不可能是0；1是必然的公因数； 2 0与非零数b 的公因数就是b 的因数； 3两两互质与互质的关系； 4 (,)(,)a b b a = 5(0,)b b = ； (1,)1b = 6若(,)a b b =，则b ∣a 7若12(,)1a a =，则()123,,,...,1n a a a a = 3、定理：123,,,...,n a a a a 与123,,,...,n a a a a 相同的公因数。 ? ()123,,,...,n a a a a =123(,,,...,)n a a a a 4、求最大公因数的方法： 1观察法； 2短除法；3辗转相除法。
二、辗转相除法 定理1：设,,a b c 是不全为0的整数，且a bq c =+，q 为整数 则（1）,a b 与,b c 有相同的公因数； （2）()(),,a b b c = 定理2：设,a b 为正整数，则(),n a b r = 推论：,a b 的公因数与(),a b 的因数相同。 例1 证明:当n N +∈时， 143 214 n n ++为既约的真分数。 例2 求()1859,1573-及()169,121 例3 某数除193余4，除1087余7，求符合要求的最大整数。 例4 某数除300，262，205余数相同，求这个数。 三、最大公因数的性质 1、()(),,am bm a b m m =为正整数 2、() ,,a b a b δδδδ?? = ??? 为,a b 的公因数 3、()(),1,,a b a b a b ??= ? ??? 4、设()122,a a d =， ()233,d a d =，()1,n n n d a d -= 则()123,,,n n a a a a d = 例5 设(),1a b = ，求(),a b a b +-
辗转相除法求最大公约数和最小公倍数及其c语言实现
又名欧几里德算法（Euclidean algorithm）乃求两个正整数之最大公因子的算法。它是已知最古老的算法, 其可追溯至3000年前。 在数学中，辗转相除法，又称欧几里得算法，是求最大公约数的算法。辗转相除法首次出现于欧几里得的《几何原本》（第VII卷，命题i 和ii）中，而在中国则可以追溯至东汉出现的《九章算术》。 两个整数的最大公约数是能够同时整除它们的最大的正整数。辗转相减法基于如下原理：两个整数的最大公约数等于其中较小的数和两数的差的最大公约数。例如，252和105的最大公约数是21（252 = 21 ×12；105 = 21 × 5）；因为252 ? 105 = 147，所以147和105的最大公约数也是21。在这个过程中，较大的数缩小了，所以继续进行同样的计算可以不断缩小这两个数直至其中一个变成零。这时，所剩下的还没有变成零的数就是两数的最大公约数。由辗转相除法也可以推出，两数的最大公约数可以用两数的整数倍相加来表示，如21 = 5 ×105 + (?2) × 252。这个重要的等式叫做贝祖等式。 简单的想法 设两数为a、b(a>b)，b最大公约数(a，b)的步骤如下： 用b除a，得a=bq......r1(0≤r1)。若r1=0，则(a，b)=b； 若r1≠0，则再用r1除b，得b=r1q......r2 (0≤r2).若r2=0，则(a，b)=r1， 若r2≠0，则继续用r2除r1,……如此下去，直到能整除为止。其最后一个非零除数即为(a，b)。
设两数为a、b(b 托勒密定理 托勒密(Ptolemy)定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质． 证明 一、（以下是推论的证明，托勒密定理是其中一种特殊情况） 在任意凸四边形ABCD中，作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ACD,连接DE. 则△ABE∽△ACD 所以BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD (1) 由△ABE∽△ACD得AD/AC=AE/AB,又∠BAC=∠EAD, 所以△ABC∽△AED. BC/ED=AC/AD,即ED·AC=BC·AD (2) (1)+(2),得 AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC 又因为BE+ED≥BD （仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”） 二．复数证明 用a、b、c、d分别表示四边形顶点A、B、C、D的复数，则AB、CD、AD、BC、AC、BD的长度分别是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。首先注意到复数恒等式：(a? b)(c? d) + (a? d)(b? c) = (a? c)(b? d) ，两边取模，运用三角不等式得。等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。四点不限于同一平面。平面上，托勒密不等式是三角不等式的反演形式。 1.任意凸四边形ABCD，必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC，当且仅当ABCD四点共圆时取等号。 2.托勒密定理的逆定理同样成立：一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，则这个凸四边形内接于一圆、 托勒密不等式：凸四边形的两组对边乘积和不小于其对角线的乘积，取等号当且仅当共圆或共线。 简单的证明：复数恒等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)，两边取模，得不等式AC·BD≤|(a-b)(c-d)|+|(b-c)(a-d)|=AB·CD+BC·AD 广义托勒密定理：设四边形ABCD四边长分别为a,b,c,d,两条对角线长分别为m,n，则有： m^2*n^2=a^2*c^2+b^2*d^2-2abcd*cos(A+C) 1.等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。 2.四点不限于同一平面。 欧拉定理：在一条线段上AD上，顺次标有B、C两点，则AD·BC+AB·CD=AC·BD Pure Mathematics 理论数学, 2019, 9(8), 949-960 Published Online October 2019 in Hans. https://www.360docs.net/doc/eb4823721.html,/journal/pm https://https://www.360docs.net/doc/eb4823721.html,/10.12677/pm.2019.98121 Tait’s Conjecture Continue —The Proof of the Four-Color Theorem Wenzhen Han Jincheng Energy Co. Ltd., Jincheng Shanxi Received: Sep. 30th, 2019; accepted: Oct. 22nd, 2019; published: Oct. 29th, 2019 Abstract The four-color theorem also known as the four-color conjecture or the four-color problem is one of the world’s three largest mathematical conjecture. Although it has been proved on computer, which owes to its powerful computing ability, after all, it isn’t strictly reasoned mathematically. Lots of math enthusiasts devote themselves to studying the problem around the globe. In this pa-per, the new concepts of two-color dyeable continuous line are put forward. A new method is used to prove that the 3-coloring of 3-regular planar graph lines is equivalent to the 4-coloring of maximal graph points. It is also proved that the 3-coloring of 3-regular planar graph lines is in-evitably possible. Thus, a universal four-color coloring method for vertices of any maximal graph is given. Keywords Four Colors Enough, Two-Color Dyeable Continuous Line, 3-Regular Plane, Maximum Graph, Even Ring Elimination Method 泰特猜想的延续 ——四色定理的书面证明 韩文镇 晋城能源有限责任公司，山西晋城 收稿日期：2019年9月30日；录用日期：2019年10月22日；发布日期：2019年10月29日 摘要 四色定理，又称四色猜想、四色问题，是世界三大数学猜想之一。计算机证明虽然做了百亿次判断，终 四色猜想的证明 吴道凌 （广东省广州市，510620） 摘要：四色猜想至今未得到书面证明。根据其定义的国家概念和着 色要求，揭示了无限平面或球面上任意国家及其邻国的构成和着色规 律，从而给四色猜想一个书面证明。 关键词：四色；猜想；证明；国家；着色 中图分类号：O157.5 文献标识码：A 1852年，英国学者弗南西斯·格思里(Francis Guthrie)提出，“每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色”，这就是后来数学上著名的四色猜想。对此猜想，一百多年来曾有无数学者予以研究，但人工验证均无功而返。1976年，美国数学家阿佩尔(Kenneth Appel)和哈肯(Wolfgang Haken)利用电子计算机，作了大量判断，对四色猜想进行了机器证明，但这一证明不能由人工直接验证，人们必须对计算机编译的正确性以及运行这一程序的硬件设备充分信任，因此并不被人们普遍接受。 本文拟根据四色猜想定义的国家概念和着色要求，研究无限平面或球面上国家的构成及其着色规律，寻找对四色猜想的书面证明。 1 四色猜想相关定义及表述方法 四色猜想所指的国家，是指连续的区域，可为单连通区域，也可为多连通区域，不连续的区域不属一个国家。共同边界指相邻国家有无数个共同点，四个或四个以上的国家不交于一点，或者说，这种交点不认为是共同边界， 只有这种交点的国家不需区分着色。 四色猜想并未限制地图范围，地图可定义在球面或无限平面 上。在球面上的任何国家，将存在一个外边界，由一条简单闭曲线 构成，在无限平面上的国家，一般也由一条简单闭曲线构成外边界， 个别国家也许在某些区间不存在边界（即区域无限延伸），其外边 界将由若干段曲线构成，对于这种情况，我们可在其无限远处虚拟 若干个国家若干段边界，与实在的若干段边界构成一条简单闭曲线 边界，这种做法实际上提高了这些国家的着色要求，因此不影响本 命题的论证。如为单连通区域，国家里边将不存在内边界，如为多 连通区域，国家里边将存在若干由简单闭曲线构成的内边界。因此，为使命题具有普遍性，把国家定义为具有一个外边界和若干内边界的区域，每 一边界均为该国与若干邻国的共同边界构成的简单闭曲线，如图1 示。下面把构成一条这种共同边界闭曲线的若干邻国称为一个邻国 圈。 用小圆圈表示邻国，两国相邻时，用线条连接两个小圆圈， 一个邻国在共同边界多处出现时，各处分别用小圆圈表示，并用线 条连接各处表示连通。把一个国家表示为由其若干邻国圈构成的闭 合圈围闭的区域，如图2示。其中，外闭合圈之外，一些邻国可能 跨越闭合圈上的一个或多个邻国与其它一个或多个邻国相邻，一些 邻国也可能多处出现在闭合圈上，这些情况将使闭合圈外存在若干 辗转相除算法的简介 在数论中，辗转相除法（国际上一般称为Euclidean Algorithm 或Euclid's Algorithm，即欧几里得算法）是一种求任意两个欧几里得环（Euclidean Domain）中的单位（如：整数）的最大公约数的算法。这个算法的一个重要特点就是其不需要通过分解因式来求取最大公约数。辗转相除法正因为其易操作性与易实现性而成为了计算机编程中的一个重要的求最大公约数的常用算法。 辗转相除法的过程描述与应用 给出两个自然数a 和b：检查b是否为0；如果是，则a为最大公约数。如果不是，则分别用b和a 除b的余数作为上一步中的 a 和 b重复这一检查步骤。 正如上面所提到的，辗转相除法是编程中求最大公约数的常用算法，那么下面就是一个C++中通过递归实现辗转相除法的程序段范例： [cpp]view plaincopy 1.int gcd(int a, int b) 2.{ 3.return b == 0 ? a : gcd(b, a % b); 4.} 注：过程名设为gcd是为了更明显的标明这段程序的意图。因为gcd 是greatest common divisor （最大公约数）的缩写。再编写辗转相除法求最大公约数的过程是，最好将其命名为gcd 以方便他人日后阅读。 辗转相除法的证明 设两数为a、b(a > b)，求它们最大公约数的步骤如下： 设q = a / b，r = a % b, 得a＝bq＋r（0≤r＜b）。 1)若r = 0, 则b是a和b的最大公约数。 2)若r≠0,则继续考虑。首先，应该明白的一点是任何a 和b 的公约数都是r 的公约数。要想证明这一点，就要考虑把r 写成r=a-bq。现在，如果a 和b 有一个公约数d，而且设a=sd , b=td, 那么r = sd-tdq = (s-tq)d。因为这个式子中，所有的数（包括s-tq )都为整数，所以r 可以被d 整除。对于所有的d 的值，这都是正确的；所以a 和b 的最大公约数也是b 和r 的最大公约数。因此我们可以继续对b 和r 进行上述取余的运算。 《辗转相除法》教学设计 一．教材分析 本节课是人教版必修三第一章《算法初步》第三节《算法案例》的第一课时，作为案例课，在整章中既是算法的总结，又是一个提升。教材突出了数学的人文价值，又为学生提供了探索算法的平台。二．学情分析 本节课的教授对象是高一学生，他们已经具备一定的数学基础和编程能力，已经掌握了用短除法求最大公约数的方法。现在学习辗转相除法，学生能够掌握辗转相除法的步骤，但是在具体做法的理解上并不到位，需要合作探究。 三．教学目标 1. 知识与技能目标： （1）理解辗转相除法的原理，能用辗转相除法求两正整数的最大公约数； （2）能读懂辗转相除法的程序框图，并能写出对应的程序语句。 2. 过程与方法目标：在学习辗转相除法的过程中，对比短除法，体会辗转相除法的优势，及其体现的化归思想。 3. 情感态度价值观： （1）通过辗转相除法的应用，提升计算能力，提高运算准确性。（2）通过程序的实际操作来体会算法的实用性、便捷性和高效性。四．教学重点和难点 1. 重点：辗转相除法的步骤及算法的理解。 2. 难点：辗转相除法的原理的理解，及辗转相除法的算法的理解。 五．预设问题：如何理解辗转相除法的原理。 六．预习反馈：1.为什么除数与余数的公约数也是被除数与除数的公约数？（1、2、6、8、9组） 2.为什么最后一步的除数为最大公约数？（1、3、6、8组） 3.怎样理解辗转相除法的算法？（3、5、11组） 七．教学课时：1课时 八．教学方法：依据“大三步”教学模式，以问题及问题链为主线，调动学生的学习积极性，使学生真正参与到课堂中，通过小组合作探究，充分的展示自己。 九．教学手段：利用多媒体辅助教学，可以降低学生的学习难度、增加课堂容量。 十．教学过程 （一）创设情景，引入课题 1.首先提出问题：在小学，我们已经学过求最大公约数的知识，你能求出18与24的公约数吗？ 2.进一步提出问题，如果用短除法求6757 与8729的最大公约数，可不可以行，方不方便？如果公约数比较大而且根据我们的观察又不能得到一些公约数，我们又应该怎样求它们的最大公约数？ （二）展示反馈问题 1.为什么除数与余数的公约数也是被除数与除数的公约数？ 简洁破解四色猜想 ——“1+3”证明与“3+1”充要条件模型证明—— 李传学 四色猜想与费马猜想、哥德巴赫猜想，是数学界三大难题。本文利用“1+3”、“3+1”链锁思维方式，并结合计算机逻辑判断方式，给予地球四色猜想的有、且只有数学方法与应用方法的两种证明。并在实践中，使链锁着色，直至组成四色猜想的（△）网状平面整（总）体地图。 一、四色猜想简洁证明的提出。 随着计算机运算速度的加快、人机对话智能的出现，极大加快了对四色猜想研究、证明的步伐。1976年6月，美国哈肯与阿佩尔编制程序，利用1200个小时，分别在两台计算机上，作了100亿次判断，终于完成了四色猜想的证明。到目前为止，仍是世界上唯一被认可的证明方法。但是，由于计算机证明方法过程深长，不符合人的逻辑思维判断过程，缺乏简洁性，无法令人信服。 二、“四色”是地球“四方八位”的客观存在。 “四方八位”是个动态概念，存在于“天、地、人合一”的地球万物运动的整个过程中。同样，数学界三大难题之一的四色猜想，也离不开这一客观规律。 地球，蕴育了万物。天圆地方、“四方八位”、四面八方、东西南北、五湖四海是人类认识地球的思维方式。远在史前人类整体文明时期，就有文物记载了地球上有关“四方八位”的许多概念。如半坡人鱼盆、人网盆、含山玉版、澄湖陶罐、八角星陶豆、良渚陶璧、古埃及金字塔，以及其他图形、符号记载的伏羲八卦图、彝族八卦图、河图、洛书、五行属性，也都应用了“四方八位”概念。 四色绚丽的地球生生不息，是“天人合一”的赋予。地球的天圆地（四）方是阴阳学说的核心和精髓，又是阴阳学说的具体体现，具有朴素的辩证法色彩，是古代人类认识世界的思维方式。 阴阳五行中的五色、四方位：即，木有青、东，金有白、西，火有红、南，水有黑、北，土有黄、中，以及罗盘定位、经纬仪、四季、纳米四大光波（红、蓝、绿、黄）、四色光谱仪都与地球上的“四方八位”寓意紧密相关。当然，“四色猜想”也不例外，也只能有、且只有在地球图上的客观存在。 三、四色猜想的数学语言定义。 任何一张平面地图，只要用四种不同颜色就能使具有共同边界的国家，着上不同颜色，称之为四色猜想。 四色猜想的数学语言定义：将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一区域总可以用1、2、3、4这四个数字之一来进行标记，且不会使相邻的两个区域得到相同的数字。这里的相邻区域，是指有一整段（非点）边界是公共的边界（注：据网络“科普中国”）。 四、四色猜想的数学证明。 托勒密定理Last revision on 21 December 2020 托 勒密定理 【定理内容】 圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和． 即：若四边形ABCD 内接于圆， 则有BD AC BC AD CD AB ?=?+?. [评]等价叙述：四边形的两组对边之积的和 等于两对角线 之积的充要条件是四顶点共圆。 【证法欣赏】 证明：如图，过C 作CP 交BD 于P ，使21∠=∠, ∵43∠=∠,∴ACD ?∽BCP ?, ∴ BP AD BC AC = ，即AD BC BP AC ?=? ① 又DCP ACB ∠=∠，65∠=∠，∴ACB ?∽DCP ?, ∴ DP AB DC AC = ，即DC AB DP AC ?=? ② ∴①＋②得：DC AB AD BC DP BP AC ?+?=+?)( 即BD AC BC AD CD AB ?=?+? 【定理推广】 托勒密定理的推广： 在四边形ABCD 中，有BD AC BC AD CD AB ?≥?+?；当且仅当四边形ABCD 内接于圆时，等式成立。 [证] 在四边形ABCD 内取点E ，使CAD BAE ∠=∠，ACD ABE ∠=∠ 则ABE ?∽ACD ? ∴ AD AE CD BE AC AB ==， ∴BE AC CD AB ?=?； ∵ AD AE AC AB =，且EAD BAC ∠=∠ C D A B E B C D ∴ABC ?∽AED ? ∴ AD ED AC BC = ，即ED AC BC AD ?=?； ∴)(ED BE AC BC AD CD AB +?=?+? ∴BD AC BC AD CD AB ?≥?+? 当且仅当E 在BD 上时“=”成立， 即四点共圆时成立；、、、当且仅当D C B A 【定理推广】 托勒密定理的推论： 等腰梯形一条对角线的平方等于一腰的平方加上两底之积． 即：若四边形ABCD 是等腰梯形，且BC AD //， 则BC AD AB AC ?+=22. 分析：因为等腰梯形必内接于圆，符合托勒密定理的条件，其对角线相等，两腰相等，结论显然成立。 【定理应用】 【例1】 如图，P 是正ABC ?外接圆的劣弧BC 上任一点(不与B 、C 重合)， 求证：PC PB PA +=． 证明：由托勒密定理得： ∵CA BC AB == ∴PC PB PA +=. [注]此例证法甚多，如“截长”、“补短”等，详情参看《初中 数学一 题多解欣赏》． 【定理应用】 【例2】 证明“勾股定理”： 已知：在ABC Rt ?中，?=∠90B ， 求证：222BC AB AC +=。 证明：如图，以ABC Rt ?的斜边AC 为对角 B C 第三讲 托勒密定理及其应用 托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)． 即：；内接于圆，则有： 设四边形BD AC BC AD CD AB ABCD ?=?+? ；内接于圆时，等式成立并且当且仅当四边形中，有：定理：在四边形ABCD BD AC BC AD CD AB ABCD ?≥?+? 一、直接应用托勒密定理 例1 如图2，P 是正△ABC 外接圆的劣弧上任一点 (不与B 、C 重合)， 求证：PA=PB ＋PC ． 分析：此题证法甚多，一般是截长、补短，构造全等三角形，均为繁冗． 若借助托勒密定理论证，则有PA ·BC=PB ·AC ＋PC ·AB ， ∵AB=BC=AC ． ∴PA=PB+PC ． 二、完善图形 借助托勒密定理 例2 证明“勾股定理”： 在Rt △ABC 中，∠B=90°，求证：AC 2=AB 2＋BC 2 四点共圆时成立； 、、、上时成立，即当且仅当在且等号当且仅当相似 和且又 相似 和则：，，使内取点证：在四边形D C B A BD E BD AC BC AD CD AB ED BE AC BC AD CD AB ED AC BC AD AD ED AC BC AED ABC EAD BAC AD AE AC AB BE AC CD AB CD BE AC AB ACD ABE ACD ABE CAD BAE E ABCD ?≥?+?∴+?=?+?∴?=??=∴??∴∠=∠=?= ??=∴??∠=∠∠=∠)( 证明：如图，作以Rt△ABC的斜边AC为一对角线的矩形ABCD，显然ABCD是圆内接四边形．由托勒密定理，有 AC·BD=AB·CD＋AD·BC．① 又∵ABCD是矩形， ∴AB=CD，AD=BC，AC=BD．② 把②代人①，得AC2=AB2＋BC2． 例3如图，在△ABC中，∠A的平分线交外接∠圆于D，连结BD，求证：AD·BC=BD(AB＋AC)．证明：连结CD，依托勒密定理， 有AD·BC＝AB·CD＋AC·BD． ∵∠1=∠2，∴BD=CD． 故AD·BC=AB·BD＋AC·BD=BD(AB＋AC)． 三、构造图形借助托勒密定理 例4若a、b、x、y是实数，且a2＋b2=1，x2＋y2=1． 求证：ax＋by≤1． 证明：如图作直径AB=1的圆，在AB两边任作Rt△ACB和Rt△ADB， 使AC＝a，BC=b，BD＝x，AD＝y． 由勾股定理知a、b、x、y是满足题设条件的． 据托勒密定理，有AC·BD＋BC·AD=AB·CD． ∵CD≤AB＝1，∴ax＋by≤1． 四、巧变原式妙构图形，借助托勒密定理 例5已知a、b、c是△ABC的三边，且a2=b(b＋c)，求证：∠A=2∠B． 分析：将a2=b(b＋c)变形为a·a=b·b＋bc，从而联想到托勒密定理，进而构造一个等腰梯形，使两腰为b，两对角线为a，一底边为c． 证明：如图，作△ABC的外接圆，以A为圆心，BC为半径作弧交圆于D，连结BD、DC、DA．∵AD=BC， 算法案例——辗转相除法 育才中学潘敏 一、教材分析 选自苏教版普通高中课程标准实验教科书必修3第一章第4节。 1、地位作用： 与传统教学内容相比，《算法初步》为新增内容，算法是计算机科学的重要基础，从日常生活的电子邮件发送到繁忙的交通管理，从与人们生产、生活息息相关的天气预报到没有硝烟的战争模拟等等都离不开计算机算法。算法思想已经渗透到社会的方方面面，算法思想也逐渐成为每个现代人应具有的数学素养。 在以前的学习中，虽然没有出现算法这个名词，但实际上在数学教学中已经渗透了大量的算法思想，如四则运算的过程，求解方程的步骤，以及将要学习的数列求和等等，完成这些工作都需要一系列程序化的步骤，这就是算法思想。 本节内容是探究古代算法案例――辗转相除法，巩固算法三种描述性语言（自然语言、流程图和伪代码），提高学生分析和解决问题的能力。 2、教学目标： （1）知识目标： ①理解辗转相除法原理； ②能用自然语言、流程图和伪代码表达辗转相除法； ③能应用迭代算法思想。 （2）能力目标： ①培养学生把具体问题抽象转化为算法语言的能力； ②培养学生自主探索和合作学习的能力。 （3）情感目标： ①使学生进一步了解从具体到抽象，抽象到具体的辨证思想方法，对学生进行辨证唯物主义教育； ②创设和谐融洽的教学氛围和阶梯形问题，使学生在活动中获得成功感，从而培养学生热爱数学、积极学习数学、应用数学的热情。 3、教学重点与难点： （1）教学重点： ①理解辗转相除法原理； ②能用自然语言、流程图和伪代码表达辗转相除法。 （2）教学难点： ①理解和区分两种循环结构表达辗转相除法； ②能应用迭代算法思想。 二、教法学法 1、教法：以问题为载体，有引导的对话，让学生经历知识的形成过程和发展过程，从而突出教学重点，并采用多媒体教学，增加课堂容量，有利于学生活动的充分展开。 2、学法：以观察、讨论、思考、分析、动手操作、自主探索、合作学习多种形式相结合，引导学生多角度、多层面认识事物，突破教学难点。 第三章 托勒密定理及应用 【基础知识】 托勒密定理 圆内接四边形的两组对边乘积之和等于两对角线的乘积． 证明 如图3-1，四边形ABCD 内接于O ，在BD 上取点P ，使P A B C A D =∠∠，则△ABP ∽△ACD ， 于是 A 图3-1 AB BP AB CD AC BP AC CD =??=?． 又ABC △∽△APD ，有BC AD AC PD ?=?． 上述两乘积式相加，得 AB CD BC AD AC BP PD AC BD ?+?=+=?（）． ① 注 此定理有多种证法，例如也可这样证：作AE BD ∥交o 于E ，连EB ，ED ，则知BDAE 为等腰梯形，有EB AD =，ED AB =，ABD BDE θ==∠∠，且180E B C E D C +=?∠∠，令BAC ?=∠，AC 与 BD 交于G ，则 111 sin sin()sin 222 ABCD S AC BD AGD AC BD AC BD EDC θ?=??=??+=??∠∠， 11 sin sin 22 EBCD EBC ECD S S S EB BC EBC ED DC EDC =+=??+??△△∠∠ ()()11 sin sin 22 EB BC ED DC EDC AD BC AB DC EDC =?+??=?+??∠∠． 易知 A B C D E B C S S =，从而有AB DC BC AD AC BD ?+?=?． 推论1（三弦定理） 如果A 是圆上任意一点，AB ，AC ，AD 是该圆上顺次的三条弦，则 sin sin sin AC BAD AB CAD AD CAB ?=?+?∠∠∠． ② 事实上，由①式，应用正弦定理将BD ，DC ，BC 换掉即得②式． 推论2（四角定理） 四边形ABCD 内接于O ，则sin sin sin sin ADC BAD ABD BDC ?=?∠∠∠∠ sin sin ADB DBC +?∠∠． ③ 事实上，由①式，应用正弦定理将六条线段都换掉即得③式． 直线上的托勒密定理（或欧拉定理） 若A ，B ，C ，D 为一直线上依次排列的四点，则AB CD BC AD AC BD ?+?=?． 注 由直线上的托勒密定理有如下推论：若A ，B ，C ，D 是一条直线上顺次四点，点P 是直线AD 外一点，则 sin sin sin sin sin sin APB CPD APD BPC APC BPD ?+?=?∠∠∠∠∠∠． 事实上，如图3-2，设点P 到直线AD 的距离为h ， 数学知识点滴1.辗转相除法证明; 2.分数加法教学设计： 3.分数的意义： 4.阿拉伯数字最早起源于印度，在公元前500年，印度人就已经开始使用了，大约在8世纪前后才传到阿拉伯，9世纪阿拉伯人开始使用阿拉伯数字，大约在1100年由阿拉伯人传到欧洲，因此欧洲人称它为阿拉伯数字。阿拉伯数字传到中国是13世纪以后，1892年才在我国正式使用。 5.约分 “可半者半之，不可半者，副置分母，子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等相约之。”（吴文俊，1998a，p。58） 这种约分方法的具体思路是：首先判断分子与分母，如果都是偶数，就把分子分母分别除以2。如果是奇数，就把分子与分母相减（大减小），如果差与减数相等，差就是分子与分母 的最大公约（因）数，如果不相等，就把所得的差与减数再相减（大减小），这样一直减下去，直到新的差与新的减数相等为止，这个新的差就是原来分子与分母的最大公约数。（更相减损法） 6.分数除法 其一，被除数，除数之一含分数，另一个是整数，就先通分，后把被除数与除数的分子相除，如“方田”章第17题解题过程如下 813 ÷7=253 ÷7=8×3+13 ÷7×33 =(8×3+1)÷(7×3)=1421 其二，被除数，除数都含分数，就同时通分，后把被除数与除数的分子相除，如“方田”章第18题解题过程如下 （6+13 +34 )÷313 =6×12+4×1+3×312 ÷ (3×3+1)×412 =(6×12+4×1+3×3)÷【（3×3+1）×4】=218 这种计算方法虽然比我们现在用的“颠倒相乘法”麻烦，但是更容易理解。 托勒密定理 内容：指圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。 证明： 在任意凸四边形ABCD中(如右图)，作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ ACD,连接DE. 则△ABE∽△ACD ∴BE/CD=AB/AC,即B E·AC=AB·CD (1) 由△ABE∽△ACD得AD/AC=AE/AB,又∠BAC=∠EAD, ∴△ABC∽△AED. BC/ED=AC/AD,即ED·AC=BC·AD (2) (1)+(2),得 AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC 又∵BE+ED≥BD ∴AB×CD+AD×BC≥AC×BD 塞瓦定理 在△ABC内任取一点O， 直线AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则 (BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1 因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=1所以CD、AE、BF交于一点 用同一法证 点D,E,F分别为三角形ABC三边BC,AC,AB上的点，若AF/BF*BD/DC*CE/AE=1，则AD,BE,CF 三点共线 逆命题证明 证明：设BE,CF交与点O，AO交BC于点P。 则由赛瓦定理可知，AF/BF*BP/PC*CE/AE=1。 由已知AF/BF*BD/DC*CE/AE=1知，AF/BF*BP/PC*CE/AE=1=AF/BF*BD/DC*CE/AE。 推出BP/PC=BD/DC,所以BD/BC=BP/BC,故BD=BP。 所以D点与P点重合。则AD,BE,CF三点共线，命题得证。 梅涅劳斯定理 如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。或：设X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上，则X、Y、Z共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/Y A)=1 。 西姆松定理 （1）称三角形的垂心为H。西姆松线和PH的交点为线段PH的中点，且这点在九点圆上。 （2）两点的西姆松线的交角等于该两点的圆周角。 （3）若两个三角形的外接圆相同，这外接圆上的一点P对应两者的西姆松线的交角，跟P的位置无关。 证明四色猜想 本文用递推的方法，分别用点和线代替平面图形及平面图形相交，则三个平面图形两两相交时，构成一个三角形的封闭空间。通过讨论第四个点与此三角形的关系，简明地证明了四色猜想。 四色猜想最先是由一位叫古德里的英国大学生提出来的。高速数字计算机的发明，促使更多数学家对“四色问题”的研究。就在1976年6月，哈肯和与阿佩尔合在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于完成了四色定理的证明。不过不少数学家并不满足于计算机取得的成就，他们认为应该有一种简捷明快的书面证明方法。直到现在，仍有不少数学家和数学爱好者在寻找更简洁的证明方法。 证明 将平面图形抽象极限成成点或线，当然在这一点或线的基础上可以任意发出一些线（这些射线可以任意扩展为面）。这些射线都属于这个点。 首先，A，B两个面相交看成点A发出的射线和点B发出的射线相遇于点Pab，如图1。第三点C要和A，B两两相交，则构成一个三角形ABC的封闭空间，如图2。 这时点D要和A、B、C两两相交则有两种情况： （1）D在ABC之内和ABC相交 当D和和A、B、C中任意两者相交都将构成新封闭三角形。第五点E继续相交时就和D与A、B、C相交的情况一样。 假设D和A，B，C分别相交于Pad，Pbd和Pcd。Pbd在P到B点间，Pad 在Pac到A点间，Pcd在Pac到C点间。这样即使A，B，C内部还有剩余空间也被分成了3部分如图3。尽管这三个图形不一定都是三角形但都是封闭的，都可以简化成三角形。所以无论第五点E在哪部分都是点与三角形关系。（见图3） （2）D在ABC之外和ABC相交 D可以完全将ABC包围或者将ABC一部分包围。但无论怎样ABC三者至少有一者完全在D的图形内。 若D将ABC一部分包围。那么ABC至少有一点完全被D包围。如图5 若E在D外就不能和A、B同时相交。 淄博五中高一级部数学学案 孙天军 编号：课题：1.3.1 算法案例（1）--辗转相除法与更相减损术 授课人：备课时间：授课时间：课型：新授课 学案内容 〖学习目标〗 1．通过算法的典型案例，经历设计算法解决问题的全过程，感受算法解决问题的重要作用； 2．理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析,设计出这两种算法的程序框图并写出它们的算法程序；熟练运用这两种算法求最大公约数． 3．进一步体会算法的基本思想，发展有条理地思考与解决问题的能力，提高逻辑思维能力． 〖重点难点〗随记 重点：掌握辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法． 难点：对辗转相除法与更相减损术的算法的基本思想的理解. 〖导学过程〗 板块一：课前自学 1 ．回顾算法的三种表述：自然语言、程序框图（三种逻辑 结构）、程序语言（五种基本语句）． 2．回顾求两个数的最大公约数的方法． ①24与30的最大公约数． ②求较大的两个数210与462的最大公约数． 板块二：新知探究 1 ．问题提出：当两个数公有的质因数（如8251与6105） 较大时，用原来的显然困难，须改进算法，用什么方法好？ 2 ．点拨：辗转相除法是解决上述问题的有效方法之一， 此算法是欧几里得在公元前300左右首先提出的，因而，又 叫欧几里得算法． 3．师生探究： 例1．用辗转相除法求8251与6105的最大公约数． 探究1：用辗转相除法求两个正数225和135的最大公约数． 探究2：辗转相除法算法步骤如何？其蕴含的数学原理是什么？ 请画出用辗转相除法求两个数的最大大公约数的程序框图，并编写程序？ 4．问题提出：除了用上述算法求两个数的最大公约数之外还有没有别的算法？ 5．点拨：用“更相减损术”：更相减损术，是我国数学家刘徽的专著《九章算术》中记载的．更相减损术求最大公约数的步骤如下：可半者半之，不可半者，副置分母分子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之．翻译出来为： 第一步：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数．若是，用2约简；若不是，执行第二步． 第二步：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数．继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数． 6．师生再探： 例2 ．用更相减损术求91与49的最大公约数． 探究3:怎样用更相减损术求182与98的最大公约数? 探究4:用更相减损术求80与36的最大公约数，并用辗转相除法检验结果．探究5:“更相减损术”蕴含的数学原理是什么？ 思考: “辗转相除法”与“更相减损术”的区别是什么？ （1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显． （2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为则得到，而更相减损术则以减数与差而得到． 板块三：知识拓展 问题提出：如何求三个正整数的最大公约数？ 例3．求三个数175、100、75的最大公约数．托勒密定理
泰特猜想的延续 ——四色定理的书面证明
四色猜想的证明
辗转相除算法的简介
辗转相除法教学设计
简洁破解四色猜想——“1+3”证明与“3+1”充要条件模型证明——
托勒密定理
第三讲 托勒密定理及其应用
算法案例——辗转相除法
初中数学奥林匹克中的几何问题：第3章托勒密定理及应用附答案
辗转相除法证明
托勒密定理塞瓦定理梅涅劳斯定理西姆松定理
证明四色猜想
算法案例---辗转相除法与更相减损术